精品解析：安徽合肥市第八中学2026-2027学年高三年级上学期数学统一作业(二)试题

合肥八中2026-2027学年度高三年级上学期 数学统一作业（二） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，若复数是纯虚数，则（ ）． A. B. C. D. 3. 若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（ ）． A. B. 2 C. 4 D. 5 4. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 5. 已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（是在处的导数值），其中称为函数在闭区间上的中值点．则函数（其中e为自然对数的底数）在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 7. 设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数在区间上没有零点，则 11. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 是单调递增数列 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数满足：对任意的，都有，则______. 13. 已知数列满足，且，则________． 14. 已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 17. 在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若 （1）求的面积; （2）若，求的长. 18. 已知函数． （1）若在处取得极值0，求，的值； （2）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值； （3）若有两个零点，证明：． 19. ． （1）求函数在上的单调区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026-2027学年度高三年级上学期 数学统一作业（二） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的概念运算可得结果. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A 2. 设，若复数是纯虚数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算展开代数式，再利用纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以， 解得，此时得. 故选：B. 3. 若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（ ）． A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模的平方等于向量自身平方将平方，再根据向量数量积的运算律展开并结合已知条件进行计算. 【详解】 因为，是单位向量，所以，且，代入得： 则 故选：A 4. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 5. 已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可. 【详解】因为，是递增数列， 所以，解得， 所以实数t的取值范围为， 故选：C 6. 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（是在处的导数值），其中称为函数在闭区间上的中值点．则函数（其中e为自然对数的底数）在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用拉格朗日中值定理建立方程，再结合导数求出方程解的个数即可. 【详解】设函数在上的“中值点”为， 求导得， 则，即， 令函数，， 求导得， 函数在上单调递增，，， 因此函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解． 故选：A. 7. 设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理得到与的关系式，然后利用基本不等式对其进行变形，从而求出的最大值. 【详解】由余弦定理，代入， 得 根据完全平方公式，则，将其代入上式可得： 因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以 代入 设，则 即，两边同时乘以3得到 因为，所以 即 所以的最大值为 故选：D 8. 已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数在区间上没有零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用倍角公式及两角和的正弦公式化简函数的解析式，逐项判断即可确定正确答案. 【详解】， 对于A，若函数的周期为，则，故A错误； 对于B，若，则， 故函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，故B正确； 对于C，若且直线是函数的一条对称轴， 则且，解得，则， 由，得，故在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，， 若函数在区间上没有零点，则， 又，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 是单调递增数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用与的关系，将中的消掉，求出判断符号即可判断A项的正误；判断数列是等差数列，进而求出，再利用作差法判断B项的正误；应用放缩法与裂项相消求出，再与比较即可；构造函数，并利用导数研究函数的最小值，再取即可判断D项的正误. 【详解】因为，所以当时，， 两式相减，可得， 所以， 所以， 所以是单调递减数列，故A错误； 当时，，所以； 当时，，化简整理得， 所以数列是等差数列，其首项为4，公差为4， 所以， 所以 ， 所以，故B正确； 因为， 所以 所以，故C正确； 设函数，则， 因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 取，,所以，即 又因为，所以.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数满足：对任意的，都有，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，代特殊值列方程组计算即可求解. 【详解】若函数满足：对任意的，都有， 则，即，解得， 经检验满足题意，所以. 故答案为：2 13. 已知数列满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】构造新数列，新数列是常数数列，由此易得通项公式． 【详解】设，则由得，∴， ∴，∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，可以通过构造新数列求解．也可以利用累乘法求通项公式． 14. 已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，关于x的不等式恰有3个不同的正整数解．设函数，，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k取值范围． 【详解】当时，不等式有无数个正整数解，不满足题意； 当时，当时，不等式恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意； 当时，不等式等价于， 令，所以， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 又，结合单调性可知，当时，恒成立， 而表示经过点的直线， 由图像可知，关于的不等式恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件： 解得．则实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类： （1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利用数形结合的方法，问题将简单化； （2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观； （3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，由已知可求得，当时，，两式相减可得，可得结论； （2）由（1）知，，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 由题知，，当时，，解得， 当时，，则有，即， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， ， 所以 ， 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， . 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 17. 在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若 （1）求的面积; （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理解出的长，再利用三角形面积公式即可得到答案； （2）利用两次正弦定理得到，，两式相比得，再结合同角平方和关系即可解出，再代回正弦定理式即可得到答案. 【小问1详解】 在中，， 即，解得(负根舍)， 所以. 【小问2详解】 因为，平分，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理，得，① 在中，由正弦定理，得，② ①②，得，所以， 又，且，所以， 将代入②，得，所以. 18. 已知函数． （1）若在处取得极值0，求，的值； （2）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值； （3）若有两个零点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：， 若，此时，在上单调递增，此时最多只有一个零点，不符合题意. 若，令，得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值. 因为函数有两个零点，则，， 即 【解析】 【分析】（1）根据在处取得极值列出关于的方程组求解出即可. （2）根据曲线在点处的切线斜率为1列出关于的方程组，然后根据的零点情况确定的取值. （3）先分情况讨论的单调性，然后根据有两个零点从而得到的极小值小于0列出关于的不等式，整理变形即可得到所证. 【小问1详解】 ，. 在处取得极值， ，得. . 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以在处取得极值. 【小问2详解】 当时，，. 曲线在点处的切线斜率为1，且为的一个零点. ，，得或. 当时，，此时只有一个零点与矛盾，不符合题意. 综上. 【小问3详解】 略 19. ． （1）求函数在上的单调区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）增区间为，无减区间 （2） （3）当时，令， ， 所以单调递增，所以，即. 故. 令，则. 因为在上单调递减，且，， 所以存在，使得， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，成立. 【解析】 【分析】（1）用定义判断函数的奇偶性，并利用导数判断在的单调性，根据奇偶性即可判断函数在上的单调性； （2）令，将问题转化为在上恒成立，令，并利用导数求得，分三种情况分析的单调性，即可得到实数的取值范围； （3）由，可得，并对进行放缩，并根据裂项相消求和法可得左侧不等式成立；令，利用导数分析其单调性，进而得到，即，对进行放缩，并根据裂项相消求和法可证得右侧不等式成立. 【小问1详解】 ，定义域为，， 且， 所以函数是奇函数，的图象关于原点对称. . 当时，， 所以在上单调递增，由奇函数性质可知在上单调递增， 又，所以在上单调递增，无单调递减区间. 【小问2详解】 令， 则. 令，则. 所以在上单调递增，所以. 若，即，则恒成立， 是增函数，所以恒成立， 即对任意，都有； 若，即，则，使得当时，， 此时单调递减，所以，不合题意； 若，即，则在上恒成立， 是减函数，所以恒成立，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $