第2章 有理数的运算 专项练习 -2026-2027学年人教版数学七年级上册

第2章有理数的运算典型例题+易错精练-2026-2027学年数学七年级上册人教版 典型例题 1．（2024秋•新罗区期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得_______ 的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 2．（2024秋•巴林左旗期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1． （1）求2※4的值； （2）求（1※4）※（﹣2）的值； （3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□； （4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来． 3．（2024秋•蓬江区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b _____ 0； （2）当abc＜0时，若ab＞0，则c _____ 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则__________ ； （4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 易错精练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•天山区校级二模）火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km，将数字55000000用科学记数法表示为（　　） A．550×105 B．55×106 C．5.5×107 D．0.55×108 2．（2026•河东区校级三模）﹣2+5＝（　　） A．﹣10 B．﹣7 C．﹣3 D．3 3．（2026•名山区模拟）的倒数的绝对值是（　　） A． B． C． D． 4．（2026•宁河区二模）计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 5．（2026•莘县校级模拟）若|x|＝2，|y|＝5，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．﹣3或7 B．3或﹣7 C．﹣3或3 D．﹣7或7 6．（2026•峄城区二模）已知有理数a与b互为倒数，a与c互为相反数，下列结论错误的是（　　） A．ab＝1 B．bc＝﹣1 C．b＝c D．a+c＝0 7．（2026秋•合肥月考）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相反数等于它本身的数，则2x﹣3x+y﹣6w的值是（　　） A．0 B．﹣2 C．1 D．2 8．（2025秋•贵州期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共6小题） 9．（2026•湘潭开学）体育老师对八年级8位男生进行引体向上测试，以能连续做6个为达标，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．成绩记录如表： 学生序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 成绩 2 ﹣1 1 3 ﹣2 ﹣3 2 0 这8名男生的达标率是_________ %．他们一共做了_______ 个引体向上． 10．（2026春•北湖区校级月考）用科学记数法表示：（4×108）×（3×103）＝_____________ ． 11．（2025秋•潮南区期末）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是________ ． 12．（2026秋•玄武区校级月考）已知|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a+b的值为________ ． 13．（2025秋•东台市期末）小李不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，则墨迹盖住的所有整数和为_______ ． 14．（2026•左权县模拟）下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 ________ ．（填序号） 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•洛阳期末）计算： （1）； （2）﹣14+3×（﹣2）2﹣（﹣2）3÷|﹣4|． 16．（2025秋•乾县期末）数轴上点A、B、C、D、E对应的数依次为a，b，c，d，e，其中a的相反数是5，b与d互为倒数，c与原点的距离是3，e是最大的负整数．求多项式（a+5+bd）c﹣e2026的值． 17．（2025秋•兰州校级月考）某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A+B＝C 任务： （1）小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是_____ 、___________________ 、___________________ ； （2）按小明的方法计算． 18．（2025秋•新安县期末）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9 （1）根据记录可知前三天共生产________ 辆； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产_______ 辆； （3）该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 19．（2025秋•朝阳区校级期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，则_____ ；当b＜0时，则_______ ． （2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． （3）如果a，b，c是有理数且abc≠0，那么的值是_______ ． 典型例题解析 1．（2024秋•新罗区期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　小红　 的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分） （2）原式的倒数为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式． 2．（2024秋•巴林左旗期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1． （1）求2※4的值； （2）求（1※4）※（﹣2）的值； （3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□； （4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来． 【解答】解：（1）2※4＝2×4+1＝9； （2）（1※4）※（﹣2）＝（1×4+1）×（﹣2）+1＝﹣9； （3）令□为﹣1，〇为5，（﹣1）※5＝﹣1×5+1＝﹣4， 5※（﹣1）＝5×（﹣1）+1＝﹣4； （4）∵a※（b+c）＝a（b+c）+1＝ab+ac+1，a※b+a※c＝ab+1+ac+1＝ab+ac+2． ∴a※（b+c）+1＝a※b+a※c． 3．（2024秋•蓬江区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b　＞　 0； （2）当abc＜0时，若ab＞0，则c　＜　 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则　±3或±1　 ； （4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 【解答】解：（1）∵ab＜0，b＞0， ∴a＜0， ∵|a|＜|b|， ∴a+b＞0， 故答案为：＞； （2）∵abc＜0，ab＞0， ∴c＜0， 故答案为：＜； （3）当a、b、c均为正数时，1+1+1＝3； 当a、b、c均为负数时，1﹣1﹣1＝﹣3； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，1+1﹣1＝1； 当a、b、c中有一个正数两个负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，1﹣1﹣1＝﹣1， 综上，的值为±3或±1， 故答案为：±3或±1；． （4）∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1， 分情况讨论： ①a＝1，b＝0，此时a+b＝1； ②a＝0，b＝1，此时a+b＝1； ③a＝﹣1，b＝0，此时a+b＝﹣1； ④a＝0，b＝﹣1，此时a+b＝﹣1， ∴a+b的值为±1． 易错精练解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•天山区校级二模）火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km，将数字55000000用科学记数法表示为（　　） A．550×105 B．55×106 C．5.5×107 D．0.55×108 【解答】解：55000000＝5.5×107． 故选：C． 2．（2026•河东区校级三模）﹣2+5＝（　　） A．﹣10 B．﹣7 C．﹣3 D．3 【解答】解：由题中式子可得：﹣2+5＝5﹣2＝3； 故答案为：D． 3．（2026•名山区模拟）的倒数的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：的倒数是， 的倒数的绝对值是， 故选：D． 4．（2026•宁河区二模）计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 【解答】解：（﹣3）×（﹣2） ＝+（3×2） ＝6． 故选：B． 5．（2026•莘县校级模拟）若|x|＝2，|y|＝5，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．﹣3或7 B．3或﹣7 C．﹣3或3 D．﹣7或7 【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5， ∴x＝±2，y＝±5， 又∵xy＞0， ∴x＝2，y＝5或x＝﹣2，y＝﹣5， ∴当x＝2，y＝5时，x﹣y＝2﹣5＝﹣3， 当x＝﹣2，y＝﹣5时，x﹣y＝﹣2﹣（﹣5）＝3， 故选：C． 6．（2026•峄城区二模）已知有理数a与b互为倒数，a与c互为相反数，下列结论错误的是（　　） A．ab＝1 B．bc＝﹣1 C．b＝c D．a+c＝0 【解答】解：∵有理数a与b互为倒数，a与c互为相反数， ∴ab＝1，a+c＝0， ∴a＝﹣c， ∴bc＝﹣1． 故选：C． 7．（2026秋•合肥月考）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相反数等于它本身的数，则2x﹣3x+y﹣6w的值是（　　） A．0 B．﹣2 C．1 D．2 【解答】解：∵x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相反数等于它本身的数， ∴x＝﹣1，y＝1，z＝0，w＝0， ∴2x﹣3x+y﹣6w＝2×（﹣1）﹣3×（﹣1）+1﹣6×0＝2． 故选：D． 8．（2025秋•贵州期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：根据图示，可得a＜0，b＞0，|a|＜b， ∴①b﹣a＞0，故正确； ②|a|＜|b|，故正确； ③a+b＞0，故正确； ④0，故错误． ∴正确的是①②③． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•湘潭开学）体育老师对八年级8位男生进行引体向上测试，以能连续做6个为达标，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．成绩记录如表： 学生序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 成绩 2 ﹣1 1 3 ﹣2 ﹣3 2 0 这8名男生的达标率是　62.5　 %．他们一共做了　50　 个引体向上． 【解答】解：由题意可知：达标率为． 每人标准为6个，8人的标准总个数为 8×6＝48， ∴实际总个数为48+[2+（﹣1）+1+3+（﹣2）+（﹣3）+2+0]＝48+2＝50， 即他们一共做了50个引体向上． 故答案为：62.5，50． 10．（2026春•北湖区校级月考）用科学记数法表示：（4×108）×（3×103）＝　1.2×1012 ． 【解答】解：原式＝（4×3）×（108×103） ＝12×1011 ＝1.2×1012， 故答案为：1.2×1012． 11．（2025秋•潮南区期末）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是　120　 ． 【解答】解：根据题意可知，要使抽取的3张卡片数字积最大，优先选择绝对值大的负数与正数组合， ∴选择﹣6、﹣5、+4，其积为：（﹣6）×（﹣5）×4＝30×4＝120． 故答案为：120． 12．（2026秋•玄武区校级月考）已知|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a+b的值为　5或1　 ． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝±3，b＝±2， ∵a＞b， ∴a＝3，b＝±2， 当a＝3，b＝2时，a+b＝3+2＝5； 当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3+（﹣2）＝1； ∴a+b的值为5或1， 故答案为：5或1． 13．（2025秋•东台市期末）小李不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，则墨迹盖住的所有整数和为　﹣4　 ． 【解答】解：由图可知，右边盖住的整数是0、1、2，左边盖住的整数是﹣4、﹣3， ∴和为﹣4+（﹣3）+0+1+2＝﹣4， 故答案为：﹣4． 14．（2026•左权县模拟）下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　②③④　 ．（填序号） 【解答】解：对于①： 当a＝b＝0时，无意义， 故①错误，不符合题意； 对于②： ∵， ∴ab同号， ∵a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴a+3b＜0， ∴|a+3b|＝﹣a﹣3b， 故②正确，符合题意； 对于③： 若|a|＞|b|， 则有四种情况， 1°如数轴所示， 此时a＞b＞0， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 2°如数轴所示， 此时﹣a＜b＜0＜a， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 3°如数轴所示， 此时a＜b＜0， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 4°如数轴所示， 此时a＜0＜b＜﹣a， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 综上，若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵a+b+c＜0， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵ab＞0， ∴ab同号， ∵c＞0， ∴a和b均为负数， ∴1+（﹣1）+1＝﹣1， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•洛阳期末）计算： （1）； （2）﹣14+3×（﹣2）2﹣（﹣2）3÷|﹣4|． 【解答】解：（1）原式 ＝28﹣30+27 ＝25； （2）原式＝﹣1+3×4﹣（﹣8）÷4 ＝﹣1+12﹣（﹣2） ＝﹣1+12+2 ＝13． 16．（2025秋•乾县期末）数轴上点A、B、C、D、E对应的数依次为a，b，c，d，e，其中a的相反数是5，b与d互为倒数，c与原点的距离是3，e是最大的负整数．求多项式（a+5+bd）c﹣e2026的值． 【解答】解：由题意得，a＝﹣5，bd＝1，c＝±3，e＝﹣1， 当c＝3时，（a+5+bd）c﹣e2026＝（﹣5+5+1）×3﹣（﹣1）2026＝2； 当c＝﹣3时，（a+5+bd）c﹣e2026＝（﹣5+5+1）×（﹣3）﹣（﹣1）2026＝﹣4； 故（a+5+bd）c﹣e2026的值为2或﹣4． 17．（2025秋•兰州校级月考）某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A+B＝C 任务： （1）小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是　0　 、　　 、　　 ； （2）按小明的方法计算． 【解答】解：（1）原式 ； ∴A，B，C处依次代表的数据是0，，； 故答案为：0，，； （2）原式 ． 18．（2025秋•新安县期末）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9 （1）根据记录可知前三天共生产　449　 辆； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　26　 辆； （3）该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【解答】解：（1）+5+（﹣2）+（﹣4）＝5+（﹣6）＝﹣1， 150×3+（﹣1）＝450﹣1＝449（辆）， ∴前三天共生产449辆； （2）观察可知，星期六生产最多，星期五生产最少， +16﹣（﹣10）＝16+10＝26（辆）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆； （3）+5+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）， ＝5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9， ＝5+13+16﹣2﹣4﹣10﹣9， ＝34﹣25， ＝9， ∴工人这一周的工资总额是：（1050+9）×50+9×10＝52950+90＝53040（元）． 19．（2025秋•朝阳区校级期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，则　1　 ；当b＜0时，则　﹣1　 ． （2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． （3）如果a，b，c是有理数且abc≠0，那么的值是　±2　 ． 【解答】解：（1）∵a＞0， ∴； ∵b＜0， ∴； 故答案为：1；﹣1； （2）∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 又∵abc＜0， ∴三个数中必定有两个正数，一个负数，可设①a＞0，b＞0，c＜0， ∴； ②a＜0，b＞0，c＞0， ∴； ③a＞0，b＜0，c＞0， ∴． 综上，的值为﹣1； （3）①当a，b，c都要为正数时，则原式＝1+1+1﹣1＝2； ②当a，b，c中只有一个负数时，当a是负数，则原式＝﹣1+1+1+1＝2； 当b是负数，则原式＝1﹣1+1+1＝2； 当c是负数，则原式＝1+1﹣1+1＝2； ③当a，b，c中有两个负数时，当a，b是负数，则原式＝﹣1﹣1+1﹣1＝﹣2； 当a，c是负数，则原式＝﹣1+1﹣1﹣1＝﹣2； 当b，c是负数，则原式＝1﹣1﹣1﹣1＝﹣2； ④当a，b，c都是负数时，则原式＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2； 综上所述，所求式子的值是±2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $