河北省沧州市部分学校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

2027届高三质量检测 数学 (时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知命题p:Hx<0,x227≤0，则p为 A.Hx>0,x202>0 B.Hx<0,x2027>0 C.3x≥0，x2o27>0 D.3x<0,x2027>0 2.复数z=1+iln之(i为虚数单位)在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(+)儿x+)的最小值为 A.25 B.27 C.32 D.36 4.已知函数fx)=s咖(2x+）,为了得到函数g(x)=m(2x一)的图象，需将fx)的图象 A向左平移受个单位长度 B向左平移个单位长度 24 C向右平移晋个单位长度 D,向右平移贤个单位长度 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,c=3,B=120°，则b= A.√13 B.√19 C.5 D.7 6.已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于1mg/L.现利用某海水淡化装置去除某水体中的微 量硼元素，其初始硼浓度为8.8mg/L,经过t分钟过滤后，硼浓度ymg/L满足y=0.4十 λe市，则若使硼浓度达到标准至少需要过滤 (参考数据：ln14≈2.639，ln16≈2.773，ln18≈2.890) A.26分钟 B.27分钟 C.28分钟 D.29分钟 高三数学第1页（共4页） 翻王 7,已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在以O为球心的球面上，若AB=BC=√3，∠ABC= 且三楼锥P-ABC的体积的最大值为3，则球O的表面积为 A肾 B.4元 C.16π D.64π 8.已知a=sin(cos2),b=cos(sin2),c=sin2,则 A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.c>a>b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知关于x的不等式(2a一4)x2-ax+1≥0(a∈R)的解集为M,则 A当a=2时，M=(-o,引 B.当a=4时，M=R C当>时，M=(-,引U[3+)D当a<2时，M=[引 10.已知F1,F,为双曲线C:号-y2=2a>0)的两个焦点，P为C上任意一点，则下列说法正 确的是 A.||PF,|-|PF2|I=23 BC的渐近线方程为y=士 CC的离心率为2y 3 D.若λ=1，则|PF1+PF21≥25 11.设数列(an}前n项和为Sn,a1=2.如图，在△ABC中，D为AB边中点，点E在线段BC上， 且有EC=an+1EA-4(an十2)ED,则 A.a2=6 E B.数列(am十4)是等比数列 C,数列(an）单调递增 D.Sn=3X2m+1-4n-6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某科研机构测试7台人形机器人步态精度综合得分（满分10分）如下：9.4,8.5,8.7,9.1， 9.6,9.2,9.4,则这组数据的中位数为 13.定义非空数集A的“跨度”为L(A)=maxA一minA,即数集中的最大值与最小值的差.已 知集合A=(x|x2-5x+6≤0)，B=(x||x一a≤1)，若L(AUB)=5,则实数a= 14.已知函数f(x)是定义在（一∞，0）U(0,十∞)上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数.当x>0 时，xf'(x)>2f(x),且f(1)=3,则不等式f(x)<3x2的解集是 高三数学第2页（共4页) 副图9王 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 某新能源企业的甲、乙两条自动化产线生产动力电池电芯，两条产线当日产量相同.为探究产 线类型与电芯合格情况是否存在关联，采用按比例分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的 电芯中随机取出100枚进行性能检测，得到如下2×2列联表： 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 50 乙自动化产线 40 合计 (1)将列联表补充完整并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析自动化产线类型与电芯 合格情况是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从当日生产的电芯中随机抽取2枚进行检测，记其中不合格电芯 的个数为X,求X的分布列与期望 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.100 0.050 0.010 x。 2.706 3.841 6.635 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD= 2CD=2,PC⊥底面ABCD,PB=3PE, (1)求证：PD平面EAC; 2)考二面角P-ACE的余弦值为，求直线AP与平面EAC所成角的正弦 高三数学第3页（共4页） 腦回m 17.(本小题满分15分) fz)=号in2wz-3cos'uz+5+1(o>0)的最小正 (1)求f(x)的单调区间和图象的对称轴， (2)记函数g(x)=fx)-是 (i)若g(x)在[0，m]上恰有3个零点，求实数m的取值范围； (i)将g(x)的正零点按从小到大的顺序依次记作x1,x2,x,…,设an=sin(n∈N), 求数列{an)的前10项和S1o. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C若+常 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,上、下顶点分别为A,B, |F1F2|=4,△AF1F2为直角三角形 (1)求C的方程. (2)设O为坐标原点，过点P(0,4)且斜率为k的直线与C交于M,N两点. (i)求△OMN面积的最大值； (i)证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2lnx十x2十ax. (1)当a=1时， (i)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (ii)若正实数x1,x2满足f(x1)十f(x2)=4,证明：x1十x2≥2. (2者不等式十号fG)-方≥0对任意的xE0,十o)恒成立求实数a的取值范园. 高三数学第4页（共4页） 鬣®生 题号 1 2 345 6 1 8 10 答案DDADABCB ABD BCD BCD 1.D解析：命题p:V.x<0x2≤0的否定p为]x<0,x2>0,故选D. 2.D解析：复数：在复平面内对应的点为(1.ln。).在第四象限，故选D. 3A解折：(+2兆6x+)=3x+号+18≥2r…号+13=25当且仅当3r=是即r=士时. 等号成立，故选A 高三数学答案第1页（共7页） 4D解折：将x)的图象向右平移费个单位长度可得g:)的图象.放选D 5.A解析：由余弦定理得=a2+c-2ac0sB=1+9-2X1X3×(←）)=13.所以b=丽.故选A. 6.B解析：依题意.当1=0时y=8.8,则8.8=0.4十x,解得入=8.4.所以y=0.4+8.4c.当y≤1时， 可得Q4+84e≤1.所以e古≤登号=两边取自然对数.所以-。≤h司=-1h14,放≥10X ln14≈10×2.639=26.39.故浓度降至1mg/L至少需要27分钟.故选B. 7.C解析：设球O的半径为R,三棱锥P-ABC的高为h,△ABC的外接圆为⊙O,易知当PO1⊥平面 ABC且PO,>R时，三校锥P-ABC的体积最大Sr=方×AB·BC·sm∠ABC=35.则 Vr=吉Sr的最大值为39.所以h的最大值为3.甲=P0,=R十0，=3，又△ABC的外接 圆Q0,的半径2于BP0=R+0,=R+R-7=3,解得R=2,所U球0的表一 面积为S=4πR2=16π.故选C. 8B解折：由-1<cos2<0,可知a=m(cos2)<0,易知$m2E(停.1)：构造函数了)=1-c0s1 1E停.小则/0=1+血>0，)单调递，u)>停)-号-o号>9-s音-0.所以 c>b>0.综上c>b>a.故选B 9.ABD解折：当a=2时，不等式为-2x+1≥0.则x≤分A正确：当a=4时.不等式为4r2-4x+1≥0。 即(2r-1D≥0.B正确：当a>时.2a->0,4>0且2分所以不等式2a-42-ax+1≥0的 解集为M=(←，司U[侵+).C错误当a<2时，2a-4<04>0:且2<分所以。2≤ t≤号D正确故选ABD 10.BCD解析：根据双曲线的定义.|PF,|一|PF,川=2√3x,A错误；由双曲线方程知a=√3x.b=仄. 所以双前线渐近线为y=士号，B正确c=V后叶下=2，反离心率为：=-2C正确：设坐标原 3 点为O,则PF+PF,=2Pò.又λ=1，所以|P01的最小值是5.则|PF,+PF|=|2P01≥25，D 正确.故选BCD. 11.BCD解析：D为AB中点.2ED=EA+E.E克=2ED-EA.又C,E,B三点共线，EC= 面=2以-2又EA-4a,+2)ED.210十2可得a+1=2a,+4, a。+1十4=2(an十4)，又a1十4=6..数列(an十4)是首项为6.公比为2的等比数列.B正确；由上知 an=3X2"-4.∴a2=8.A错误：a+1一an=3X2+1-4-(3×2-4)=3×2”>0,所以an+1>am即数 列1a)单调递增.C正确：S。-6X二2)-n=3X2*1一4n-6.D正确，故选BCD 1-2 12.9.2解析：综合得分从低到高依次为8.5,8.7.9.1.9.2.9.4,9.4.9.6.中位数为9.2. 13.-1或6解析：易知A=[2.3],B=[a-1,a+1],当a>3时，max(AUB)=a+1.min(AUB)=2. 则a+1-2=5,解得a=6;当a<2时，max(AUB)=3min(AUB)=a-1,则3-(a-1)=5解得 藏E王 a=一1；当2≤a≤3时，不符合题意.综上，a=一1或6. 14(-1.0U0.1D解折：设gx)=f号x0则gr)=2@-二2.当 x>0时，xf'(x)-2f(.x)>0,且x3>0,因此g'(x)>0,即g(x)在(0，+∞)上单调递增.又f(x)是偶 函数，因此g(一)八一-==g(x),故g(x)是偶函数，则g(x)在(-∞.0)上单调递减由 (-x)2 j=3得81=世=3故g(-1=g1=3解不等式g)=12<3得xG(-1.oU0.1.即 不等式f(x)<3.x2的解集为(-1,0)U(0,1). 15.解：(1)将列联表补充完整为 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 S 45 50 乙自动化产线 10 40 50 合计 15 85 100 2分 零假设H。:自动化产线类型与电芯合格情况无关， 由列联表，得X2三100X(5X40一10X45)会1961<384.…，5分 15×85×50×50 所以根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们没有充分证据推断H。不成立，可以认为自动化产线类 型与电芯合格情况无关。…6分 (2)依题意，从样本中随机抽取1枚电芯为不合格电芯的概率 153 100-20 …7分 由已知X的可能取值有01,2.随机支童X一B 8分 PX=0)=G×()×货)- 400 …9分 P(X=1)=CX( )'× =51 200 10分 9 P(X=2)=C号 ()×) 400 11分 则X的分布列为 X 0 1 2 ⊙ 289 51 9 400 200 400 …12分 E(X)=2X品-昌 …13分 16.解：(1)证明：如图，连接AC,BD交于点F,连接EF. …1分 在梯形ABCD中，因为ABCD,所以△BFAP△DFC. .BF BA 所以DF=DC =2,…3分 又因为P店=3P克，所以噩=2、 PE 嚣巴生王 即在△PBD中，=p能所以PD/EF.…5分 又因为EFC平面EAC,PD寸平面EAC、 所以PD∥平面EAC.…6分 (2)如图，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平行于PC 的直线为之轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,2,0) C(1,1,0).…7分 设P11h)h>0.则E(层台号》AC=11.0.=号 11恋=（导香） …8分 设平面PAC的一个法向量为m=(a.b,c), 则m·A正=0即a+h=0: 取m=(1,一1,0).…10分 m·AP=0,a+b+ch=0, 设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,之)， n·AC=0.r+y=0, 则 ，4,2h 取n=(h,-h,1). h·AE=0中号x十3y3=0 依题意.eos(m,n)l=mn-2X√2m2+ m·n 2h =3,则h=1, …12分 于是n=(1,-1.1),Ap=(1,1.1).…13分 设直线AP与平面EAC所成角为0， 则sin0=|cos(A户n)l=A克.n 、 1 1 lAPIm3X33 即直线AP与平面EAC所成角的正弦值为号 15分 17.解：1fx)=方n2ar-5×1+e2匹+号+1=sn(r-）+1. 2 …2分 共最小正周期为，则w=1,故fx)=sim(2z-哥）)+1， …3分 令2k元-受≤2x-吾≤2元十受，得km一危≤x≤km十登所以了(x)的递增区间是 …4分 同理x)的运减区间足kx+登kx+]c∈Z. …5分 令2x-哥=π+受(k∈2Z),得f(x)图象的对称轴是直线x=5证+(k∈Z. -122 …6分 (2)0gx)=f(x)-=0,即fx)=号im(2x-）=-号当x∈[0.m]时，-晋≤2x-晋≤ 2m一3 …7分 g)在[0m]上拾有3个零点，因比晋≤2m一晋<警所以实数m的取值范国灵[竖7). … ……………10分 12x= 13π 25π 4 12xs= 12 9手 E二x=成公差为元的等差教列，又Q。=sinx,所以a1,a3,a5a,a,成公比为-1的学 数列.且a1n=m是动（任-）-6,2 …12分 4 7理.7=3元7元11元15π-19 41= 426= 4X8= 4x10= ,成公差为元的等差数列，所以a2a1a6asan,成 公比为一l的等比数列，且a2=sinx2=sin 3m-2 …13分 42 数列(an)的前10项和S1。中奇数项与偶数项各有5项，且奇数项和中相互抵消后只刺下a1一项，偶数 项和中相互抵消后只剩下a2一项，因此S1o=a1十a2 √6+√2 …15分 4 18.解：(1)由|F1F2=4,知c=2、… …1分 因为△AF,F2为直角三角形，所以AF,==号XF,F2=22.…2分 2 由b2=a2一c2,可得b2=4,… …3分 故C的方程为写十父1 …4分 (2)(i)设直线MN的方程y=kx十4，M(x1y1).N(x2y2), y=kx十4， 账立g整十2k3）z十16kr十240心5分 =1. 4 共中4=256k-961+2k)>0,即6>号 …6分 -16k 24 且x1+x=1+2k2x1x2=1+2k2 …7分 则△OMN的面积Saw=号1OP|·Ix1-xzl=号X4√x1+xg)-4x1= 2 2-x 令1=√4k3-61>0,则k:=已+6. ……8分 4 81 所以S△N=一 16116 16 十2X12+612+8+8 =22,…9分 8 4 当且仅宝1=2厄即长=士受时等号成立且满足>号 所以△OMN面积的最大值为2√2. 10分 (i)证明：由题意得A(0.2),B(0,一2)， 11分 由()可知，k江1心2怎号（红十x2》,…12分 立线AN的方程为y一2=，直线BM的方程为y十2=山十2 ,设交点G(xy),…13分 y-2=y22 r: 联立 y+2=,+2 1, 巴生年 3 1 3 得Y二名=y-2)1=x十2)x1_kx1x+24_一2（x1+2)+2x1 2x1- 222 1 y十2(y1十2)x2(kx1+6)x2kx1x2+6x2 2(x十x2)+6x2 3 解得y=1,……16分 即直线BM与AN的交点G在定直线y=1上. ……0……]7分 19.解：(1)(i)当a=1时，f(x)=2lnx十x2十x, 则f'x)=2+2z+1,f01）=2,f'1)=5. …2分 所以曲线y=f(x)在，点(1，f(1)处的切线方程为y一2=5(x-1),即5x一y-3=0.…4分 (i)证明：f'(x)=2+2x十1>0，所以∫(x)在(0，十0)上单调递增， x 又f(1)=2,所以f(x1)十f(x2)=4=2f(1).…5分 若x1x2都大于1，则f(x1)十f(x2)>2f(1)=4,不合题意， 同理x1x2都小于1也不满足.… …6分 设0<x1≤1≤x2,欲证x1十x2≥2，即证x2≥2-x1,即证f(x2)≥f(2-x1), 即证4一f(x1)≥f(2-x1),即证4≥f(x1）十f(2-x1).…7分 令F(x)=f(x)+f(2-x),.x∈(0,1]， F')=fu)-f2-)=2+2x+1-[2+22-+1-是+，22+4-4 xx-2)≥0， …8分 所以F(x)在区间(0,1]上单调递增，所以F(x)≤F(1)=2f(1)=4,则原不等式得证.…9分 …10分 若gx)≥0对任意的x∈(0，十o)恒成立，则g1)=1+20≥0，解得a≥-2. …11分 下面证明：a≥一2时符合题意. 当a≥-2时g)-+lnx+7x≥g+ln-x x 以下i证明：e十ln江-z之≥0,2 令G(x)= -+In x-x, x 则G)=z-+1-1=-1-1)+x-x_红-1)(e1- …13分 令H(x)=e-1一x,则H'(x)=e-1-1,当0<x<1时，H′(x)<0,H(x)单调递减，当x>1时， H'(x)>0,H(x)单调递增， 所以H(x)≥H(1)=0.… …14分 当0<x<1时，G'(x)<0,当x>1时G'(x)>0 所以G(x)在(0,1)上单调递减，在（1，十0∞)上单调递增，…15分 所以G(x)≥G(1)=0,即当a≥一2时符合题意.…16分 当a<-2时，g1)-1十分a<0,不满足gc)≥0对任意的x∈(0，十∞)恒成立. 综上，a的取值范围是[一2，十∞).… …17分 ⑧a