精品解析：河北省保定市第一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，或， ，. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】已知， 当时，的分母为0，无意义， 因此推不出，充分性不成立． 已知， 则， 整理得，即， 解得，必要性成立． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 3. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数的关系化简分段函数式，求出的解析式，代入目标不等式，求解即得. 【详解】因，， 当时，； 当时，， 即当时，都有， 则等价于，解得. 所以不等式的解集为. 4. 已知正项等差数列的公差为，首项，且，，成等比数列，则（ ） A. 9 B. 或3 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项列方程，利用等差数列的基本量运算化简即得. 【详解】因，，成等比数列，则， 即，解得或， 因，则. 5. 已知正三棱锥的外接球的体积为，底面的边长为，则顶点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外接球的体积为，可得外接球半径为；由底面的边长为，可得底面外接圆半径为，再分情况讨论球心与底面的相对位置，利用勾股定理建立方程求解即可 【详解】由球的体积公式，解得外接球的半径为. 由底面的边长为,且为等边三角形， 所以可得底面外接圆半径为. 设顶点到底面的距离为， 当球心在底面与顶点之间时，则有 即，解得. 当球心在底面外侧时， 此时，解得 综上所述，点到底面的距离为. 6. 已知平面向量，，两两不共线，且，，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的相关知识，结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由得， 整理得，代入得， 由该向量与平行可得，解得. 7. 若函数在其定义域的子区间内有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式，求解即可. 【详解】函数定义域为， 由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若设，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是定义在上的奇函数，且当时，，结合，可设，进而假设，，求解值域即可得到的取值范围. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 且满足，由题设 则情况1：，此时， 因为平面上不存在三个向量两两垂直，故该情况舍去； 情况2：一个数为，一个数为0，一个数为. ，，是平面内三个不同的单位向量, 不妨设.， 因为，故可设， 则 ， 因为，所以 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当的实部是，虚部是时， C. 若满足，则的最小值是 D. 若，则的最小值与的最小值相同 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意得，复数，， 对于A：，， 因为，所以，故A正确； 对于B：， ， ， ，故B错误； 对于C：，变形得，得， 代入，，得，故或， 表示复平面内点到定点的距离， 当时，，此时的最小值为， 当时，，此时的最小值为， ，所以的最小值是，故C正确； 对于D：，复数对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点到点的距离，最小值为， 表示单位圆上的点到点距离，最小值为， ，两个最小值不相同，故D错误. 10. 如图所示，在正四棱台中，，，则以下结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 当时，直线和平面所成角的大小为 D. 若正四棱台的高为3，则三棱锥的体积为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接上下底面的对角线，再连接两底面对角线的交点，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一判断即可. 【详解】连接相交于，连接相交于，连接, 由题意可知、、两两垂直， 所以以为坐标原点、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 设高正四棱台的高， 则，，，， ，，，，， 对于A，因为, 所以, 所以， 即，故A正确； 对于B，因为，且四点不共线， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，过作于， 由题意可得即为直线和平面所成角, 且, 所以, 所以， 即直线和平面所成角为， 又因为平面平面， 所以直线和平面所成角的大小为，故C错误； 对于D，由题意可知，由B可知平面， 所以，故D正确. 11. 在中，，为边上的点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 当为锐角三角形时，周长的取值范围是 C. 长度的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A、根据三角形的面积公式先求的面积，再根据题中条件可得的面积是面积的3倍，即可求解；选项B、用正弦定理表示的边长，确定的取值范围，最后计算周长并利用三角恒等变换化简求取值范围；选项C、用余弦定理表示的长度，再转化为一元二次函数求的最小值；选项D、先用向量线性运算表示，再令，转化为一元二次函数求最值． 【详解】选项A、已知，，， 则的面积为：， 因为， 所以，且到的高相同， 故的面积是面积的3倍， 则的面积为，故选项A正确； 选项B、设， 在中，由三角形内角和为，得． 根据正弦定理得：及， 则， 因为为锐角三角形， 所以三个内角均为锐角， ，解得， ， 因此，． 因为周长， 所以 ， 因为， 则，，， 代入得：，故选项B正确； 选项C、设， 在中，由余弦定理得：， 对二次函数配方得， 当时，取得最小值， 故，即长度的最小值为，故选项C错误； 选项D、， ， ， 已知，， 故，， 令， 则 当时，的最大值为，故选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角为钝角，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意和二倍角公式求出、的值，进而可得，再根据两角和的正切公式展开求解即可. 【详解】因为角为钝角，且， 所以， 解得， 所以， 所以， 所以. 13. 已知函数，若过坐标原点只能作一条直线与曲线相切，则实数的取值集合是________． 【答案】或 【解析】 【详解】设切点坐标为， ，求导得，所以切线斜率， 切线方程为， 因为切线过原点，将，代入切线方程， ， 整理得， 由题意得，过原点只能作一条切线，即关于的方程， 仅有一个实数根， ， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 故在取得极小值，也是最小值，， ①当时，即，恒成立，方程无实根，不存在切线，不符合题意； ②当时，即，仅有唯一解，仅有一个零点，满足题意； ③当时，即，，， 若，，结合单调性可知， 在和上各有一个零点，共两个零点，对应两条切线，不符合题意， 若，，在单调递减，且，故在上，无零点；在单调递增，有唯一零点，满足题意， 综上，实数的取值集合为或 14. 已知数列，的通项公式分别为，．将，中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，若与都是中的项，则正整数________． 【答案】38 【解析】 【分析】，中没有公共项，分析与两项中间数字的情况求解. 【详解】中的项都是奇数，中的项都是偶数，，中没有公共项， 设，，两项之间共32项， 若，取，，此时两项之间共32个奇数，符合题意， 小于64的项包含共32项，共5项，所以； 若，此时和两项之间总项数不会等于32项，不符合题意， 综上， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）当时，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求当时，的值域； （2）当时，若函数的最小正周期为，且在上恰有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像变换的性质得到新函数，再讨论单调性分析最值即可求出值域； （2）将题目中的零点条件转化为在一般的三角函数上进行求解。 【小问1详解】 ，． 当时，， 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到 的图象， 因为，所以令，则， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，，故， 所以当时，的值域为． 【小问2详解】 由题意得，所以，可得， 当时， 由在上恰有3个零点，所以， 解得，故． 16. 如图，为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为，体积为，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，又因为是中点，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质，结合题意分析即可证明； （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用已知条件求出相应线段的长度，写出相应的点和向量的坐标，求平面法向量，最后利用向量法分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直径，可另设中点，故为底面圆的圆心，且平面， 由（1）知，所以以为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为，体积为， 设圆锥底面圆半径为，母线长为， 则有，又，解得， 故， 故， 设为平面的法向量， 则， 令，则，，所以， 设为平面的法向量， 则， 令，则，，所以， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若角的平分线交边于点，且，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边与角的转化，整理化简，再根据三角函数范围求解即可； （2）根据角平分线的性质以及余弦定理求出的值即可。 【详解】（1）因为．所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，整理得， 又，所以，又，所以． （2）因为角的平分线交边于点，所以， 又，所以，即． 又，所以． 在中，由余弦定理得， 即，即，即， 解得或（舍去）， 所以． 18. 已知正项数列，满足，． （1）设数列满足，若． （i）求数列，的通项公式； （ii）求数列的前20项和； （2）若，分别为数列，的前项和，证明：对任意的，恒成立． 【答案】（1）（i），（ii） （2）由题易知 ， 由，可得，则， 即数列{}和{}均为公比为2的等比数列， 所以， ，当且仅当时，取等． ， 当时，； 当，，，时，可验证， 所以对于任意的，都有，即恒成立． 【解析】 【分析】（1）（i）根据等比数列与等差数列定义，分情况讨论数列通项； （ii）结合数列通项，采用错位相减法即可求解； （2）结合等比数列定义，以及基本不等式求解数列范围，通过作差法比较两者大小. 【小问1详解】 （i）因为且， 所以，两式相减得到， 当为奇数时，，所以，，，…，成首项为1，公差为2的等差数列， 所以，为奇数； 当为偶数时，，所以，，，，…，成首项为1，公差为2的等差数列， 所以，为偶数， 所以 因为，所以，两式相除得到， 当为奇数时，，所以，，，，…，成首项为1，公比为2的等比数列， 所以，为奇数； 当为偶数时，，所以，，，，…，成首项为2，公比为2的等比数列， 所以，为偶数， 所以 （ii）由（i）知 所以 即 因此 则， 设，① 则，② ①−②得， ， 所以， ， 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）若． （i）求函数在上的值域； （ii）解不等式； （2）若函数在上存在极大值，求实数的取值范围； （3）设函数有两个极值点，证明：． 【答案】（1）（i）（ii） （2） （3）证明：由已知得， 则， 函数有两个极值点，， 即在上有两个不相等实数根， 令，只需，故， 又，， 所以 ， 要证，即证， 只需证， 令，， 则，所以在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， 则， 因为由对勾函数知在上单调递增， 所以，， 即． 【解析】 【分析】（1）先由求出的值，（i）然后利用函数导数与函数单调性求出最值，再结合题意得出函数在上的值域；（ii）利用函数导数与函数单调性解不等式； （2）利用函数导数与函数单调性，求极值，然后根据函数在上存在极大值，对参数分类讨论即可得出参数的取值范围； （3）利用函数导数与函数单调性，以及函数导数与极值点，利用分析法、对勾函数的性质证明不等式即可. 【小问1详解】 因为，即，得， 所以． （i）由，知函数的定义域为， 则， 因为，所以， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 而，， 由， 因为，所以，即， 所以，所以函数在上的值域为． （ii）即为， 设，，且，所以即为， 而，故在上为增函数， 所以，故原不等式的解集为． 【小问2详解】 因为，， 所以， 若，则时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，无极大值点，不符合题意； 若即，则时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为的极大值点，此时符合题意； 若，则时，， 所以在上单调递增，无极值点，此时不符合题意； 若即，则时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为的极大值点，此时符合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等差数列的公差为，首项，且，，成等比数列，则（ ） A. 9 B. 或3 C. 4 D. 3 5. 已知正三棱锥的外接球的体积为，底面的边长为，则顶点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，两两不共线，且，，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 7. 若函数在其定义域的子区间内有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若设，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当的实部是，虚部是时， C. 若满足，则的最小值是 D. 若，则的最小值与的最小值相同 10. 如图所示，在正四棱台中，，，则以下结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 当时，直线和平面所成角的大小为 D. 若正四棱台的高为3，则三棱锥的体积为8 11. 在中，，为边上的点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 当为锐角三角形时，周长的取值范围是 C. 长度的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角为钝角，且，则________． 13. 已知函数，若过坐标原点只能作一条直线与曲线相切，则实数的取值集合是________． 14. 已知数列，的通项公式分别为，．将，中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，若与都是中的项，则正整数________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）当时，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求当时，的值域； （2）当时，若函数的最小正周期为，且在上恰有3个零点，求实数的取值范围． 16. 如图，为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为，体积为，求二面角的正弦值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若角的平分线交边于点，且，，求的面积． 18. 已知正项数列，满足，． （1）设数列满足，若． （i）求数列，的通项公式； （ii）求数列的前20项和； （2）若，分别为数列，的前项和，证明：对任意的，恒成立． 19. 已知函数，． （1）若． （i）求函数在上的值域； （ii）解不等式； （2）若函数在上存在极大值，求实数的取值范围； （3）设函数有两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $