期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共79题）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版·七年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共79题）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册 北师大版（2024年版）七年级数学上册　期中复习　第一章 丰富的图形世界　第二章 有理数及其运算　第三章 整式及其加减 含 12 个考点例题　/　共 79 题（易错 7 · 作业 24）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．第一章：会数棱柱的顶点、棱和面，能用“点动成线、线动成面、面动成体”解释旋转体；会判断正方体展开图并找出相对的面，知道截面的形状与几何体的关系；会由几何体画出从正面、左面、上面看到的形状图。 2．第二章：会给有理数分类并在数轴上表示，理解相反数、绝对值的意义；掌握有理数加、减、乘、除、乘方的法则与混合运算顺序，会用科学记数法表示大数，能用有理数运算解决实际问题。 3．第三章：会列代数式并求值，能说出单项式的系数、次数与多项式的项、次数；会合并同类项与去括号完成整式加减；会用含字母的式子表示数与图形中的规律。 学习重难点 重点：正方体展开图与形状图；有理数的混合运算；整式加减的去括号与合并同类项；规律的表达。 难点：展开图中相对面的判断与小正方体组合体的形状图；由绝对值倒推时的多解与检验；去括号时的符号与漏乘；用含n的式子表达图形规律。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　几何体的分类与棱柱的构成 2 知识点 02　点、线、面、体 3 知识点 03　展开与折叠、截一个几何体 3 知识点 04　从三个方向看物体的形状 4 知识点 05　有理数与数轴 4 知识点 06　相反数与绝对值 4 知识点 07　有理数的加、减、乘、除 5 知识点 08　乘方、科学记数法与混合运算 5 知识点 09　代数式与代数式的值 5 知识点 10　整式：单项式与多项式 6 知识点 11　整式的加减与探索规律 6 易错专练 19 课后作业（一）基础巩固 20 课后作业（二）能力进阶 20 课后作业（三）拓展延伸 21 参考答案与解析 2 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　几何体的分类与棱柱的构成 从笔筒、铅笔盒、篮球这些物体中可以抽象出圆柱、长方体、球等几何体。常见几何体按形状分成三类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥等）和球。在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱，棱与棱的交点是顶点；上下两个面叫作底面，其余各面叫作侧面，棱柱的所有侧棱长都相等，上、下底面的形状相同。底面是几边形就叫几棱柱，例如七棱柱有7个侧面、2个底面，共9个面，21条棱，14个顶点。 n棱柱：顶点2n个，棱3n条（侧棱n条），面(n＋2)个（侧面n个、底面2个） 柱体：圆柱、棱柱；锥体：圆锥等；球 小提示：数棱时先数一个底面上的n条，再乘2，最后加上n条侧棱，不要把看不见的棱漏掉。 知识点　02　点、线、面、体 几何体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。面有平的，也有曲的，如圆柱的侧面是曲面、底面是平面。从运动的观点看，点动成线，线动成面，面动成体：汽车的雨刷扫过挡风玻璃形成一个扇面，一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周形成圆柱，一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周形成球。例：把一个直角边长分别为2和5的直角三角形绕长为5的直角边所在直线旋转一周，得到一个圆锥。 点动成线，线动成面，面动成体 长方形绕一边旋转一周→圆柱；直角三角形绕一条直角边旋转一周→圆锥；半圆绕直径旋转一周→球 小提示：旋转体的底面半径是离开旋转轴的那条边的长，高是贴着旋转轴的那条边的长，两条边不要看反。 知识点　03　展开与折叠、截一个几何体 把正方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形；反过来，一个平面图形经过折叠也可能围成正方体。能围成正方体的展开图共有11种，其中不能出现“田”字形，一行（或一列）中相连的正方形不超过4个。在展开图中，同一行（或同一列）里隔着一个正方形的两个面是相对的面，折好后不相邻。用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。截正方体得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；截圆柱可能得到圆、长方形等。例：图中展开图折成正方体后，①与③相对，②与④相对，⑤与⑥相对。 相对面：同一行（列）中间隔一个正方形 正方体截面的边数：3～6条；截面的每一条边都在几何体的某一个面上 小提示：判断能否围成正方体，先排除“田”字形和一行五个的情况，再动手想象折叠，看有没有两个面重合。 知识点　04　从三个方向看物体的形状 从不同的方向观察同一个物体，看到的形状可能不同。从正面、左面、上面三个方向看一个几何体，可以分别得到三个平面图形，叫作这个几何体从这三个方向看到的形状图。由小正方体搭成的几何体，常用“从上面看到的形状图＋每一格里的小正方体个数”来表示：从正面看时，每一列取这一列中最大的数作为高度；从左面看时，每一行取这一行中最大的数作为高度。例：图中从上面看的形状图有三格，数字表示该位置小正方体的个数，一共用了6个小正方体，从正面看左列高3、右列高1。 从正面看：列数＝从上面看的列数，每列高＝该列最大数 从左面看：列数＝从上面看的行数，每列高＝该行最大数 小提示：“从左面看”时，从上面看的形状图中下面一排（前排）在左面看的图中位于右边，画图前先转好方向。 知识点　05　有理数与数轴 正数和负数可以表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数。整数和分数统称为有理数；按符号也可以分成正数、0、负数三类。规定了原点、正方向和单位长度的直线称为数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。例：在数轴上，表示−1.5的点在原点左侧1.5个单位长度处。 有理数：整数（正整数、0、负整数）与分数（正分数、负分数） 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上右边的数大于左边的数 小提示：0是整数也是有理数，但不是正数也不是负数；分类时“正数”“负数”都不含0。 知识点　06　相反数与绝对值 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；在数轴上，互为相反数的两个数对应的点位于原点两侧，并且与原点的距离相等。在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫作这个数的绝对值。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所以任何数的绝对值都不小于0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例：|−0.7|＝0.7，−0.7的相反数是0.7；因为|−4|＞|−2.5|，所以−4＜−2.5。 a的相反数是−a；|a|≥0 a＞0时|a|＝a；a＝0时|a|＝0；a＜0时|a|＝−a 小提示：由|x|＝m（m＞0）倒推x时有两个值±m，不要漏掉负的一个。 知识点　07　有理数的加、减、乘、除 有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加仍得这个数。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a−b＝a＋(−b)。乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。乘积为1的两个有理数互为倒数；除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。例：(−1.2)＋0.5＝−0.7，(−3)×(−0.4)＝1.2，(−2)÷＝−8。 a−b＝a＋(−b)；a÷b＝a×（b≠0） 几个不为0的数相乘，负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正 小提示：加减混合运算先统一成加法，再用交换律、结合律把同号的数或能凑整的数放在一起。 知识点　08　乘方、科学记数法与混合运算 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数，记作。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。一个大于10的数可以表示成a×的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右进行；有括号先算括号里面的。例：＝−0.125，而＝−4；704 000＝7.04×。 ：n为偶数时等于，n为奇数时等于；表示的相反数 科学记数法：a×，1≤a＜10，n比原数的整数位数少1 小提示：与不同：前者底数是3，结果是−9；后者底数是−3，结果是9。 知识点　09　代数式与代数式的值 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。书写代数式时，数与字母、字母与字母相乘，乘号可以省略或写成“·”，数字写在字母前面；带分数与字母相乘要化成假分数；除法常写成分数的形式。用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算计算出的结果，叫作代数式的值。例：当n＝4时，代数式3n−5的值是7。 代入负数或分数时要添括号 已知某个式子的值时，可以把这个式子整体代入 小提示：同一个代数式，字母取不同的值，代数式的值一般也不同；求值前先看能否化简或整体代入。 知识点　10　整式：单项式与多项式 数与字母的乘积这样的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，所有字母的指数和叫作这个单项式的次数。几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项；一个多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。单项式和多项式统称为整式。例：的系数是，次数是3；多项式−2x+6是三次三项式。 单项式的次数＝所有字母的指数和（π是数，不是字母） 多项式的次数：各项次数中最大的那个数 小提示：单项式的系数包括前面的符号；单独一个字母的系数是1、次数是1。 知识点　11　整式的加减与探索规律 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项，几个常数项也是同类项。把同类项合并成一项叫作合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。去括号时，括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变符号。整式加减的一般步骤是先去括号，再合并同类项。探索规律时，先观察几个具体的式子或图形，找出不变的部分与变化的部分，再用含字母的式子表示，最后代入验证。例：4ab−7ab＝−3ab；−(x−2y)＝−x＋2y。 a＋(b−c)＝a＋b−c；a−(b−c)＝a−b＋c 规律题：写出前几项→找变化量→用含n的式子表示→代入n＝1,2验证 小提示：括号前有数字因数时，要用这个数乘括号里的每一项，不能只乘第一项。 【考点1】生活中的立体图形：棱柱的构成与点、线、面、体 认识几何体抓两件事：一是棱柱的“面—棱—顶点”怎么数，二是平面图形怎么运动成立体图形。数的时候按底面、侧面分开，旋转的时候看清哪条边贴着旋转轴。 例1　如图是一个五棱柱。(1)数出它的顶点、棱和面各有多少个；(2)照这样数下去，用含n的式子分别表示n棱柱的顶点数、棱数和面数，并求n＝11时“顶点数＋面数−棱数”的值。 【分析】五棱柱的两个底面都是五边形，每个底面有5个顶点、5条棱，两个底面之间还有5条侧棱；侧面个数等于底面的边数。把5换成n，就得到一般的n棱柱。 【解答】(1)顶点：上、下底面各5个，共5×2＝10(个)；棱：两个底面各5条，侧棱5条，共5×3＝15(条)；面：5个侧面加2个底面，共5＋2＝7(个)。 (2)同理，n棱柱有2n个顶点、3n条棱、(n＋2)个面。 当n＝11时，顶点数为22，面数为13，棱数为33，所以顶点数＋面数−棱数＝22＋13−33＝2。 【方法小结】数棱柱的构成要素，按“底面—侧面”分开数；用含n的式子表示后代入检验，n取3，4，5时“顶点数＋面数−棱数”都等于2。 考点1　变式：由棱数定棱柱、组合图形旋转、六棱柱棱长和 三道变式：由棱数倒推是几棱柱、组合图形旋转后的体积、以及用含字母的式子表示六棱柱的棱长和。 变式1　一个棱柱共有24条棱，它是（　　）。 A．八棱柱 B．十二棱柱 C．六棱柱 D．二十二棱柱 变式2　如图，一个平面图形由一个长为5 cm、宽为3 cm的长方形和一个两条直角边分别为3 cm、4 cm的直角三角形拼成，把它绕直线l旋转一周，得到的几何体上部是________，整个几何体的体积是________c m³（结果保留π）。 变式3　如图，一个六棱柱的两个底面均为正六边形，边长都是a cm，每条侧棱长都是h cm。(1)该六棱柱所有棱长之和可用a，h怎样表达？(2)如果a＝2.5，h＝6，那么这个六棱柱所有棱长的和是多少？ 【考点2】从立体图形到平面图形：展开与折叠、截面 展开图抓“相对面”，截面抓“截面的边落在几何体的面上”。折叠类问题先排除“田”字形与一行五个，再想象折起来的样子；截面边数不会超过几何体的面数。 例1　如图是一个正方体的展开图，六个面上分别写着−2.5，a，b，，c，−|−4|。把它折成正方体后，每组相对两个面上的数互为相反数。(1)求a，b，c的值；(2)求a−b＋c的值。 【分析】先找相对的面：展开图中间一行的四个面，隔一个的两个面相对；上、下两个单独的面相对。再用“互为相反数”求字母的值。 【解答】(1)中间一行依次是−2.5，a，b，，所以−2.5与b相对，a与相对；上面的c与下面的−|−4|相对。 因为相对两面上的数互为相反数，所以b＝2.5，a＝；又−|−4|＝−4，所以c＝4。 (2)a−b＋c＝−2.5＋4＝−3.25＋4＝。 【方法小结】正方体展开图找相对面：同一行（列）隔一个面相对，“1－4－1”型的两个单独面相对；先化简带绝对值、多重符号的数，再求相反数。 考点2　变式：判断展开图、五棱柱与圆柱的截面、收纳盒容积 三道变式：判断哪个图形能折成正方体、五棱柱与圆柱的截面、以及教材综合实践中收纳盒的容积。 变式1　四个图形各由六个全等的正方形拼成，把其中一个沿虚线折起后恰好能围成一个正方体，这个图形是（　　）。 A．① B．② C．③ D．④ 变式2　用一个平面去截一个五棱柱，截面最多是________边形；用一个平面去截一个圆柱，截面不可能是________（填“长方形”“圆”或“三角形”）。 变式3　综合实践课上，小明用一张边长为20 cm的正方形硬纸片制作无盖长方体收纳盒：先在四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形（如图），再折起四边。(1)盒子的底面边长和容积各是多少？用含x的式子表示；(2)分别求x＝3与x＝4时盒子的容积，并指出哪一个更大。 【考点3】从三个方向看物体的形状 看形状图要分清三个方向各反映长方体（或组合体）的哪两个尺寸：从正面看反映长和高，从左面看反映宽和高，从上面看反映长和宽。小正方体组合体按列、按行取最大个数。 例1　如图，6个棱长为1 cm的小正方体紧贴着排成一个“台阶”形几何体：最下层3个，中间层2个，最上层1个，且都靠左对齐。(1)分别画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的平面图形；(2)若把小正方体换成棱长为a cm的，用含a的式子表示这个几何体的表面积（包括底面）。 【分析】这个几何体只有一排，前后只有一层。从正面看是三列，高度依次为3，2，1；从左面看只有一列，高3；从上面看是一行3个正方形。 【解答】(1)从正面看：三列正方形，从左到右依次有3个、2个、1个；从左面看：一列3个正方形；从上面看：一行3个正方形（如解析图）。 (2)表面积可以从六个方向数正方形的个数：前面与后面各6个，左面与右面各3个，上面与下面各3个，共6×2＋3×2＋3×2＝24个。 每个小正方形的面积是 cm²，所以表面积为 cm²。 【方法小结】求小正方体组合体的表面积，按“前后、左右、上下”六个方向数露在外面的正方形，每一对方向个数相同，最后乘每个小正方形的面积。 考点3　变式：认几何体、形状图配算式、由形状图求表面积 三道变式：由三个方向的形状图认几何体、从上面看的形状图配有理数算式、以及由两个形状图求长方体的表面积。 变式1　一个几何体从正面看和从左面看得到的形状图都是长方形，从上面看得到的形状图是圆，这个几何体是（　　）。 A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体 变式2　如图，从上面看一个小正方体组合体，得到的形状图由4个小正方形组成（下面一排是前排），每格中式子的值是该位置叠放的小正方体个数。组成这个组合体的小正方体共________个；从正面看它，形状图中共有________个小正方形。 变式3　一个长方体从正面看到的形状图是长4 cm、宽3 cm的长方形（长是水平方向），从左面看到的形状图是长2 cm、宽3 cm的长方形（如图）。(1)写出这个长方体的长、宽、高；(2)求从上面看到的形状图的面积以及这个长方体的表面积。 【考点4】认识有理数：分类与数轴 有理数分类先化简再归类，0的位置要单独想清楚；数轴上的问题都转化为“两点间的距离＝右边的数减左边的数”。 例1　如图，一个正方体纸盒的展开图的六个面上分别写着−3，2.5，0，，4，−(−1)。(1)把这六个数分别填入正数集合、负数集合、整数集合中；(2)把纸盒折好后，分别求三组相对面上两个数的和，并在数轴上表示这三个和。 【分析】先把−(−1)化简为1再分类；0是整数，但既不是正数也不是负数。这是“3－3”型展开图：每一行三个面中首尾两个面相对，两行中间剩下的两个面相对。 【解答】(1)−(−1)＝1。正数集合：｛2.5，4，−(−1)，…｝；负数集合：｛−3，，…｝；整数集合：｛−3，0，4，−(−1)，…｝。 (2)−3与0相对，和为−3＋0＝−3；2.5与相对，和为2.5＋＝2；4与−(−1)相对，和为4＋1＝5。 在数轴上，表示−3的点在原点左侧3个单位长度处，表示2和5的点分别在原点右侧2个和5个单位长度处。 【方法小结】分类前先化简带多重符号的数；集合里的数写原来的形式或化简后的形式都可以，但要写全、不重不漏。 考点4　变式：化简后数负数、棱在数轴上、滑道上的点 三道变式：化简后数负数的个数、长方体的棱在数轴上的位置、以及滑道上的中点与定距离的点。 变式1　把−(−1.5)，−|−7|，，，0这五个数表示在数轴上，位于原点左侧的点有（　　）。 A．1个 B．3个 C．4个 D．2个 变式2　把一个长方体木块的一条长为4.5的棱平放在数轴上，棱的左端点对准表示−1.25的点，那么棱的右端点对准的点表示的数是________；这两个端点表示的数的和是________。 变式3　一条笔直的滑道可以看成一条数轴，滑道上的标志点A，B表示的数分别是−3.5和2。(1)求A，B两点之间的距离，以及与A，B两点距离相等的点表示的数；(2)点C在点A的左侧，且点C到点B的距离是8，求点C表示的数。 【考点5】相反数与绝对值 相反数管“符号”，绝对值管“距离”。由绝对值倒推原数有两个值，要用题中给出的大小关系或符号条件筛选；几个非负数的和为0，每个数都为0。 例1　如图，一种圆柱形零件的直径标准是20 mm，质检员把5个零件的实际直径与标准的差记录下来（超出标准记为正，单位：mm）：+0.12，−0.08，−0.15，+0.05，0。(1)分别写出这五个记录的绝对值，并指出哪个零件最接近标准；(2)规定记录的绝对值不超过0.1的零件为合格品，这5个零件中合格品有几个？直径最大与最小的两个零件相差多少毫米？ 【分析】“离标准有多远”看的是记录的绝对值；“直径大小”看的是记录本身的大小。 【解答】(1)五个记录的绝对值依次是0.12，0.08，0.15，0.05，0，其中0最小，所以记录为0的零件最接近标准。 (2)绝对值不超过0.1的是0.08，0.05，0，合格品有3个。 直径最大的零件记录是+0.12，最小的记录是−0.15，相差0.12−(−0.15)＝0.27(mm)。 【方法小结】同一组正负记录，比“接近程度”用绝对值，比“大小”用原数；两种比较不能混用。 考点5　变式：带绝对值的相反数、非负数的和为0、符号条件筛选 三道变式：带绝对值的相反数、两个绝对值的和为0、以及用|m|＝−m这一条件筛选取值。 变式1　−|−的相反数是（　　）。 A． B． C．3 D．−3 变式2　若|x−2.5|＋|y＋4|＝0，则x＋y＝________，x·y＝________。 变式3　已知|a|＝7，|b|＝1.5，且|a−b|＝b−a。求a＋b的值。 【考点6】有理数的加减运算与乘除运算 四种运算都遵循“先定符号，再算绝对值”。减法化加法、除法化乘法之后，交换律、结合律才能放心使用。 例1　计算：(1)(−2.8)＋5.6−(−3.8)＋(−1.6)；(2)÷×(−0.8)。 【分析】(1)先把减法统一成加法，再把能凑整的数结合；(2)先把除法变成乘倒数，确定积的符号后再算绝对值。 【解答】(1)原式＝(−2.8)＋5.6＋3.8＋(−1.6)＝[(−2.8)＋3.8]＋[5.6＋(−1.6)]＝1＋4＝5。 (2)原式＝××(−0.8)。三个因数中有三个负数，积为负，所以原式＝××＝＝−0.6。 【方法小结】加减混合先“统一成加法”，乘除混合先“统一成乘法”；乘法中先数负因数的个数定符号，再算绝对值。 考点6　变式：倒数与相反数、正方体三面上的数、登山记录 三道变式：倒数与相反数的积、正方体三个面上的数、以及登山记录的累加与绝对值之和。 变式1　−1.25的倒数与它的相反数的积是（　　）。 A．1 B．−1 C．−1.5625 D．1.5625 变式2　如图，正方体的正面、上面、右面分别写着−4，2.5，−0.8，这三个面上的数的积是________，和是________。 变式3　一支登山小组以营地为基准，上升记为正，下降记为负，五段行程的高度变化依次是（单位：m）：+320，+140，−95，−60，+45。营地海拔是1560 m。(1)小组到达的最高处海拔是多少米？(2)小组最后所在位置的海拔是多少米？五段行程上升与下降的高度一共是多少米？ 【考点7】有理数的乘方与科学记数法 乘方先认底数：括号里的整体才是底数；负数的奇次幂为负、偶次幂为正。科学记数法的a在1与10之间，指数由整数位数决定。 例1　如图，把一个棱长为10 cm的正方体木块全部切成棱长为1 mm的小正方体。(1)一共能切出多少个小正方体？用乘方表示，再用科学记数法表示；(2)把这些小正方体一个挨一个地排成一行，这一行长多少米？用科学记数法表示。 【分析】先统一单位：10 cm＝100 mm，所以大正方体每条棱上能切出100个小正方体。 【解答】(1)长、宽、高方向各有100个，一共有100×100×100＝＝1000000＝1×(个)。 (2)排成一行的长度是1× mm，1 m＝1000 mm，所以长度为1000000÷1000＝1000(m)＝1× m。 【方法小结】用科学记数法表示时，a必须满足1≤a＜10；10的指数等于原数的整数位数减1。 考点7　变式：负数的幂相乘、空间站高度、光的传播 三道变式：负分数的幂与负整数的幂相乘、空间站轨道高度的记法与还原、以及对折纸张中的乘方规律。 变式1　计算×的结果是（　　）。 A．2 B．−24 C．−2 D． 变式2　中国空间站运行的轨道高度约为389 000 m，用科学记数法表示为________m；科学记数法记出的数7.06×，写成原数是________。 变式3　光在真空中每秒约传播3× km。(1)光在真空中传播1 min，走过的路程约是多少千米？结果用科学记数法表示；(2)月球与地球之间的平均距离约为3.84× km，光从月球传到地球大约需要多少秒？ 【考点8】有理数的混合运算与应用 混合运算按“乘方→乘除→加减、括号优先”的顺序逐步写；实际问题先把文字翻译成算式，负数参与运算时整体加括号。 例1　计算：(1)−×+÷；(2)−−18]÷(−0.5)。 【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；有中括号先算中括号里面的。 【解答】(1)原式＝−9×＋(−1)÷＝−4＋4＝0。 (2)原式＝−8−(16−18)÷(−0.5)＝−8−(−2)÷(−0.5)＝−8−4＝−12。 【方法小结】的底数是3，结果为−9；(−1)的奇次幂是−1。混合运算中“减去一个商”时，先把商算出来再减，符号最容易出错。 考点8　变式：代入负数求值、规定运算、水库放水 三道变式：代入负数后的混合运算、规定运算的套用、以及随高度变化的气温。 变式1　当a＝−2时，代数式+÷4的值是（　　）。 A．2 B．−5.5 C．6 D．−6 变式2　定义新运算：a◎b＝2a−（a，b为有理数）。那么2◎(−1)＝________，(−5)◎[2◎(−1)]＝________。 变式3　某水库开闸放水前，水位比警戒水位高2 m（记为＋2 m），开闸后水位每小时下降0.5 m。(1)开闸t h后，水位记为多少米？写成含t的式子；当t＝6时，水位记为多少米？(2)水位降到警戒水位以下3.5 m（记为−3.5 m）时，已经放水多少小时？ 【考点9】代数式与代数式的值 列代数式按“关键词→运算→式子”的顺序翻译，求值时负数、分数代入要加括号；已知某个式子的值时考虑整体代入。 例1　如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，底面长a dm、宽b dm，高c dm。(1)制作这个鱼缸需要多少平方分米的玻璃（接缝不计）？它的容积是多少立方分米？都用含a，b，c的代数式表示；(2)当a＝12，b＝8，c＝5.5时，分别求出这两个量。 【分析】无盖鱼缸只有一个底面，另外有前后、左右四个侧面；容积＝底面积×高。 【解答】(1)底面积ab dm²，前后两个面共2ac dm²，左右两个面共2bc dm²，所以需要玻璃(ab＋2bc＋2ac)dm²；容积为abc d m³。 (2)当a＝12，b＝8，c＝5.5时，ab＋2bc＋2ac＝96＋88＋132＝316(dm²)；abc＝12×8×5.5＝528(d m³)。 【方法小结】先按几何体的结构写代数式，注意“有盖”“无盖”的差别；代入时一个字母对应一个数，逐项计算。 考点9　变式：代入求值、整体代入、电动汽车耗电 三道变式：代入负数与分数求值、整体代入、以及出租车分段计费。 变式1　当x＝−3，y＝时，代数式−6xy的值是（　　）。 A．15 B．3 C．−3 D．−15 变式2　若＋3m＝2，则代数式＋6m−7的值是________。 变式3　一辆电动汽车充满电后电池电量为60千瓦时，行驶时平均每千米耗电0.15千瓦时。(1)充满电后行驶s km，电池还剩多少千瓦时的电量？用含s的代数式表示；(2)当s＝280时，电池还剩多少千瓦时的电量？ 【考点10】整式：单项式与多项式 单项式看“系数、次数”，多项式看“项、次数、常数项”。π是数不是字母；多项式的次数是次数最高的项的次数，不是各项次数之和。 例1　如图，一个长方体的长是2a，宽是b，高是a。(1)写出它的体积V，并说出V是几次单项式、系数是多少；(2)写出它的表面积S（结果化简），并说出S是几次几项式。 【分析】体积＝长×宽×高；表面积＝2×(长×宽＋宽×高＋长×高)，算完要把同类项合并。 【解答】(1)V＝2a·b·a＝，字母a的指数是2，b的指数是1，所以它是三次单项式，系数是2。 (2)S＝2(2a·b＋b·a＋2a·a)＝2(2ab＋ab＋＝2(3ab＋＝＋6ab。 S有与6ab两项，每项的次数都是2，所以S是二次二项式。 【方法小结】单项式的次数看所有字母指数的和；多项式的次数看次数最高的项，项数看化简后有几个单项式。 考点10　变式：含π的单项式、多项式的次数、由非负数定指数 三道变式：含π的单项式、多项式各项的次数、以及由非负数的和为0确定单项式的指数。 变式1　下面对单项式−(5π/8)的描述中，系数与次数都写对的是（　　）。 A．系数，次数6 B．系数−5π/8，次数5 C．系数−5π/8，次数6 D．系数5π/8，次数5 变式2　多项式＋−y＋5的次数是________，它是________项式。 变式3　已知有理数m，n满足|m−4|＋＝0。(1)求m，n的值；(2)写出单项式的系数与次数，并求当x＝1，y＝−2时这个单项式的值。 【考点11】整式的加减：合并同类项与去括号 先去括号，再合并同类项。去括号时括号前的数要乘遍括号里每一项，括号前是负号时每一项都变号；合并时只把系数相加，字母和指数不变。 例1　化简：(1)−＋2−＋−7；(2)−xy)−−3xy＋1)，并求当x＝−1，y＝2时(2)的值。 【分析】(1)先找同类项：与，与，2与−7。(2)先用分配律去括号，括号前是负数时括号里每一项都变号。 【解答】(1)原式＝(5−4)＋(−3＋1)＋(2−7)＝−−5。 (2)原式＝−3xy−＋6xy−2＝＋3xy−2。 当x＝−1，y＝2时，＋3xy−2＝4×1＋3×(−1)×2−2＝4−6−2＝−4。 【方法小结】整式加减＝去括号＋合并同类项；化简后再代入求值，计算量最小。 考点11　变式：同类项求指数、棱长和、两个多项式的组合 三道变式：由同类项求指数、长方体棱长和的整式表示、以及两个多项式的线性组合与求值。 变式1　已知两个单项式与所含字母及其指数分别相同，那么m−n的值是（　　）。 A．4 B．−2 C．2 D．8 变式2　一个长方体的长为(2m＋5)cm，宽为(m−1)cm，高比宽多3 cm，它的所有棱长的和是________cm。 变式3　已知A＝−5xy＋，B＝−2xy−。(1)求2A−3B；(2)当x＝3，y＝−1时，求2A−3B的值。 【考点12】探索与表达规律 规律题的三步：列出前几项→找出变化的量→用含n的式子表示并代入验证。数的规律看符号、分子、分母各自怎样变；图形的规律看每一步增加多少。 例1　如图，用小木棒搭正方体框架并排成一行：搭1个正方体要12根木棒，搭2个连在一起的正方体要20根，搭3个要28根……(1)搭n个这样连在一起的正方体需要多少根木棒？用含n的式子表示；(2)搭25个需要多少根木棒？ 【分析】第1个正方体用12根，以后每多搭一个正方体，与前一个共用一个面上的4根，只需再添12−4＝8根。 【解答】(1)搭n个需要12＋8(n−1)＝(8n＋4)根。验证：n＝2时8×2＋4＝20，n＝3时8×3＋4＝28，都符合。 (2)当n＝25时，8×25＋4＝204(根)。 【方法小结】探索规律先找“不变的起点”和“每次增加的量”，写成“起点＋增量×(n−1)”，化简后再用前几项验证。 考点12　变式：带符号的分数列、个位数字循环、日历X形框 三道变式：带符号的分数列、乘方个位数字的循环、以及月历中十字框的数。 变式1　按，，，，…的规律继续写下去，用含n的式子表示其中的第n个数，正确的是（　　）。 A．· B．· C．· D．· 变式2　观察：＝8，＝64，＝512，＝4096，＝32768，…，的个位数字是________。 变式3　如图是某月的日历。用一个“X”形框框住5个数（中间一个，以及它左上、右上、左下、右下各一个）。(1)设中间的数为a，用含a的式子表示这5个数的和；(2)若框住的5个数的和是100，求这5个数。 　易错专练 期中三章的失分集中在七处：与混淆、把分配律用到除法上、去括号漏乘漏变号、把不是同类项的项合并、由绝对值倒推时漏解、把展开图中相邻的面当成相对的面、科学记数法中a的范围与指数。先独立做，再对照解析中的错解示例与错因。 易错1　计算：÷(−4)×。 易错2　计算：−8÷×。 易错3　化简：6m−3(m−2n＋5)。 易错4　合并同类项：＋−。 易错5　已知|x|＝0.5，|y|＝3，且x＞y，求x−y的值。 易错6　如图，在一个正方体展开图的六个正方形里写上“丰”“富”“图”“形”“世”“界”，再折成正方体。“图”字所在面的对面是________，“丰”字所在面的对面是________。 易错7　用科学记数法表示5 080 000，结果是________。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题每题只有一个选项符合题意。依次考查：几何体的面、截面、相反数、数轴、乘除混合运算、乘方比大小、科学记数法与同类项。 1．下列几何体中，恰好由三个面围成的是（　　）。 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 2．用一个平面去截下列几何体，截面不可能是圆的是（　　）。 A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球 3．绝对值等于的数是（　　）。 A． B． C．或 D．或 4．数轴上，下列哪一对相邻整数之间夹着表示−3.5的点（　　）。 A．−3与−2 B．3与4 C．−5与−4 D．−4与−3 5．计算(−3.6)÷(−0.9)×(−2)的结果是（　　）。 A．−8 B．−2 C．8 D．2 6．在，，−|−7|，这四个数中，最小的是（　　）。 A． B． C．−|−7| D． 7．把13 800 000写成a×（1≤a＜10，n为正整数）的形式，正确的是（　　）。 A．13.8× B．1.38× C．1.38× D．0.138× 8．下列单项式中，与是同类项的是（　　）。 A． B． C． D． 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只写结果。覆盖棱柱的构成、绝对值与整数、分配律、乘方运算、科学记数法、代数式求值、整式加减与单项式规律。 9．顶点数为18的棱柱是________棱柱，它的棱一共有________条。 10．大于−2.6且小于3.4的整数共有________个，它们的和是________。 11．计算：+−×48＝________。 12．计算：−÷(−4)＝________。 13．把一个长4 cm、宽3 cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积最大是________c m³（结果保留π）。 14．当a＝，b＝3时，代数式−ab的值是________。 15．化简：2(a−b)−(3a＋b)＝________。 16．按规律排列的一组单项式：2a，，，，…，其中第8个单项式是________。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～24题写出完整过程。其中第19、21、24题把几何体与有理数、整式放在一起综合运用。 17．计算：(1)−+×−|−5|；(2)−−×＋6)。 18．先化简，再求值：−−−−4)，其中m＝−2，n＝。 19．如图，一个长8 cm、宽6 cm、高5 cm的长方体木块，沿平行于上下底面的方向切开。(1)切一刀得到两个小长方体，表面积之和比原来增加多少平方厘米？(2)沿同一方向切n刀，表面积之和比原来增加多少平方厘米？用含n的式子表示，并求n＝4时增加的面积。 20．六个小组回收废旧电池，以每组40节为标准，多于标准记为正，少于标准记为负，记录为：+12，−5，0，+23，−18，+6。(1)回收最多的小组比最少的小组多回收多少节？(2)六个小组一共回收多少节电池？ 21．用打包带把一个长为a cm、宽为b cm、高为c cm的长方体纸箱十字形捆扎：一道打包带沿长和高绕纸箱一周，另一道沿宽和高绕纸箱一周，两道打包带的接头一共用去15 cm。(1)打包带一共需要多长？写成含a，b，c的式子；(2)当a＝50，b＝40，c＝30时，求打包带的长度。 22．观察下列等式：2＝−2，2＋＝−2，2＋+＝−2，…(1)按规律写出第n个等式；(2)利用这个规律计算+＋…＋（结果用幂的形式表示）。 23．如图，数轴上表示有理数a，b，c的点从左到右排列。把式子|a−b|＋|b＋c|−|c−a|化简。 24．如图所示的形状图，是从上面看一个由棱长为2 cm的小正方体叠成的组合体得到的（下面一排是前排），格中的式子给出这一位置叠放的小正方体个数（a为正整数）。(1)小正方体一共有多少个？用含a的式子表示；(2)取a＝3，算出这个组合体的体积（单位：c m³）。 　参考答案与解析 　考点1　变式：由棱数定棱柱、组合图形旋转、六棱柱棱长和 变式1　【答案】A 【解析】n棱柱有3n条棱，由3n＝24可知n＝24÷3＝8，这是八棱柱。 按2n、4n或n＋2去算棱数，分别会得到十二棱柱、六棱柱、二十二棱柱，都是记错了棱数的计算方法。 故选A。 变式2　【答案】圆锥；57π 【解析】长方形绕贴着直线l的一边旋转一周得到圆柱，底面半径3 cm、高5 cm，体积π××5＝45π(c m³)。 直角三角形绕长4 cm的直角边旋转一周得到圆锥，底面半径3 cm、高4 cm，体积×π××4＝12π(c m³)。 所以上部是圆锥，整个几何体的体积是45π＋12π＝57π(c m³)。 变式3　【答案】(1)(12a＋6h)cm；(2)66 cm 【解析】(1)两个底面共有12条棱，每条长a cm；侧棱有6条，每条长h cm，所以所有棱长的和为(12a＋6h)cm。 (2)当a＝2.5，h＝6时，12a＋6h＝12×2.5＋6×6＝30＋36＝66(cm)。 　考点2　变式：判断展开图、五棱柱与圆柱的截面、收纳盒容积 变式1　【答案】B 【解析】图②是上下两行各三个正方形、错开两格相连的“3－3”型，能围成正方体。 图①含“田”字形，图③的两个单独的面在同一侧，图④一行有5个正方形，折叠后都会有面重合，不能围成正方体。 故选B。 变式2　【答案】七；三角形 【解析】五棱柱共有7个面，截面的每一条边都落在几何体的一个面上，所以截面最多有7条边，是七边形。 截圆柱：平行于底面截得圆，用垂直于底面且经过上、下底面的平面截得长方形，截面不可能是三角形。 变式3　【答案】(1)底面边长(20−2x)cm，容积 c m³；(2)x＝3时588 c m³，x＝4时576 c m³，x＝3时容积更大 【解析】(1)每条边两端各剪去x cm，底面是边长为(20−2x)cm的正方形，盒子的高是x cm，所以容积为 c m³。 (2)x＝3时，×3＝×3＝196×3＝588(c m³)；x＝4时，×4＝×4＝144×4＝576(c m³)。 因为588＞576，所以剪去边长3 cm的小正方形时容积更大。 　考点3　变式：认几何体、形状图配算式、由形状图求表面积 变式1　【答案】C 【解析】圆柱竖放时，从正面、左面看都是长方形，从上面看是圆，符合要求。 圆锥从正面看是三角形，球从各个方向看都是圆，长方体从上面看是长方形，都不符合。 故选C。 变式2　【答案】7；4 【解析】四个位置上的个数：|−3|＝3，＝1，−(−2)＝2，÷4＝1，共3＋1＋2＋1＝7(个)。 从正面看有两列：左列取3与2中较大的3，右列取1与1中较大的1，所以由3＋1＝4(个)小正方形组成。 变式3　【答案】(1)长4 cm，宽2 cm，高3 cm；(2)8 cm²，52 cm² 【解析】(1)从正面看得到长和高：长4 cm，高3 cm；从左面看得到宽和高：宽2 cm，高3 cm。 (2)从上面看是长4 cm、宽2 cm的长方形，面积为4×2＝8(cm²)。 表面积为2×(4×3＋2×3＋4×2)＝2×26＝52(cm²)。 　考点4　变式：化简后数负数、棱在数轴上、滑道上的点 变式1　【答案】D 【解析】−(−1.5)＝1.5，−|−7|＝−7，＝4，＝−9，0。位于原点左侧的是负数−7和−9，共2个。 0对应的点就是原点，不在原点左侧；−(−1.5)化简后是正数。 故选D。 变式2　【答案】3.25；2 【解析】右端点在左端点右侧4.5个单位长度处，表示的数是−1.25＋4.5＝3.25。 两个端点表示的数的和是(−1.25)＋3.25＝2。 变式3　【答案】(1)5.5；−0.75；(2)−6 【解析】(1)A，B两点间的距离是2−(−3.5)＝5.5。与A，B两点距离相等的点在A，B之间，到A的距离是5.5÷2＝2.75，所以它表示的数是−3.5＋2.75＝−0.75。 (2)点C在点A的左侧，也就在点B的左侧，所以点C表示的数是2−8＝−6。 　考点5　变式：带绝对值的相反数、非负数的和为0、符号条件筛选 变式1　【答案】A 【解析】−|−＝，它的相反数是。 是没有求相反数；3是的倒数的相反数；−3是的倒数，都不是所求。 故选A。 变式2　【答案】−1.5；−10 【解析】绝对值都不小于0，两个绝对值的和为0，所以|x−2.5|＝0，|y＋4|＝0，得x＝2.5，y＝−4。 x＋y＝2.5＋(−4)＝−1.5，x·y＝2.5×(−4)＝−10。 变式3　【答案】−5.5或−8.5 【解析】由|a|＝7得a＝7或a＝−7；由|b|＝1.5得b＝1.5或b＝−1.5。 |a−b|＝b−a说明a−b≤0，即a≤b。若a＝7，则b取1.5或−1.5都小于7，不符合；所以a＝−7，此时b取±1.5都满足a＜b。 当a＝−7，b＝1.5时，a＋b＝−5.5；当a＝−7，b＝−1.5时，a＋b＝−8.5。 所以a＋b的值是−5.5或−8.5。 　考点6　变式：倒数与相反数、正方体三面上的数、登山记录 变式1　【答案】B 【解析】−1.25的倒数是−0.8，相反数是1.25，积为(−0.8)×1.25＝−1。 把倒数写成0.8会得1；把倒数写成它本身会得−1.5625；把倒数和相反数都写成它本身会得1.5625。 故选B。 变式2　【答案】8；−2.3 【解析】积：(−4)×2.5×(−0.8)，两个负因数，积为正，4×2.5×0.8＝8。 和：(−4)＋2.5＋(−0.8)＝−2.3。 变式3　【答案】(1)2020 m；(2)1910 m；660 m 【解析】(1)依次累加：320，460，365，305，350，其中最大的是460，最高处海拔为1560＋460＝2020(m)。 (2)最后相对营地的高度是320＋140＋(−95)＋(−60)＋45＝350(m)，海拔为1560＋350＝1910(m)。 上升与下降的高度一共是|+320|＋|+140|＋|−95|＋|−60|＋|+45|＝660(m)。 　考点7　变式：负数的幂相乘、空间站高度、光的传播 变式1　【答案】C 【解析】＝，＝16，所以原式＝×16＝−2。 把算成会得2；把算成会得−24；把算成4会得。 故选C。 变式2　【答案】3.89×；706000 【解析】389000的整数位数是6，所以n＝5，389000＝3.89×。 7.06×表示把7.06的小数点向右移动5位，原数是706000。 变式3　【答案】(1)1.8× km；(2)1.28 s 【解析】(1)1 min＝60 s，3××60＝180×＝18000000＝1.8×(km)。 (2)3.84×÷(3×＝3.84÷3＝1.28(s)。 　考点8　变式：代入负数求值、规定运算、水库放水 变式1　【答案】D 【解析】＝＝−4，＝＝−8，所以原式＝−4＋(−8)÷4＝−4−2＝−6。 把算成4会得2；把算成−6会得−5.5；把算成4、算成8会得6。 故选D。 变式2　【答案】3；−19 【解析】2◎(−1)＝2×2−＝4−1＝3。 (−5)◎3＝2×(−5)−＝−10−9＝−19。 变式3　【答案】(1)(2−0.5t)m，t＝6时为−1 m；(2)11小时 【解析】(1)t h内水位下降0.5t m，所以水位记为(2−0.5t)m。t＝6时，2−0.5×6＝2−3＝−1(m)。 (2)从＋2 m降到−3.5 m，一共下降了2−(−3.5)＝5.5(m)，所以已经放水5.5÷0.5＝11(小时)。 　考点9　变式：代入求值、整体代入、电动汽车耗电 变式1　【答案】A 【解析】＝＝9，−6xy＝−6×(−3)×＝6，所以原式＝9＋6＝15。 把−6xy算成−6会得3；把算成−9会得−3；两处都算错会得−15。 故选A。 变式2　【答案】−3 【解析】＋6m−7＝＋3m)−7＝2×2−7＝−3。 变式3　【答案】(1)(60−0.15s)千瓦时；(2)18千瓦时 【解析】(1)行驶s km耗电0.15s千瓦时，所以电池还剩(60−0.15s)千瓦时的电量。 (2)当s＝280时，60−0.15×280＝60−42＝18(千瓦时)。 　考点10　变式：含π的单项式、多项式的次数、由非负数定指数 变式1　【答案】B 【解析】π是一个数，所以系数是−5π/8；m的指数3与n的指数2的和为5，次数是5。 把π当成字母会改变系数和次数，漏掉负号会写错系数。 故选B。 变式2　【答案】6；四 【解析】各项的次数依次是4，6，1，0，最高为6，所以多项式的次数是6。 它由，，−y，5这四个单项式组成，是四项式。 变式3　【答案】(1)m＝4，n＝−1；(2)系数，次数7，值为 【解析】(1)|m−4|≥0，≥0，它们的和为0，所以m−4＝0，n＋1＝0，m＝4，n＝−1。 (2)2−n＝3，单项式是，系数是，次数是4＋3＝7。 当x＝1，y＝−2时，××＝×(−8)＝。 　考点11　变式：同类项求指数、棱长和、两个多项式的组合 变式1　【答案】C 【解析】相同字母的指数相同：m−2＝3，n−1＝2，所以m＝5，n＝3，m−n＝2。 把n−1＝2解成n＝1会得4；把m−2＝3解成m＝1会得−2；把m−n算成m＋n会得8。 故选C。 变式2　【答案】(16m＋24) 【解析】高为(m−1)＋3＝(m＋2)cm。 所有棱长的和为4[(2m＋5)＋(m−1)＋(m＋2)]＝4(4m＋6)＝16m＋24(cm)。 变式3　【答案】(1)−4xy＋；(2)30 【解析】(1)2A−3B＝−5xy＋−−2xy−＝−10xy＋−＋6xy＋＝−4xy＋。 (2)当x＝3，y＝−1时，−4×3×(−1)＋9×＝9＋12＋9＝30。 　考点12　变式：带符号的分数列、个位数字循环、日历X形框 变式1　【答案】D 【解析】分子依次是2，3，4，5，即n＋1；分母依次是3，5，7，9，即2n＋1；奇数项为正、偶数项为负，符号是。 把n＝1，2，3代入各选项检验，只有选项D与前三个数都相符。 故选D。 变式2　【答案】2 【解析】个位数字依次是8，4，2，6，8，…，每4个一循环。 2027÷4＝506……3，余数是3，所以的个位数字与的个位数字相同，是2。 变式3　【答案】(1)5a；(2)12，14，20，26，28 【解析】(1)左上的数是a−8，右上的数是a−6，左下的数是a＋6，右下的数是a＋8。 和为(a−8)＋(a−6)＋a＋(a＋6)＋(a＋8)＝5a。 (2)5a＝100时，a＝100÷5＝20，所以这5个数是12，14，20，26，28（20不在日历的第一列或最后一列，上、下两行也都有日期，能被框住）。 　易错专练 易错1　【答案】1 【解析】错解示例（错误示范）：原式＝16÷(−4)×＝−1。 错因：把当成。的底数是2，表示的相反数。 正解：原式＝−16÷(−4)×＝4×＝1。 提醒：看清乘方的底数，没有括号时负号不参与乘方。 易错2　【答案】18 【解析】错解示例（错误示范）：原式＝−8÷×＝−8÷(−1)＝8。 错因：乘除是同级运算，应从左到右依次计算，不能先算后面的乘法。 正解：原式＝−8××＝12×＝18。 提醒：没有括号时，同级运算按从左到右的顺序进行；除以一个数等于乘它的倒数。 易错3　【答案】3m＋6n−15 【解析】错解示例（错误示范）：原式＝6m−3m−2n＋5＝3m−2n＋5。 错因：括号前的−3只乘了第一项，后两项既没有乘3，也没有变号。 正解：原式＝6m−3m＋6n−15＝3m＋6n−15。 提醒：去括号时括号前的因数要乘遍括号里的每一项，负号要改变每一项的符号。 易错4　【答案】＋ 【解析】错解示例（错误示范）：原式＝(−5＋3−2)＝。 错因：与不是同类项——a的指数与b的指数都不相同，不能合并。 正解：原式＝(−5−2)＋＝＋。 提醒：判断同类项要同时看“字母相同”和“相同字母的指数相同”。 易错5　【答案】3.5或2.5 【解析】错解示例（错误示范）：x＝0.5，y＝−3，x−y＝3.5。 错因：只考虑了x为正的情况。x＝−0.5时，−0.5＞−3，也满足x＞y。 正解：由x＞y知y不能是3（否则x＞3，与|x|＝0.5矛盾），所以y＝−3；x＝0.5或−0.5。x−y＝0.5−(−3)＝3.5或x−y＝−0.5−(−3)＝2.5。 提醒：由绝对值得到的每一种情况都要用条件逐一检验，不能只保留一种。 易错6　【答案】世；富 【解析】错解示例（错误示范）：与“图”相对的是“形”，与“丰”相对的是“图”。 错因：把相邻的面当成了相对的面。在展开图中，相邻的两个正方形折好后是相邻的面。 正解：中间一行“图、形、世、界”中隔一个的两个面相对，所以“图”与“世”相对，“形”与“界”相对；剩下的“丰”与“富”相对。 提醒：同一行（列）中相对的两个面之间恰好隔着一个面。 易错7　【答案】5.08× 【解析】错解示例（错误示范）：50.8×或5.08×。 错因：前一种a＝50.8，不满足1≤a＜10；后一种指数数错了，5080000是7位整数，指数应是6。 正解：5080000＝5.08×。 提醒：a只有一位整数，指数＝原数的整数位数−1，写完可以把小数点向右移回去检验。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】圆柱由上、下两个底面和一个侧面围成，共3个面。 故选A。 2．【答案】B 【解析】正方体的面都是平面正方形，截面的边都是线段，不可能是圆。 故选B。 3．【答案】C 【解析】绝对值等于的数，对应的点到原点的距离是，原点左、右两侧各有一个，是和。 故选C。 4．【答案】D 【解析】−4＜−3.5＜−3，所以表示−3.5的点在表示−4与−3的两点之间。 故选D。 5．【答案】A 【解析】按从左到右的顺序：(−3.6)÷(−0.9)＝4，4×(−2)＝−8。 先算乘法再算除法会得−2；弄错积的符号会得8；两处都错会得2。 故选A。 6．【答案】B 【解析】＝4，＝−16，−|−7|＝−7，＝−8。−16＜−8＜−7＜4，最小的是。 故选B。 7．【答案】C 【解析】13800000是8位整数，n＝7，所以13800000＝1.38×。 故选C。 8．【答案】D 【解析】＝，与所含字母相同，a的指数都是1，b的指数都是3，是同类项；同类项与系数无关。 故选D。 　课后作业（二）能力进阶 9．【答案】九；27 【解析】n棱柱有2n个顶点，2n＝18，n＝9，是九棱柱。 九棱柱有3×9＝27(条)棱。 10．【答案】6；3 【解析】大于−2.6且小于3.4的整数是−2，−1，0，1，2，3，共6个。 −2与2、−1与1的和都是0，所以它们的和是0＋3＝3。 11．【答案】−24 【解析】用分配律：×48＋×48−×48＝−36＋40−28＝−24。 12．【答案】−3 【解析】＝−1，＝−8，(−8)÷(−4)＝2，所以原式＝−1−2＝−3。 13．【答案】48π 【解析】绕长3 cm的边旋转时，底面半径是4 cm、高是3 cm，体积π××3＝48π(c m³)；绕长4 cm的边旋转时，底面半径是3 cm、高是4 cm，体积π××4＝36π(c m³)。 因为48π＞36π，所以得到的圆柱的体积最大是48π c m³。 14．【答案】 【解析】＝3××3＝，−ab＝×3＝，所以原式＝+＝。 15．【答案】−a−3b 【解析】原式＝2a−2b−3a−b＝−a−3b。 16．【答案】 【解析】系数的绝对值依次是2，4，6，8，…，第n个是2n；奇数个为正，偶数个为负；a的指数依次是1，3，5，7，…，第n个是2n−1。 第8个单项式的系数是−16，a的指数是15，即。 　课后作业（三）拓展延伸 17．【答案】(1)−16；(2) 【解析】(1)原式＝−8＋9×−5＝−8−3−5＝−16。 (2)−＝，−＝；＋6＝−4＋6＝2；原式＝×2＝。 18．【答案】化简得−＋4，值为11 【解析】原式＝−−＋＋4＝−＋4。 当m＝−2，n＝时，3××−2×(−2)×＋4＝6＋1＋4＝11。 19．【答案】(1)96 cm²；(2)96n cm²，n＝4时为384 cm² 【解析】(1)每切一刀增加两个与底面一样大的面，每个面的面积是8×6＝48(cm²)，所以增加2×48＝96(cm²)。 (2)切n刀增加2n个这样的面，增加96n cm²；n＝4时，96×4＝384(cm²)。 20．【答案】(1)41节；(2)258节 【解析】(1)最多的记录是+23，最少的是−18，相差23−(−18)＝41(节)。 (2)六个记录的和为12−5＋0＋23−18＋6＝18，所以一共回收40×6＋18＝258(节)。 21．【答案】(1)(2a＋2b＋4c＋15)cm；(2)315 cm 【解析】(1)沿长和高的一道长(2a＋2c)cm，沿宽和高的一道长(2b＋2c)cm，加上接头，共(2a＋2c)＋(2b＋2c)＋15＝(2a＋2b＋4c＋15)cm。 (2)当a＝50，b＝40，c＝30时，2×50＋2×40＋4×30＋15＝100＋80＋120＋15＝315(cm)。 22．【答案】(1)2＋＋…＋＝−2；(2)− 【解析】(1)第n个等式左边是从2加到，右边是−2，即2＋＋…＋＝−2。 (2)+＋…＋＝(2＋＋…＋−(2＋＋…＋＝−2)−−2)＝−。 23．【答案】2b 【解析】由图可知a＜b＜0＜c，且|b|＜|c|。 所以a−b＜0，b＋c＞0，c−a＞0。 原式＝(b−a)＋(b＋c)−(c−a)＝b−a＋b＋c−c＋a＝2b。 24．【答案】(1)4a个；(2)96 c m³ 【解析】(1)小正方体的总个数为a＋(a＋1)＋(2a−1)＝4a(个)。 (2)当a＝3时，共有4×3＝12(个)小正方体；每个小正方体的体积是＝8(c m³)，所以几何体的体积是12×8＝96(c m³)。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版·七年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共79题）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册 北师大版（2024年版）七年级数学上册　期中复习　第一章 丰富的图形世界　第二章 有理数及其运算　第三章 整式及其加减 含 12 个考点例题　/　共 79 题（易错 7 · 作业 24）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．第一章：会数棱柱的顶点、棱和面，能用“点动成线、线动成面、面动成体”解释旋转体；会判断正方体展开图并找出相对的面，知道截面的形状与几何体的关系；会由几何体画出从正面、左面、上面看到的形状图。 2．第二章：会给有理数分类并在数轴上表示，理解相反数、绝对值的意义；掌握有理数加、减、乘、除、乘方的法则与混合运算顺序，会用科学记数法表示大数，能用有理数运算解决实际问题。 3．第三章：会列代数式并求值，能说出单项式的系数、次数与多项式的项、次数；会合并同类项与去括号完成整式加减；会用含字母的式子表示数与图形中的规律。 学习重难点 重点：正方体展开图与形状图；有理数的混合运算；整式加减的去括号与合并同类项；规律的表达。 难点：展开图中相对面的判断与小正方体组合体的形状图；由绝对值倒推时的多解与检验；去括号时的符号与漏乘；用含n的式子表达图形规律。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　几何体的分类与棱柱的构成 2 知识点 02　点、线、面、体 3 知识点 03　展开与折叠、截一个几何体 3 知识点 04　从三个方向看物体的形状 4 知识点 05　有理数与数轴 4 知识点 06　相反数与绝对值 4 知识点 07　有理数的加、减、乘、除 5 知识点 08　乘方、科学记数法与混合运算 5 知识点 09　代数式与代数式的值 5 知识点 10　整式：单项式与多项式 6 知识点 11　整式的加减与探索规律 6 易错专练 20 课后作业（一）基础巩固 21 课后作业（二）能力进阶 22 课后作业（三）拓展延伸 23 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　几何体的分类与棱柱的构成 从笔筒、铅笔盒、篮球这些物体中可以抽象出圆柱、长方体、球等几何体。常见几何体按形状分成三类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥等）和球。在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱，棱与棱的交点是顶点；上下两个面叫作底面，其余各面叫作侧面，棱柱的所有侧棱长都相等，上、下底面的形状相同。底面是几边形就叫几棱柱，例如七棱柱有7个侧面、2个底面，共9个面，21条棱，14个顶点。 n棱柱：顶点2n个，棱3n条（侧棱n条），面(n＋2)个（侧面n个、底面2个） 柱体：圆柱、棱柱；锥体：圆锥等；球 小提示：数棱时先数一个底面上的n条，再乘2，最后加上n条侧棱，不要把看不见的棱漏掉。 知识点　02　点、线、面、体 几何体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。面有平的，也有曲的，如圆柱的侧面是曲面、底面是平面。从运动的观点看，点动成线，线动成面，面动成体：汽车的雨刷扫过挡风玻璃形成一个扇面，一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周形成圆柱，一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周形成球。例：把一个直角边长分别为2和5的直角三角形绕长为5的直角边所在直线旋转一周，得到一个圆锥。 点动成线，线动成面，面动成体 长方形绕一边旋转一周→圆柱；直角三角形绕一条直角边旋转一周→圆锥；半圆绕直径旋转一周→球 小提示：旋转体的底面半径是离开旋转轴的那条边的长，高是贴着旋转轴的那条边的长，两条边不要看反。 知识点　03　展开与折叠、截一个几何体 把正方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形；反过来，一个平面图形经过折叠也可能围成正方体。能围成正方体的展开图共有11种，其中不能出现“田”字形，一行（或一列）中相连的正方形不超过4个。在展开图中，同一行（或同一列）里隔着一个正方形的两个面是相对的面，折好后不相邻。用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。截正方体得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；截圆柱可能得到圆、长方形等。例：图中展开图折成正方体后，①与③相对，②与④相对，⑤与⑥相对。 相对面：同一行（列）中间隔一个正方形 正方体截面的边数：3～6条；截面的每一条边都在几何体的某一个面上 小提示：判断能否围成正方体，先排除“田”字形和一行五个的情况，再动手想象折叠，看有没有两个面重合。 知识点　04　从三个方向看物体的形状 从不同的方向观察同一个物体，看到的形状可能不同。从正面、左面、上面三个方向看一个几何体，可以分别得到三个平面图形，叫作这个几何体从这三个方向看到的形状图。由小正方体搭成的几何体，常用“从上面看到的形状图＋每一格里的小正方体个数”来表示：从正面看时，每一列取这一列中最大的数作为高度；从左面看时，每一行取这一行中最大的数作为高度。例：图中从上面看的形状图有三格，数字表示该位置小正方体的个数，一共用了6个小正方体，从正面看左列高3、右列高1。 从正面看：列数＝从上面看的列数，每列高＝该列最大数 从左面看：列数＝从上面看的行数，每列高＝该行最大数 小提示：“从左面看”时，从上面看的形状图中下面一排（前排）在左面看的图中位于右边，画图前先转好方向。 知识点　05　有理数与数轴 正数和负数可以表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数。整数和分数统称为有理数；按符号也可以分成正数、0、负数三类。规定了原点、正方向和单位长度的直线称为数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。例：在数轴上，表示−1.5的点在原点左侧1.5个单位长度处。 有理数：整数（正整数、0、负整数）与分数（正分数、负分数） 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上右边的数大于左边的数 小提示：0是整数也是有理数，但不是正数也不是负数；分类时“正数”“负数”都不含0。 知识点　06　相反数与绝对值 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；在数轴上，互为相反数的两个数对应的点位于原点两侧，并且与原点的距离相等。在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫作这个数的绝对值。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所以任何数的绝对值都不小于0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例：|−0.7|＝0.7，−0.7的相反数是0.7；因为|−4|＞|−2.5|，所以−4＜−2.5。 a的相反数是−a；|a|≥0 a＞0时|a|＝a；a＝0时|a|＝0；a＜0时|a|＝−a 小提示：由|x|＝m（m＞0）倒推x时有两个值±m，不要漏掉负的一个。 知识点　07　有理数的加、减、乘、除 有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加仍得这个数。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a−b＝a＋(−b)。乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。乘积为1的两个有理数互为倒数；除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。例：(−1.2)＋0.5＝−0.7，(−3)×(−0.4)＝1.2，(−2)÷＝−8。 a−b＝a＋(−b)；a÷b＝a×（b≠0） 几个不为0的数相乘，负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正 小提示：加减混合运算先统一成加法，再用交换律、结合律把同号的数或能凑整的数放在一起。 知识点　08　乘方、科学记数法与混合运算 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数，记作。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。一个大于10的数可以表示成a×的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右进行；有括号先算括号里面的。例：＝−0.125，而＝−4；704 000＝7.04×。 ：n为偶数时等于，n为奇数时等于；表示的相反数 科学记数法：a×，1≤a＜10，n比原数的整数位数少1 小提示：与不同：前者底数是3，结果是−9；后者底数是−3，结果是9。 知识点　09　代数式与代数式的值 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。书写代数式时，数与字母、字母与字母相乘，乘号可以省略或写成“·”，数字写在字母前面；带分数与字母相乘要化成假分数；除法常写成分数的形式。用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算计算出的结果，叫作代数式的值。例：当n＝4时，代数式3n−5的值是7。 代入负数或分数时要添括号 已知某个式子的值时，可以把这个式子整体代入 小提示：同一个代数式，字母取不同的值，代数式的值一般也不同；求值前先看能否化简或整体代入。 知识点　10　整式：单项式与多项式 数与字母的乘积这样的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，所有字母的指数和叫作这个单项式的次数。几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项；一个多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。单项式和多项式统称为整式。例：的系数是，次数是3；多项式−2x+6是三次三项式。 单项式的次数＝所有字母的指数和（π是数，不是字母） 多项式的次数：各项次数中最大的那个数 小提示：单项式的系数包括前面的符号；单独一个字母的系数是1、次数是1。 知识点　11　整式的加减与探索规律 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项，几个常数项也是同类项。把同类项合并成一项叫作合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。去括号时，括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变符号。整式加减的一般步骤是先去括号，再合并同类项。探索规律时，先观察几个具体的式子或图形，找出不变的部分与变化的部分，再用含字母的式子表示，最后代入验证。例：4ab−7ab＝−3ab；−(x−2y)＝−x＋2y。 a＋(b−c)＝a＋b−c；a−(b−c)＝a−b＋c 规律题：写出前几项→找变化量→用含n的式子表示→代入n＝1,2验证 小提示：括号前有数字因数时，要用这个数乘括号里的每一项，不能只乘第一项。 【考点1】生活中的立体图形：棱柱的构成与点、线、面、体 认识几何体抓两件事：一是棱柱的“面—棱—顶点”怎么数，二是平面图形怎么运动成立体图形。数的时候按底面、侧面分开，旋转的时候看清哪条边贴着旋转轴。 例1　如图是一个五棱柱。(1)数出它的顶点、棱和面各有多少个；(2)照这样数下去，用含n的式子分别表示n棱柱的顶点数、棱数和面数，并求n＝11时“顶点数＋面数−棱数”的值。 【分析】五棱柱的两个底面都是五边形，每个底面有5个顶点、5条棱，两个底面之间还有5条侧棱；侧面个数等于底面的边数。把5换成n，就得到一般的n棱柱。 【解答】(1)顶点：上、下底面各5个，共5×2＝10(个)；棱：两个底面各5条，侧棱5条，共5×3＝15(条)；面：5个侧面加2个底面，共5＋2＝7(个)。 (2)同理，n棱柱有2n个顶点、3n条棱、(n＋2)个面。 当n＝11时，顶点数为22，面数为13，棱数为33，所以顶点数＋面数−棱数＝22＋13−33＝2。 【方法小结】数棱柱的构成要素，按“底面—侧面”分开数；用含n的式子表示后代入检验，n取3，4，5时“顶点数＋面数−棱数”都等于2。 考点1　变式：由棱数定棱柱、组合图形旋转、六棱柱棱长和 三道变式：由棱数倒推是几棱柱、组合图形旋转后的体积、以及用含字母的式子表示六棱柱的棱长和。 变式1　一个棱柱共有24条棱，它是（　　）。 A．八棱柱 B．十二棱柱 C．六棱柱 D．二十二棱柱 变式2　如图，一个平面图形由一个长为5 cm、宽为3 cm的长方形和一个两条直角边分别为3 cm、4 cm的直角三角形拼成，把它绕直线l旋转一周，得到的几何体上部是________，整个几何体的体积是________c m³（结果保留π）。 变式3　如图，一个六棱柱的两个底面均为正六边形，边长都是a cm，每条侧棱长都是h cm。(1)该六棱柱所有棱长之和可用a，h怎样表达？(2)如果a＝2.5，h＝6，那么这个六棱柱所有棱长的和是多少？ 【考点2】从立体图形到平面图形：展开与折叠、截面 展开图抓“相对面”，截面抓“截面的边落在几何体的面上”。折叠类问题先排除“田”字形与一行五个，再想象折起来的样子；截面边数不会超过几何体的面数。 例1　如图是一个正方体的展开图，六个面上分别写着−2.5，a，b，，c，−|−4|。把它折成正方体后，每组相对两个面上的数互为相反数。(1)求a，b，c的值；(2)求a−b＋c的值。 【分析】先找相对的面：展开图中间一行的四个面，隔一个的两个面相对；上、下两个单独的面相对。再用“互为相反数”求字母的值。 【解答】(1)中间一行依次是−2.5，a，b，，所以−2.5与b相对，a与相对；上面的c与下面的−|−4|相对。 因为相对两面上的数互为相反数，所以b＝2.5，a＝；又−|−4|＝−4，所以c＝4。 (2)a−b＋c＝−2.5＋4＝−3.25＋4＝。 【方法小结】正方体展开图找相对面：同一行（列）隔一个面相对，“1－4－1”型的两个单独面相对；先化简带绝对值、多重符号的数，再求相反数。 考点2　变式：判断展开图、五棱柱与圆柱的截面、收纳盒容积 三道变式：判断哪个图形能折成正方体、五棱柱与圆柱的截面、以及教材综合实践中收纳盒的容积。 变式1　四个图形各由六个全等的正方形拼成，把其中一个沿虚线折起后恰好能围成一个正方体，这个图形是（　　）。 A．① B．② C．③ D．④ 变式2　用一个平面去截一个五棱柱，截面最多是________边形；用一个平面去截一个圆柱，截面不可能是________（填“长方形”“圆”或“三角形”）。 变式3　综合实践课上，小明用一张边长为20 cm的正方形硬纸片制作无盖长方体收纳盒：先在四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形（如图），再折起四边。(1)盒子的底面边长和容积各是多少？用含x的式子表示；(2)分别求x＝3与x＝4时盒子的容积，并指出哪一个更大。 【考点3】从三个方向看物体的形状 看形状图要分清三个方向各反映长方体（或组合体）的哪两个尺寸：从正面看反映长和高，从左面看反映宽和高，从上面看反映长和宽。小正方体组合体按列、按行取最大个数。 例1　如图，6个棱长为1 cm的小正方体紧贴着排成一个“台阶”形几何体：最下层3个，中间层2个，最上层1个，且都靠左对齐。(1)分别画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的平面图形；(2)若把小正方体换成棱长为a cm的，用含a的式子表示这个几何体的表面积（包括底面）。 【分析】这个几何体只有一排，前后只有一层。从正面看是三列，高度依次为3，2，1；从左面看只有一列，高3；从上面看是一行3个正方形。 【解答】(1)从正面看：三列正方形，从左到右依次有3个、2个、1个；从左面看：一列3个正方形；从上面看：一行3个正方形（如解析图）。 (2)表面积可以从六个方向数正方形的个数：前面与后面各6个，左面与右面各3个，上面与下面各3个，共6×2＋3×2＋3×2＝24个。 每个小正方形的面积是 cm²，所以表面积为 cm²。 【方法小结】求小正方体组合体的表面积，按“前后、左右、上下”六个方向数露在外面的正方形，每一对方向个数相同，最后乘每个小正方形的面积。 考点3　变式：认几何体、形状图配算式、由形状图求表面积 三道变式：由三个方向的形状图认几何体、从上面看的形状图配有理数算式、以及由两个形状图求长方体的表面积。 变式1　一个几何体从正面看和从左面看得到的形状图都是长方形，从上面看得到的形状图是圆，这个几何体是（　　）。 A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体 变式2　如图，从上面看一个小正方体组合体，得到的形状图由4个小正方形组成（下面一排是前排），每格中式子的值是该位置叠放的小正方体个数。组成这个组合体的小正方体共________个；从正面看它，形状图中共有________个小正方形。 变式3　一个长方体从正面看到的形状图是长4 cm、宽3 cm的长方形（长是水平方向），从左面看到的形状图是长2 cm、宽3 cm的长方形（如图）。(1)写出这个长方体的长、宽、高；(2)求从上面看到的形状图的面积以及这个长方体的表面积。 【考点4】认识有理数：分类与数轴 有理数分类先化简再归类，0的位置要单独想清楚；数轴上的问题都转化为“两点间的距离＝右边的数减左边的数”。 例1　如图，一个正方体纸盒的展开图的六个面上分别写着−3，2.5，0，，4，−(−1)。(1)把这六个数分别填入正数集合、负数集合、整数集合中；(2)把纸盒折好后，分别求三组相对面上两个数的和，并在数轴上表示这三个和。 【分析】先把−(−1)化简为1再分类；0是整数，但既不是正数也不是负数。这是“3－3”型展开图：每一行三个面中首尾两个面相对，两行中间剩下的两个面相对。 【解答】(1)−(−1)＝1。正数集合：｛2.5，4，−(−1)，…｝；负数集合：｛−3，，…｝；整数集合：｛−3，0，4，−(−1)，…｝。 (2)−3与0相对，和为−3＋0＝−3；2.5与相对，和为2.5＋＝2；4与−(−1)相对，和为4＋1＝5。 在数轴上，表示−3的点在原点左侧3个单位长度处，表示2和5的点分别在原点右侧2个和5个单位长度处。 【方法小结】分类前先化简带多重符号的数；集合里的数写原来的形式或化简后的形式都可以，但要写全、不重不漏。 考点4　变式：化简后数负数、棱在数轴上、滑道上的点 三道变式：化简后数负数的个数、长方体的棱在数轴上的位置、以及滑道上的中点与定距离的点。 变式1　把−(−1.5)，−|−7|，，，0这五个数表示在数轴上，位于原点左侧的点有（　　）。 A．1个 B．3个 C．4个 D．2个 变式2　把一个长方体木块的一条长为4.5的棱平放在数轴上，棱的左端点对准表示−1.25的点，那么棱的右端点对准的点表示的数是________；这两个端点表示的数的和是________。 变式3　一条笔直的滑道可以看成一条数轴，滑道上的标志点A，B表示的数分别是−3.5和2。(1)求A，B两点之间的距离，以及与A，B两点距离相等的点表示的数；(2)点C在点A的左侧，且点C到点B的距离是8，求点C表示的数。 【考点5】相反数与绝对值 相反数管“符号”，绝对值管“距离”。由绝对值倒推原数有两个值，要用题中给出的大小关系或符号条件筛选；几个非负数的和为0，每个数都为0。 例1　如图，一种圆柱形零件的直径标准是20 mm，质检员把5个零件的实际直径与标准的差记录下来（超出标准记为正，单位：mm）：+0.12，−0.08，−0.15，+0.05，0。(1)分别写出这五个记录的绝对值，并指出哪个零件最接近标准；(2)规定记录的绝对值不超过0.1的零件为合格品，这5个零件中合格品有几个？直径最大与最小的两个零件相差多少毫米？ 【分析】“离标准有多远”看的是记录的绝对值；“直径大小”看的是记录本身的大小。 【解答】(1)五个记录的绝对值依次是0.12，0.08，0.15，0.05，0，其中0最小，所以记录为0的零件最接近标准。 (2)绝对值不超过0.1的是0.08，0.05，0，合格品有3个。 直径最大的零件记录是+0.12，最小的记录是−0.15，相差0.12−(−0.15)＝0.27(mm)。 【方法小结】同一组正负记录，比“接近程度”用绝对值，比“大小”用原数；两种比较不能混用。 考点5　变式：带绝对值的相反数、非负数的和为0、符号条件筛选 三道变式：带绝对值的相反数、两个绝对值的和为0、以及用|m|＝−m这一条件筛选取值。 变式1　−|−的相反数是（　　）。 A． B． C．3 D．−3 变式2　若|x−2.5|＋|y＋4|＝0，则x＋y＝________，x·y＝________。 变式3　已知|a|＝7，|b|＝1.5，且|a−b|＝b−a。求a＋b的值。 【考点6】有理数的加减运算与乘除运算 四种运算都遵循“先定符号，再算绝对值”。减法化加法、除法化乘法之后，交换律、结合律才能放心使用。 例1　计算：(1)(−2.8)＋5.6−(−3.8)＋(−1.6)；(2)÷×(−0.8)。 【分析】(1)先把减法统一成加法，再把能凑整的数结合；(2)先把除法变成乘倒数，确定积的符号后再算绝对值。 【解答】(1)原式＝(−2.8)＋5.6＋3.8＋(−1.6)＝[(−2.8)＋3.8]＋[5.6＋(−1.6)]＝1＋4＝5。 (2)原式＝××(−0.8)。三个因数中有三个负数，积为负，所以原式＝××＝＝−0.6。 【方法小结】加减混合先“统一成加法”，乘除混合先“统一成乘法”；乘法中先数负因数的个数定符号，再算绝对值。 考点6　变式：倒数与相反数、正方体三面上的数、登山记录 三道变式：倒数与相反数的积、正方体三个面上的数、以及登山记录的累加与绝对值之和。 变式1　−1.25的倒数与它的相反数的积是（　　）。 A．1 B．−1 C．−1.5625 D．1.5625 变式2　如图，正方体的正面、上面、右面分别写着−4，2.5，−0.8，这三个面上的数的积是________，和是________。 变式3　一支登山小组以营地为基准，上升记为正，下降记为负，五段行程的高度变化依次是（单位：m）：+320，+140，−95，−60，+45。营地海拔是1560 m。(1)小组到达的最高处海拔是多少米？(2)小组最后所在位置的海拔是多少米？五段行程上升与下降的高度一共是多少米？ 【考点7】有理数的乘方与科学记数法 乘方先认底数：括号里的整体才是底数；负数的奇次幂为负、偶次幂为正。科学记数法的a在1与10之间，指数由整数位数决定。 例1　如图，把一个棱长为10 cm的正方体木块全部切成棱长为1 mm的小正方体。(1)一共能切出多少个小正方体？用乘方表示，再用科学记数法表示；(2)把这些小正方体一个挨一个地排成一行，这一行长多少米？用科学记数法表示。 【分析】先统一单位：10 cm＝100 mm，所以大正方体每条棱上能切出100个小正方体。 【解答】(1)长、宽、高方向各有100个，一共有100×100×100＝＝1000000＝1×(个)。 (2)排成一行的长度是1× mm，1 m＝1000 mm，所以长度为1000000÷1000＝1000(m)＝1× m。 【方法小结】用科学记数法表示时，a必须满足1≤a＜10；10的指数等于原数的整数位数减1。 考点7　变式：负数的幂相乘、空间站高度、光的传播 三道变式：负分数的幂与负整数的幂相乘、空间站轨道高度的记法与还原、以及对折纸张中的乘方规律。 变式1　计算×的结果是（　　）。 A．2 B．−24 C．−2 D． 变式2　中国空间站运行的轨道高度约为389 000 m，用科学记数法表示为________m；科学记数法记出的数7.06×，写成原数是________。 变式3　光在真空中每秒约传播3× km。(1)光在真空中传播1 min，走过的路程约是多少千米？结果用科学记数法表示；(2)月球与地球之间的平均距离约为3.84× km，光从月球传到地球大约需要多少秒？ 【考点8】有理数的混合运算与应用 混合运算按“乘方→乘除→加减、括号优先”的顺序逐步写；实际问题先把文字翻译成算式，负数参与运算时整体加括号。 例1　计算：(1)−×+÷；(2)−−18]÷(−0.5)。 【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；有中括号先算中括号里面的。 【解答】(1)原式＝−9×＋(−1)÷＝−4＋4＝0。 (2)原式＝−8−(16−18)÷(−0.5)＝−8−(−2)÷(−0.5)＝−8−4＝−12。 【方法小结】的底数是3，结果为−9；(−1)的奇次幂是−1。混合运算中“减去一个商”时，先把商算出来再减，符号最容易出错。 考点8　变式：代入负数求值、规定运算、水库放水 三道变式：代入负数后的混合运算、规定运算的套用、以及随高度变化的气温。 变式1　当a＝−2时，代数式+÷4的值是（　　）。 A．2 B．−5.5 C．6 D．−6 变式2　定义新运算：a◎b＝2a−（a，b为有理数）。那么2◎(−1)＝________，(−5)◎[2◎(−1)]＝________。 变式3　某水库开闸放水前，水位比警戒水位高2 m（记为＋2 m），开闸后水位每小时下降0.5 m。(1)开闸t h后，水位记为多少米？写成含t的式子；当t＝6时，水位记为多少米？(2)水位降到警戒水位以下3.5 m（记为−3.5 m）时，已经放水多少小时？ 【考点9】代数式与代数式的值 列代数式按“关键词→运算→式子”的顺序翻译，求值时负数、分数代入要加括号；已知某个式子的值时考虑整体代入。 例1　如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，底面长a dm、宽b dm，高c dm。(1)制作这个鱼缸需要多少平方分米的玻璃（接缝不计）？它的容积是多少立方分米？都用含a，b，c的代数式表示；(2)当a＝12，b＝8，c＝5.5时，分别求出这两个量。 【分析】无盖鱼缸只有一个底面，另外有前后、左右四个侧面；容积＝底面积×高。 【解答】(1)底面积ab dm²，前后两个面共2ac dm²，左右两个面共2bc dm²，所以需要玻璃(ab＋2bc＋2ac)dm²；容积为abc d m³。 (2)当a＝12，b＝8，c＝5.5时，ab＋2bc＋2ac＝96＋88＋132＝316(dm²)；abc＝12×8×5.5＝528(d m³)。 【方法小结】先按几何体的结构写代数式，注意“有盖”“无盖”的差别；代入时一个字母对应一个数，逐项计算。 考点9　变式：代入求值、整体代入、电动汽车耗电 三道变式：代入负数与分数求值、整体代入、以及出租车分段计费。 变式1　当x＝−3，y＝时，代数式−6xy的值是（　　）。 A．15 B．3 C．−3 D．−15 变式2　若＋3m＝2，则代数式＋6m−7的值是________。 变式3　一辆电动汽车充满电后电池电量为60千瓦时，行驶时平均每千米耗电0.15千瓦时。(1)充满电后行驶s km，电池还剩多少千瓦时的电量？用含s的代数式表示；(2)当s＝280时，电池还剩多少千瓦时的电量？ 【考点10】整式：单项式与多项式 单项式看“系数、次数”，多项式看“项、次数、常数项”。π是数不是字母；多项式的次数是次数最高的项的次数，不是各项次数之和。 例1　如图，一个长方体的长是2a，宽是b，高是a。(1)写出它的体积V，并说出V是几次单项式、系数是多少；(2)写出它的表面积S（结果化简），并说出S是几次几项式。 【分析】体积＝长×宽×高；表面积＝2×(长×宽＋宽×高＋长×高)，算完要把同类项合并。 【解答】(1)V＝2a·b·a＝，字母a的指数是2，b的指数是1，所以它是三次单项式，系数是2。 (2)S＝2(2a·b＋b·a＋2a·a)＝2(2ab＋ab＋＝2(3ab＋＝＋6ab。 S有与6ab两项，每项的次数都是2，所以S是二次二项式。 【方法小结】单项式的次数看所有字母指数的和；多项式的次数看次数最高的项，项数看化简后有几个单项式。 考点10　变式：含π的单项式、多项式的次数、由非负数定指数 三道变式：含π的单项式、多项式各项的次数、以及由非负数的和为0确定单项式的指数。 变式1　下面对单项式−(5π/8)的描述中，系数与次数都写对的是（　　）。 A．系数，次数6 B．系数−5π/8，次数5 C．系数−5π/8，次数6 D．系数5π/8，次数5 变式2　多项式＋−y＋5的次数是________，它是________项式。 变式3　已知有理数m，n满足|m−4|＋＝0。(1)求m，n的值；(2)写出单项式的系数与次数，并求当x＝1，y＝−2时这个单项式的值。 【考点11】整式的加减：合并同类项与去括号 先去括号，再合并同类项。去括号时括号前的数要乘遍括号里每一项，括号前是负号时每一项都变号；合并时只把系数相加，字母和指数不变。 例1　化简：(1)−＋2−＋−7；(2)−xy)−−3xy＋1)，并求当x＝−1，y＝2时(2)的值。 【分析】(1)先找同类项：与，与，2与−7。(2)先用分配律去括号，括号前是负数时括号里每一项都变号。 【解答】(1)原式＝(5−4)＋(−3＋1)＋(2−7)＝−−5。 (2)原式＝−3xy−＋6xy−2＝＋3xy−2。 当x＝−1，y＝2时，＋3xy−2＝4×1＋3×(−1)×2−2＝4−6−2＝−4。 【方法小结】整式加减＝去括号＋合并同类项；化简后再代入求值，计算量最小。 考点11　变式：同类项求指数、棱长和、两个多项式的组合 三道变式：由同类项求指数、长方体棱长和的整式表示、以及两个多项式的线性组合与求值。 变式1　已知两个单项式与所含字母及其指数分别相同，那么m−n的值是（　　）。 A．4 B．−2 C．2 D．8 变式2　一个长方体的长为(2m＋5)cm，宽为(m−1)cm，高比宽多3 cm，它的所有棱长的和是________cm。 变式3　已知A＝−5xy＋，B＝−2xy−。(1)求2A−3B；(2)当x＝3，y＝−1时，求2A−3B的值。 【考点12】探索与表达规律 规律题的三步：列出前几项→找出变化的量→用含n的式子表示并代入验证。数的规律看符号、分子、分母各自怎样变；图形的规律看每一步增加多少。 例1　如图，用小木棒搭正方体框架并排成一行：搭1个正方体要12根木棒，搭2个连在一起的正方体要20根，搭3个要28根……(1)搭n个这样连在一起的正方体需要多少根木棒？用含n的式子表示；(2)搭25个需要多少根木棒？ 【分析】第1个正方体用12根，以后每多搭一个正方体，与前一个共用一个面上的4根，只需再添12−4＝8根。 【解答】(1)搭n个需要12＋8(n−1)＝(8n＋4)根。验证：n＝2时8×2＋4＝20，n＝3时8×3＋4＝28，都符合。 (2)当n＝25时，8×25＋4＝204(根)。 【方法小结】探索规律先找“不变的起点”和“每次增加的量”，写成“起点＋增量×(n−1)”，化简后再用前几项验证。 考点12　变式：带符号的分数列、个位数字循环、日历X形框 三道变式：带符号的分数列、乘方个位数字的循环、以及月历中十字框的数。 变式1　按，，，，…的规律继续写下去，用含n的式子表示其中的第n个数，正确的是（　　）。 A．· B．· C．· D．· 变式2　观察：＝8，＝64，＝512，＝4096，＝32768，…，的个位数字是________。 变式3　如图是某月的日历。用一个“X”形框框住5个数（中间一个，以及它左上、右上、左下、右下各一个）。(1)设中间的数为a，用含a的式子表示这5个数的和；(2)若框住的5个数的和是100，求这5个数。 　易错专练 期中三章的失分集中在七处：与混淆、把分配律用到除法上、去括号漏乘漏变号、把不是同类项的项合并、由绝对值倒推时漏解、把展开图中相邻的面当成相对的面、科学记数法中a的范围与指数。先独立做，再对照解析中的错解示例与错因。 易错1　计算：÷(−4)×。 易错2　计算：−8÷×。 易错3　化简：6m−3(m−2n＋5)。 易错4　合并同类项：＋−。 易错5　已知|x|＝0.5，|y|＝3，且x＞y，求x−y的值。 易错6　如图，在一个正方体展开图的六个正方形里写上“丰”“富”“图”“形”“世”“界”，再折成正方体。“图”字所在面的对面是________，“丰”字所在面的对面是________。 易错7　用科学记数法表示5 080 000，结果是________。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题每题只有一个选项符合题意。依次考查：几何体的面、截面、相反数、数轴、乘除混合运算、乘方比大小、科学记数法与同类项。 1．下列几何体中，恰好由三个面围成的是（　　）。 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 2．用一个平面去截下列几何体，截面不可能是圆的是（　　）。 A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球 3．绝对值等于的数是（　　）。 A． B． C．或 D．或 4．数轴上，下列哪一对相邻整数之间夹着表示−3.5的点（　　）。 A．−3与−2 B．3与4 C．−5与−4 D．−4与−3 5．计算(−3.6)÷(−0.9)×(−2)的结果是（　　）。 A．−8 B．−2 C．8 D．2 6．在，，−|−7|，这四个数中，最小的是（　　）。 A． B． C．−|−7| D． 7．把13 800 000写成a×（1≤a＜10，n为正整数）的形式，正确的是（　　）。 A．13.8× B．1.38× C．1.38× D．0.138× 8．下列单项式中，与是同类项的是（　　）。 A． B． C． D． 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只写结果。覆盖棱柱的构成、绝对值与整数、分配律、乘方运算、科学记数法、代数式求值、整式加减与单项式规律。 9．顶点数为18的棱柱是________棱柱，它的棱一共有________条。 10．大于−2.6且小于3.4的整数共有________个，它们的和是________。 11．计算：+−×48＝________。 12．计算：−÷(−4)＝________。 13．把一个长4 cm、宽3 cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积最大是________c m³（结果保留π）。 14．当a＝，b＝3时，代数式−ab的值是________。 15．化简：2(a−b)−(3a＋b)＝________。 16．按规律排列的一组单项式：2a，，，，…，其中第8个单项式是________。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～24题写出完整过程。其中第19、21、24题把几何体与有理数、整式放在一起综合运用。 17．计算：(1)−+×−|−5|；(2)−−×＋6)。 18．先化简，再求值：−−−−4)，其中m＝−2，n＝。 19．如图，一个长8 cm、宽6 cm、高5 cm的长方体木块，沿平行于上下底面的方向切开。(1)切一刀得到两个小长方体，表面积之和比原来增加多少平方厘米？(2)沿同一方向切n刀，表面积之和比原来增加多少平方厘米？用含n的式子表示，并求n＝4时增加的面积。 20．六个小组回收废旧电池，以每组40节为标准，多于标准记为正，少于标准记为负，记录为：+12，−5，0，+23，−18，+6。(1)回收最多的小组比最少的小组多回收多少节？(2)六个小组一共回收多少节电池？ 21．用打包带把一个长为a cm、宽为b cm、高为c cm的长方体纸箱十字形捆扎：一道打包带沿长和高绕纸箱一周，另一道沿宽和高绕纸箱一周，两道打包带的接头一共用去15 cm。(1)打包带一共需要多长？写成含a，b，c的式子；(2)当a＝50，b＝40，c＝30时，求打包带的长度。 22．观察下列等式：2＝−2，2＋＝−2，2＋+＝−2，…(1)按规律写出第n个等式；(2)利用这个规律计算+＋…＋（结果用幂的形式表示）。 23．如图，数轴上表示有理数a，b，c的点从左到右排列。把式子|a−b|＋|b＋c|−|c−a|化简。 24．如图所示的形状图，是从上面看一个由棱长为2 cm的小正方体叠成的组合体得到的（下面一排是前排），格中的式子给出这一位置叠放的小正方体个数（a为正整数）。(1)小正方体一共有多少个？用含a的式子表示；(2)取a＝3，算出这个组合体的体积（单位：c m³）。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $