第一章· 丰富的图形世界· 期中复习·高效培优讲义 ·2026-2027学年北师大版七年级数学上册

第一章·丰富的图形世界·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 认识常见的几何体并能说出其特征 · 掌握从不同方向看几何体得到的视图 · 掌握正方体的展开图与相对面判断方法 · 能利用展开图计算表面积、体积与折叠距离 · 理解平面图形旋转后得到的立体图形 📚 知识梳理 ☆ 1.生活中的立体图形 常见几何体：棱柱、圆柱、圆锥、球等，棱柱有底面、侧面、棱与顶点 棱柱的面、棱、顶点关系：n棱柱有(n+2)个面、3n条棱、2n个顶点 点动成线、线动成面、面动成体（如直角三角形绕直角边旋转得圆锥） 几何体的表面积与体积：正方体6个面、圆柱侧面积展开为矩形 概念辨析例题：一个五棱柱有几个面、几条棱、几个顶点？ 答案：7个面、15条棱、10个顶点 解析：五棱柱底面是五边形，侧面5个面，共2+5=7个面；棱数3×5=15条；顶点数2×5=10个。 ☆ 2.从不同方向看几何体 从正面（主视图）、从左面（左视图）、从上面（俯视图）三个方向观察 画视图时注意遮挡关系：被挡住的轮廓不画 由视图还原几何体：先定俯视图，再结合主视、左视确定层数与位置 数小正方体个数：从俯视图标注每格层数求和 概念辨析例题：一个由小正方体搭成的几何体，从上面看到的形状如图，每格标注的数字表示该位置小正方体的个数，共有多少个小正方体？ 答案：标注数字之和 解析：把俯视图中每个位置标注的个数相加，即为小正方体的总个数。 ☆ 3.展开与折叠 正方体的展开图共11种，可归纳为“一四一”“二三一”“二二二”“三三”四种类型 判断相对面：展开图中相隔一个面的两个正方形相对；正方体中不相邻的两个面相对 展开图折叠成正方体：先确定底面，再沿折线依次折叠验证 圆柱展开：两个圆+一个矩形；圆锥展开：一个圆+一个扇形 概念辨析例题：下列图形中，哪一个不是正方体的展开图？ 答案：根据“一四一”等类型判断 解析：正方体展开图必属于“一四一”“二三一”“二二二”“三三”四种结构之一，不符合的即为错误选项。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 棱柱关系 n棱柱：面(n+2)、棱3n、顶点2n 底面为n边形 三视图 主视、左视、俯视 注意遮挡关系 正方体展开 共11种四种类型 相对面不相邻 圆柱展开 两个圆+一个矩形 矩形一边=底面周长 面动成体 旋转形成立体图形 注意旋转轴 ⚠️ 核心考点 【考点1】认识几何体与图形构成（第1-10题） · 区分棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体的特征 · 利用n棱柱的面、棱、顶点关系式解题 · 点线面的关系：点动成线、线动成面、面动成体 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了利用七巧板拼图形，由七巧板的规律可得，，，由此计算即可得出答案，熟练掌握七巧板的规律是解此题的关键． 【详解】解：由七巧板的规律可得： ，，， ∵左边图形中正方形的面积为32， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 4．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示的几何体，这个几何体的名称是______． 【答案】三棱柱 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了学生对几何体的认识情况，在解答这个题目时，首先是要仔细观察几何体，找出几何体的组成情况，观察几何体，有2个底面，3个侧面，经过每个顶点有3条棱，每个底面各有3个顶点，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 5．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将涂成红色，涂成黄色，涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有___． 【答案】 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了正方体框架的涂色问题．先由正方体的特点得出可能涂红色的铅丝，进一步确定涂成红色的铅丝，同理得出涂成蓝色，黄色的铅丝，最后可得涂成白色的铅丝． 【详解】解：∵要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色，且涂成红色， ∴涂成红色的只可能为， ∵，都不能为红色， ∴若为红色，则面不可能有一条边涂成红色， ∴涂成红色的只有 同理可知涂成涂成蓝色的只有，涂成黄色的有， ∴涂成白色的有， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有____________． 【答案】12 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查正方体表面的涂色问题，掌握两面涂色的正方体是原正方体各条棱上中间的小正方体，是解题的关键． 根据题意可知一共分成了27个小正方体，两面都涂色是中间那层，一条边在棱上的部分． 【详解】两面都涂色是中间那层，一条边在棱上的小正方体， 每个中间层有4个，3个中间层共有：（个）， 故答案为：12． 7．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【答案】(1)六棱柱，8 (2)①②③ (3) 【知识点】截一个几何体、常见的几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面 故答案为：六棱柱，8； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 【考点2】从不同方向看几何体（第11-32题） · 会画出或辨认从正面、左面、上面看到的形状图 · 由视图还原几何体：俯视图定底、主视左视定高 · 数小正方体个数：俯视图标注求和 8．（25-26七年级上·河南郑州·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．从左面看到的这个几何体的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． 左侧看到有两列，左列有2层，右列有3层． 【详解】解：从左面看是从左往右看，有两列，左列有2层，右列有3层， 即． 故选：D． 9．（2025七年级上·陕西西安·专题练习）一个立体图形从前面、左面、上面看到的形状如图，要搭这样的立体图形，至少要用（    ）个小正方体． A．11 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据观察物体的方法，结合从上面看到的形状可知，几何体底层有4个正方体，结合从前面和左面看到的形状可知，第一排为6个，第二排最少3个，即可解答． 【详解】解：最少要用小正方体个数如下： （个）， 即至少要用9个小正方体． 故答案为：B． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果从不同的方向看一个立体图形，得到的平面图形如图所示，那么这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，从各个方向看选项的图形，与题干的三视图对比即可得到答案． 【详解】解：A：从前面和左面看是相同的，都是三角形，从上面看是圆，不符题意； B：从前面和左面看是相同的图形，都是一个矩形上面叠了一个三角形，从上面看是圆，不符题意； C：从不同的方向看均符合题意； D：从正面看是三角形，且中间有一条虚线，从左面看是三角形，从上面看是三角形，且中间有一点，这一点与三角形三个顶点均有线段相连，不符题意． 故选：C． 11．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是由棱长为1的正方体构成的立体图形，第1个图形由1个正方体构成，从上面可以看到1个正方形；第2个图形由4个正方体构成，从上面可以看到3个正方形；第3个图形由10个正方体构成，从上面可以看到6个正方形；……依次类推，第200个图形从上面可以看到正方体的个数是（    ） A．1000个 B．5000个 C．40000个 D．20100个 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、从不同方向看几何体 【分析】本题考查简单组合体的不同方面的观察以及图形的变化类，发现各个图形从上面看到的正方形个数所呈现的规律是正确解答的关键． 根据各个图形从上面看到的正方形个数所呈现的规律进行计算即可． 【详解】解：第①个图形从上面可以看到1个正方形，即； 第②个图形从上面可以看到3个正方形，即； 第③个图形从上面可以看到6个正方形，即； 第④个图形从上面可以看到10个正方形，即； 第200个图形从上面可以看到的正方形的个数为 ． 故选：D． 12．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）由相同的小正方体组合而成的几何体，从正面及左面看到的形状如图，则搭建该几何体最少用_____________个小正方体． 【答案】4 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了由从正面及左面看到的形状判断几何体，仔细观察从正面及左面看到的形状，发挥空间想象能力，便可得出几何体的形状． 【详解】解：由题意可得：几何体有3层，上面两层各只有一个小正方体，最底下一层最少有2个小正方体， 故最少用个小正方体． 故答案为：4． 13．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）一个几何体由若干个相同的小立方体搭成，从正面和上面看到的图形分别如图所示，从上面看到的图形中，方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，求_____． 【答案】或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、从不同方向看几何体 【分析】本题考查了学生的空间想象能力．注意找到该几何体从正面看每列小正方体最多的个数．从上面看每个数字是该位置小立方体的个数，结合从正面看2列中的个数，分析其中的数字，从而求解． 【详解】解：由从上面看可知，该组合体有两行两列，左边一列前一行有两个正方体，结合从正面看可知左边一列有2个正方体，故或2； 由从正面看右边一列可知，右边一列最有3个正方体，故． ∴当，时，； 当，时，； 故答案为：或 14．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其从三个不同方向观察到的形状如图所示，则这个几何体最多可由______个这样的正方体组成． 【答案】16 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了“从不同方向看正方体组合体”，能根据不同方向上看到的图形，判断出正方体的个数是解题关键． 以从上面看的图作为基底（也可用其他方向的图），根据另外两个方向的图判断每一个位置最多能放几个小正方体即可． 【详解】解：最多的情况如下图： ． 故答案为： 16． 15．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图．它最多需要______个小立方块． 【答案】15 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】上面看定位置，左面看定个数，进行求解即可. 【详解】解：如图， 最多需要个小立方块． 16．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从正面、左面看到的图形如图所示，则该几何体最多由__________个小立方块搭成． 【答案】16 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】此题考查从不同方向看几何体，可先从正面看到的图上分清几何体的层数，再结合从左面看到的图形得到下面一层（第一层）的小立方块的个数；然后从正面、左面看到的图上分清几何体中第二层和最上层小立方块的摆放位置即可得出结论． 【详解】解：观察可知：该几何体有三层，第一层最多有9个小立方块，第二层最多有6个小立方块，第三层最多有1个， 故该几何体最多有个小立方块， 故答案为：16． 17．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）从正面、左面和上面观察如图所示的几何体．分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】 如图所示： 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看几何体，观察图形可知，从正面看到的图形是4列，依次为2，1，1，1个正方形；从左面看到的图形是3列，依次为1，1，2个正方形；从上面看到的图形是是4列，依次为2，1，1，2个正方形；据此即可画图． 【详解】略 18．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，画出几何体从正面、左面、上面看所得到的平面图形． 【答案】 如图所示， 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体；由已知条件可知，从正面看有列，每列小正方形数目分别为，，；从左侧看有列，每列小正方形数目分别为，，；从上面看有三行，每行的正方形数分别为，，，据此可画出图形即可． 【详解】解：略． 19．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的形状图，并用平行的斜线涂上阴影； (2)如果把这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【答案】(1) ，三视图如图所示： (2)256 (3) 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看物体； （1）先数出这个几何体中小正方形的个数，由已知条件可知，主视图有列，每列小正方形形数目分别为，，，左视图有列，每列小正方形数目分别为，，，俯视图有列，每列小正方形形数目分别为，，，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放个小正方体，第列后面的几何体上放个小正方体． 【详解】（1）略 （2）解：这个几何体的表面有个正方形，去掉地面上的个，个面需要喷上红色的漆， ∴面积为， 克， 故答案为：； （3）解：如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可以再添加个， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是6个棱长为1的正方体组成的几何体． (1)该几何体的体积是________，表面积是________（包括底面）； (2)请你利用下边的三个网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看得到的平面图形． 【答案】(1)6；26 (2) 如图， 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是能正确辨认从不同方向观察到的图形． （1）根据几何体的体积和表面积公式计算即可； （2）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：该几何体的体积是， 该几何体从正面或背面看，有5个小正方形；从左面或右面看，有4个小正方形；从上面或下面看，有4个小正方形， 则该几何体的表面积是； 故答案为：6；26； （2）略 21．（24-25七年级上·全国·期末）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【知识点】从不同方向看几何体、由展开图计算几何体的表面积 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． 22．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）用12个大小相同棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)请分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视图； (2)求出该几何体的表面积（含底面）； (3)小明用若干个相同的小正方体搭成了另一个几何体，结果发现从正面看和从上面看的形状图与刚才的完全一致，则小明所用的小正方体最多有______块． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) (3)16 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查作图-从不同的方向看几何体、几何体的表面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据从三个不同方向看到的形状图画图即可； （2）根据从正面看到的面积，从左面看到的面积，从上面看到的面积，取其和的2倍即可； （3）根据题意确定能够添加的位置和数量，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：该几何体的表面积（含底面）是； （3）解：由题意得，每个位置最多的情形如图所示， ∴小明所用的小正方体最多有（块）． 故答案为：16． 23．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，是6个棱长为的小立方块组成的几何体．请在上面方格纸中分别画出从左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 如图所示，即为所求， 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从左面、上面看到的平面图形画图即可，熟练掌握从不同方向看几何体得到正确的平面图是解决此题的关键． 【详解】略 24．（22-23六年级上·山东威海·期中）如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形． (2)若小正方体的棱长为1，求搭建几何体的体积和表面积． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)体积，表面积 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看堆砌图形．由从上面看到的视图及小正方形内的数字，可知从正面看到的视图的列数与从上面看到的视图列数相同，且每列小正方形数目为从上面看到的视图中该列小正方形数字中的最大数字．从左边看的视图的列数与从上面看到的视图的行数相同，且每列小正方形数目为从上面看到的视图中相应行中正方形数字中的最大数字． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，从左边看有2列，每列小正方形数目分别为3，3．据此可画出图形． （2）根据小正方体的个数可得体积，根据从三个方向看到的视图可得表面积． 【详解】（1）略 （2）解：搭建几何体的体积为； 表面积为：． 25．（26-27七年级上·广东揭阳·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图①：________，图③：________，图②：________． (2)用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (3)如果保持（2）中几何体从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加________个小立方块． 【答案】(1)圆锥，五棱柱，长方体 (2)解：如图所示： (3)3 【知识点】从不同方向看几何体、几何体展开图的认识 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）从正面看有三列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有2个正方形；从左面看有两列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形； （3）根据从正面、左面看到的形状图分析即可． 【详解】（1）解：由立体图形的展开图可知，图①：圆锥，图②：长方体，图③：五棱柱； （2）解：略 （3）解：在从上面看到的图形的相应位置标注所能添加的小正方体的个数，如图，可得最多可以再添加3个小立方块． 26．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体，请分别画出这个几何体的从左面看和从上面看的形状； 【答案】 如图所示. 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同角度看几何体，根据从左面和上面看到的几何图形解题即可． 【详解】略 【考点3】正方体的展开图与相对面（第33-55题） · 熟记11种展开图归纳为四种类型 · 相对面判断：展开图中相隔一个面的两个面相对 · 折叠验证：选定底面沿折线折叠 27．（25-26七年级上·山西临汾·期末）下面图形中，可以作为正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体展开图的常见类型是解题关键． 根据正方体展开图的常见类型对选项依次判断． 【详解】解：选项：可以折叠成正方体，正确； 选项：折叠后有重叠面且缺一面，无法折成正方体，错误； 选项：折叠后缺一面，无法折成正方体，错误； 选项：折叠后有重叠面且缺一面，无法折成正方体，错误． 故选：． 28．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（     ） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 本题考查了正方体展开图中的相对字问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得“通”字一面相对的面上的字为“寨”， 故选B． 29．（23-24六年级上·山东泰安·期末）如图是一个正方体的展开图，正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】C 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方形相对面两个面的文字，相反数，求代数式的值；根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答，熟练掌握根据正方体的表面展开图找出相对面，是解题的关键． 【详解】解：由图可知：与相对，与相对，与相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴ ∴ ∴， 故选：． 30．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图是一个正方体展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值为（   ） A． B．4 C． D．16 【答案】C 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图、相反数的定义、求代数式的值，由正方体的展开图结合相反数的定义得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵一个正方体展开图，其中相对的面上的数字互为相反数， ∴，， ∴， 故选：C． 31．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）某校开展以“传承红色基因、讲好遵义故事”为主题的革命基地研学，要求制作一个正方体物品，展开图如图所示，则还原后“传”字的相对面的字是（   ） A．红 B．色 C．基 D．因 【答案】D 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．根据正方体的平面展开图的特点求解即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图的特点可知，“承”字与“色”字处在相对面上，“红”字与“基”字处在相对面上，“传”字与“因”字处在相对面上， 故选：D． 32．（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）一个小正方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示，则C，A，E相对面的字母分别是（     ） A．D，F，B B．D，B，F C．B，F，D D．B，D，F 【答案】A 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】通过观察图形，找出字母和的相邻面，利用排除法确定相对面． 【详解】解：字母的相邻面有， 字母的相对面是， 字母的相邻面有， 字母的相对面是， 字母的相对面是， 相对面的字母分别是． 33．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图上阴影部分），但是不小心少画了一个，若在图上补涂一个小正方形，使阴影部分能折成一个正方体，则不同的涂法有（    ） A．1和 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：由题意知，以下几种情况图中阴影部分可以组合成正方体： 故选：D． 34．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方体的展开图的六个面上分别写有“看、中、国、来、宝、鸡”六个汉字，将其围成一个正方体后，与“看”字相对的字是（    ） A．宝 B．来 C．中 D．国 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键． 根据正方体展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，与“看”字相对的字是“来”． 故选：B． 35．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图是正方体的一种展开图，在原正方体中，与“丽”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．美 【答案】A 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可求解，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“中”与“美”是相对面，“爱”与“国”是相对面， ∴“丽”字所在面相对的面上的汉字是“我”， 故选：． 36．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图等知识，熟知正方体的展开图是解题关键，根据正方体的展开图得到2与6是对面，3与4是对面，1和5是对面，据此即可求解． 【详解】解：由正方体的展开可知：2与6是对面，3与4是对面，1和5是对面， ∴两个对面的数字和最小值为． 故选：B 37．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有___________种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则___________． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字之和相等解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， 所以，要添加的是“3”的相对面， ∴要添加一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有4种不同的添法．如图所示： ∵正方体对面数字之和相等， ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：，． 38．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数字都是相反数，则________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图形、相反数的定义，由正方体的展开图形的特征可得2和z所在的面是相对面，3和y所在的面是相对面，5和所在的面是相对面，再结合相反数的定义求出，，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：2和z所在的面是相对面，3和y所在的面是相对面，5和所在的面是相对面， ∵每两个相对面上的数字都是相反数， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_____________． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为，，，，，或，，，，，，然后分析是否符合题意即可． 【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为，，，，，或，，，，，； 且每个相对面上的两个数之和相等， ，，（7与10相邻，不合题意，舍去） ，， 故可能为，，，，，，其和为． 故答案为：． 40．（22-23七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】根据相对面上的数相等得到，进而可知的值． 【详解】解：∵相对面上的数相等， ∴， ∴． 41．（23-24六年级下·全国·单元测试）把骰子看作是一个各面上标有1至6六个点数的正方体，已知互相平行的面的点数之和相等，那么与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是____________． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的空间图形，点数1的对面是6，点数5的对面是2，点数4的对面是3，与标有点数3的面垂直的面所标的点数分别是：，解题的关键是从相对面入手，分析及解答问题． 【详解】解：与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是： ， 故答案为：． 42．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与13重合的数字是_____． 【答案】1和9 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的展开图，正方体的表面展开时，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：如图，与13重合的数字是1和9． 43．（24-25七年级上·江西抚州·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为______． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键． 先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，， 故答案为：． 44．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为______． 【答案】 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，代数式求值，相反数的定义，正方体展开图中相对的面之间必定相隔一个小正方形，据此确定出相对面，再根据相反数的定义得到x与y的关系，z的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，数字z所在的面与数字2所在的面相对，数字x所在的面与数字y所在的面相对，数字6所在的面与数字所在的面相对， ∵若相对的两个面上的数互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 45．（24-25六年级上·山东烟台·期末）小明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)你认为共有多少种弥补方法？请你在图中画出一种成功的设计图； (2)在你帮忙设计成功的图中，请把这些代数式分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个代数式互为相反数．（直接在图中填上） 【答案】(1)共有4种弥补方法， 成功的设计图如图（答案不唯一） (2) 如图所示（答案不唯一）： 【知识点】相反数的定义、正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查小正方体的展开图，以及小正方体的相对面： （1）根据小正方体的展开图一四一型共4种，即可得出结论，画出一种即可； （2）根据同行隔一个，异行Z字型，确定相对面，即可． 【详解】（1）解：观察可知，展开图为一四一型，共有4种弥补方法， （2）∵正方体相对面上的两个代数式互为相反数， ∴是相对面，是相对面，是相对面， 46．（第6章基础测试卷-【千里马�单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024））某综合实践小组开展废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则图①中的 （填“A”“B”“C”或“D”）图形经过折叠能围成无盖的正方体纸盒；    (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后，与“小”字所在面相对的面上的字是 ；    (3)如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．    ①请你在图③中画出示意图，剪切线用实线表示，折痕用虚线表示，剪去的部分用阴影表示； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖长方体纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)“环” (3) ①所画出的图形如图所示： ② 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的表面展开图，正方形相对两面上的字，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②根据折叠得出高，表示底面的长和宽即可得这个纸盒的底面积；底面积乘以高求容积即可． 【详解】（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒， ∴展开图有5个面，再根据正方体的展开图的特征，故A选项、B选项中图形不符合题意，选项C的图形符合题意，选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，故选项D不符合题意； 故选项C中的图形能够折叠成一个无盖的正方体纸盒； 故选：C． （2）解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， ∴与“小”字相对的字是“环”， 答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是“环”； 故答案为：环． （3）解：① 略 ②纸盒的容积为 ， 答：纸盒的容积为． 【考点4】展开图的应用（表面积、体积、折叠距离）（第56-62题） · 圆柱表面积=2个圆面积+侧面积（矩形） · 长方体体积=长×宽×高，正方体体积=a3 · 折叠距离：展开图中两点间最短路径为直线 47．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【答案】4 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 48．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 49．（24-25七年级上·全国·期中）下面是一个长方体（单位：），我们能看到的三个面（如图）分别标有A、B、C，另三个面分别标有D、E、F． (1)D面与A面相对，E面与C面的面积相等，求E面的面积和这个长方体的体积． (2)下面关于这个长方体展开图各面字母标注正确的是　　． 【答案】(1)E面的面积为，长方体的体积为． (2)B． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的表面积和体积，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键． 根据长宽=长方形的面积，长宽高长方体的体积可解答； 根据D面与A面相对，E面与C面相对可得正确的长方体的展开图． 【详解】（1）解：∵E面与C面的面积相等， ∴E面的面积C面的面积， 由图可知：长方体的体积 （2）解：由图可知：这个长方体展开图各面字母标注正确的是B， 故答案为：B． 【考点5】平面图形旋转后所得的立体图形（第63-68题） · 直角三角形绕直角边旋转得圆锥 · 矩形绕一边旋转得圆柱 · 半圆绕直径旋转得球 50．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为___________．（结果保留） 【答案】 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查圆柱的表面积计算，解题关键是根据线动成面的知识得出旋转后的图形． 长方形旋转后形成圆柱，根据题意求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：大圆柱的侧面积； 小圆柱的侧面积； 大圆柱上下圆的面积为：， ∴几何体的表面积． 故答案为：． 51．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知长方形长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．绕长所在直线旋转的圆柱侧面积记为，绕宽所在直线旋转的圆柱侧面积记为，则与的大小关系为_______（请用“”“”“”填写）． 【答案】 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱的侧面积 【分析】根据题意，分别计算出与，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题意可知、， ． 52．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 【答案】(1)圆柱 (2)①6，， ②先增大，后减小 ③ 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱的体积 【分析】本题考查了点、线、面、体、因式分解、配方法求最值，熟练掌握圆柱的体积公式解题的关键． （1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； （2）①根据，计算即可； ②列出表格分析数据的变化情况； ③表示出，结合配方法解题即可． 【详解】（1）解：根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：①当时，， 解得， ∴； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 故答案为：6，，； ②， 表格补全如下： 1 2 3 4 5 可以发现，当逐渐增大时，先增大，后减小； 故答案为：先增大，后减小； ③ 则当时，有最大值． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记棱柱的面、棱、顶点关系式并会应用 · 三视图问题借助实物模型或画草图分析 · 正方体展开图熟记四种类型，判断相对面用“隔面相对” · 表面积体积计算注意单位与公式选择 · 旋转体问题明确旋转轴与旋转半径 【作业1】．（24-25九年级下·新疆·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【知识点】组合几何体的构成 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 【作业2】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是由大小相同的小立方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．根据左视图即可得到答案． 【详解】 解：从左面看到的形状图是 故选C． 【作业3】．（25-26六年级上·山东威海·期中）有一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字1的面所对面上的数字记为，标有数字4的面所对的面上数字记为，那么的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体的展开图 本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”判断“1”、“4”的对面，确定、的值，再进行计算即可． 【详解】解：由从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果可知， ∵“”的邻面有“1、2、4、5”， “3”的对面“6”， ∵“1”的邻面有“2、3、4、6”， “1”的对面是“5”， ∴“4”对面是“2”，即，， ． 故选：． 【作业4】．（23-24七年级上·山东济南·阶段检测）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为______（结果保留）．    【答案】 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1， ∴该圆柱的底面直径为1，高为2， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． 【作业5】．（2026·陕西渭南·二模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的立体图形进行对比即可得出答案； 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合； D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 【作业6】．（24-25六年级上·山东泰安·期中）给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体．其中能截出长方形的几何体共有______个． 【答案】 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的特征逐项判断即可，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【详解】解：当截面与圆柱的底面垂直时可以截得长方形，当截面截取正方形两条平行的面对角线组成的面时，可以截得长方形，球和圆锥都不能截出长方形， ∴能截出长方形的几何体共有个， 故答案为：． 【作业7】．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有______（填写序号即可） 【答案】①④⑤ 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合长方体、正方体、圆柱体、三棱锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】①当正方体盒子水平放置时，水在盒子里可以形成长方体； ②因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体； ③正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体； ④将正方体盒子倾斜放置，让水刚好充满三棱锥的空间部分，可以形成三棱锥； ⑤把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状． 综上所述：可能是盒子里的水形成的几何体的有①长方体，④三棱锥，⑤三棱柱； 故答案为：①④⑤． 【作业8】．（24-25六年级上·陕西咸阳·期末）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形至少需要( )个小立方体，最多需要( )个小立方体． 【答案】 5 7 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面和左面看到的图形得到几何体为2行2层，进行判断即可． 【详解】解：如图， 至少需要（个）小立方体；最多需要（个）小立方体； 故答案为：5，7． 【作业9】．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是___________． 【答案】2 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了相对面上的数字． 根据正方体表面展开图的判断“邻面”和“对面”即可． 【详解】解：由第一个和第二个正方体可知，与数字1所在的面相邻的面上数字是3、2、4、6，因此，与数字2所在的面相对的面上的数字是6， 即“6”与“2”相对， 故答案为：2． 【作业10】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有________个，一面涂色的小正方体有________个． 【答案】 14 14 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查长方体的相关知识．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可．能判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置是解决本题的关键． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， ∴两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， ∴一面涂色的小正方体有（个）． 故答案为：14，14． 【作业11】．（26-27七年级上·福建三明·阶段检测）一个直角三角形两条直角边长分别是和，以其中一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积为________． 【答案】或 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】直角三角形以直角边为轴旋转得到圆锥，分两种情况确定圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式计算即可. 【详解】解：旋转后得到的几何体为圆锥，分两种情况计算体积： 当以的直角边为轴旋转时，圆锥底面半径，高，圆锥体积公式为，代入得； 当以的直角边为轴旋转时，圆锥底面半径，高，代入体积公式得； 因此所得几何体的体积为或. 【作业12】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）若用平面分别截下列几何体：①五棱柱；②圆锥；③球，得到的截面不可能是三角形的是_____．（填序号） 【答案】③ 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查了截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关，由此求解即可． 【详解】①用平面截五棱柱时，如果截面通过三个顶点，可以得到三角形截面； ②用平面截圆锥时，如果截面通过顶点且与底面相交，可以得到三角形截面； ③用平面截球时，无论什么方向截取，截面都是圆，不可能是三角形． 故答案为：③． 【作业13】．（19-20七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，正五棱柱的底面边长为，高为． (1)这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积． (2)这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ 【答案】(1)7个面，侧面积； (2)10个顶点，15条棱． 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了棱柱的构造特征，掌握棱柱的特点是解题的关键．一个n棱柱有个面，个顶点，条棱． （1）根据棱柱的构造特征可知面数，求出每个侧面的面积乘以5即可； （2）根据棱柱的构造特征作答即可． 【详解】（1）解：这个棱柱共有7个面； 侧面积； （2）这个棱柱共有10个顶点，15条棱． 【作业14】．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出这个几何体从三个方向看的形状图； (2)如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【答案】(1) 形状图如图所示； (2)256 (3)4 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体、几何体表面积计算以及添加小正方体的问题，熟练掌握几何体表面积的计算方法是解题的关键． （1）需根据几何体的形状，分别从正面、左面、上面观察，确定每行每列小正方形的个数来绘制图形． （2）先计算出几何体表面（不含底面）的正方形面的个数，再结合每个正方形的面积求出表面积，最后根据每平方厘米用漆量求出总用漆量． （3）在保持从上面看和从左面看到的图形不变的前提下，分析每个位置可添加的小正方体个数，进而求出最多可添加的总数． 【详解】（1）略 （2）解：这个几何体的表面有38个正方形，去掉底面上的6个，32个面需要喷上红色的漆． ∴表面积为． （克）， ∴共需256克漆． 故答案为：256． （3）解：如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可以再添加个． 故答案为：4． 【作业15】．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长求解即可； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：根据题意，得：该长方体纸盒的底面小正方形的边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； （2）解：根据题意，得裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：． ∴长方体纸盒的体积为． 【作业16】．（25-26七年级上·全国·期中）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2) 如图，有两种情况： (3) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据图形回答即可； （2）根据长方体的展开图的情况可知有两种情况； （3）根据题意求出这个长方体的高，即可求出长方体纸盒的体积． 【详解】（1）解：由图1可知，未剪开的棱还有4条，所以剪开的棱有（条）， 故答案为：8； （2）略 （3）解：这个长方体的高为， 所以体积为， 答：这个长方体纸盒的体积为． 【作业17】．（26-27七年级上·四川·期中）初2025级的同学们在学习“面动成体”的过程中，就不同图形的旋转方式做了研究，三个小组的研究情况如下图所示： (1)一、二小组就相邻两边分别为3和4的长方形做了旋转； ①第一小组沿边所在直线旋转一周，请帮助第一小组计算旋转后所得几何体的体积；（结果保留） ②第二小组延长到，使，延长到，使，然后将原长方形沿着直线旋转一周，请帮助第二小组计算旋转后所得几何体的表面积；（结果保留） (2)第三小组画了一个正方形，并且连接交于点，取的中点，连接，取的中点，连接．若 ，将正方形绕直线旋转一周，三角形和三角形旋转一周得到的几何体体积分别记为和．则的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的值为定值；3 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）① 根据圆柱的体积公式进行求解即可； ② 根据圆柱的表面积计算公式进行求解即可； （2）先求出和的值，再求出其比值即可． 【详解】（1）解：① 沿边所在直线旋转一周，旋转后所得几何体的体积为：； ② ， 第二小组旋转后所得几何体的表面积为： ； （2）解：的值为定值，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F到的距离为： ； 同理可得：点E到的距离为； ， ， ∴ ． 【作业18】．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）问题情境：七年级某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 观察思考： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“保”字相对的字是_______． 规律探究：小华有一张边长为的正方形废弃宣传单，准备将其四角各剪去一个小正方形，设计图如图3所示，折成无盖长方体纸盒． （1）若小正方形的边长为，这个纸盒的容积为________． （2）若小正方形的边长为，则无盖长方体纸盒的容积为_______． （3）多试几组数据，当小正方形边长逐渐变大时，这个无盖长方体形盒子的容积是如何变化的？ 【答案】观察思考：（1）C；（2）卫； 规律探究：（1）512；（2）（3）当小正方形边长逐渐变大时，所得到的无盖长方体形盒子的容积先变大再变小 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值． 观察思考：（1）根据正方体的折叠，可得无盖的正方体盒子有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； 规律探究：（1）根据题意求出长方体的体积公式进行求解即可； （2）根据题意求出长方体的体积公式列出代数式即可； （3）分别把，2，3，4，5，6代入求出盒子的容积，然后得出规律即可． 【详解】观察思考：（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒， ∴展开图有5个面， 再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意， 选项C的图形符合题意， 选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意． 故答案为：C． （2）折成无盖正方体纸盒后，与“保”字相对的字是 “卫”； 规律探究：（1）这个纸盒的容积为： ； （2）小正方形的边长为，则无盖长方体纸盒的容积为： ； （3）当时，盒子的容积为：； 当时，盒子的容积为：； 当时，盒子的容积为：； 当时，盒子的容积为：； 当时，盒子的容积为：； 当时，盒子的容积为：； ∴当小正方形边长逐渐变大时，这个无盖长方体形盒子的容积先变大再变小． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章·丰富的图形世界·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 认识常见的几何体并能说出其特征 · 掌握从不同方向看几何体得到的视图 · 掌握正方体的展开图与相对面判断方法 · 能利用展开图计算表面积、体积与折叠距离 · 理解平面图形旋转后得到的立体图形 📚 知识梳理 ☆ 1.生活中的立体图形 常见几何体：棱柱、圆柱、圆锥、球等，棱柱有底面、侧面、棱与顶点 棱柱的面、棱、顶点关系：n棱柱有(n+2)个面、3n条棱、2n个顶点 点动成线、线动成面、面动成体（如直角三角形绕直角边旋转得圆锥） 几何体的表面积与体积：正方体6个面、圆柱侧面积展开为矩形 概念辨析例题：一个五棱柱有几个面、几条棱、几个顶点？ 答案：7个面、15条棱、10个顶点 解析：五棱柱底面是五边形，侧面5个面，共2+5=7个面；棱数3×5=15条；顶点数2×5=10个。 ☆ 2.从不同方向看几何体 从正面（主视图）、从左面（左视图）、从上面（俯视图）三个方向观察 画视图时注意遮挡关系：被挡住的轮廓不画 由视图还原几何体：先定俯视图，再结合主视、左视确定层数与位置 数小正方体个数：从俯视图标注每格层数求和 概念辨析例题：一个由小正方体搭成的几何体，从上面看到的形状如图，每格标注的数字表示该位置小正方体的个数，共有多少个小正方体？ 答案：标注数字之和 解析：把俯视图中每个位置标注的个数相加，即为小正方体的总个数。 ☆ 3.展开与折叠 正方体的展开图共11种，可归纳为“一四一”“二三一”“二二二”“三三”四种类型 判断相对面：展开图中相隔一个面的两个正方形相对；正方体中不相邻的两个面相对 展开图折叠成正方体：先确定底面，再沿折线依次折叠验证 圆柱展开：两个圆+一个矩形；圆锥展开：一个圆+一个扇形 概念辨析例题：下列图形中，哪一个不是正方体的展开图？ 答案：根据“一四一”等类型判断 解析：正方体展开图必属于“一四一”“二三一”“二二二”“三三”四种结构之一，不符合的即为错误选项。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 棱柱关系 n棱柱：面(n+2)、棱3n、顶点2n 底面为n边形 三视图 主视、左视、俯视 注意遮挡关系 正方体展开 共11种四种类型 相对面不相邻 圆柱展开 两个圆+一个矩形 矩形一边=底面周长 面动成体 旋转形成立体图形 注意旋转轴 ⚠️ 核心考点 【考点1】认识几何体与图形构成（第1-10题） · 区分棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体的特征 · 利用n棱柱的面、棱、顶点关系式解题 · 点线面的关系：点动成线、线动成面、面动成体 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示的几何体，这个几何体的名称是______． 5．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将涂成红色，涂成黄色，涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有___． 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有____________． 7．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【考点2】从不同方向看几何体（第11-32题） · 会画出或辨认从正面、左面、上面看到的形状图 · 由视图还原几何体：俯视图定底、主视左视定高 · 数小正方体个数：俯视图标注求和 8．（25-26七年级上·河南郑州·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．从左面看到的这个几何体的形状图是（   ） A． B． C． D． 9．（2025七年级上·陕西西安·专题练习）一个立体图形从前面、左面、上面看到的形状如图，要搭这样的立体图形，至少要用（    ）个小正方体． A．11 B．9 C．8 D．7 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果从不同的方向看一个立体图形，得到的平面图形如图所示，那么这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是由棱长为1的正方体构成的立体图形，第1个图形由1个正方体构成，从上面可以看到1个正方形；第2个图形由4个正方体构成，从上面可以看到3个正方形；第3个图形由10个正方体构成，从上面可以看到6个正方形；……依次类推，第200个图形从上面可以看到正方体的个数是（    ） A．1000个 B．5000个 C．40000个 D．20100个 12．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）由相同的小正方体组合而成的几何体，从正面及左面看到的形状如图，则搭建该几何体最少用_____________个小正方体． 13．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）一个几何体由若干个相同的小立方体搭成，从正面和上面看到的图形分别如图所示，从上面看到的图形中，方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，求_____． 14．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其从三个不同方向观察到的形状如图所示，则这个几何体最多可由______个这样的正方体组成． 15．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图．它最多需要______个小立方块． 16．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从正面、左面看到的图形如图所示，则该几何体最多由__________个小立方块搭成． 17．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）从正面、左面和上面观察如图所示的几何体．分别画出你所看到的几何体的形状图． 18．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，画出几何体从正面、左面、上面看所得到的平面图形． 19．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的形状图，并用平行的斜线涂上阴影； (2)如果把这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 20．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是6个棱长为1的正方体组成的几何体． (1)该几何体的体积是________，表面积是________（包括底面）； (2)请你利用下边的三个网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看得到的平面图形． 21．（24-25七年级上·全国·期末）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 22．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）用12个大小相同棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)请分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视图； (2)求出该几何体的表面积（含底面）； (3)小明用若干个相同的小正方体搭成了另一个几何体，结果发现从正面看和从上面看的形状图与刚才的完全一致，则小明所用的小正方体最多有______块． 23．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，是6个棱长为的小立方块组成的几何体．请在上面方格纸中分别画出从左面、上面看到的这个几何体的形状图． 24．（22-23六年级上·山东威海·期中）如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形． (2)若小正方体的棱长为1，求搭建几何体的体积和表面积． 25．（26-27七年级上·广东揭阳·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图①：________，图③：________，图②：________． (2)用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (3)如果保持（2）中几何体从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加________个小立方块． 26．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体，请分别画出这个几何体的从左面看和从上面看的形状； 【考点3】正方体的展开图与相对面（第33-55题） · 熟记11种展开图归纳为四种类型 · 相对面判断：展开图中相隔一个面的两个面相对 · 折叠验证：选定底面沿折线折叠 27．（25-26七年级上·山西临汾·期末）下面图形中，可以作为正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（     ） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 29．（23-24六年级上·山东泰安·期末）如图是一个正方体的展开图，正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 30．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图是一个正方体展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值为（   ） A． B．4 C． D．16 31．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）某校开展以“传承红色基因、讲好遵义故事”为主题的革命基地研学，要求制作一个正方体物品，展开图如图所示，则还原后“传”字的相对面的字是（   ） A．红 B．色 C．基 D．因 32．（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）一个小正方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示，则C，A，E相对面的字母分别是（     ） A．D，F，B B．D，B，F C．B，F，D D．B，D，F 33．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图上阴影部分），但是不小心少画了一个，若在图上补涂一个小正方形，使阴影部分能折成一个正方体，则不同的涂法有（    ） A．1和 B．2种 C．3种 D．4种 34．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方体的展开图的六个面上分别写有“看、中、国、来、宝、鸡”六个汉字，将其围成一个正方体后，与“看”字相对的字是（    ） A．宝 B．来 C．中 D．国 35．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图是正方体的一种展开图，在原正方体中，与“丽”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．美 36．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 37．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有___________种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则___________． 38．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数字都是相反数，则________． 39．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是_____________． 40．（22-23七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 41．（23-24六年级下·全国·单元测试）把骰子看作是一个各面上标有1至6六个点数的正方体，已知互相平行的面的点数之和相等，那么与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是____________． 42．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与13重合的数字是_____． 43．（24-25七年级上·江西抚州·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为______． 44．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为______． 45．（24-25六年级上·山东烟台·期末）小明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)你认为共有多少种弥补方法？请你在图中画出一种成功的设计图； (2)在你帮忙设计成功的图中，请把这些代数式分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个代数式互为相反数．（直接在图中填上） 46．（第6章基础测试卷-【千里马�单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024））某综合实践小组开展废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则图①中的 （填“A”“B”“C”或“D”）图形经过折叠能围成无盖的正方体纸盒；    (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后，与“小”字所在面相对的面上的字是 ；    (3)如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．    ①请你在图③中画出示意图，剪切线用实线表示，折痕用虚线表示，剪去的部分用阴影表示； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖长方体纸盒的容积． 【考点4】展开图的应用（表面积、体积、折叠距离）（第56-62题） · 圆柱表面积=2个圆面积+侧面积（矩形） · 长方体体积=长×宽×高，正方体体积=a3 · 折叠距离：展开图中两点间最短路径为直线 47．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 48．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 49．（24-25七年级上·全国·期中）下面是一个长方体（单位：），我们能看到的三个面（如图）分别标有A、B、C，另三个面分别标有D、E、F． (1)D面与A面相对，E面与C面的面积相等，求E面的面积和这个长方体的体积． (2)下面关于这个长方体展开图各面字母标注正确的是　　． 【考点5】平面图形旋转后所得的立体图形（第63-68题） · 直角三角形绕直角边旋转得圆锥 · 矩形绕一边旋转得圆柱 · 半圆绕直径旋转得球 50．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为___________．（结果保留） 51．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知长方形长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．绕长所在直线旋转的圆柱侧面积记为，绕宽所在直线旋转的圆柱侧面积记为，则与的大小关系为_______（请用“”“”“”填写）． 52．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记棱柱的面、棱、顶点关系式并会应用 · 三视图问题借助实物模型或画草图分析 · 正方体展开图熟记四种类型，判断相对面用“隔面相对” · 表面积体积计算注意单位与公式选择 · 旋转体问题明确旋转轴与旋转半径 【作业1】．（24-25九年级下·新疆·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【作业2】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是由大小相同的小立方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26六年级上·山东威海·期中）有一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字1的面所对面上的数字记为，标有数字4的面所对的面上数字记为，那么的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【作业4】．（23-24七年级上·山东济南·阶段检测）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为______（结果保留）．    【作业5】．（2026·陕西渭南·二模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25六年级上·山东泰安·期中）给出四个几何体：①球；②圆锥；③圆柱；④正方体．其中能截出长方形的几何体共有______个． 【作业7】．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有______（填写序号即可） 【作业8】．（24-25六年级上·陕西咸阳·期末）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形至少需要( )个小立方体，最多需要( )个小立方体． 【作业9】．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是___________． 【作业10】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有________个，一面涂色的小正方体有________个． 【作业11】．（26-27七年级上·福建三明·阶段检测）一个直角三角形两条直角边长分别是和，以其中一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积为________． 【作业12】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）若用平面分别截下列几何体：①五棱柱；②圆锥；③球，得到的截面不可能是三角形的是_____．（填序号） 【作业13】．（19-20七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，正五棱柱的底面边长为，高为． (1)这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积． (2)这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ 【作业14】．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出这个几何体从三个方向看的形状图； (2)如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【作业15】．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【作业16】．（25-26七年级上·全国·期中）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【作业17】．（26-27七年级上·四川·期中）初2025级的同学们在学习“面动成体”的过程中，就不同图形的旋转方式做了研究，三个小组的研究情况如下图所示： (1)一、二小组就相邻两边分别为3和4的长方形做了旋转； ①第一小组沿边所在直线旋转一周，请帮助第一小组计算旋转后所得几何体的体积；（结果保留） ②第二小组延长到，使，延长到，使，然后将原长方形沿着直线旋转一周，请帮助第二小组计算旋转后所得几何体的表面积；（结果保留） (2)第三小组画了一个正方形，并且连接交于点，取的中点，连接，取的中点，连接．若 ，将正方形绕直线旋转一周，三角形和三角形旋转一周得到的几何体体积分别记为和．则的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【作业18】．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）问题情境：七年级某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 观察思考： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“保”字相对的字是_______． 规律探究：小华有一张边长为的正方形废弃宣传单，准备将其四角各剪去一个小正方形，设计图如图3所示，折成无盖长方体纸盒． （1）若小正方形的边长为，这个纸盒的容积为________． （2）若小正方形的边长为，则无盖长方体纸盒的容积为_______． （3）多试几组数据，当小正方形边长逐渐变大时，这个无盖长方体形盒子的容积是如何变化的？ 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $