精品解析：江苏无锡市辅仁高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年高三10月数学 本试卷满分150分考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，对于集合： 解不等式， 因式分解得， 解得. 所以集合. 已知集合. 将集合和集合表示在数轴上，根据并集的定义，取两个集合的所有元素， 可得. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性与对数函数定义域判断两个命题的推出关系即可. 【详解】若，由于指数函数是上的单调递增函数，因此可推出； 当时，与均无意义，无法推出，故充分性不成立；  若，根据对数函数的定义域要求，可得， 再由对数函数在上单调递增，可推出，因此，故必要性成立. 3. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量投影公式求出，再对平方展开求解. 【详解】由题意得在上的投影向量的模为，即，得． 由，得，即，解得． 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二倍角公式求得，从而可得的值，然后求得正切值. 【详解】由已知得，又，,所以，所以，． 5. ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质、对数函数性质判断A；利用作差判断BC；举例说明判断D. 【详解】由 ，得， 对于A，因为函数在定义域上单调递增，所以，A正确； 对于B，，即，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，取，得，D错误. 6. 某质点从单位圆上的点开始沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，则该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设质点纵坐标为，分析可得，进而结合导数的定义求解即可. 【详解】由题意，设质点纵坐标为，且, 而质点从点沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，即弧度， 则秒旋转弧度，即，则， 即，则， 所以该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为. 7. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数为隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则有（是的函数，需要用复合函数的求导法则求导），得.利用隐函数求导方法可求得曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干所给条件将两边对求导，再代入的坐标，求出，即切线的斜率，从而求出切线方程. 【详解】由，得，则， 将点的坐标代入，得，即， 所以所求切线的方程为，即. 故选：D. 8. 设函数，若恒成立，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质研究的区间符号，结合不等式恒成立得到，进而有，令（）并用导数研究其最大值，即可得目标式的最大值. 【详解】由对数函数的性质，即，定义域为， 令，且是一个单调递增的函数， 当时，， 当时，， 当时，， 为使恒成立，的符号必须与的符号保持一致（同号或同为0）， 当时，必有， 当时，必有， 由此知，必然是的零点，即， 所以， 令（），则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以时，取得极大值，也是最大值， 综上，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有唯一解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理判断AB，根据余弦定理，结合基本不等式判断C，再根据余弦定理判断D. 【详解】A.若，则，根据正弦定理，则，故A正确； B.根据正弦定理，，解得：，且，所以角，所以可以为锐角或钝角，所以有两个解，故B错误； C.根据余弦定理可知，，即， 当时等号成立，所以，所以面积的最大值为，故C正确； D.当，，则为锐角，所以若为钝角三角形，不能推出角为锐角，故D错误. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最大值 B. 的最小值为1 C. 的最小值 D. 的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，由，得，则， 所以， 对称轴为，所以当时，取得最小值为， 所以B选项错误. C选项， ，当且仅当时等号成立， 所以C选项正确. D选项，设， 则，解得，所以， 则， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 11. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是以4为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有3个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇函数及已知对称关系判断函数的周期性和对称中心判断A、B，再由周期性求函数值判断C，问题化为方程解的个数，数形结合判断D. 【详解】A：因为是奇函数，所以， 又，则， 所以，即， 所以的周期为，而不是，错误； B：由，所以， 由A知，即， 所以， 因此，点是函数的一个对称中心，正确； C：因为的周期为，所以，， 当时，，故，， 所以，正确； D：函数的零点，即方程的解， 由上述分析、在上的图象如下： 区间：从增到，从降到，两图象必有 1个交点， 区间：从降到，从增到， 因为，且，两图象必有 1个交点， 区间：从降到再升到，从升到， 在时，且，所以是一个交点， 在内，，而，无其他交点，所以有 1个交点， 区间：，而的最大值为，因此恒成立，无交点， 综上所述，两个函数图象共有个交点，即函数有个零点，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以． 13. 如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，， 所以圆的方程为. 设，则. 由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得， 所以，即的取值范围为. 14. 设为实数，函数，其中为自然对数的底数．若在和处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用极值的定义得，构造函数，求出的单调性，利用单调性求出的范围，即可求解. 【详解】因为，又在和处取得极值，则是方程的两个不同的根， 所以，又，所以且， 设，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，若有两个解，则， 又，所以， 又由，可得， 所以，得到，所以， 又，则，又，且在区间上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题图可知，，，，则． 又，，，解得，，由，可得， ． 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，函数的最小正周期， 则，， ，， 则， 所以． 16. 已知命题p：函数的定义域为R；命题，不等式在上有解． （1）若q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求出，可化为在上有解，即，求出最大值即可求出答案； （2）根据条件有且仅有一个为真，分两类讨论，最后取并集即可． 【小问1详解】 若为真命题， 则当时，， 令，则， 由不等式在上有解，得在上有解， 即时，， 函数开口向上，对称轴为， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以， 所以，若q为真命题，则实数的取值范围为． 【小问2详解】 若为真命题，则在R上恒成立， 当时，恒成立； 当时，需，解得； 所以，若为真命题，则， 因为，有且仅有一个为真命题， 当为真命题，为假命题时，，所以， 当为假命题时，或，为真命题时，，所以， 综上，实数的取值范围为． 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； 【小问2详解】 由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. （3） 【解析】 【分析】(1) 切线斜率即函数在该点导数值，直接代入求值; (2) 求导后转化为二次函数符号讨论，按判别式分区间判断单调性; (3) 分离参数构造新函数，二次求导判断导函数单调性，锁定极值点求出最小值. 【小问1详解】 当时，. 求导得，. 所以曲线在点处的切线的斜率为. 【小问2详解】 的定义域为. 求导得. 令，则，即. 令，因为，则. 当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. 当，即时，的两根为，，且. 因为，，所以，. 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. 【小问3详解】 不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立. 令，则. 则. 令，则. 因为，所以，则在上单调递增， 即在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义得，求出，，，列出的不等式组求出的范围，从而得到． （2）必要性：由为偶函数得到，求导得到，从而得到函数是奇函数，由得到，即，故必要性成立；不充分性：不妨取，求出，则有 ，满足题设，但函数显然不是偶函数，从而得到结论. （3）由对任意且，都有，可得：对任意且，都有，即函数在上是不减函数，求出，设， 求出，由得到对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出，利用导数求出的单调性，利用单调性画出大致图像，求出，分别按照，，讨论求解得到的范围，从而得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． 【小问2详解】 必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. 【小问3详解】 由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故和时，，单调递减， 时，，单调递增， 且，当时，，当时，， 大致图象如图， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三10月数学 本试卷满分150分考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 某质点从单位圆上的点开始沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，则该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 7. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数为隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则有（是的函数，需要用复合函数的求导法则求导），得.利用隐函数求导方法可求得曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有唯一解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最大值 B. 的最小值为1 C. 的最小值 D. 的最小值 11. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是以4为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有3个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 13. 如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 14. 设为实数，函数，其中为自然对数的底数．若在和处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求． 16. 已知命题p：函数的定义域为R；命题，不等式在上有解． （1）若q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $