专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（第一～三章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第一~三章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数、相反数、倒数、绝对值等基本概念 · 会用数轴比较有理数大小并化简含字母的绝对值 · 掌握有理数的加减乘除与乘方混合运算 · 掌握代数式书写、列代数式与代数式求值 · 掌握整式的概念、合并同类项与整式加减运算 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数 有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），也可分为正有理数、0、负有理数 相反数：只有符号不同的两个数，a与−a互为相反数，和为0 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数是（a≠0），0没有倒数 绝对值：数轴上表示a的点到原点的距离，|a|≥0，具有非负性 概念辨析例题：|−3|的值是多少？ 答案：3 解析：绝对值表示数轴上该点到原点的距离，点−3到原点的距离为3，所以|−3|=3。 ☆ 2.数轴与有理数运算 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上右边的数总比左边的大 加法：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大者的符号；减法转化为加法 乘除：同号得正、异号得负；乘法交换律、结合律、分配律 乘方：an表示n个a相乘，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正 概念辨析例题：计算(−2)3。 答案：−8 解析：(−2)3=(−2)×(−2)×(−2)，负数的奇次幂为负，结果为−8。 ☆ 3.代数式与整式 代数式书写规范：数字与字母相乘省略乘号，数字在前；除法写成分数形式 单项式：由数与字母的乘积组成，数字因数是系数，所有字母指数之和是次数 多项式：几个单项式的和，其中每个单项式是项，不含字母的项是常数项 同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，合并同类项时系数相加减 概念辨析例题：单项式−3x2y的系数和次数分别是多少？ 答案：系数−3，次数3 解析：数字因数−3是系数；字母x、y的指数之和为2+1=3，所以次数是3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 a与−a，a+(−a)=0 只有符号不同 倒数 a与（a≠0），积为1 0没有倒数 绝对值 |a|，到原点的距离 |a|≥0，非负性 乘方 an=a×a×…×a（n个a） 负数奇次幂为负 同类项 字母相同且指数相同 合并时系数相加减 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-12题） · 熟练运用相反数、倒数、绝对值的定义判断正误 · 有理数分类：整数与分数、正有理数、0与负有理数 · 科学记数法还原原数、近似数的精确度问题 1．（25-26七年级上·全国·期中）近似数精确到（   ） A．千分位 B．百分位 C．千位 D．百位 【答案】D 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求近似数的精确度 【分析】此题考查科学记数法与近似数，正确掌握近似数精确到哪一位，应该看末位数字实际在哪一位是解题关键． 【详解】解：近似数，最后一个0在百位上，则精确到百位， 故选：D． 2．（2026·四川遂宁·中考真题）的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：的绝对值是 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）在有理数、、、中，负数有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、化简多重符号 【分析】本题考查了负数的定义、有理数的乘方、化简多重符号、绝对值，分别计算每个有理数的值，再根据结果判断正负即可得出答案． 【详解】解：，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ∴负数有3个． 故选：B． 4．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）用四舍五入法将34.945取近似数精确到十分位是______． 【答案】34.9 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的一种常用的表示形式, 解题的关键是正确理解近似数的精确度． 把百分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：34.945取近似数精确到十分位，得到的数为34.9， 故答案为：34.9． 5．（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【详解】解：绝对值小于3的负数可以是． 6．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，2.4，，0，，，，，． 正数：{________________________________________…}； 非负整数：{______________________________…}； 整数：{______________________________________…}； 负分数：{______________________________________…}． 【答案】 ；；； 【知识点】正负数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】依据正数、非负整数、整数、负分数的定义，对所给数逐一分类即可． 【详解】解：∵大于0的数为正数， ∴正数：， ∵ 非负整数包括0和正整数， ∴非负整数：， ∵ 整数包括正整数、0、负整数， ∴整数： ∵ 小于0的分数是负分数，有限小数属于分数范畴，不是有理数，不属于分数， ∴负分数：． 【考点2】数轴与有理数大小比较（第13-22题） · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 · 利用数轴比较大小：右边的数总比左边的大 · 根据点在数轴上的位置判断式子的正负并化简 7．（23-24七年级上·重庆·期中）下列四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【分析】此题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较解答此题的关键． 根据有理数的大小比较方法比较各数的大小，确定最小值，即可得到答案． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：B． 8．（24-25七年级上·浙江台州·期中）在数轴上表示a，b的点的位置如图所示，则下列各式中，正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． 由数轴可知：，，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴，，，， 故选：B． 9．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值，熟练掌握数轴是解题的关键．根据题意得到在数轴的位置判断即可． 【详解】解： a在数轴上的对应点的位置如图所示，且， 故在数轴上的对应点的位置如图所示， ， ，选项A正确，不符合题意； ，选项B错误，符合题意； ，选项C正确，不符合题意； ，选项D正确，不符合题意；    故选B． 10．（2025七年级上·山东青岛·专题练习）用“”“”号连接下列各组数：________；________ 【答案】 > > 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数比较大小．先化简各数，再根据有理数的大小比较法则：正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：对于第一组：和 ，均为负数，比较其绝对值：，， 通分得，， ∵， ∴，故， 对于第二组：，， ∵，， ∴，即， 故答案为：>，>． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 【答案】3 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）比大而比小的所有整数的和为_______________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出比大而比小的所有整数有，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：比大而比小的所有整数有， 则比大而比小的所有整数的和为， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，有理数的大小比较； （1）先化简各数，再根据负数小于正数比较大小即可； （2）先化简各数，再根据负数小于正数比较大小即可； （3）先化简各数，再根据两个正数比较大小的方法比较即可； （4）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，， ∴，，而， ∴. 14．（23-24七年级上·广东惠州·阶段检测）将下列各数在同一条数轴上表示出来，并用“<”连接起来． 【答案】 如图： 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】化简各数后，表示在数轴上，即可比较大小． 【详解】解： 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小．从左往右，数轴上的数依次增大． 【考点3】有理数的运算与应用（第23-40题） · 加减混合运算统一为加法再计算 · 四则混合运算按先乘除后加减的顺序，乘方优先 · 实际问题转化为有理数运算，注意正负号的实际意义 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6．八进制数字3752换算成十进制是_____． 【答案】2026 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．将八进制数转换为十进制数，需将每一位数字乘以8的相应幂次（从右向左，幂次从0开始），然后求和，即可作答． 【详解】解：依题意，八进制数3752换算为十进制： ， 故答案为：2026． 16．（25-26七年级上·全国·期中）若是非零有理数，，则的值为______． 【答案】或 【知识点】有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减，由是非零有理数，，然后分当中一正两负，设，，；当中两正一负，设，，，两种情况，利用绝对值的性质化简后，再计算加减即可，熟练掌握基本知识是解题的关键． 【详解】解：∵是非零有理数，， ∴当中一正两负，设，，， ∴； ∴当中两正一负，设，，， ∴； 故答案为：或． 17．（25-26七年级上·广西柳州·期中）我们定义一种新运算“☆”：对于任意有理数和，有．例如：．则的值为___________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 根据新运算的定义计算即可. 【详解】解： 由定义 先计算： 再计算 ： 故答案为：. 18．（25-26七年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) (3) (4)解方程： 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了有理数的运算，解一元一次方程，解题的关键是： （1）根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据乘法的分配律计算即可； （3）先计算乘方，然后计算括号内，再计算乘法，最后计算加法即可； （4）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）出租车司机小李某天在南北方向的市心路上营运，规定向北为正，向南为负，已知从出发点开始所行使的路程（单位：千米）为：． (1)若将最后一名乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若出租车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方？ 【答案】(1)北边6千米 (2)4.8 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的加法的应用， （1）求出行驶路程的各数据的和，即可得出答案； （2）求出总路程，再乘以每千米的消耗天然气的量，可得答案． 【详解】（1）， 所以小李在出发地的北边6千米处； （2）， ． 所以出租车共消耗天然气4.8立方． 20．（22-23七年级上·河南商丘·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解； ． 21．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（三）——去分母、整式的加减运算 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则，先算乘方，绝对值，然后再算乘除，最后算加减即可； （2）根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可． 本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则，整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） （2） ； （3）， 去分母，得 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 22．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律以及有理数的乘除运算法则． 先将变为，再利用乘法分配律和除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 23．（23-24七年级上·江西上饶·阶段检测）课本再现 小明和他的爸爸到某通信公司去办理手机资费业务，发现该公司推出了两种移动电话的计费方式，详情如下表所示． 月使用费/元 主叫限定时间 主叫超时费/ （元） 被叫 方式一 免费 方式二 免费 温馨提示：若选用方式一，每月固定缴费元，当主动打出电话月累计时间不超过，不再外缴费；当主动打出电话月累积时间超过，超过的部分每分钟加收元． (1)小明的爸爸每月主叫通话时间约为,他选择哪种计费方式更划算？ (2)如果小明的妈妈每月移动电话费的预算为元，那么她选择哪种计费方式，可以使主叫通话时间更长？ 【答案】(1)他选择资费方式一合算 (2)她选择资费方式二，可以主叫通话时间更长 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题主要考查了最优化问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系， （1）首先根据总价单价数量，分别求出两种资费方式下，小明的爸爸需要交纳的手机费用各是多少元，然后比较大小，判断出他选择哪种计费方式合算即可； （2）首先求出每种资费方式下超出主叫的限定时间的费用和通话时间各是多少，然后求出每种资费方式下的主叫时间各是多少，最后把每种资费方式下的主叫时间比较大小，判断出她选择哪种计费方式，可以主叫通话时间更长即可． 【详解】（1）资费方式一需要的费用是： （元） 因为 所以用资费方式二，需要的费用是元 因为 所以他选择资费方式一合算． 答：他选择资费方式一合算． （2）（分钟） （分钟） 因为 所以她选择资费方式二，可以主叫通话时间更长． 答：她选择资费方式二，可以主叫通话时间更长． 24．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的加减运算，关键是先去掉绝对值符号． 先将各部分的绝对值符号去掉，再进行加减运算得到结果． 【详解】解：原式 ． 25．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）先计算括号内的，再计算加减，即可求解； （2）先利用有理数的乘方，有理数的乘法分配律计算，再计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 26．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数混合运算，()化简符号再计算即可；()先算乘除，再算加减；()用乘法分配律计算即可； ()先算乘方，再算乘除，最后算加减；解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关运算的法则、运算律． 【详解】（1）原式， ； （2）原式， ， ； （3）原式， ， ； （4）原式， ， ． 27．（24-25七年级上·福建宁德·阶段检测）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从A地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位/千米）：，，，，，，，． (1)收工时，快递员在A地的哪个方向？求此时快递员与A地的距离； (2)若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 【答案】(1)收工时，快递员在A地的东边，距离A地22千米 (2)该天共耗电0.8度 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． （1）将所有数据相加后，根据和的情况进行判断即可； （2）用总路程乘以每千米的耗电，进行求解即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时，快递员在A地的东边，距离A地22千米； （2）解： （千米）， （度）， 答：该天共耗电度． 28．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）有理数混合计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点4】列代数式与代数式求值（第41-56题） · 代数式书写规范：乘号省略、数字在前、除法写分数 · 列代数式：把文字语言转化为符号语言 · 求代数式的值：直接代入或整体代入（已知式子的值） 30．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）下列用代数式表示“的3倍与5的和”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】此题考查列代数式，“的3倍”即，“与5的和”即，由此得到答案 【详解】∵ “的3倍”即，“与5的和”即， ∴代数式表示“的3倍与5的和”为 故选B 31．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）物理上用压强来表示压力产生的效果，压强越大，压力的作用效果越明显．对于固体，物体的压力（单位：N）一定时，压强与受力面积成反比例，其部分对应数值如下表，则值为（   ） 受力面积（单位：m2） 10 7 压强（单位：Pa） 70 98 140 A．980 B．920 C．14 D．10 【答案】C 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例的应用，理解题意，求出反比例关系式是解题关键．本题先根据确定反比例关系式，再把代入，问题得解． 【详解】解：∵压强与受力面积成反比例， ∴， ∴ 当时，即，解得． 故答案为：C． 32．（23-24七年级上·四川德阳·阶段检测）下列代数式的书写符合规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、带分数要写成假分式的形式，故此选项不符合题意； B、书写规范，故此选项符合题意； C、应该写成圆点或省略的形式，故此选项不符合题意； D、除法运算要写成分数的形式，故此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了代数式，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 33．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图所示的方式摆放．按照图中所示尺寸，则大长方形的长是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了利用图形等量关系求解长方形边长，解题的关键是根据图形中的边长关系建立方程． 通过设大长方形的长为，结合小长方形的边长，根据图形得出两个等量关系，将两式相加化简即可得到大长方形的长． 【详解】解：设大长方形的长为，小长方形的长为、宽为， 由图中边长关系得：，． 将两式相加：， 化简得：，即． 故选：B． 34．（23-24七年级上·山西晋城·期末）已知代数式的值是5，则代数式的值是________． 【答案】2034 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，掌握题意得到是关键．根据题意得，然后代入求解即可． 【详解】解：代数式的值是5， ， ． 故答案为：2034． 35．（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知a，b满足，则_____． 【答案】9 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是当两个非负数之和为0时，这两数分别为0．根据绝对值及平方的非负性可得，求出，代入到即可求解． 【详解】解：∵， ， 解得，， ∴， 故答案为：9． 36．（23-24七年级上·福建宁德·期中）商品的包装盒是一个长方体（如图1），它的宽和高相等．小明将四个相同的包装放入一个长方体纸箱中，从上面看所得图形如图2所示，大纸箱底面长方形未被覆盖的阴影部分周长用表示．接着小明将这四个包装盒又换了一种摆放方式，从上面看所得图形如图3所示，大纸箱底面未被覆盖的阴影部分周长用．（设图1中商品包装盒的宽为）则=________（用含的式子表示） 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】此题主要考查列代数式，长方形的性质以及整式的加减运用，解题的关键是根据摆放方式可以得出商品包装盒的长． 【详解】解：根据图3摆放情况可得，包装盒的一个长等于两个宽，即长为， 大纸箱的长为，宽为， 图2中阴影部分的周长为， 图3中阴影部分的周长为， 图2与图3周长的差为， 故答案为：． 37．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）一个四位数，若其百位数字与十位数字之和为9，且后两位数字组成的两位数与前两位数字组成的两位数之差为，则称该四位数为“杭亚数”．例如：，，，那么是“杭亚数”，则最小的“杭亚数”为______．若一个四位数的千位数字与个位数字之和为8，且这个四位数加上后是“杭亚数”，则满足这个条件的最小四位数为______． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查一元一次方程解决数字类问题，设出一个数的百位数根据“杭亚数”表示出其他数的位数即可得到答案； 【详解】解：设最小的四位数的百位为，则十位是，由题意可得， 个位数为，千位数字为：， 当千位数字最小时四位数最小， 即：当时，千位数字为：，百位为：6，十位为：3，个位为：9， ∴最小的“杭亚数”为：； 设四位数的个位数为，则千位数是，由题意可得， ∵加上后是“杭亚数”， 此时个位数是：，由“杭亚数”得， 当原百位数小于8时， 千位数是，则十位数为：， 百位数为：， 此时个位与百位之差为：1，此种情况与题意相背，无解， 当原百位数大于8时， 此时千位数是，则十位数为：， 百位数为：，个位数为， 原数字千位数为：，原十位数为：，原百位数为，原个位数为， 当时，四位数最小， 千位数为：5，百位数为：9，十位数为：8，个位数为3， 故答案为：，． 38．（23-24七年级上·广东汕尾·期末）如图所示的程序框图，若开始输入，则最后输出的结果为________． ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、代数式求值，掌握有理数混合运算顺序，读懂题意是解题关键． 把代入，得出，不合题意，再次依次代入，直到得出出符合条件的结果． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， 把代入，得． 故答案为：． 39．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，我县某校操场的两端为半圆形，中间是一个长方形．已知半圆形的半径为米，直跑道的长为米，计算操场的面积______平方米．（结果保留）． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，由图可知，这个操场的面积可看作是一个半径为的圆的面积与一个长为、宽为的长方形面积之和，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由图可知，这个操场的面积可看作是一个半径为的圆的面积与一个长为、宽为的长方形面积之和， ∴操场的面积（平方米）； 故答案为：． 40．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）已知满足，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性以及代数式求值，有理数的乘方和加法运算，根据非负数的和为零，每一个非负数均为零，进行计算求解即可．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零，以及有理数的乘方和加法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∴． 41．（黑龙江省佳木斯市富锦市三江区域联合体学校2025-2026学年七年级上学期9月月考数学试题）已知，互为相反数，，互为倒数，，求代数式的值． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义 【分析】本题主要考查相反数、倒数和绝对值的定义与性质，属于基础计算题型，运用了整体思想．根据相反数，倒数以及绝对值的意义可得，，，，然后整体代入原式计算，即可求出结果． 【详解】 ，互为相反数， ． ，互为倒数， ． ， ． ． 原式． 【考点5】整式的概念与加减运算（第57-71题） · 确定单项式的系数与次数、多项式的项与次数 · 同类项判断：字母相同且相同字母指数相同 · 去括号法则与合并同类项：括号前是负号时各项变号 42．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）关于单项式的系数和次数，下列表述正确的是（） A．系数是2，次数是9 B．系数是8，次数是6 C．系数是2，次数是4 D．系数是8，次数是9 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的系数和次数概念，需准确计算数字部分和字母指数和．根据单项式系数和次数的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】∵单项式的数字部分为，∴系数是8； 又∵字母的指数为1，的指数为5，∴次数为． 因此，单项式的系数是8，次数是6． 故选：B． 43．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）下列各组代数式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的识别，同类项需满足所含字母相同且相同字母的指数相同． 【详解】解：A，与中相同字母指数不同，不是同类项； B，与所含字母相同且相同字母的指数相同，是同类项； C，与所含字母不同，不是同类项； D，与所含字母不同，不是同类项； 故选：B． 44．（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知和是同类项，则式子的值是（   ） A． B．16 C． D．4 【答案】D 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先根据同类项的定义可得，，则，再代入计算即可得． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 45．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号，正确应用分配律和去括号法则是解题的关键．利用乘法分配律和去括号法则，逐一检验各选项即可． 【详解】选项A： ，此选项不符合题意； 选项B：， 此选项不符合题意； 选项C：，此选项不符合题意； 选项D：，此选项符合题意； 故选：D． 46．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．表示负数 B．若，则 C．单项式的系数为 D．多项式的次数是5 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题考查负数表示、绝对值性质、单项式系数和多项式次数的概念，解题的关键是掌握相关概念． 根据以上定义逐一判断各选项． 【详解】解：A.当时，，不是负数，故A错误，不符合题意； B.若时，，不一定，故B错误，不符合题意； C. 单项式的系数是，不是，故C错误，不符合题意； D.多项式的次数是3，的次数是5，最高次项次数为5，故D正确，符合题意； 故选：D． 47．（21-22七年级上·甘肃陇南·期末）化简__． 【答案】/ 【知识点】去括号、合并同类项 【分析】本题考查整式的去括号，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 先去括号，再进行合并同类项，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 48．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）单项式的系数是_____，次数是______． 【答案】 4 5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有的字母的指数和是单项式的次数，利用概念直接可得到答案． 本题考查的是单项式的系数与次数的概念，掌握单项式的系数与次数的概念是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数是4, 次数是. 故答案为：4；5. 49．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）若单项式与是同类项，则的值是______． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、有理数的乘方运算 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 50．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与可以合并，则______． 【答案】6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键；由“含有相同字母，并且相同字母也相同”可得可得m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴； 故答案为6． 51．（25-26七年级上·重庆·期末）若单项式与的差是，则______． 【答案】12 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，已知字母的值，求代数式的值．根据同类项的定义，两个单项式的差为，需满足相同字母的指数相等，从而求出 m 和 n 的值，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵单项式与的差是， ∴与，都是同类项， ∴，， 解得， ∴ 故答案为：12. 52．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若的结果中不含项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求的值． 【答案】(1)1 (2)46 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后使得项的系数为即可求解； （2）将变形为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含项， ∴， 解得； （2）解：当，，， ． 【考点6】规律探索与几何初步（第72-80题） · 数字类规律：观察相邻项的差或倍数关系 · 图形类规律：用代数式表示图形个数与序号的关系 · 几何体中的点、棱、面的个数关系 53．（24-25七年级上·天津·期中）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸：地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2021年是辛丑年，可以推知2049年是什么年（   ） 天 干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地 支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干 支 纪 年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 A．乙巳 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确发现规律是解题关键．根据表格得出天干是以10年为一个周期，地支是以12年为一个周期，据此求解即可得． 【详解】解：由题意得：天干是以年为一个周期，地支是以年为一个周期， ∵年和年相差年, 且年是辛丑年， ∴年对应的天干是己，地支是巳，即年是己巳年， 故选: B． 54．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是______． 【答案】144 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察四个正方形，可得规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2，右上角的数比左上角的数大4，进而求解即可． 此题考查了数字类规律问题，解题的关键是正确分析表中4个数之间的关系． 【详解】解：∵，， ∴第四个正方形右上角的数为 ∵，， ∴第四个正方形左上角的数为 ∵，， ∴． 故答案为：144． 55．（24-25七年级上·重庆·期末）八棱柱共有_______条棱． 【答案】 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查了立体图形中棱柱的认识，一般棱柱有上下两个底面，八棱柱八个侧面，由此可以确定棱的条数，即可求解． 【详解】解：八棱柱共有条棱， 故答案为：． 56．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）一根圆柱形钢管，其底面积为平方米，长为15米，则它的体积为__________立方米． 【答案】45π 【知识点】有理数乘法的实际应用、 圆柱的体积 【分析】此题考查了有理数乘法的实际应用，熟记圆柱的体积=底面积乘以高是解题的关键． 【详解】解：圆柱的体积为（立方米） 故答案为． 57．（23-24七年级下·北京通州·期末）毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究： 名称及图形几何点数 层数 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 第一层 1 1 1 1 第二层 2 3 4 5 第三层 3 5 7 9 … … … … … 第六层 6 11 16 21 … … … … … 第n层 n 第n层六边形数图形的几何点数是_______（用含有字母n的代数式表示）． 【答案】/ 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形的规律，掌握数形集合思想成为解题的关键． 先根据表格中已有数据进行推理补全表格，进而归纳出结论即可． 【详解】解：前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n； 然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是、，可得第六层的几何点数是，第n层的几何点数是； 再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是，可得第六层的几何点数是，第n层的几何点数是； 最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是，可得第六层的几何点数是，据此第n层的几何点数为． 故答案为：． 58．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则_________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，代数式求值，根据给出的数字，概括出，进而求出的值，求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记相反数、倒数、绝对值的定义，注意0没有倒数 · 数轴是理解有理数的工具，比较大小借助数轴进行 · 混合运算按先乘方、再乘除、后加减的顺序进行 · 代数式求值先化简再代入，注意整体代入法 · 整式加减关键是识别同类项、正确运用去括号法则 【作业1】．（24-25七年级上·四川·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．绝对值等于本身的数只有1 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．有理数只包括整数和分数 D．倒数等于本身的数是和1 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、有理数的分类、有理数的乘方运算 【分析】正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可判断A；根据乘方计算法则可判断B；根据有理数是分数和整数的统称可判断C；根据乘积为1的两个数互为倒数可判断D． 【详解】解：A、绝对值等于本身的数是正数和0，原说法错误，符合题意； B、平方后等于本身的数只有0，1，原说法正确，不符合题意； C、有理数只包括整数和分数，原说法正确，不符合题意； D、倒数等于本身的数是和1，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，倒数，绝对值和有理数的分类，熟知相关知识是解题的关键． 【作业2】．（22-23七年级上·广西河池·期中）下列有理数中最小的是（  ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查的是数的比较大小，按照比较有理数比较方法比较即可，注意两个负数比较大小，先求绝对值，绝对值大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 下列有理数中最小的是， 故选：D． 【作业3】．（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 【作业4】．（25-26七年级上·天津静海·期中）若a、b互为相反数，m、n互为倒数，则等于（   ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】C 【知识点】倒数、已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用相反数和倒数的定义得到，，整体代入求值即可． 【详解】解：∵ a、b互为相反数， ∴ ， ∵ m、n互为倒数， ∴ ， ∴ =． 故选：C． 【作业5】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号、合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题考查了合并同类项，整式的加减． 根据合并同类项法则，整式的加减法则计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．不能合并，原计算错误； C．，原计算正确； D．，原计算错误； 故选：C． 【作业6】．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（   ） A．153 B．171 C．190 D．210 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，，然后根据规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由规律可得，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，， ， 第37个数是奇数项的第19个， 第37项是． 故选：C． 【作业7】．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）已知，则_____． 【答案】或 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，解题关键是掌握绝对值的定义并能运用求解． 根据绝对值的定义求解． 【详解】解：∵， ∴或． 故答案为：或． 【作业8】．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，有理数的混合运算；由题意知，A、C两点间的距离为9，长度为，则可得数轴上表示的单位长度，根据A、B两点间的长度即可求得点B表示的数． 【详解】解：由题意知，A、C两点间的距离为，长度为， 则数轴上表示的单位长度为， 因为A、B两点间的长度为， 所以点B表示的数为：； 故答案为：． 【作业9】．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测） _____． 【答案】4 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数加法运算 【详解】解： ． 【作业10】．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，那么代数式的值是_______． 【答案】 【知识点】添括号、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，解题关键是把所求式子进行变形然后整体代入． 把所求式子变形，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ； 故答案为：. 【作业11】．（24-25六年级上·上海普陀·期末）一次式的一次项的系数是________________． 【答案】/ 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差）叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项项次数，就是这个多项式的次数．一次项中的数字因数就是一次项的系数． 根据多项式的概念即可得到答案． 【详解】解：依题意，中的一次项是，系数是， 故答案为：． 【作业12】．（24-25七年级上·全国·单元测试）在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看得到的形状如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为，则的最小值为__________． 【答案】5 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，从正面看和从左面看可得此几何体底层正方体最少有5个小正方体，第二层最少有2个正方体，得出组成这个几何体的小正方体的个数最少有7个. 【详解】解：从正面看和从左面看可得此几何体底层正方体最少有3个小正方体，第二层最少有2个正方体， ∴组成这个几何体的小正方体的个数最少有5个， ∴n的最小值为5， 故答案为：5． 【作业13】．（23-24七年级上·湖北鄂州·期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵，根据规律，自然数应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么的值是____.    【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式，以及已知字母的值求代数式，以及列代数式规律型：数字的变化类．每n行的第一个数是，第n行的数字的个数是，在第行的第一个数字是，第行里有个数字，进而得出，故是第个数据，从而得出答案．解题关键是确定第行的第一个数字和第行的个数． 【详解】解：依题意， 第一行的第一个数是0，，第一行里有1个数，； 第二行的第一个数是1，，第二行里有3个数，； 第三行的第一个数是4，，第三行里有5个数，； …… ∴第n行的第一个数是，第n行的数字的个数是， 因为， 即 ∴在第行， 则第行的数字的个数是，共有个数， ∵， 因为第行的第一位数是 ∴在第（位）， ∴，， ∴． 故答案为： 【作业14】．（25-26七年级上·广东惠州·期末）某水果店新进了10箱橘子，以每箱30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 (1)10箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱多重_______千克； (2)与标准重量比较，10箱橘子总计超过或不足多少千克？ (3)若橘子每千克售价8元，则出售这10箱橘子可卖多少元？ 【答案】(1)3 (2)不足5千克 (3)出售这10箱橘子可卖2360元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正负数的应用． （1）用最重的与标准质量的差值减去最轻的与标准质量的差值，即可求出两箱的质量差． （2）将每类与标准质量的差值乘以对应箱数后求和，结果为正表示总计超过标准重量，结果为负表示总计不足标准重量． （3）先计算10箱橘子的实际总质量，再乘以每千克的售价，即可得到总销售额． 【详解】（1）解：（千克） 答：最重的一箱比最轻的一箱多重3千克． （2）解：（千克） 答：与标准重量比较，10箱橘子总计不足5千克． （3）解：（千克） （元） 答：出售这10箱橘子可卖2360元． 【作业15】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简，再求值：，（其中，） 【答案】，0 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题考查了整式的加减－化简求值．原式去括号合并同类项得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【作业16】．（22-23七年级上·河南郑州·期末）（1）用字母表示图中阴影部分的面积．（直接写出结果） （2）若，，计算出阴影部分的面积．（取3.14，结果精确到0.1） 【答案】（1）；（2） 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应的代数式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去四分之一圆的面积与二分之一小圆的面积即可； （2）将已知值代入（1）中结论即可． 【详解】解：（1）图中阴影部分的面积为： ； （2）当，时， ． 【作业17】．（23-24七年级上·福建三明·阶段检测）如图，这是由6块小正方体组成的简单几何体．       (1)请在图1网格中画出该几何体从左面看到的形状图． (2)请在图2网格中画出该几何体从上面看到的形状图． 【答案】(1) 从左面看到形状图为：    (2) 从上面看到形状图为：    【知识点】从不同方向看几何体 【分析】（1）根据几何体的从左边看有2列，每一列的小正方形数目为2，1； （2）从上面看有3列，每一列的小正方形的数目为1，2，1． 【详解】（1）略． （2）略． 【点睛】本题主要考查了三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 【作业18】．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知a、b互为相反数()，c是最小的自然数，d是最小的正整数． (1)填空：_____． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】0的意义、相反数的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的定义 【分析】本题主要考查了相反数，有理数的相关概念，解题的关键是掌握以上概念． （1）根据相反数的定义求值即可； （2）根据相反数，有理数的相关概念，列出等式，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，且， ∴， 故答案为：； （2）解：∵a、b互为相反数， ∴； ∵是最小的自然数， ∴； ∵d是最小的正整数 ∴    ∴． 【作业19】．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）计算 (1)化简； (2)先化简，再把代入求值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值、合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，整式的加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）把原式合并同类项化简，然后代入数值即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， 当时， 原式． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第一~三章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数、相反数、倒数、绝对值等基本概念 · 会用数轴比较有理数大小并化简含字母的绝对值 · 掌握有理数的加减乘除与乘方混合运算 · 掌握代数式书写、列代数式与代数式求值 · 掌握整式的概念、合并同类项与整式加减运算 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数 有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），也可分为正有理数、0、负有理数 相反数：只有符号不同的两个数，a与−a互为相反数，和为0 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数是（a≠0），0没有倒数 绝对值：数轴上表示a的点到原点的距离，|a|≥0，具有非负性 概念辨析例题：|−3|的值是多少？ 答案：3 解析：绝对值表示数轴上该点到原点的距离，点−3到原点的距离为3，所以|−3|=3。 ☆ 2.数轴与有理数运算 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上右边的数总比左边的大 加法：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大者的符号；减法转化为加法 乘除：同号得正、异号得负；乘法交换律、结合律、分配律 乘方：an表示n个a相乘，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正 概念辨析例题：计算(−2)3。 答案：−8 解析：(−2)3=(−2)×(−2)×(−2)，负数的奇次幂为负，结果为−8。 ☆ 3.代数式与整式 代数式书写规范：数字与字母相乘省略乘号，数字在前；除法写成分数形式 单项式：由数与字母的乘积组成，数字因数是系数，所有字母指数之和是次数 多项式：几个单项式的和，其中每个单项式是项，不含字母的项是常数项 同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，合并同类项时系数相加减 概念辨析例题：单项式−3x2y的系数和次数分别是多少？ 答案：系数−3，次数3 解析：数字因数−3是系数；字母x、y的指数之和为2+1=3，所以次数是3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 a与−a，a+(−a)=0 只有符号不同 倒数 a与（a≠0），积为1 0没有倒数 绝对值 |a|，到原点的距离 |a|≥0，非负性 乘方 an=a×a×…×a（n个a） 负数奇次幂为负 同类项 字母相同且指数相同 合并时系数相加减 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-12题） · 熟练运用相反数、倒数、绝对值的定义判断正误 · 有理数分类：整数与分数、正有理数、0与负有理数 · 科学记数法还原原数、近似数的精确度问题 1．（25-26七年级上·全国·期中）近似数精确到（   ） A．千分位 B．百分位 C．千位 D．百位 2．（2026·四川遂宁·中考真题）的绝对值是(     ) A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）在有理数、、、中，负数有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）用四舍五入法将34.945取近似数精确到十分位是______． 5．（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 6．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，2.4，，0，，，，，． 正数：{________________________________________…}； 非负整数：{______________________________…}； 整数：{______________________________________…}； 负分数：{______________________________________…}． 【考点2】数轴与有理数大小比较（第13-22题） · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 · 利用数轴比较大小：右边的数总比左边的大 · 根据点在数轴上的位置判断式子的正负并化简 7．（23-24七年级上·重庆·期中）下列四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．（24-25七年级上·浙江台州·期中）在数轴上表示a，b的点的位置如图所示，则下列各式中，正数的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 10．（2025七年级上·山东青岛·专题练习）用“”“”号连接下列各组数：________；________ 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）比大而比小的所有整数的和为_______________． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 14．（23-24七年级上·广东惠州·阶段检测）将下列各数在同一条数轴上表示出来，并用“<”连接起来． 【考点3】有理数的运算与应用（第23-40题） · 加减混合运算统一为加法再计算 · 四则混合运算按先乘除后加减的顺序，乘方优先 · 实际问题转化为有理数运算，注意正负号的实际意义 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6．八进制数字3752换算成十进制是_____． 16．（25-26七年级上·全国·期中）若是非零有理数，，则的值为______． 17．（25-26七年级上·广西柳州·期中）我们定义一种新运算“☆”：对于任意有理数和，有．例如：．则的值为___________． 18．（25-26七年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) (3) (4)解方程： 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）出租车司机小李某天在南北方向的市心路上营运，规定向北为正，向南为负，已知从出发点开始所行使的路程（单位：千米）为：． (1)若将最后一名乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若出租车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方？ 20．（22-23七年级上·河南商丘·期末）计算：． 21．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 22．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算： 23．（23-24七年级上·江西上饶·阶段检测）课本再现 小明和他的爸爸到某通信公司去办理手机资费业务，发现该公司推出了两种移动电话的计费方式，详情如下表所示． 月使用费/元 主叫限定时间 主叫超时费/ （元） 被叫 方式一 免费 方式二 免费 温馨提示：若选用方式一，每月固定缴费元，当主动打出电话月累计时间不超过，不再外缴费；当主动打出电话月累积时间超过，超过的部分每分钟加收元． (1)小明的爸爸每月主叫通话时间约为,他选择哪种计费方式更划算？ (2)如果小明的妈妈每月移动电话费的预算为元，那么她选择哪种计费方式，可以使主叫通话时间更长？ 24．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 25．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算： (1) (2) 26．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 27．（24-25七年级上·福建宁德·阶段检测）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从A地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位/千米）：，，，，，，，． (1)收工时，快递员在A地的哪个方向？求此时快递员与A地的距离； (2)若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 28．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： (1) (2) 29．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）有理数混合计算 (1) (2) (3) (4) 【考点4】列代数式与代数式求值（第41-56题） · 代数式书写规范：乘号省略、数字在前、除法写分数 · 列代数式：把文字语言转化为符号语言 · 求代数式的值：直接代入或整体代入（已知式子的值） 30．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）下列用代数式表示“的3倍与5的和”，正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）物理上用压强来表示压力产生的效果，压强越大，压力的作用效果越明显．对于固体，物体的压力（单位：N）一定时，压强与受力面积成反比例，其部分对应数值如下表，则值为（   ） 受力面积（单位：m2） 10 7 压强（单位：Pa） 70 98 140 A．980 B．920 C．14 D．10 32．（23-24七年级上·四川德阳·阶段检测）下列代数式的书写符合规范的是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图所示的方式摆放．按照图中所示尺寸，则大长方形的长是（      ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级上·山西晋城·期末）已知代数式的值是5，则代数式的值是________． 35．（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知a，b满足，则_____． 36．（23-24七年级上·福建宁德·期中）商品的包装盒是一个长方体（如图1），它的宽和高相等．小明将四个相同的包装放入一个长方体纸箱中，从上面看所得图形如图2所示，大纸箱底面长方形未被覆盖的阴影部分周长用表示．接着小明将这四个包装盒又换了一种摆放方式，从上面看所得图形如图3所示，大纸箱底面未被覆盖的阴影部分周长用．（设图1中商品包装盒的宽为）则=________（用含的式子表示） 37．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）一个四位数，若其百位数字与十位数字之和为9，且后两位数字组成的两位数与前两位数字组成的两位数之差为，则称该四位数为“杭亚数”．例如：，，，那么是“杭亚数”，则最小的“杭亚数”为______．若一个四位数的千位数字与个位数字之和为8，且这个四位数加上后是“杭亚数”，则满足这个条件的最小四位数为______． 38．（23-24七年级上·广东汕尾·期末）如图所示的程序框图，若开始输入，则最后输出的结果为________． ． 39．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，我县某校操场的两端为半圆形，中间是一个长方形．已知半圆形的半径为米，直跑道的长为米，计算操场的面积______平方米．（结果保留）． 40．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）已知满足，求的值． 41．（黑龙江省佳木斯市富锦市三江区域联合体学校2025-2026学年七年级上学期9月月考数学试题）已知，互为相反数，，互为倒数，，求代数式的值． 【考点5】整式的概念与加减运算（第57-71题） · 确定单项式的系数与次数、多项式的项与次数 · 同类项判断：字母相同且相同字母指数相同 · 去括号法则与合并同类项：括号前是负号时各项变号 42．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）关于单项式的系数和次数，下列表述正确的是（） A．系数是2，次数是9 B．系数是8，次数是6 C．系数是2，次数是4 D．系数是8，次数是9 43．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）下列各组代数式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 44．（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知和是同类项，则式子的值是（   ） A． B．16 C． D．4 45．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．表示负数 B．若，则 C．单项式的系数为 D．多项式的次数是5 47．（21-22七年级上·甘肃陇南·期末）化简__． 48．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）单项式的系数是_____，次数是______． 49．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）若单项式与是同类项，则的值是______． 50．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与可以合并，则______． 51．（25-26七年级上·重庆·期末）若单项式与的差是，则______． 52．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若的结果中不含项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求的值． 【考点6】规律探索与几何初步（第72-80题） · 数字类规律：观察相邻项的差或倍数关系 · 图形类规律：用代数式表示图形个数与序号的关系 · 几何体中的点、棱、面的个数关系 53．（24-25七年级上·天津·期中）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸：地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2021年是辛丑年，可以推知2049年是什么年（   ） 天 干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地 支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干 支 纪 年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 A．乙巳 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 54．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是______． 55．（24-25七年级上·重庆·期末）八棱柱共有_______条棱． 56．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）一根圆柱形钢管，其底面积为平方米，长为15米，则它的体积为__________立方米． 57．（23-24七年级下·北京通州·期末）毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究： 名称及图形几何点数 层数 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 第一层 1 1 1 1 第二层 2 3 4 5 第三层 3 5 7 9 … … … … … 第六层 6 11 16 21 … … … … … 第n层 n 第n层六边形数图形的几何点数是_______（用含有字母n的代数式表示）． 58．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则_________． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记相反数、倒数、绝对值的定义，注意0没有倒数 · 数轴是理解有理数的工具，比较大小借助数轴进行 · 混合运算按先乘方、再乘除、后加减的顺序进行 · 代数式求值先化简再代入，注意整体代入法 · 整式加减关键是识别同类项、正确运用去括号法则 【作业1】．（24-25七年级上·四川·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．绝对值等于本身的数只有1 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．有理数只包括整数和分数 D．倒数等于本身的数是和1 【作业2】．（22-23七年级上·广西河池·期中）下列有理数中最小的是（  ） A．0 B．3 C． D． 【作业3】．（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【作业4】．（25-26七年级上·天津静海·期中）若a、b互为相反数，m、n互为倒数，则等于（   ） A．1 B． C．2 D．0 【作业5】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（   ） A．153 B．171 C．190 D．210 【作业7】．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）已知，则_____． 【作业8】．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为______． 【作业9】．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测） _____． 【作业10】．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，那么代数式的值是_______． 【作业11】．（24-25六年级上·上海普陀·期末）一次式的一次项的系数是________________． 【作业12】．（24-25七年级上·全国·单元测试）在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看得到的形状如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为，则的最小值为__________． 【作业13】．（23-24七年级上·湖北鄂州·期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵，根据规律，自然数应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么的值是____.    【作业14】．（25-26七年级上·广东惠州·期末）某水果店新进了10箱橘子，以每箱30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 (1)10箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱多重_______千克； (2)与标准重量比较，10箱橘子总计超过或不足多少千克？ (3)若橘子每千克售价8元，则出售这10箱橘子可卖多少元？ 【作业15】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简，再求值：，（其中，） 【作业16】．（22-23七年级上·河南郑州·期末）（1）用字母表示图中阴影部分的面积．（直接写出结果） （2）若，，计算出阴影部分的面积．（取3.14，结果精确到0.1） 【作业17】．（23-24七年级上·福建三明·阶段检测）如图，这是由6块小正方体组成的简单几何体．       (1)请在图1网格中画出该几何体从左面看到的形状图． (2)请在图2网格中画出该几何体从上面看到的形状图． 【作业18】．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知a、b互为相反数()，c是最小的自然数，d是最小的正整数． (1)填空：_____． (2)求的值． 【作业19】．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）计算 (1)化简； (2)先化简，再把代入求值． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $