安徽合肥市第七中学2027届高三第一学期9月质检数学试卷

合肥市第七中学2027届高三第一学期9月质检数学试卷 命题人：钱良辰 汪煦 审题人：秦丽 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数，若，则的值是（    ）． A． B．1 C．1或0 D．或0或1 4．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 5．函数 ，的图象大致为（   ） A．B． C． D． 6．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 7．医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 8．已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 11．已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12．已知函数满足，则____________. 13．若函数在上的最大值为2，则实数____________． 14．设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）设，若在上有最小值，求实数的取值范围． 16．已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 17．已知函数. (1)求函数的对称中心. (2)解不等式. 18．城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 19．固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. (1)求的值； (2)证明：当时，；； (3)若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 试卷第2页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第七中学2027届高三第一学期9月质检数学试卷 命题人：钱良辰 汪煦 审题人：秦丽 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以， ，所以，则，，且， 所以， 2．命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，”的否定为“，”. 3．已知函数，若，则的值是（    ）． A． B．1 C．1或0 D．或0或1 【答案】C 【详解】因为， 若，则，可得， 则，所以； 若，则，可得，解得或（舍去）； 综上所述：的值是1或0. 4．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故， 所以． 5．函数 ，的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合余弦函数的性质逐一排除即可. 【详解】当， ， 所以该函数是奇函数，图象关于原点对称，排除AD. 当时，，可以排除C. 故选：B 6．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，， 所以. 7．医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解. 【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 8．已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，可整理为，由奇函数与对称轴画出图象，观察与，均关于中心对称，且交点个数为4，即可得解. 【详解】 ，可整理为，如图与，均关于中心对称，且交点个数为4，则所有根之和为8. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用作差法来比较大小可判断AB，利用指数函数单调性可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】因为所以，即，故A正确； 因为，所以， 即，故B错误； 因为，不能确定指数函数是增函数，即不一定成立，故C错误； 因为，所以， 当且仅当时取等号，即，故D正确； 故选：AD 10．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D． 【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确； 选项B，有解，因此，解得或，B正确； 选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错； 选项D，在上单调递减，则，解得，D正确． 故选：ABD． 11．已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】令得，由即可判断A；令，得，再求得，根据奇偶性定义判断B；由递推式得，进而有，应用错位相减法求判断D；由，假设为的最小正周期，而不能恒成立判断B. 【详解】令，则，而， 所以，A对； 令，则，令，则， 令，则，故，故是奇函数，C对； 由 ， 由，则，故， 所以， 所以， 所以，D错. 假设为的最小正周期， 由，则，故， 显然，对于，，，不能恒成立， 即不能恒成立，与前提矛盾，B错. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12．已知函数满足，则____________. 【答案】 【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式 【详解】令,得,代入 得 即的解析式为， 故答案为， 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法,解题的关键是根据题设条件选择求解析式的方法,本题采用了换元法求解析式,属于基础题. 13．若函数在上的最大值为2，则实数____________． 【答案】2 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】令，则在上的最大值， 最小值． 当时，，解得． 当时，，解得（舍去）． 综上，． 故答案为：2 14．设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减，在时，单调递增 即，时， 所以的的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）设，若在上有最小值，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）观察题意，知二次方程的两根为和1，因此可设，再把点代入可求得；（Ⅱ）函数是二次函数，它在区间上单调，则其对称轴在这个区间之外，由此可得的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由题意可设，即， 由的图象过点，知，从而， 即； （Ⅱ），其对称轴为，在上有最小值，则对称轴在该区间内， ，即． 考点：二次函数的解析式，二次函数的性质． 【点晴】二次函数的解析式可三种形式，一是一般式，二是顶点式，三是两根式，根据不同的条件设出恰当的形式，解题时可起到事半功倍的效果． 16．已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可； （2）由已知问题等价于方程，即方程有两个不等实根，显然是方程的一个根，所以当时，方程可化为（*），它还有不等于的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题． 【详解】（1）当时，，， 因为直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 可得，解得或， 所以或． （2）因为直线与曲线恰有两个公共点， 所以方程， 即方程有两个不等实根， 因为是方程的一个根； 当时，方程可化为（*）， 依题意，方程（*）有不等于的唯一根， 因为，若，则（*）即，，满足条件； 若，则由，解得：． 综上所述，或． 17．已知函数. (1)求函数的对称中心. (2)解不等式. 【答案】(1) ；(2). 【分析】（1）由得，，定义域为，由定义域可得对称中心为 （2）利用对称性转化，函数的定义域和单调性求解不等式组，进而可得. 【详解】（1）由得，得，所以 函数的定义域为，由，得函数的图象关于点中心对称. （2）由（1）知，，在定义域上单调递减， 函数的图象关于点中心对称，则有， 不等式.等价于，即 则有：，解得：， 故不等式的解集为. 18．城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1)，人； (2)发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【分析】（1）由题设，有当时，，且，，求值，进而写出其分段函数的形式，再求. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【详解】（1）由题设，当时，令， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2）（2）因为， 所以由（1）可得： 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）， 当时，在递减， 则（元） 综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 19．固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. (1)求的值； (2)证明：当时，；； (3)若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)略 (3) 【分析】（1）运用平方差公式，结合指数运算性质进行求解即可； （2）设，求导证明即可； （3）根据函数单调性的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）∵，， ∴ （2）证明：注意到，且． 设，则． 因为是增函数，所以当时，． 从而当时，，即在上单调递增， 所以，则，当且仅当时等号成立． （3）∵在区间上的值域是， 由上知在R上单调递增， ， 整理得 则是关于的方程的两个不等正根， ∴，解不等式组得：. 试卷第10页（共11页） 试卷第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $