吉林四平市第一高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

参考答案及解析 一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 二、选择题 9．ABC 10．AD 11．BD 三、填空题 12． 13．7 14．1 四、解答题 15．解：（1）电热防冰涂层的合格率为， （3分） 疏水防冰涂层的合格率为． （6分） （2）零假设为：防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰无关． 根据列联表中的数据，计算得到 （11分） 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．即认为防冰涂层类型与防水涂层有无积冰有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．（13分） 16．解：（1）由 （3分） 不等式可化为， （4分） 可得， 可得， 故关于的不等式的解集为． （8分） （2）当时，， （10分） 要使方程在上有两个不相等的实数根，由函数的图象可得， 故实数的取值范围为． （15分） 17．解：（1）由题意可知，， 则，① （1分） 又， 则，② （3分） 由①②得． （4分） （2）（ⅰ）由（1）可知，为奇函数，则， （5分） 又，在上均为减函数，所以在上为减函数， （6分） 由，得， （7分） 根据在上的单调性可知，， （8分） 解得，故． （9分） （ⅱ）由（ⅰ）可知，． （10分） 当时，， 由， 得， 所以在上恒成立， （11分） 令，则， 所以， （12分） 因为在上单调递增，在上单调递减，则， （13分） 所以， 故实数的取值范围为． （15分） 18．解：（1）由，得， （1分） 由正弦定理得， （2分） 所以， （3分） 又，故． （4分） （2）（ⅰ）如图，由题意可知，为边的中点，过点作，交于点，则为的中位线，所以，， 又，所以，又，所以，则， 因此， （6分） 又，所以，则， （7分） 由与余弦定理得，，当且仅当时取等号．所以． （9分） 又的最大面积为，所以， 解得． （10分） （ⅱ）由 （11分） 两边平方得，， （12分） 又由，所以， 即， （13分） 又由，有，整理得，又由，所以， （14分） 因此为等边三角形，所以． （15分） 由（ⅰ）可知，，所以， （16分） 在中，，由余弦定理得， ． （17分） 19．解：（1）当时，， （1分） 又，则， （2分） 所以当时，曲线在点处的切线方程为，即． （3分） （2）， 当时，，在上单调递减； （4分） 当时， 令，则， （5分） 令，则，所以在上单调递增， 由，得， 所以，则， （6分） 令， 易知在上单调递减， 又， ， 设，则，令，所以，则在上单调递减，所以，即． （7分） 因此，结合单调性，可知存在唯一的，使得，即， 故为唯一的极值点． （8分） 当时，，即，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递减， （9分） 再结合在上单调递减，所以为在上的极大值点． 综上可知，有唯一的极大值点． （10分） （3）由（2）知，的最大值为， 当时，，所以， 则， 由，恒成立，得，则． （12分） 因为，且，可得，有， 又由函数单调递增，且有，可得． （13分） 将代入不等式， 可化为． （14分） 令， 有， 令， 有． （15分） 由，有，可得函数单调递减，可得， 可得函数单调递增，有， 故不等式成立． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知定义域为的函数满足，当时，，则 A．0 B．24 C．35 D．48 4．若的展开式中含有常数项，则的最小值为 A．2 B．4 C．5 D．10 5．在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆上，以圆与轴正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到点，每转一圈，则后的长为 A． B． C． D． 6．北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法的种数为 A．60 B．150 C．90 D．240 7．已知函数在上的最小值为1，则 A．-2 B．-1 C．2 D．1 8．已知，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费（单位：万元）与销售利润（单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为．已知投入的广告费，销售利润，则 A．线性回归方程的图象过点 B． C．与呈正相关 D．当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 10．已知正数，满足，则下列说法正确的是 A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 11．甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为（其中），当其中1人比另一人多胜2轮就获得胜利，则 A．两轮结束后出现平局的概率为 B．第4轮结束后甲获胜的概率为 C．至多轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为 D．甲获胜的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数单调递增，则实数的取值范围为__________． 13．已知函数，若实数满足，则满足条件的实数的值有__________个． 14．某产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技术，使得的值至多为__________．（参考数据：若，则） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表：（单位：次） 无积冰 有积冰 合计 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 （1）分别求两种防冰涂层的合格率； （2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，分析防冰涂层类型与防冰涂层有无积冰是否有关联． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知函数是偶函数，且函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设点在边上，，边上的中线与相交于点． （ⅰ）若为定值，且的最大面积为，求； （ⅱ）若，且，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：有唯一的极大值点； （3）设为的极大值点，且．证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $