精品解析：吉林省长春外国语学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程阶段测试高三年级 数学试卷 出题人 ：杨柳 审题人：孙洁 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题 卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，，所以，， 即， 因为指数函数在单调递增，且，，， 所以， 当时，，，当时，，， 当时，，，当时，，， 当时，，， 所以. 2. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】在中，若，则或，当时，， 不能构成三角形，故，则成立； 若，因为余弦函数在上单调递减，故，则成立； 综上，“”是“”成立的充分必要条件． 3. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数图象的平移变换可得点的坐标，利用三角函数的定义可得结果. 【详解】∵函数的图象过定点， ∴函数的图象过定点， ∵点在角的终边上， ∴． 故选：A． 4. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 恒成立的等价条件为 ， 【详解】命题＂＂是真命题，又 ， 则 ， 解得 ． 5. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据切点坐标满足原函数和切线方程可得出，对原函数求导，根据切线斜率等于导数在该点的值可得出，从而可以求解. 【详解】，则，， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以有，，即，， 所以. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可. 【详解】设函数，则， 所以为减函数，则，即，又， 所以． 故选：D 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 8. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. 实数m的取值范围为 B. C. D. 最大值为1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数分别讨论方程在与上的解的个数，由存在三个不同实根确定的范围，再表示并逐项判断． 【详解】当时，． 若在上有两个不同的解，则且，即． 当时，在上单调递增，且值域为，因此方程有唯一解． 于是存在使当且仅当，故A错误． 由，得，故B正确． 又，故C错误； 并且从而，其最大值不能取到，故D错误． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分. 9. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，，为奇函数， 令，化简得，无解，不存在零点，A错误； 对于B，函数的定义域为，，为奇函数， 令，解得，有零点，B正确； 对于C，函数分母恒成立，函数的定义域为，，为奇函数， 令，则，解得，有零点，C正确； 对于D，，定义域为，，为奇函数， 令，则，解得存在零点，D正确. 10. 设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由确定的单调性，结合恒成立确定正确选项. 【详解】，令解得， 所以在递减，在递增， 在取得极小值也即是最小值， 依题意恒成立， 即， 而，故， 设，故， 故为上的减函数， ， ， . 故选：ABD 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为的三内角，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，进而求解的值，得到答案. 【详解】在中，可得，且， 可得，因为，所以， 又因为，可得. 13. 已知为角α终边上的一点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】为角α终边上的一点， 点P到原点的距离为， ， 当时，，， 则； 当时，，， 则． 14. 已知函数，正数，满足，则的最小值为_______ 【答案】9 【解析】 【详解】，定义域为， ，故是奇函数， ，所以在单调递增， 由，得 ， 因为单调递增，所以，即， 由题意得，，， ，当且仅当，即时取等号， ，解得，满足， 故，即最小值为. 四、解答题：本题共有5小题，共77分. 15. 已知集合，非空集合． （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若“命题，”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将命题为真转化为，结合非空列不等式组求解； （2）将命题为假转化为，结合非空分类讨论求解. 【小问1详解】 因为“命题”为真命题，所以. 又因为已知为非空集合，因此，，解得. 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为命题为假命题，所以“”为真，即. 因为已知为非空集合，故首先满足，解得. 要使，分两种情况讨论： ① 集合全部位于集合左侧，所以，，不等式无解； ② 集合全部位于集合右侧，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知， （1）先化简，再求的值； （2）若已知，且，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求值； （2）利用半角公式和两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 ，且， 【小问2详解】 ， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以，， 所以 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 【答案】（1） 增区间为，减区间为、. （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数后求导，根据导数正负判断函数单调区间； （2）先利用极值点处导数为求出的值，再计算区间内的极值和端点函数值，比较大小得到最小值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得. 令，即，整理得， 解得或. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故的增区间为，减区间为和. 【小问2详解】 对求导得， 因为是的极值点， 故， 代入得，解得. 此时，， 令，解得或，两点均属于区间. 单调性分析： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由单调性可知，最值出现在端点和极值点处，计算如下： ， ， ， ， 比较得最小值为. 18. 已知函数是偶函数，. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的零点； （3）若的最小值为2，求实数的值. 【答案】（1） （2） （或） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得，  移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. 【小问2详解】 当时，，由（1）知，令，得，  设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. 【小问3详解】 由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件，讨论与的大小关系，根据导函数的正负确定函数的单调区间. （2）化简不等式，构造辅助函数判断的符号，将问题转化为恒成立，通过导数求解的最大值，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． 【小问2详解】 由，可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程阶段测试高三年级 数学试卷 出题人 ：杨柳 审题人：孙洁 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题 卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. 实数m的取值范围为 B. C. D. 最大值为1 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.选对得6分，部分选对得部分分，多选或错选得0分. 9. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为的三内角，若，则________． 13. 已知为角α终边上的一点，则________． 14. 已知函数，正数，满足，则的最小值为_______ 四、解答题：本题共有5小题，共77分. 15. 已知集合，非空集合． （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若“命题，”是假命题，求实数的取值范围． 16. 已知， （1）先化简，再求的值； （2）若已知，且，求的值． 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 18. 已知函数是偶函数，. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的零点； （3）若的最小值为2，求实数的值. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $