专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（第一～三章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第一~三章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握数字类与图形类规律探索问题的解题策略 · 灵活运用绝对值与数轴知识解决距离、动点问题 · 熟练进行含乘方的有理数混合运算 · 掌握整式加减与代数式求值的综合应用 · 能综合运用数与代数知识解决压轴型问题 📚 知识梳理 ☆ 1.规律探索 数字类规律：观察相邻项差、比值或周期，写出第n项的代数式 图形类规律：用n表示图形个数，找到图形与序号的对应关系 常见模型：等差数列a+(n−1)d、平方数列n2、2n等 验证方法：将n=1代入所得代数式，应与第一项相符 概念辨析例题：观察图形：第1个图形有4个★，第2个有7个★，第3个有10个★，第n个图形有多少个★？ 答案：3n+1 解析：相邻图形★数相差3，第1个为4=3×1+1，故第n个图形有(3n+1)个★。 ☆ 2.绝对值与数轴 数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，则AB=|a−b| 动点问题：点在数轴上每秒运动，位置用起点坐标±速度×时间表示 化简含字母的绝对值：先判断字母的正负，再去绝对值符号 |a|的几何意义是到原点的距离，|a−b|是到b的距离 概念辨析例题：数轴上A点表示−2，B点表示5，求A、B两点间的距离。 答案：7 解析：两点间距离=|−2−5|=|−7|=7。 ☆ 3.运算与整式 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 乘方符号规律：负数的奇次幂为负、偶次幂为正 整式加减：去括号（注意负号变号）、合并同类项 代数式求值：先化简再代入，或整体代入已知式子的值 概念辨析例题：当a=2时，求3a2−2a+1的值。 答案：9 解析：将a=2代入：3×4−4+1=12−4+1=9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 两点距离 |a−b| 结果非负 乘方符号 负奇次幂负、偶次幂正 底数带括号 去括号 负号后各项变号 逐项处理 同类项 字母相同且指数相同 合并只变系数 规律探索 第n项代数式 代入n=1验证 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字类与图形类规律探索（第1-24题） · 观察相邻项差或周期，确定递推关系 · 图形类规律：建立图形个数与序号的函数关系 · 用代数式表示第n项，代入n=1验证后求指定项 1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列内容：，如果有理数满足． 试求：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的混合运算，先由非负数的性质求出和的值，代入所求式子，利用裂项相消法化简计算． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 解得，， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？ 为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用． 探究一：当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分 探究二：当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分， 探究三：当在平面内画2条直线，该平面最多被分成4部分， 探究四：当在平面内画3条直线，该平面最多被分成7部分， 问题：一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数最多为（    ）块    A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律，通过计算、观察、发现规律是解题关键． 根据题干信息找出n条直线时平面最多可分多少部分，以及求解正方体的切割问题． 【详解】解：1条直线时，平面最多被分为部分； 2条直线时，平面最多被分为部分； 3条直线时，平面最多被分为部分； 4条直线时，平面最多被分为部分； 5条直线时，平面最多被分为部分 ∴n条直线时：平面最多可分为： （部分）， ∴一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数最多为（块）， 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·期末）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第8个图形中点的个数是（   ） A．71个 B．73个 C．75个 D．77个 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了整式的规律探索，正确探索发现规律是解题的关键． 根据题意，第1个图形中点的个数为（个），第2个图形中点的个数为（个），第3个图形中点的个数为（个），第4个图形中点的个数为（个），依次规律即可得第n个图形中点的个数为个，代入第8个图形即可求得个数． 【详解】解：根据题意，第1个图形中点的个数为（个）， 第2个图形中点的个数为（个）， 第3个图形中点的个数为（个）， 第4个图形中点的个数为（个）， …… 第n个图形中点的个数为个， 第8个图形中点的个数为（个）， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（    ） A．39 B．27 C．24 D．25 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索．根据题干中给出的例子，拼1个等边三角形需要3根小木棒，拼2个需要5根，拼3个需要7根，可知拼n个等边三角形时，至少需要的小木棒根数为.这是一种链状拼法，每增加一个三角形需添加2根小木棒（共享一边）.因此拼13个等边三角形时，至少需要根． 【详解】∵拼1个三角形需3根，拼2个需5根，拼3个需7根， ∴拼n个三角形需根． 当时，． ∴至少需要27根． 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．3 D．9 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察所给的结果的尾数，发现运算结果的末位数字循环出现，从而可确定的末位数字是，再求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，…， ∴运算结果的末位数字循环出现， ∵， ∴的末位数字等于个周期的末位数字之和再加上第项的末位数字， ∵一个周期的末位数字之和为，其末位数字为， ∴个周期的末位数字之和的末位数字仍为， ∵的末位数字是， ∴原式的末位数字是， 故选：C． 6．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若的个位数字是3，则a的值可能是（    ） A．13 B．24 C．35 D．37 【答案】D 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键．先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是3，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值． 【详解】解：的个位数字是4， 的个位数字是6（）， 的个位数字是4（）， 的个位数字是6（）， 可以发现当n为奇数时，个位数字是4；当n为偶数时，个位数字是6． ∴个位数字是6． 结果的个位数字是3， ∴结果的个位数字是7． ∵个位数字是3（的幂次个位数字以3、9、7、1循环，，余数为1时个位是3）， 个位数字是4（4的幂次个位数字以4、6循环，，余数为1时个位是4）， 个位数字是5（5的任何正整数次幂个位数字都是5）， 个位数字是7（7的幂次个位数字以7、9、3、1循环，，余数为1时个位是7）． 的值可能是37． 故选：D． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．则下列说法错误的是（   ） A．若，则生成的这数串中必有（为正整数） B．若，生成的前2025个数之和为4759 C．若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5 D．若，则的值是56 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【点睛】本题考查了新定义问题，能够理解定义，分别计算出每一组数串是解题的关键．根据定义，逐项计算判定即可． 【详解】解：A、当时，按规则生成数串：4，2，1，4，2，1，……，每3项循环，则有，故该选项正确，不符合题意； B、时，前6项为6，3，10，5，16，8，和为48；后续每3项4，2，1循环，和为7，前2025项包含前6项和个周期，所以总和为，故该选项正确，不符合题意； C、若，则可能为偶数，此时，解得；可能为奇数，此时，解得，故该选项正确，不符合题意； D、当，则，，或即，遗漏9，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列数字规律 2          8  32        128     则第8行第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字的变化规律等知识，考查了乘方运算，有理数的加法等知识，发现数字变化规律是解题关键．观察数字，得到第n个数字可以表示为．所以第k行有个数，从而得到第8行第10个数为第个数，把代入，即可求解． 【详解】解：由题意得 这些数字由上往下依次为 ， 所以第n个数字可以表示为． 因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数， 所以第k行有个数， 所以到第8行第10个数共有个数， 当时，． 故选：A 9．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D．196 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是：第个图：；由，可求出，代入的规律即可求解． 【详解】解：由图得 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 当时， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了数字类的规律探究，找出规律是解题的关键． 10．（25-26七年级上·全国·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，例如，2的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，则____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律型、新定义，通过计算差倒数序列的前几项，发现序列呈现周期性循环，周期为3，进而求解． 【详解】解：由差倒数定义，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴序列每3项循环一次，即周期为3， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1（如图所示）．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的m的最小值为______． 【答案】3 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了规律－数字的变换类．首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【详解】解：根据分析，可得： 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3． 则符合条件的m的最小值为3． 故答案为：3． 12．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）对各位数字都不为0的四位正整数，将n的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则____________；已知k为一个四位正整数，，x，y，z均是不为零的数字，若k除以11的余数为2，（t为正整数），则k的最小值为____________． 【答案】 110 4435 【知识点】有理数乘方逆运算、数字类规律探索 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，数的整除，对于，直接计算n、、、的和并除以101得到110﹒对于k，根据k除以11的余数为2可得：或，结合正整数及最小值的含义可得：和，再进一步结合的条件，进而求出k的最小值为4435﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，其中y、z均为1到9的数字，只能为至的正整数，k除以11的余数为2， ∴是的倍数，， ∴或， ∴或， ∵最小，且， 当时，则或， ∵为正整数， ∴舍去， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∵（t为正整数）， ∴此时不符合题意，舍去， 当，，时， ∴，， ∴， ∵（t为正整数）， ∴此时不符合题意，舍去， 当，，时， ∴，， ∴， ∵（t为正整数）， ∴，则 ∴此时符合题意， ∴的最小值为：． 故答案为：110，4435﹒ 13．（25-26七年级下·安徽六安·期末）某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得； （1）当时，可得___________； （2）若，则的值为________． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】（1）分别计算出即可求解； （2）根据（1）总结的规律，再利用规律计算，根据奇偶性分类讨论第二问，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：（1） 当时，有六种取法，因此； 当时，有九种取法，因此； 当时，有，，十二种取法，因此； （2）由（1）得：任取中两个不同的数，不考虑顺序，设两数为，要求，归纳得：当为偶数时，设，则；当为奇数时，设，则； 由，得奇偶性不同，分两种情况： 情况1：为偶数，设，则，为奇数，，，代入得：，整理得，即， 由于， 则，符合要求，此时，，； 情况2：为奇数，设，则，为偶数，，，代入得：，整理得，即， 由于为正数，则， ∴，不是整数，舍去； 综上，． 14．（2026·山东济宁·二模）如图，将偶数从2开始按如下方向排列，2位于第1层，数字4~10分布在第2层，数字12~24分布在第3层，数字26~44分布在第4层，…，按此规律继续排列下去，数字2026出现在第____________层． 【答案】 27 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【详解】解：由规律可知， 第1层有1个数字，该层的最大数字为； 第2层有4个数字，该层的最大数字为； 第3层有7个数字，该层的最大数字为； 第4层有10个数字，该层的最大数字为； 归纳可得，第n层的数字的个数为，该层最大的数字为， 当时，.， 当时，.， ∵， ∴出现在第27层． 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察下面有规律排列的三行数： ① 分别取第①②③行中的第10个数，依次记为，则的值为___________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的规律探索（含乘方规律）．解题关键是找出三行数字各自的规律，分别求出第个数，再代入计算． 先分别找出三行数字的规律，求出第个数，再代入计算即可． 【详解】第①行的第n个数为， 第②行的第n个数为， 第③行的第n个数为． 令，则，，， 代入表达式得． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份(每一份称为一段弧长)，把这九个点按顺时针方向依次编号为，，，，，，，，，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为的点，那么他应走3段弧长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为的点，然后从为第二次“移位”．若小明从编号为的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方式行走，当“移位”次时，小明到达圆弧点编号为_______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给移动方式，依次求出每次“位移”时小明到达圆弧点的编号，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为小明从编号为1的点开始， 所以当“移位”1次时，小明到达圆弧点编号为2， 当“移位”2次时，小明到达圆弧点编号为4， 当“移位”3次时，小明到达圆弧点编号为8， 当“移位”4次时，小明到达圆弧点编号为7， 当“移位”5次时，小明到达圆弧点编号为5， 当“移位”6次时，小明到达圆弧点编号为1， …， 由此可见，从第1次“位移”开始，每经过6次“位移”，小明到达圆弧点编号按2，4，8，7，5，1循环． 因为， 所以当“移位”2026次时，小明到达圆弧点编号为． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（综合与实践） 阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，……，按照等号右边的形式直接写出结果：______； (2)根据上述方法计算： ； (3)根据上述方法计算：； ［拓展］ (4)观察：，，……，计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律进行计算即可； （3）将改写成，改写成，…，据此可解决问题； （4）将原式变形为，再根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，即可解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵，，， ∴ ； （4）解： ． 18．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）观察下列等式： ； ； ； ； ； 以上每个等式中两边数字是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的数字规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ______ ______． (2)设左边两位数的十位数字为，个位数字为，且． 等式左边的两位数与三位数的积能否被整除？请说明理由； 请用含，的代数式表示“数字对称等式”并证明． 【答案】(1) ， (2) 左边两位数的十位数字为，个位数字为， 左边的两位数是，三位数是， 右边的两位数是，三位数是， 等式左边的两位数与三位数的积不能被整除； 一般规律的式子为：， 证明：左边， ， ， ， 右边， ， ， ， 左边右边， 所以“数字对称等式”一般规律的式子为：． 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题是一道较为基础的题型，考查的是学生对于探索数字的规律的熟练程度，根据探索数字的规律即可解答. （1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可； （2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可． 本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键 【详解】（1）解：， 左边的三位数是，右边的三位数是， ， 故答案为：； （2）略 19．（25-26七年级上·北京·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表决策．了解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，_______；当时，______； (2)当输入的为不超过20的有理数，此时输出的值为0，则输入的为________． (3)若是自然数，请写出的所有可能值_______． 【答案】(1)3；1 (2)0或5或10或15或20 (3)0，1，2，3 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，数字类规律探索等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得， 不大于， 取绝对值，得， 当时，； 当时， 大于， 加，得， 大于， 加，得， 大于， 加，得， …… 大于， 加，得， 大于， 加，得， 不大于， 取相反数，得， 大于， 取倒数，得， 当时，； 故答案为：；； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是， 当时，则； 当时， 是输入的经过若干次加而来， （是正整数）， ， 输入的为0或5或10或15或20； 故答案为：0或5或10或15或20； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为，，，， 故答案为：，，，． 20．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ； A．     B． C．     D． ②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示的点重合 ． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示 ，点表示 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为 ．（用含有，的式子表示） 【答案】(1)①D；②1012； (2)①；②；；③． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数轴上的平移、翻折变换，以及有理数的运算、中点公式．熟练掌握数轴上点的移动规律、折叠中点的计算方法是解题的关键． （1）①先确定数轴上正负方向移动的表示方法，再列算式计算结果．②观察跳跃规律，将相邻两次跳跃看作一组计算每组结果，再根据总次数求总和． （2）①先求折叠中点，再利用中点与两点的距离关系计算对应点．②根据折叠中点和两点距离，结合、位置关系计算两点表示的数．③根据数轴上两点中点的计算方法推导式子． 【详解】（1）解：①， 答案：； ②每两次为一组，每组结果：， ， …， 次共组， ∴总和：， 答案：； （2）解：①折叠中点：， 设与重合的数为，则 ， 解得， 答案：； ②折叠中点为，、距离，在左、在右： ，， 答案：：；：； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为， 答案：． 21．（25-26七年级上·四川成都·期中）把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 【答案】(1)5；5 (2)165 (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律和利用规律计算，难度较大，解题的关键是找到对应的规律并利用规律解决计算问题， （1）找出数字“8”和“9”在数表第一次和最后一次的位置，即可求解； （2）根据数表找出第十行的第一个数和总共数字的个数，求和即可解答； （3）利用已知的数表得到，则，那么，，再次利用求和方法即可得到，并得到，计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 数字“8”第一次出现在第四行，且此时数字“8”为该行中的最大数， 数字“8”最后一次出现在第八行，且此时数字“8”为该行中的最小数， 则， 所以数字“8”一共出现了5次； 数字“9”第一次出现在第五行，且此时数字“9”为该行中的倒数第2个数， 数字“9”最后一次出现在第九行，且此时数字“9”为该行中的最小数， 则， 所以数字“9”一共出现了5次； 故答案为：5，5； （2）解：由题知， 第十行有11个数，且该行的第1个数为10，后续数依次增加1， 则… 故答案为：165； （3）解：， ， ， ， 则， ∴， 则， ∵n个数相加的和为， ∴个数相加的和为， 则， 那么，， ∴ ． 【考点2】绝对值与数轴（两点距离、动点）（第25-39题） · 两点距离=|a−b|，动点位置=起点±速度×时间 · 含字母绝对值先判符号再去绝对值 · 分类讨论：动点可能出现在原点两侧或运动方向变化处 22．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，绝对值的几何意义，整式的加减运算，理解新定义运算是解题的关键． 根据“F运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“F运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：①由题意得， ，解得 或3，故①错误； ②由题意得，即， ∴当，等式成立；故②正确； ③对进行“运算”得， 当 ，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， ∴进行“运算”化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故③错误； 故选：B． 23．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）的最小值是______． 【答案】16 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握分类讨论的思想． 通过分段讨论绝对值表达式，根据关键点，，将数轴分为四个区间，分别计算每个区间内表达式的值，并比较最小值． 【详解】解：当 时， 原式， ∴在时取最小值； 当 时， 原式，则该代数式的值大于； 当时， 原式，则该代数式的值大于； 当时， 原式，则该代数式的值大于； 综上，最小值为， 故答案为：16． 24．（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值是，则__________． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】由绝对值的几何意义可判断当取点、点、点中间点的时候，代数式有最小值，根据与和的大小关系进行分类讨论，解方程即可． 【详解】解：代数式表示数轴上点与点、点、点之间的距离之和，当取点、点、点中间点的时候，代数式有最小值， ①当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； ②当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； ③当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，的值是或． 25．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 【答案】（1）7，11；（2）7或；（3）4或；（4）小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，数轴上两点距离的表示方法：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离； （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是； （2）表示m到2的距离为5，结合数轴即可得出结果； （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，结合数轴即可得出结果； （4）利用爷爷和小明之间年龄差不变，结合数轴即可得出结果. 【详解】解：（1）∵， ∴数轴上表示2和9两点之间的距离是7， ∵， ∴数轴上表示5和的两点之间的距离是11. 故答案为：7，11. （2）表示m到2的距离为5，如图所示： ∵， ∴或， ∴或， ∴到2的距离为5的数是7或， 故m的值为7或. （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，如图所示： ①当时，，即， 解得： ②当时，，即， ∵不成立， ∴当时不成立， ③当时，，即， 解得： 综上：x的值为4或. （4）画出数轴如图所示： 小明现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C则当点C移动到点B时，点B移动到了点A，当点B移动到点C时，点C移动到了点D， ∵爷爷和小明之间年龄差不变，即在数轴上两点之间距离不变， ∴， 又∵爷爷说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁” ∴点A表示，点D，表示98， ∴， ∴（岁），（岁）， 即小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁. 26．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 【答案】[初步感知]：（1）5（2）[拓展研究]：（1）4（2）5[实际应用]：18 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值的意义． [初步感知]：（1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）利用两点间的距离公式进行计算即可； [拓展研究]（1）根据绝对值的意义，得到当当在到之间时，的值最小，为到的距离，即可； （2）根据绝对值的意义，得到的最小值为4，的最小值为，根据，得到，，进而得到的最大值，再进行计算即可； [实际应用]根据题意，得到在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多，这样调动的车的数量最小，进而得到先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站，再从站调动6辆到站，此时调动的数量最小，求解即可． 解题的关键是掌握两点间的距离公式，以及绝对值的意义． 【详解】解：[初步感知]：（1）A、C两点之间的距离为； 故答案为：5； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为； 故答案为：； [拓展研究]（1）表示数轴上到1的距离与到4的距离之和， ∴当在到之间时，有最小值为：； 故答案为：3； （2）∵表示数轴上到1的距离与到的距离之和， ∴当在到1之间时，有最小值为； 同理：当在到2之间时，有最小值为； ∵； ∴，， ∴， ∴当，时，有最大值为； 故答案为：5； [实际应用]∵， ∴每个站点最终都应该有15辆车， ∵只能从相邻的公司调动，且一共调动的车辆数最小， ∴需要在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多， ∴先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站， 此时，站，站都是15辆车，站21辆，站9辆， 再从站调动6辆到站，此时站，站也都是15辆车， 共调动：辆； 故答案为：． 27．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是________； (2)若，求m的值； (3)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】(1) (2)或5 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值，两点间的距离公式，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出. 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是， 故答案为：；； （2）解：，表示与的距离为， 当在左边时，； 当在右边时，； 则的值为或； （3）解：∵的最小值是4，即当在和之间时，， ∴或， ∴或． 28．（25-26七年级上·广西南宁·期中）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令① 则② ①+②得：， 即． 材料二：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：_____；_____；_____； (2)已知，且，求的值： (3)设代数式，已知，是数轴上的两个点，分别表示有理数和，且线段的长为4．若数满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）先判断y的范围，再根据新定义化简并整体代入求值即可； （3）根据非负性可得，根据新定义可得，即可求出a，再根据数轴上两点之间的距离求出b，再分类讨论，根据新定义和材料一的求和求解即可． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：； （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 29．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义、倒数、线段的和与差 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【详解】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 30．（25-26七年级上·北京·期中）已知点为数轴原点，对于数轴上的图形和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，图形上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，那么称图形与图形为关于点的关联图形，此时若线段的长度存在最小值，称该最小值为图形与图形的关联距离，记作． (1)如图1，数轴上，表示的数分别为，1，2，3，下列线段能与点组成关于点的关联图形的是_____； ①线段   ②线段    ③线段 (2)数轴上表示的数分别为， ①若，则_____； ②若，则的值为_____； ③若线段与线段为关于点的关联图形，则的最大值为_____． ④若线段在原点的左侧，且线段与线段为关于点的关联图形，则_____或_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)② ③ (2)①0；②；③ 5 ④或6 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据定义判断解答即可； （2）①设P点表示的数用表示，点表示的数用表示，且，， 根据题意，，此时应满足，此时重合，且，解答即可； ②根据题意，得，且，线段，线段GH）=7，求得， 根据题意，当点F与点P重合时，取得最小值，解答即可； ③当点E与点P重合时，取得最大值，，解答即可． ④根据定义解答即可． 本题考查了轴上的两点间距离，新定义，熟练掌握数轴上点表示数，数轴上的两点间距离，绝对值是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，数轴上，表示的数分别为，1，2，3， 点到点的距离为，等于数表示点到点的距离，数表示点在线段 ，线段上，符合题意， 故答案为：②，③． （2）①解：当时，数轴上表示的数分别为，如图所示， 图形上存在一点，图形上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，设P点表示的数用表示，点表示的数用表示，且，， 根据题意，，此时应满足，此时重合，且， 故， 故答案为：0； ②解：根据题意，得，且， 故， 解得， 根据题意，当点F与点P重合时，取得最小值， 由点Q为正数， 故点P是负数， 故点P表示的数， 根据题意，， 解得， 故答案为：； ③解：根据题意，得，， 根据题意，当点E与点P重合时，取得最大值，， 此时， 故答案为：5． ④解：∵线段在原点的左侧， ∴， ∴， ∵线段与线段为关于点的关联图形， ∴, ∴点表示的数最小为时，点E表示的数为， 当时，； 当时，； 故答案为：或6． 31．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 32．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例：数轴上表示数和数3的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示和2的两点之间的距离等于______；如果表示数a和的两点之间的距离等于3，那么______． (2)若数轴上表示数m的点位于和2之间，求的值． (3)如图，点A、O、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、C表示的数分别是a、c．若点A代表的数为，B为A右侧的一个动点，用b表示，数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式的值都不变，求的值． 【答案】(1)5；或 (2)6 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值，整式加减中的无关型问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点的位置，化简绝对值即可； （3）化简绝对值，合并同类项后，根据代数式的值不变，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 或； 故答案为：5；或． （2）∵数轴上表示数m的点位于和2之间， ∴； （3）由题意，点在点的右侧，则， 当时， ， ∵代数式的值都不变， ∴， ∴； 当时， ， ∵代数式的值都不变， ∴， ∴； 综上：或． 【考点3】有理数的混合运算（含乘方）（第40-47题） · 严格按先乘方、再乘除、后加减的顺序 · 注意(−a)n与−an的区别 · 利用运算律简化复杂计算 33．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）阅读理解：十进制记数采用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦．八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号“”和“”组成（如图），符号“”和“”分别表示1和0．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则________． 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二进制数 转换成十进制数 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】 本题考查了有理数的混合运算、求代数式的值．本题中首先根据符号“”和“”，分别表示和，再根据“风”表示的二进制数为和风所对应的符号可知，读的时候是由下向上读的，分别把和所对应的二进制数表示出来，然后再转化为十进制数，再代入代数式进行计算即可． 【详解】 解：符号“”和“”，分别表示和， 从表中“风”表示的二进制数为和风所对应的符号可知，读的时候是由下向上读的， 所对应的二进制数为，转换为十进制数为， 所对应的二进制数为转换为十进制数为， 故答案为：． 34．（25-26七年级上·云南昆明·期中）人们对图形的探索一直没有停止，1925年，数学家莫伦发现了一个长方形可以被10个正方形分割，称之为完美长方形.完美长方形是指可以用大小各不相同的正方形拼合而成的长方形.图中是由9个小正方形组成的完美长方形，图中标注的正方形的面积是100，求问号处正方形的面积是______. 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算、列代数式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的乘方，列代数式，代数式求值，解题的关键是正确找到关系式，求得正方形的边长． 如图，标上字母，由题意可得，设，，得到问号处正方形的面积为，求得边长，，利用得到，从而求得，即可求解． 【详解】解：如图，标上字母， 由题意可得，正方形的面积为，可知， 设，，则 则问号处正方形的面积为， 由题意可得，，， ∴， 则，可得， 则， 则问号处正方形的面积是， 故答案为：． 35．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据已知等式推出 ，可得，由此化简第二个等式得到，代入第一个等式后分和讨论，求出与的值，再代入计算结果． 【详解】解： 实数，同时满足 ， ， ， ， 解得， ，，即，整理得， 将代入 ，得 ， 整理得 ， 当时， ，舍去该情况， 当时， ，解得， 将代入，得 ， ． 36．（25-26七年级上·全国·期末）根据综合与实践“进位制的认识与探究”可知，进位制约定“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：（规定当时，）．相反地，若要将十进制数46转换为三进制数，因为，即，所以．所以46转换为三进制数为．仿照前面对进制的相互转化，则十进制数262转化为七进制数是__________；若与的和能被6整除，且与的和能被5整除（，，且m、n为整数），则的值为________． 【答案】 523 4 【知识点】乘方的应用、整式加减的应用 【分析】本题主要考查有理数乘方与整式加减的应用，解题的关键是理解题意；第一部分通过除基取余法将十进制数262转换为七进制数；第二部分将各进制数转换为十进制后，利用模运算条件求解m和n的值． 【详解】解：对于十进制数262转换为七进制数：余3，余2，余5，故七进制数为． 对于第二部分，首先将转换为十进制：； 将转换为十进制：． ∴它们的和为必须被6整除， ∴， ∵， ∴当时，是6的倍数； 再将转换为十进制：； 将转换为十进制：． 它们的和必须被5整除， ∴．代入，得， ∵， ∴当时，则是5的倍数， ∴； 故答案为523，4． 37．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2，，；（2）；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数探索出数的排列规律，再根据例题会用错位相减法求和是解题的关键． （1）根据所给的数，可得，再求解即可； （2）令，则，再作差求和即可； （3）设 ，则，再作差得，再结合（1）②的结论求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴每一项与前一项之比是常数2， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）令， ∴， ∴， 解得，     ∴的值为； （3）设 ， ∴ ， ∴， 由（1）②得， 所以， 即， 所以． 【考点4】整式的加减与代数式求值（第48-59题） · 去括号注意符号变化，再合并同类项 · 先化简再代入求值 · 整体代入法：已知式子的值求代数式的值 38．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①不符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①错误； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为： ， 当时，，说法④正确， 故选：B． 39．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法：①若，则；②满足条件的整式中不存在单项式；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】单项式的判断、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了整式的有关定义，通过展开得到值，可判断①；根据系数的条件可判断②；通过枚举法可判断③，综上即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，其中为自然数，为正整数， 若，则，，， ∵ 是负整数，，故说法①错误； ②∵为自然数，为正整数， ∴，， ∴一定不是单项式，故说法②正确； ③∵为自然数，为正整数， ∴，，， 若，则符合条件的组合有：，，；，，；，，；，，；，，；，，，共组， ∴满足条件的整式共有个，故说法③错误； 综上，说法正确的有个， 故选：． 40．（25-26七年级上·陕西西安·期末）在长方形中放入个正方形，如图所示：若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式加减的应用，由题意可知，，，，即得，，进而得到图中阴影部分的周长，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长 ， ∴知道线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和， 故选：． 41．（2026八年级下·重庆·专题练习）已知整式，其中为自然数，与均为正整数，例：当，时，有．下列说法： ①若，则符合条件的整式中有4个二次二项式； ②若，则符合条件的整式有8个； ③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】根据题目定义，结合系数的取值范围，分别判断三个说法的正误，最终统计正确说法的个数． 【详解】解：由题意知，和为正整数，为包含的自然数． ①若，可得，其中；要求是二次二项式，则仅存在两种情况：或． 当时，，，共有两组解，即个符合条件的整式； 当时，，，共有两组解，即个符合条件的整式； 合计个，故①正确． ②若，是正整数，则是的正因数，即，分别计算： 当时，，即，，共有组不同解，对应个整式； 当时，，即，，时有组解，时有组解，合计个整式； 当时，，即，，仅其余系数全为这种情况，对应个整式； 合计个，故②正确． ③若，且是二次三项式，则，可得． ， ，整理得． 当时，，当时，，不是正数，故③错误． 综上，正确的说法共个． 42．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，掌握多项式的次数和项数为解答本题的关键．根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，据此求解． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， ∴． 故答案为：． 43．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”． （1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为___________． （2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为___________． 【答案】 1452或2541/2541或1452 6952 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减、有理数的加法、有理数的除法，解决本题的关键是根据“对称数”的定义，表示出对称数． （1）假设这个四位数为，根据四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，得，或，，再根据题意得，，分别代入a、b的值，即可求出这个四位数； （2）设P的千位为a，个位为b，百位为，十位为，则，，因为Q除以9后余数为2，所以除以9后余数为2，再由四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，得，，得，进而得，，因为Q取得最大值，所以，，据此可表示出这个四位数． 【详解】解：（1）假设这个四位数为， 则有， 因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， 所以，或，， 因为，， 所以当，时，，，这个数是1452； 当，时，，，这个数是2541； 故答案为：1452或2541； （2）设P的千位为a，个位为b，百位为，十位为， ， ， 因为Q除以9后余数为2， 所以除以9后余数为2， 因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， 所以，， 所以， 所以， 所以， 因为Q取得最大值， 所以，， 所以，， 因此这个数为6952． 故答案为：6952． 44．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，点在边上，分别以为边作正方形和正方形．点在边上，以为边作正方形．记正方形的面积为，正方形面积为．若阴影部分的面积为，，则的值为____．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了代数式，设，，先表示和的面积，再得到，结合阴影部分的面积为得出结论． 【详解】解：如图所示， 设，， 则，， ，，四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， ， 即， ． 45．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）若一个两位数的十位和个位上的数字分别为，，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． 【基础尝试】 (1)填空： 如果要用数字，，组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是________；最小的三位数是________． 【问题探究】 (2)若一个三位数各数位上的数由，，三个数字组成，且．那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除． 【拓展运用】 (3)黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象： ①任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为，则），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．求该“卡普雷卡尔黑洞数”； ②任意找一个能够被整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次（如），所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加……如此重复运算下去，就能得到一个固定的数，我们称它为数字黑洞，求的值． 【答案】(1) (2) ∵， ∴最大的三位数是：，最小的三位数是：， ∴， ∴最大三位数与最小三位数之差可以被整除； (3)①② 【知识点】列代数式、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减计算，有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意正确列式； （1）根据大数位数字越大整个数字越大，大数位数字越小整个数字越小，即可得到答案； （2）先确定最大与最小的三位数，相减后，进行判断即可； （3）①任选一个数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可； ②任选一个数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可． 【详解】（1）解：由题意可得； ∵， ∴用数字，，组成一个三位数，最大的三位数是：，最小的三位数是：， 故答案为：，； （2）略 （3）解：①任选一个数字， 由题意可得， ， ， ， ， 之后结果重复出现，故“卡普雷卡尔黑洞数”是， ∴“卡普雷卡尔黑洞数”是：． ②任选一个正整数3，由题意得：， ， ， ， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 规律探索先找差或周期，代数式表达后验证首项 · 数轴距离与动点问题画数轴辅助分析，注意分类讨论 · 混合运算严格按顺序，乘方注意底数符号 · 整式运算先化简再求值，熟练运用整体代入 · 压轴题拆分小问，逐步得分 【作业1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 【作业2】．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）已知a，b是有理数，且，下列结论：①；②；③若是有理数，且满足，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘法，有理数加减法，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，即可判断①；再由，可得即可判断②；由，根据绝对值的意义可求出；或，进而可求出或，，即可判断③． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 又因为， 所以，故②正确； 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以或， 所以或， 所以或，故③错误， 故选：C． 【作业3】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 【作业4】．（25-26八年级下·重庆·期中）对于多项式，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，有以下几种说法： ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到； ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式； ③乙同学通过“加负运算”后可以得到10个不同的代数式． 以上说法正确的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】①乙同学第一次对a和d，第二次对a和e进行加负运算，可得①正确；根据甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，可得②正确；分类讨论，分三种情况讨论，情况一若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；若固定改变b，乙同学可改变字母或或；固定改变c，乙同学可改变字母或；固定改变d，乙同学可改变字母，情况二在第一种的基础上再改变2个字母，情况三改变两次，可得不同代数式的个数，即可判断③错误 【详解】解：原多项式为，“加负运算”本质是改变所选字母的符号，逐一验证： ①要得到，操作如下：第一次对和做加负运算，得到，第二次对和做加负运算，得到，故①正确． ②乙做一次加负运算改变2个字母的符号，要得到乙结果的相反代数式，需要所有5个字母都改变符号，还需要改变个字母的符号，甲每次对3个字母做加负运算，只需改变剩余3个字母的符号即可得到目标代数式，故②正确． ③第一种：改变2个字母：若固定改变a，乙同学可改变字母或或或； 若固定改变b，乙同学可改变字母或或； 固定改变c，乙同学可改变字母或； 固定改变d，乙同学可改变字母， 所以有种， 第二种：在第一种的基础上再改变2个字母：即乙同学可改变字母，，，，共5种 第三种，即改变两次，得到原来的代数式，共1种， 综上所述，共有种，故③错误 综上，说法①、②正确，说法③错误，故正确个数为2． 【作业5】．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）有一快艇从鄂黄长江大桥处顺江逆流而上，途中艇上的一塑料浮标球不慎掉入江中，待有人发现后立即调头追这个浮标球．已知快艇从调头到追上浮标球共用了6分钟，那么快艇调头的时间是在浮标球掉入江中（    ）后．（    ） A．3分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．12分钟 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了代数式的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题的关键． 设快艇在静水中的速度为V，水流速度为U，快艇调头时浮标球已掉落T分钟，根据相对速度关系，从调头到追上的时间等于T列式解答即可． 【详解】解：设快艇在静水中的速度为V，水流速度为U． ∴浮标球掉落瞬间，快艇与浮标球同位置． ∵快艇逆流而上速度为，浮标球顺流而下速度为U， ∴在时间T内，两者距离增加量为相对速度乘以时间， ∴相对速度，距离． ∴快艇调头后顺流而下速度为，浮标球速度仍为U， ∴相对速度（追及速度）为． ∴追及时间相对速度． ∵分钟， ∴分钟． 故快艇调头时间在浮标球掉入江中6分钟后． 故选C． 【作业6】．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为______个． 【答案】183 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类规律探究；观察图形，根据前几个图形中正方形的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成， 正方形和等边三角形的和为， 第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成， 正方形和等边三角形的和为， 第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成， 正方形和等边三角形的和为， ， 第20个图中正方形和等边三角形的和为． 故答案为：183． 【作业7】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了绝对值的化简运算，有理数的混合运算． 分别根据条件求出字母的正负情况，进而根据绝对值的意义化简后计算即可． 【详解】解：①当x和y同为正时，原式， 当x和y同为负时，原式， 当x和y为一正一负时，原式， 故结论正确； ②当时，则，x和y为一正一负， 若x正y负，， 若x负y正，， 故结论正确； ③当，时，则x，y，z中必有一负两正，可设z为负， ∵，，， ∴； 故结论错误； ④当时，则x，y，z为一正两负或一负两正， 当为一正两负时，可设z为正，， 当为一负两正时，可设z为负，， 故结论正确． 故答案为：①②④． 【作业8】．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）对于各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，则称为“幸运数”．设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为，令．当时，则______；若为整数，则满足条件的“幸运数”的最大值与最小值之差为______． 【答案】 77 7524 【知识点】有理数四则混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减运算，有理数的混合运算，理解新定义的含义，掌握整式的混合运算，有理数的混合运算是关键． 根据“幸运数”的计算方法，结合整式的混合运算，有理数的混合运算法则分类讨论即可求解． 【详解】解：各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，称为“幸运数”， 设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，且时， ∴“幸运数”的十位数字式，个位数字为， ∴“幸运数”， ∴将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为， ∴， ∴， 根据题意，设， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且“幸运数”最大， ∴当时，，则时，均不符合题意，时，符合题意， ∴，此时“幸运数”的最大值为， “幸运数”最小， 同理，时，，则时，不符合题意，时，符合题意， ∴，此时“幸运数”的最小值为， ∴， 故答案为：①；② ． 【作业9】．（2025·重庆·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十全数”．例如：四位数7923，∵，∴792是“十全数”；又如：四位数3418，∵，3418不是“十全数”．若一个“十全数”为，则这个数为_________，若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是_________． 【答案】 3527 9362 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算等知识，理解新定义，正确进行各种变形是解题的关键． （1）根据“十全数”的意义即可求解； （2）由题意得，，则被9除余1，确定出最大为47，最小取13，故只能为19，28，37，46；由得：，确定是9的倍数，然后确定的取值范围后得，从而得，，则消去c得，然后就四个数的取值列表即可求解． 【详解】解：由“十全数”的含义得：， 解得：， 则这个数为3527； 由题意得：， 即， 上式被9除余1，则被9除余1， 由题意的和最大为取，b，c的和最大为17，其和最小为，b，c的和最小为3，则最大为47，最小取13； 故只能为19，28，37，46； 由得：， 即是9的倍数； ∵的各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∴， ∴，即； 由得，； ∵只能为19，28，37，46； ∴只能为9，18，27，36； ∵为偶数， ∴，36， 即，18； 但b，c不相等，故其和不可能为18， ∴； 显然a只能为奇数； 当取1，3，5，7，9时， a 1 3 5 7 9 b 5 6 7 8 9 c 4 3 2 1 0 d 9 7 5 3 1 综上，“十全数”为1549，7813，其和为9362； 故答案为：3527，9362． 【作业10】．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【答案】材料一：3；4；6；；； 材料二：点、点之间 点 点、点之间 结论应用：①．②．③，．④ 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、线段的和与差 【分析】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 探索材料1：根据材料1填空，直接写出答案； 探索材料2：根据材料2填空，分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； 结论应用：根据问题材料2得出的结论填空即可． 【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2和5的两点距离为， 数轴上表示数3和的两点距离为， 则的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离， 故答案为：3；4；6；；；； 探索材料2： ①当点P在点A左边时，； 当点P在点A、点之间时，； 当点P在点A右边时，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A、点B之间； ②当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C右边，， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点P在点A左边时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点D右边时，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． 故答案为：点B、点C之间； 结论应用（填空）： ①表示点数轴上表示数到数和的距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ②表示点数轴上表示数到数三点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ③表示点数轴上表示数到数四点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，此时的最大值是． 故答案为：，． ④表示点数轴上表示数到数共个点距离之和， 由探究材料2得奇数个距离之和的最小值时，的值为正中间的那一个数，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【作业11】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）数轴上点A对应的数是，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟． (1)求点C对应的数； (2)若小虫甲返回到A点后再作如下运动：第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，…依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应的数； (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是、、、，当运动时间t不超过1秒时，请你结合数轴利用数学结合思想直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数四则混合运算、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值： （1）求出小虫从爬到所需时间，进而求出小虫从爬到所用时间，进而求出点表示的数即可． （2）根据题意，小虫每往返一次的路程差为，共10次爬行，即5次往返，且A点对应的数为，故它第10次爬行所停在点所对应的数． （3）根据题意，画出数轴，根据绝对值的意义，化简求值即可． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，B点对应的数是1， ∴， ∴小虫从爬到需秒， ∴小虫从爬到所用时间为秒， ∴C点对应的数为； （2）， 即第十次爬行所停在点所对应的数为； （3）由题意可知：在数轴上的位置可以用如图所示的数轴表示， 故， 则：． 【作业12】．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的绝对值、用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】（）已知层的总圆圈个数公式，将时，代入公式即可解答； （）要求第层最左边的数，先通过公式算出前层的总圆圈数为，再用前层总圆圈数加，得到第层最左边的数是； （）先算出层的总圆圈数，确定其中负数、和正数的数量，再计算所有数的绝对值之和，最终结果为． 【详解】（1）解：已知层的总圆圈个数公式为：， 当时，代入公式得： ； （2）解：最底层第层最左边的数前层总圆圈数， 先算前层总圆圈数：； ∴第11层最左边的数是； （3）解：先算层总圆圈数：， 其中个负数，个，个正数， 按题图方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 【作业13】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 【答案】(1)，2 (2)② (3) 当时，； 当时，； (4) 【知识点】有理数的除法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键． （1）根据“除方”的定义，直接计算即可； （2）根据“除方”的定义，可判定①②；分别取与，计算出结果，两者的结果不相等，则可判定③与④均错误； （3）分当与考虑，根据“除方”的定义，把除法转化为乘法运算，即可得到乘方的运算结果； （4）利用（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；2； （2）解：， 而，即， 故①错误； ， 故②正确； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误， 故③错误； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误； 故④错误； 综上，说法正确的是②； 故答案为：②； （3）略 （4）解： ． 【作业14】．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ， (1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ； (2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ． 【答案】(1) (2)百位和十位的数字之和是定值，该定值为 (3) 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式的加减以及求代数式的值； （1）根据题意正确交换数位上的数字即可． （2）要根据，，，的大小关系，正确确定每个数位上的数字，计算百位和十位的数字之和，即可求解． （3）运用整体思想求的值． 【详解】（1）解：将正的四位数交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 故答案为：． （2）是定值． ， ，且，， ， 百位和十位的数字之和是， 百位和十位的数字之和是定值，该定值为． （3）， ， ， 解得． 故答案为：． 【作业15】．（23-24七年级上·贵州黔西南·阶段检测）用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体、求小立方块堆砌图形的表面积、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，解题的关键是理解三视图的定义．在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，再根据表面积的定义求解． 【详解】解：最多时，小立方块的个数如俯视图所示． 则几何体左右各9个小正方形的面，上下各6个小正方形的面，前后各个小正方形的面， ∴表面积． 故选：D． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第一~三章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握数字类与图形类规律探索问题的解题策略 · 灵活运用绝对值与数轴知识解决距离、动点问题 · 熟练进行含乘方的有理数混合运算 · 掌握整式加减与代数式求值的综合应用 · 能综合运用数与代数知识解决压轴型问题 📚 知识梳理 ☆ 1.规律探索 数字类规律：观察相邻项差、比值或周期，写出第n项的代数式 图形类规律：用n表示图形个数，找到图形与序号的对应关系 常见模型：等差数列a+(n−1)d、平方数列n2、2n等 验证方法：将n=1代入所得代数式，应与第一项相符 概念辨析例题：观察图形：第1个图形有4个★，第2个有7个★，第3个有10个★，第n个图形有多少个★？ 答案：3n+1 解析：相邻图形★数相差3，第1个为4=3×1+1，故第n个图形有(3n+1)个★。 ☆ 2.绝对值与数轴 数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，则AB=|a−b| 动点问题：点在数轴上每秒运动，位置用起点坐标±速度×时间表示 化简含字母的绝对值：先判断字母的正负，再去绝对值符号 |a|的几何意义是到原点的距离，|a−b|是到b的距离 概念辨析例题：数轴上A点表示−2，B点表示5，求A、B两点间的距离。 答案：7 解析：两点间距离=|−2−5|=|−7|=7。 ☆ 3.运算与整式 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 乘方符号规律：负数的奇次幂为负、偶次幂为正 整式加减：去括号（注意负号变号）、合并同类项 代数式求值：先化简再代入，或整体代入已知式子的值 概念辨析例题：当a=2时，求3a2−2a+1的值。 答案：9 解析：将a=2代入：3×4−4+1=12−4+1=9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 两点距离 |a−b| 结果非负 乘方符号 负奇次幂负、偶次幂正 底数带括号 去括号 负号后各项变号 逐项处理 同类项 字母相同且指数相同 合并只变系数 规律探索 第n项代数式 代入n=1验证 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字类与图形类规律探索（第1-24题） · 观察相邻项差或周期，确定递推关系 · 图形类规律：建立图形个数与序号的函数关系 · 用代数式表示第n项，代入n=1验证后求指定项 1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列内容：，如果有理数满足． 试求：的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？ 为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用． 探究一：当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分 探究二：当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分， 探究三：当在平面内画2条直线，该平面最多被分成4部分， 探究四：当在平面内画3条直线，该平面最多被分成7部分， 问题：一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数最多为（    ）块    A．28 B．29 C．30 D．31 3．（25-26七年级上·全国·期末）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第8个图形中点的个数是（   ） A．71个 B．73个 C．75个 D．77个 4．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（    ） A．39 B．27 C．24 D．25 5．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．3 D．9 6．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若的个位数字是3，则a的值可能是（    ） A．13 B．24 C．35 D．37 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．则下列说法错误的是（   ） A．若，则生成的这数串中必有（为正整数） B．若，生成的前2025个数之和为4759 C．若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5 D．若，则的值是56 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列数字规律 2          8  32        128     则第8行第10个数是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D．196 10．（25-26七年级上·全国·期末）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，例如，2的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，则____． 11．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1（如图所示）．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的m的最小值为______． 12．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）对各位数字都不为0的四位正整数，将n的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则____________；已知k为一个四位正整数，，x，y，z均是不为零的数字，若k除以11的余数为2，（t为正整数），则k的最小值为____________． 13．（25-26七年级下·安徽六安·期末）某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得； （1）当时，可得___________； （2）若，则的值为________． 14．（2026·山东济宁·二模）如图，将偶数从2开始按如下方向排列，2位于第1层，数字4~10分布在第2层，数字12~24分布在第3层，数字26~44分布在第4层，…，按此规律继续排列下去，数字2026出现在第____________层． 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察下面有规律排列的三行数： ① 分别取第①②③行中的第10个数，依次记为，则的值为___________． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份(每一份称为一段弧长)，把这九个点按顺时针方向依次编号为，，，，，，，，，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为的点，那么他应走3段弧长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为的点，然后从为第二次“移位”．若小明从编号为的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方式行走，当“移位”次时，小明到达圆弧点编号为_______． 17．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（综合与实践） 阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，……，按照等号右边的形式直接写出结果：______； (2)根据上述方法计算： ； (3)根据上述方法计算：； ［拓展］ (4)观察：，，……，计算：． 18．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）观察下列等式： ； ； ； ； ； 以上每个等式中两边数字是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的数字规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ______ ______． (2)设左边两位数的十位数字为，个位数字为，且． 等式左边的两位数与三位数的积能否被整除？请说明理由； 请用含，的代数式表示“数字对称等式”并证明． 19．（25-26七年级上·北京·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表决策．了解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，_______；当时，______； (2)当输入的为不超过20的有理数，此时输出的值为0，则输入的为________． (3)若是自然数，请写出的所有可能值_______． 20．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ； A．     B． C．     D． ②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示的点重合 ． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示 ，点表示 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为 ．（用含有，的式子表示） 21．（25-26七年级上·四川成都·期中）把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 【考点2】绝对值与数轴（两点距离、动点）（第25-39题） · 两点距离=|a−b|，动点位置=起点±速度×时间 · 含字母绝对值先判符号再去绝对值 · 分类讨论：动点可能出现在原点两侧或运动方向变化处 22．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）的最小值是______． 24．（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值是，则__________． 25．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 26．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 27．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是________； (2)若，求m的值； (3)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 28．（25-26七年级上·广西南宁·期中）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令① 则② ①+②得：， 即． 材料二：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：_____；_____；_____； (2)已知，且，求的值： (3)设代数式，已知，是数轴上的两个点，分别表示有理数和，且线段的长为4．若数满足关系式，求的值． 29．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 30．（25-26七年级上·北京·期中）已知点为数轴原点，对于数轴上的图形和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，图形上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，那么称图形与图形为关于点的关联图形，此时若线段的长度存在最小值，称该最小值为图形与图形的关联距离，记作． (1)如图1，数轴上，表示的数分别为，1，2，3，下列线段能与点组成关于点的关联图形的是_____； ①线段   ②线段    ③线段 (2)数轴上表示的数分别为， ①若，则_____； ②若，则的值为_____； ③若线段与线段为关于点的关联图形，则的最大值为_____． ④若线段在原点的左侧，且线段与线段为关于点的关联图形，则_____或_____（用含的代数式表示）． 31．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 32．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例：数轴上表示数和数3的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示和2的两点之间的距离等于______；如果表示数a和的两点之间的距离等于3，那么______． (2)若数轴上表示数m的点位于和2之间，求的值． (3)如图，点A、O、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、C表示的数分别是a、c．若点A代表的数为，B为A右侧的一个动点，用b表示，数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式的值都不变，求的值． 【考点3】有理数的混合运算（含乘方）（第40-47题） · 严格按先乘方、再乘除、后加减的顺序 · 注意(−a)n与−an的区别 · 利用运算律简化复杂计算 33．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）阅读理解：十进制记数采用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦．八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号“”和“”组成（如图），符号“”和“”分别表示1和0．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则________． 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二进制数 转换成十进制数 34．（25-26七年级上·云南昆明·期中）人们对图形的探索一直没有停止，1925年，数学家莫伦发现了一个长方形可以被10个正方形分割，称之为完美长方形.完美长方形是指可以用大小各不相同的正方形拼合而成的长方形.图中是由9个小正方形组成的完美长方形，图中标注的正方形的面积是100，求问号处正方形的面积是______. 35．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）若实数同时满足，则的值为_____． 36．（25-26七年级上·全国·期末）根据综合与实践“进位制的认识与探究”可知，进位制约定“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：（规定当时，）．相反地，若要将十进制数46转换为三进制数，因为，即，所以．所以46转换为三进制数为．仿照前面对进制的相互转化，则十进制数262转化为七进制数是__________；若与的和能被6整除，且与的和能被5整除（，，且m、n为整数），则的值为________． 37．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【考点4】整式的加减与代数式求值（第48-59题） · 去括号注意符号变化，再合并同类项 · 先化简再代入求值 · 整体代入法：已知式子的值求代数式的值 38．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法：①若，则；②满足条件的整式中不存在单项式；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 40．（25-26七年级上·陕西西安·期末）在长方形中放入个正方形，如图所示：若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 41．（2026八年级下·重庆·专题练习）已知整式，其中为自然数，与均为正整数，例：当，时，有．下列说法： ①若，则符合条件的整式中有4个二次二项式； ②若，则符合条件的整式有8个； ③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 42．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 43．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”． （1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为___________． （2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为___________． 44．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，点在边上，分别以为边作正方形和正方形．点在边上，以为边作正方形．记正方形的面积为，正方形面积为．若阴影部分的面积为，，则的值为____．（用含的代数式表示） 45．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）若一个两位数的十位和个位上的数字分别为，，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． 【基础尝试】 (1)填空： 如果要用数字，，组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是________；最小的三位数是________． 【问题探究】 (2)若一个三位数各数位上的数由，，三个数字组成，且．那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除． 【拓展运用】 (3)黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象： ①任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为，则），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．求该“卡普雷卡尔黑洞数”； ②任意找一个能够被整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次（如），所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加……如此重复运算下去，就能得到一个固定的数，我们称它为数字黑洞，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 规律探索先找差或周期，代数式表达后验证首项 · 数轴距离与动点问题画数轴辅助分析，注意分类讨论 · 混合运算严格按顺序，乘方注意底数符号 · 整式运算先化简再求值，熟练运用整体代入 · 压轴题拆分小问，逐步得分 【作业1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）已知a，b是有理数，且，下列结论：①；②；③若是有理数，且满足，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【作业3】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级下·重庆·期中）对于多项式，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，有以下几种说法： ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到； ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式； ③乙同学通过“加负运算”后可以得到10个不同的代数式． 以上说法正确的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业5】．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）有一快艇从鄂黄长江大桥处顺江逆流而上，途中艇上的一塑料浮标球不慎掉入江中，待有人发现后立即调头追这个浮标球．已知快艇从调头到追上浮标球共用了6分钟，那么快艇调头的时间是在浮标球掉入江中（    ）后．（    ） A．3分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．12分钟 【作业6】．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为______个． 【作业7】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 【作业8】．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）对于各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，则称为“幸运数”．设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为，令．当时，则______；若为整数，则满足条件的“幸运数”的最大值与最小值之差为______． 【作业9】．（2025·重庆·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十全数”．例如：四位数7923，∵，∴792是“十全数”；又如：四位数3418，∵，3418不是“十全数”．若一个“十全数”为，则这个数为_________，若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是_________． 【作业10】．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【作业11】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）数轴上点A对应的数是，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟． (1)求点C对应的数； (2)若小虫甲返回到A点后再作如下运动：第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，…依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应的数； (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是、、、，当运动时间t不超过1秒时，请你结合数轴利用数学结合思想直接写出的值． 【作业12】．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【作业13】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 【作业14】．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ， (1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ； (2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ． 【作业15】．（23-24七年级上·贵州黔西南·阶段检测）用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $