吉林四平市实验中学2026-2027学年高三上学期第一次学情诊断数学试题

2026~2027学年度第一学期第一次学情诊断·高三数学 参考答案、提示及评分细则 1.D因为A={1,2,3},B={-2,0,1,2},所以AUB={-2,0,1,2,3},所以Cu(AUB)={-3,-1,4}.故 选D. 2B因为复数=d-3a一-1+(a一1D1是纯虚数，所以{0,1=0·解得a=一子放选R a-1≠0， 3.A由x<1可得-1<x<1:由x31可得x<1.因为(-1,1)(-∞，1)，所以“|x|<1”是“x3<1”的充 分不必要条件.故选A. 4Cf(x)=-2f(2)x-3x,则了()=3x-了(2)x-3,所以f2)=12-2c2)-3:故f(2)= 3.故选C 5.D建立如图所示的平面直角坐标系， 可知a=(-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2),所以c-a=(2,2)-(-1,-2)=(3,4),b+2a= (-2,1)+2(-1,-2)=(-4,-3),所以(c-a)·(b+2a)=(3,4)·(-4,-3)=-24.故选D. 6.D由2cos2a-cosa=1得4cosa-cosa-3=0,又a∈(0，x),所以cosa=- 是血。=只，所以 3 如(a+吾)-令如a+县s。。5,赦选n 8 7.B显然a≠0，又因为函数y=a.x2一4a.x-3=a(x-2)2-3-4a图象的对称轴方程为x=2,又函数f(x)在 &上单调递增，所以3S0,解得-1S40,即实数u的取值范图是[一1,0，放选以 8Aa=ln12-h10=lh1.2=lh(1+0.2,6=sin号-sin0.4,令f)=1h(1+）-sin2,z∈0，吾)，则 了()=士2as2<十。1<0，所以)在0，吾)止单调递减，所以f0.2)<0=0,即a<,易 知e≥1十（当且仅当x=0时等号成立），所以e>1-0.4=0.6>sm吾>sm号，即c>6,综上可知， a<bc.故选A. 9.AC因为dC>c>0,一a>-b>0,所以一ad>-bc,即bx>ad,故A正确；因为a<b,一d-c,所以a一<b 6放B错误因为号音-<0.所以兰<号故C正确：当a=-20=-1c=子d=之时=大，故 D错误.故选AC. 10.Dy号sn2x-号s2x=m(2x-吾))=sn(2x+2,-吾），e)的最小正周期为，所以-x 是f八)的周期，一乏不是f()的周期：由f（等)=0得2s=x一，k∈1，又>0，所以=1时，s取得最 小值号，当k=2时，s=,由f(-)=sim(-+2s一号)=sin(kx一)得f(x)的图象关于直线x =一对称故选BD 11.BC由fP(x)-(m+2√2)f(x)+22m=0,得f(x)=22或f(x)=m.作出函数y=f(x)的图象（如 【高三第一次学情诊断·数学参考答案第1页（共4页）】 27-T-044C 图所示)，由图知方程f(x)=2√/2有2个实数解，当2≤<3，且m≠2√2时，f(x)=m有2个实数解，原方 程有4个解，故A错误；当1<m<2时，方程f(x)=m恰有3个解，故原方程有5个解，故B正确：若原方程 恰有两个解，则m>3或m=2√2，故C正确；当原方程恰有3个解时，则f(x)=m恰有1个解，所以m<1 或m=3,故D错误.故选BC. y=22 y=2 y=m 12.(-∞，一2)U(4,+∞)因为p为假命题，所以p:Hx∈[-2,2]，x2-2x-m2+2m<0为真命题，即 当-2≤x≤2时，z2-2x-m2+2m<0恒成立.因为f(x)=x2-2x-m2+2m=(x-1)2-m2十2m-1图 象的对称轴为x=1,所以f(x)max=f(-2)=一m2+2m十8，所以-m2+2m+8<0,即2-2m-8>0, 解得m<-2或m>4,即实数m的取值范围为（一∞，一2）U(4,十∞). 1.因为2a+6计2a=1,所以(2a+1)6+1=2,因为a,60,所以a+6=(2a+1)+(什1)≥ 2√分2a+1D(6什1D-号-2-受-之，当且仅当22a+1)=什1，即a=名6=0时取等号，所以a 1 +6的最小值为2 14.(-∞，-1]因为f(x)=e+ln(x+1)在[0，+c∞)上单调递增，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)=1;当a ≥0时，f(x)=一z2+2a.x在（一∞，0）上单调递增，所以当x∈（一∞，0）时，f(x)<0,所以函数f(x)的 值域为(-∞，0)U[1,+∞)，不合题意；当a<0时，f(x)在(-o∞，a)上单调递增，在(a,0)上单调递减， 所以∫(x)极大俏=f(a)=a2,因为f(x)的值域为R,所以a≥1，又a<0,所以a≤-1，即a的取值范围为 (-∞，-1]. 15.解：(1)由A={x-1<x<4},得CA={xx≤-1或x≥4}，…2分 由m=4,得B={x-2≤x6},…4分 所以(CRA)∩B={x|-2≤2≤-1或4≤6}. 6分 (2)由A∩B=B,得BA.…8分 ①当2一m>3m一6，即m<2时，B=,满足B二A,符合题意.… 10分 回当2-≤3m一6，即m≥2时，若满足B三A,则有3解得2≤m<3。…。 12分 综上所述，实数m的取值范围为{m<3. …13分 16.解：(1)f(x)=x2十2ax十b,… …1分 由题意，得一2和3是关于x的方程'(x)=0的两根，… 2分 市市达定理格仁次-么解得。方 b=-6, 此时f(x)=x2一x-6=(x一3)(x十2).…5分 当x<-2时，f(x)>0;当-2<x<3时，f(x)<0;当x>3时，f(x)>0, 所以f(x)在（一∞，一2）和(3，+∞)上单调递增，在（一2,3）上单调递减， 所以x=一2是f(x)的极大值点，x=3是f(x)的极小值点，符合题意. 综上f）=-2-6。 …7分 (注：如果不进行验证，扣2分.) (2)直线y=一4.x十c与曲线y=f(x)有且仅有两个公共点，等价于关于x的方程∫(x)=一4x十c仅有两个 实根，即关于x的方程了-2-2红一6=0仅有两个实根。…9分 【高三第一次学情诊断·数学参考答案第2页（共4页）】 27-T-044C 设g0)=32-合2-2红-c,则g()=x2-x-2=(-2x+1D. 10分 当x<-1时，g(x)>0;当-1<x<2时，g'(x)<0;当x>2时，g(x)>0, 所以g(x)在(-∞，一1)和(2，十∞)上单调递增，在（一1,2）上单调递减， 所以x=一1是g(x)的极大值点，x=2是g(x)的极小值点， 且g(-1)= -c,g(2)= 10 6 -C............................................................................ 3 13分 -=0, 7 根据题意，得 6 -c>0, 6 或 解得c=名或= 3 15分 10 3 -c<0, 10 3 一c=0 17.解：(1)由余弦定理得a2+b2-2=2 abcos C=4, 3分 由面积公式得分nC一，两式作比，得nC,即mC一厅。 4 6分 由Ce(0,),得C=令· …7分 (2代入C-=吾有后=snC9ahab4 10分 而c2=a2+-4=(a+b)2-2ab-4=36-8-4=24,得到c=26, 13分 记△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理得R=2smC=分=2√2. 15分 18.(1)证明：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=a一1=0，…1分 解得Q=1,所以f(x)=2一2,…2分 此时∫（一x)=2一2=一f(x),满足题意，所以a=1.…3分 任取0<0所以f)-)=24-24-(20-29)=20-202,号=(2-29)(1+2为） 2+2 又2<2，所以25<2e,即25-29<0，又1+2>0， 所以f(x1)-f(2)<0,即f()<f(2),所以f(x)在R上单调递增.…5分 (2)解：因为f(3.x2-5.x)+f(x-4)>0,所以f(3x2-5.x)>-f(x-4), 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3x2-5x)>f(-x+4), 又f(x)在R上单调递增，所以3.x2一5x>一x+4,… 8分 解得>2或K-号，即不等式f3-5x)十f-4D>0的解集为(-©，-号U(2,十∞). …10分 (3)解：由题意知g(x)=4+4-2m(x)=4+4-2m(2-2),令1=2-2,1∈【-号，十∞)， 所以2=(2-2)2=+4-2，所以y=g(x)=-2m+2,1[-号，+∞). .…12分 当m≤-号时，y=f-2m+2在[-号，十o∞)上单调递增，所以g(x)m=(-号)厂+3m+2=+3m= 一2，解得m=一，符合题意：… 14分 当m>-号时，y=-2+2在(-多，m）上单调递减，在(m,十o)上单调递增， 所以g(x)mm=m2-2m2+2=2-m2=-2,解得m=2或m=-2(舍).… 16分 综上，m的值为罗或2 17分 1分 19.()解：由f(x)=n(x十1)_7x,得f(0)=0,…1公 由f)=h+1)-合得f)-合f0)=号 ……2分 所以函数f(x)的图象在点(0，(0)处的切线方程为y一0=号×(x一0)，即2一2y=0.…3分 【高三第一次学情诊断·数学参考答案第3页（共4页）】 27-T-044C (2)证明：设h()=之sn一1h(x+1)+, 所以()=之sr中十g,且0)=0,0)=0 1 4分 因为函数y=一立血y-十D在[0，受]上都单闲逆减，所以1)在[0，受]上单调递减· 1 <0,所以3m∈(0，交)，使得g(n)=0. …6分 当0<<m时，(x)>0,9(x)单调递增；当m<x<受时，(x)<0,g(x)单调递减， 又g0=0g(受)=->0，所以对任意的z∈[0，受](x)=gx)≥0， 签+1 所以h(x)在0，受]上单调递增，所以h(x)>h(0)=0. 所以对x∈[0，受」，有f(x)g(x.…9分 (3)i证明：设m(x)=sinx-lh(x+1),x∈(0，受），则m()=cosx2中' 10分 设n(x)=m'(x),x∈(0，受），则n(x)=一sinx十(x+), 1 因为函数y一sin=a十>在(o,受)上都单调递减，所以（x)=一sinx+十D在区间 (0,)上单调递减， 因为n(0)=1>0,n(受）=-1+ (受+1)】 <0,所以3∈(0,5)，使得n'()=0,…11分 当0<x<时，(x)>0,m'(x)=n(x)单调递增：当<1<受时，()<0，m'(x)=n(x)单调 递减 又m(0)=0,m'()>0,m'(交)= <0,所以32∈(1，交)，使得m(2)=0,…12分 x十1 当0<<时，m(x)>0,m()单调递增；当<x<受时，m(x)<0,m(x)单调递减。 因为m(0)=0,m(受)=1-ln(受+1)>0， 所以m(.x)>0,即sinx>ln(x十1)在区间(0，交）上恒成立. 13分 令x安EN)所以s血分>h(分+1)-=h2法 分别令i=12,…,n则sin>ln号，sim子>h是，sm日>h名…，m 7 2>1n2+1 2n 2n 所以sm+m子+叶血动>h受+h景+…+h结 15分 对yeN,法子cD0所以h法>h 1 16分 所以2(sm合+sin士+…叶sm动)>≥2（号+h受+…+h法） >h受+h专+h号+h号+…+h法+n =ln3-ln2+ln4-n3+…+ln(2m+2)-ln(2m+1)=ln(n+1), 所以2(sin十sin++sn分)>hn(n+1),即22sm分>h(n+1D(nEN)得i证. …17分 【高三第一次学情诊断·数学参考答案第4页（共4页）】 27-T-044C2026一2027学年度第一学期第一次学情诊断 高三数学 科组已审核 出题人：钟淼审题人：刘金福 考生注意： 1.本试卷分选择題和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择題请用直径0.5老米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向 量，复数。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集U={一3，-2，一1,0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3},B={-2,0,1,2},则Cu(AUB)= A.{-1)月 B.{-3,-2,-1,0,3,4) C.{-3,4} D.{-3,-1,4)} 2.已知a∈R,若复数z=4a2一3a一1十(a一1)i是纯虚数，则a的值为 A子 B. c-4或1 D.或-1 3.设x∈R,则“|x|<1”是“x3<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若函数f(x)满足f(x)=x3-2∫(2)x2-3x,则f(2)的值为 A.-1 B.2 C.3 D.4 5.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正 方形的边长为1，则(c一a)·(b十2a)= A24 B.18 C.-18 D.-24 6.已知a∈(0，m),且2c0s2a-c0sa=1,则sin(a+号）= A②-⑥ B.②+⑥ c.33-7 D7-3 4 8 【高三第一次学情诊断·数学第1页（共4页）】 27-T-044C a.x2-4ax-3,x<1, 7.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数a的取值范围为 lnx,x≥l A.(0,1] B.[-1,0) C.-,-1)U(0,+∞) D.(-1,+o) 2 8.已知a=ln12-ln10,b=sin号，c=ea‘,则 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b Dc<b<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若a<b<0<c<d,则 A.bc>ad B.a-d>b-c c<号 D.d<c 10,将函数y二7sin2z二号c0s2x的图象向左平移s(s>0)个单位长度得到函数f(z)的图 若fx)的图象关于点t(行，0）对称，则 A:的值可以为爱，一受是f红)的一个周期 Bs的最小值为苓，一元是f(x)的-个周期 C.s的最小值为石，f(x)的图象关于直线x=一 对称 D.:的值可以为警，f(x)的图象关于直线x=-登对称 -2x2-4x+1,x≤0， 11.已知函数f(x)= 关于x的方程(x)一(m十2W2)f(x)+2√2m=0, -3x+2,x>0, 下列命题正确的是 A若2<m<3,则方程恰有4个不同的解 B.若1<m<2,则方程恰有5个不同的解 C.若方程恰有2个不同的解，则m>3或m=2√2 D.若方程恰有3个不同的解，则m≤1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若命题p:3x∈[一2,2]，使得x2一2x一m2十2m≥0为假命题，则实数m的取值范围为 13.设a,b>≥0且2a十b+2ab=1,则a+b的最小值为 -x2+2ax,x<0, 14.已知函数f(x)= 的值域为R,则实数à的取值范围是 e+ln(x+l),x≥>0 【高三第一次学情诊断·数学第2页（共4页）】 27-T-044C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={x|2-m≤x≤3m-6}. (1)若m=4,求(CRA)∩B; (2)若A∩B=B,求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知函数f)=子r+ar2+bx的两个极值点分别为一2和3. (1)求f(x)的解析式； (2)若直线y=一4x十c与曲线y=f(x)有且仅有两个公共点，求c的值. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2一c2=4,△ABC的面积为3. (1)求C; (2)若a十b=6,求△ABC外接圆的半径. 【高三第一次学情诊断·数学第3页（共4页）】 27-T-044C 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=a·2一2r是定义在R上的奇函数. (1)求a的值，并证明：f(x)在R上单调递增； (2)求不等式f(3x2一5x)+f(x一4)>0的解集； (3)若g(x)=4十4x一2mf(x)在区间[一1，+o∞)上的最小值为一2，求m的值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lh(x+1)-之x,g(x)=inx (1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程； (2)证明：对Vx∈[0，受]有f(x)≤g(x): (3)证明：2客n京>ln(a+1)a∈N)。 【高三第一次学情诊断·数学第4页（共4页）】 27-T-04