第三章 问题解决策略：归纳&综合与实践3 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

层等号左侧的第一个数是n2.因为442=1936,452= 2025,所以442<2023<452.所以数2023排在第44层」 (3)由题意，知第99层等号右侧最后三个数是1002一1， 1002-2,1002-3.所以(1002-1)+(1002-2)+(1002- 3)=3×10000一6=29994.所以第99层等号右侧最后三 个数的和为29994. ☆问题解决策略：归纳 1.A因为(x-2)=x6+6×x5×(-2)+15.x× (一2)2+20x3×(一2)3十+（一2）5，所以(x一2)6的展 开式中含x5项的系数是6×（一2）'=一12. 2.21观察题图可知，第1个图案用了3个长方形，即3= 2×1+1,第2个图案用了5个长方形，即5=2×2+1，第3 个图案用了7个长方形，即7=2×3十1，…，第n个图案用 了(2n+1)个长方形.所以第10个图案需要用的长方形的 个数为2×10+1=21. 3.(1)64.观察第一行数据，得出第一行第n个数为n2 所以第一行第8个数是64.(2)n2一1.观察第一、二行 数据，得出第二行第n个数为n2一1.(3)第三行：2,6， 12,20,30,…,即12+1,22+2,32+3,42+4,52+5，…，所 以第三行第m个数为m2十m.因为第三行第m个数与第 二行第m个数的差为2026，所以m2+m一(m2一1)= 2026.所以m=2025. 4.(1)37.第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋 子，第4个图中有13颗棋于，第5个图中有4×5一3= 17(颗)棋子…由此规律，得第10个图中棋子的颗数为 4×10-3=37.(2)(4n-3).由(1)中规律得第n个图 中棋子的颗数为4n一3.(3)当n=500时，4×500一3= 1997.所以第500个图中棋子的颗数为1997 综合与实践3制作一个尽可能大的 无盖长方体形收纳盒 任务1：(a2一4b2)cm2.用题图①正方形的面积减去四个 角上的小正方形的面积，即为围成长方体纸盒所用纸片的 面积.任务2：b(18一2b)2.因为长方体纸盒的底面积 是一个边长为(18一b)cm的正方形，高为小正方形的边 长，即bcm,所以无盖长方体纸盒的体积=b(18 2b)2cm3.任务3：392；320.将b=2代人V=b(18- 2b)2得V=2×(18-2×2)2=392;将b=5代入V= b(18一2b)2得V=5×(18一2×5)2=320.任务4：因为 6=a=X18=3,所以V=b(18-2b)2=3×(18-22 3)2=432,即无盖长方体纸盒的体积的最大值为432cm3. D 第三章拔尖自主测评 1.C因为一打铅笔有12支，所以n打铅笔支数=12× n=12n. 2C3的系数为号，-罗w:的次数是4，-4x十 5是一个二次三项式，2x2一3x十1一次项的系数为一3. 3.D3a2与2b3不是同类项，不能相加，故选项A错误， 7a2-2a2=(7-2)a2=5a2,故选项B错误；-7a2b+ a2b=(-7+1)ab=-6ab,故选项C错误；一3(a一b)= 一3×a+(-3)×(一b)=一3a+3b,故选项D正确. 4.C因为a2-a-1=0,所以a2-a=1.所以3a2-a- (2a-4)=3a2-a-2a+4=3a2-3a+4=3(a2-a)+4= 3×1+4=7. 5.C原式=2mx-1-x-5=（2m-1)x-6.因为多项式 2(-2） 一(x十5)化简后的结果不含宇母x,所以 2m-1=0.所以m=2: 1 6.D此题以“多项式的和是单项式”的新颖形式，考查整 式的加减及代数式求值，是“不含”“无关”类试题的拓展与 应用.m.x2-mx-2+3x2+mx+m=(m+3)x2十m一2. 因为关于x的多项式mx2一mx一2与3x2十mx+m的和 是单项式，所以m十3=0或m-2=0.所以m=一3或 m=2.当m=-3时，m2-4m+4=9+12+4=25;当m= 2时，m2一4十4=4-8十4=0.综上所述，代数式m2一 4m+4的值是25或0. 7.D由数轴，知x一y十1>0，y一x-3<0,y-x<0,所 以|x-y+1|-2y-x-3|+|y-x|+5=x-y+1+ 2(y-x-3)-(y-x)+5=x-y+1+2y-2x-6-y+ x+5=0. 8.A因为第①个图案中有1+2十3=6（颗）爱心，第②个 图案中有1+2十3+4=(10)颗爱心，第③个图案中有1十 2+3十4+5=15（颗）爱心…第@个图案中有1+2+ 3+4+…十(m十2》=m+2m+3》(颗)爱心.所以第8个 2 国案中爱心的颗数是0X-55 9“,子1将运算程序用代数式表示为，.当x=3 7 时，，号，2-1.所以输出的结果为1， 7 10.h十an由题知，每增加1个纸杯，高度增加a.因为 1个纸杯的高度为h十a,所以H=h十a+(n一1)a=第三章整式及其加减 ☆问题解决策略：归纳 1.[2025济宁泗水期末]我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律， 称之为“杨辉三角”，如图，这个“三角形”给出了(a十b)(n=1,2,3,4…)的展开式的系数规律 (按a的次数由大到小的顺序).依据规律，写出(x一2)6的展开式中含x5项的系数是() (a+b)'=a+b 11 (a+b)2=a2+2ab+b 121 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 1331 14641 (a+b)=a+4a3b+6ab2+4ab3+b4 (第1题) A.-12 B.-10 C.-32 D.-192 2.[2025陕西]生活中常按如图①所示的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用相同的长方形按规律 设计图案，如图②，第1个图案用了3个长方形，第2个图案用了5个长方形，第3个图案用了7 个长方形，…，则第10个图案需要用的长方形的个数为 第1个 第2个 第3个 ⊙ ② (第2题) 3.[2025台州温岭期未]观察下列三行数列： 第一行：1491625…第二行：0381524…第三行：26122030… 运用归纳策略寻找它们的规律，解答下列问题： (1)第一行第8个数是 (2)第二行第n个数是 (用含n的代数式表示). (3)第三行第m个数与第二行第m个数的差为2026，求m的值 4.[2025毫州期末]如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子， 第4个图中有13颗棋子，…，以此类推 (1)第10个图中有 颗棋子 (2)猜想：第n个图中有 颗棋子（用含n的代数式表示） (3)根据你的猜想，试求出第500个图中棋子的颗数， 2 第1个图第2个图 第3个图 第4个图 (第4题) ●“答案与解析”见D23 59 拔尖特训· 数学（北师版）七年级上 综合与实践3制作一个尽可能大的 无盖长方体形收纳盒 【素材1】小吴和小天想利用一块边长为acm的正方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.在正方形 纸片的四个角都剪去一个边长为bc的小正方形（如图①），将剩下的图形折叠黏合，就能得到无 盖的长方体纸盒（如图②）. 【素材2】几何体的表面积为所有面的面积之和，其表面积即为围成几何体所用材料的面积 ① ② 任务1：依据素材1和素材2表示围成长方体纸盒所用纸片的面积，可以得到代数式： (用 含a,b的代数式表示). 【素材3】小吴量得正方形纸片的边长为18cm,并且通过计算发现当小正方形的边长从小到大变化 时，无盖长方体纸盒的体积也随之发生变化 任务2：在这个变化过程中，无盖长方体纸盒的体积= cm3(用含b的代数式表示，不需 要化简). 任务3：小吴和小天将b的多种情况代入，发现当b=2时，V= ;当b=5时，V= 【素材4】老师帮忙探究发现，在一定范围内V随b的增大而增大，在一定范围内V随b的增大而减 小，并且最路发现当为一名a时，V有最大值 任务4：请帮小吴和小天计算制作得到的无盖长方体纸盒的体积的最大值. 60 >“答案与解析”见D23