精品解析：江苏省如东高级中学2023-2024学年高三上学期第一次考试数学试题

2024届第一学期高三数学第一次考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 8 2. 若a>0， b>0，则“a+b≤4”是“ab≤a+b”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，下列不等式成立的是 A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如：是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 已知，不等式在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若，则 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知集合，则“”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “函数的最小正周期为”是“”的充要条件 D. “平面向量与的夹角是钝角”的充要条件是“” 11. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 12. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若不等式x+2y>m2 +2m恒成立，则实数m的取值范围为________. 14. 已知关于的不等式的解集为，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为___________ 15. 《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑.若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是______. 16. 已知，，则的最小值_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式的解集为，若，求的取值范围. 19. 如图，是以为直径的半圆上一点，平面平面，． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的余弦值． 20. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 21. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 22. 设，． （1）讨论在上的单调性； （2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届第一学期高三数学第一次考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合AB，进而得到，皆可以求出的子集个数. 【详解】因为，，所以， ∴的子集个数为个． 故选：D 2. 若a>0， b>0，则“a+b≤4”是“ab≤a+b”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由基本不等式、特殊值法即可判断、相互是否有推出关系，即知正确选项. 【详解】由知：当且仅当时取等号， 当时有，而由上知，即， ∴， 当时，若显然，故不一定有. ∴是的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据已知条件求出，再求，最后求解不等式,即可解题. 【详解】由的解集是，则 故有，，解得：，， ∴ ∴ ∵即 解得：或 ∴不等式的解集， 故选：A 【点睛】本题考查求一元二次不等式的解集和根据一元二次不等式的解集求参数，是基础题. 4. 已知，，下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作差法可判断出A、B选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D选项中不等式的正误. 【详解】对于A选项中的不等式，，，， ，，，，A选项正确； 对于B选项中的不等式，，，， ，，，B选项错误； 对于C选项中的不等式，，，， ，，，即，C选项错误； 对于D选项中的不等式，，函数是递减函数， 又，所以，D选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题. 5. 已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意关于直线对称，且在上单调递减，从而原不等式等价于，由此即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称， 由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 所以在上单调递减， 由，则即， 平方化简得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 6. 若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如：是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】确定中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知中一定含有， 则中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时有3个； 当取3个时，或， 或，或，满足题意，此时有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“—集合类”的个数为， 故选：D. 7. 已知，不等式在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，原不等式转化为，两边同时平方并化简得，由此分析出，进而得到，由此可解出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵上述不等式恒成立， ∴，即（否则取，则左边，矛盾）， 此时不等式转化为， ∴，解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题． 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系把化为含有的代数式，令，进一步转化为关于的二次函数，再由配方法求最值. 【详解】由题意，当， 有， ， 是方程的两个不等实数根， ，， 而， ，即， ， 令，则， 则当时，有最小值且为. 故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定变换形式可判断A；根据抽象函数的定义域求法可判断B；利用基本不等式可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定形式是“”，故A正确； 对于B，函数的定义域是，函数的定义域， 则，解得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，， 等号成立的条件不存在，故C错误； 对于D，由，则，，， 且，所以，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知集合，则“”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “函数的最小正周期为”是“”的充要条件 D. “平面向量与的夹角是钝角”的充要条件是“” 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据包含关系结合充分、必要条件分析判断；对于B：解对数不等式，结合充分、必要条件分析判断；对于C：根据正弦型函数的最小正周期结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据向量夹角与数量积符号之间的关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】对于选项A：因为“”可以推出“”，但“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于选项B：因为等价于，解得， 可知“”不能推出 “”，但“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于选项C：因为， 若其最小正周期为，则， 所以“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于选项D：“平面向量与的夹角是钝角”可以推出“”， 但“”，平面向量与的夹角是钝角或平角， 所以“”是“平面向量与的夹角是钝角”必要不充分条件，故D错误； 故选：AB. 11. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出的最小值即可. 【详解】对于A，，为定值，A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，， 解得，故C错误； 对于D，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以，又，所以的最大值，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题. 12. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性，对选项进行逐一判断即可. 【详解】构造函数，则 ∴在递增，递减， 对于A选项：∵，则，即，∴，A正确 对于B选项：∵，则，即， ∴，B正确 对于C选项：∵，则，即， ∴，C错误 对于D选项：∵，则，即，∴，D错误 故选:AB. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若不等式x+2y>m2 +2m恒成立，则实数m的取值范围为________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围. 【详解】∵x>0，y>0，x+2y=xy， ∴1， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为8， 由解得， ∴ 实数的取值范围是 故答案为：． 14. 已知关于的不等式的解集为，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由可得或，分区间讨论，结合条件列不等式可求的范围. 【详解】由题意，解得或． 设 ①当时，由于，且对称轴在轴的左侧， 故中的两个整数为和， 故有，且，， 解得； ②当时，对称轴， 设，由于集合中恰有两个整数则有， 即， 故有对称轴， 而， 故中的两个整数为和， 故， 即 ， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑.若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 由三棱锥外接球体积求半径为，根据已知条件知与构成平面一定是外接球过球心的截面，即可得而，结合基本不等式求最大值即可. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，由体积为，知：，即， 又∵平面，，知：面的外接圆半径为，即有：，有， 而在中，， ∴，而，当且仅当时等号成立， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题、以及应用基本不等式求最值，注意理解当三棱锥中有一条棱垂直于底面时底面外接圆半径、球半径与这条棱之间的关系. 16. 已知，，则的最小值_________. 【答案】20 【解析】 【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 去分母化简得：，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：20 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）或 （2） 若选择条件①，； 若选择条件②，； 若选择条件③，不存在满足条件③的实数. 【解析】 【分析】（1）求出集合、，利用补集和的交集的定义可求得结果； （2）求出集合，根据所选条件可得出集合、的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解之即可得出结论. 【小问1详解】 解：由不等式，解得，可得 当时，不等式，解得，即， 可得或， 所以或. 【小问2详解】 由不等式，解得， 所以. 若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得. 当时，，，合乎题意； 若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得. 当时，，则，合乎题意； 若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式的解集为，若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）转化为对一切实数恒成立，分类讨论求解即可； （2）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求． 【详解】（1）①当时，即时，，不合题意； ②当时，即时，满足， 即，解得， 即实数的取值范围是. （2）不等式的解集为，若， 即对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 因为恒成立，所以恒成立， 设，则，， 所以， 因为，当且仅当时，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，的最大值为， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． （3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式． 19. 如图，是以为直径的半圆上一点，平面平面，． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面, 平面， 所以平面, 因为平面,所以， 因为是以为直径的半圆上一点， 所以，又,平面, 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，可得，再由即可求证； （2）建立空间直角坐标，利用向量法求即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以A为坐标原点，AD，AB所在直线为轴, 轴，过点A作AP,以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， ，， ， ，， ，，，， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， ，取，则， 由，取，则， ， 即二面角的余弦值为 【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 20. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，结合导函数与原函数的单调性关系即可求解； （2）将恒成立问题转化为最值问题，再利用导数求出函数的最值即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时，，的增区间为 当时，，的减区间为 【小问2详解】 令， 当时， 令， 当时，，的增区间为 当时，，的减区间为 所以， 恒成立 当时，因为，所以不恒成立 综上， 21. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】（1） 对于函数的定义域R内存在，而无解，故不是“依赖函数”. （2）. 【解析】 【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可； （2）分类讨论解决函数不等式恒成立的问题，分离参数，转化为求函数在的最小值问题即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①若，故’ 在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故’在上单调递减， 从而， 解得（舍）或. 从而存在使得对任意的，有不等式都成立， 即对恒成立，则，得， 由存在，使能成立， 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 22. 设，． （1）讨论在上的单调性； （2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为和． （2）在上有3个零点，证明如下： ，则， 故是的一个零点， ， 是偶函数， 要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可， ①当时，， 令，即，， 时，，单调递减，， ，时，，单调递增，， 在有唯一零点． ②当时，由于，，， 而在，单调递增，，故， 故在，无零点， 在有一个零点， 由于是偶函数，在有一个零点，而， 故在上有且仅有3个零点． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解； （2）在上有3个零点，先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，利用函数的性质及零点判定定理即可得证． 【小问1详解】 ， 令，则，或， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ，时，，单调递减， 综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $