江苏省扬州大学附属中学2025-2026学年高二上学期阶段测试2（12月月考）数学试题

扬大附中2025-2026学年第一学期阶段测试2 高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是最符合题目要求的) 1.已知复数z满足iz-1=i,则川z=() A.4 B.2W2 C.2 D.√2 2.若方程 m+3十m一61表示双曲线，则m的取值范围是（） 2+ A.-3<m<6 B.-6<m<3 C.m<-6或m>3 D.m<-3或m>6 3.直线1：V5x-y=0被圆C:(x-1)2+y2=1所截得的弦长为（) A月 B.1 C.3 D.√5 4.已知1，a,x,b,16这五个实数成等比数列，则x的值为（) A.4 B.-4 C.±4 D.不确定 5直线y=x+b与曲线x=V4-y2恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是() A.[-2,2N2] B.[-2V2,-2) C.(-2,2) D.(-2W2,-2] 6.已知Sn是等差数列{a}的前4项和，若S2<S<S,则使Sn>0的最小整数n=（) A.25 B.24 C.23 D.22 7.记Sn为等比数列{a}的前n项和，若S4=-5,S。=21S2,则S。=（) A.120 B.85 C.-85 D.-120 8已蜘点P为双面线C号茶=(e>00>0)右支上一点。55分别为C的左，右焦点，直 线P?与C的一条渐近线垂直，垂足为H,若P=4HR,则该双曲线的离心率为（） A.v1s B.②7 3 3 c 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分) 9已知，下是椭圆C+I的左、右焦点，点M在椭圆C上且不在x袖上，则下列凝 正确的有（) A椭圆C的短轴长为3 B.△ME的周长为8+27 C.△MFE的面积的最大值为3V7 D.M的取值范围是[4-V7,4+V万 1 10.下列说法正确的有（) A.直线V3x+y+1=0的倾斜角为120° B.直线l:ax+2y+1=0,l2:(a-1)x-(a+1)y-4=0,4⊥42，则a=-3 C、复数z=3+4i,则z在复平面上对应点在第一象限 D.若1≤z≤√2，则复数z对应的点Z的集合所构成的图形的面积为π 11、有一列数：1,1,2,3,5,8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每 一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{a,}称为斐波那契数列， 又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618).在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列{a,} 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{色，}，则下列结论正确的有（) A、b209=2 B.n≥2，n∈N,若数列{an+元an-}为等比数列，公比为q,则元=g+1 C.6+b2+b+…+b2o20=2695 D.a+a2+4+…+an=an+2-1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知复数2=3+2，则z的虚部为 13.已知数列{an}满足4=1，a= a,+2,n为偶数’neN*,则{a,}的前10项和 an+1,n为奇数 为 14.在平面直角坐标系x0y中，已知圆C:(x-m)2+(（y-2m)2=3m2(m>0)与直线x+2y-2=0 交于A,B两点，过A,B分别作圆C的切线1,1，·若L与1交于点P,且C为线段OP 的中点，则m= 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.记公差不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn,己知4=7，且4,42，a,成等比数列. (1)求{a}的通项公式； (2)若Sn=55m,求m. 16.设抛物线C:x2=2py(p>0)的准线被圆O:x2+y2=4所截得的弦长为2W3. (1)求抛物线C的方程： (2)设点F是抛物线C的焦点，过F的直线1交C于A,B两点，已知△ABO的面积为2W3, 求直线1的方程. 17.已知数列{a}满足4=1，an+1=2a,+1（neN*), (1)求证：{an+1}为等比数列，并求出{a,}的通项公式； (2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在a,与ak4(k=1,2,)之间插入2个1，使它们 和原数列的项构成一个新的数列{b}，记{b,}的前n项和为T,求T的值， 18.已知Sn为数列{a}的前n项和，且满足a=1,Sn=na,-+n(neN). 单调递增的等比 数列{，}满足：b，b,b∈{q,a2,4,a,a}。 (1)计算a,a的值并求数列{a,}的通项公式： (2)求数列{b,}的通项公式并求+b,+b,+…+b; (3)记工为数列的前n项和，是否存在正整数m,n使得？-m<3 bn」 成立？若存 Tn4-m3+1 在，求出m,n的值；若不存在，说明理由. 19.已知动点Pk)到定点下5,0的距离和它到定直线1：x-45距离的比是常数 2 (1)求动点P的轨迹E; (2)己知不过原点的直线1与曲线E交于M、N两点，若直线OM,直线1，直线ON的斜 率k,k飞成等比数列. ①求直线1的斜率k; ②记以OM,OW为直径的圆的面积分别为S,S,,试探究S,+S,是否为定值，若是， 求出此值；若不是，说明理由。 扬大附中2025-2026学年第一学期阶段测试2 高二数学答案 1.【答案】D【详解】由2-1=i,得z=1+i=1-i,所以z作P+-1=V2故选：D 2.【答案】A【详解】解：由题意得（m+3)(m-6)<0,解得-3<m<6.故选：A. 3.【答案】B【详解】圆C:(x-1)2+y2=1,所以圆心C(,0),半径r=1,所以弦心距为 5-0 后9所以孩长为1=2P-21放选日 4.【答案】A【详解】由题意知：x2=16,且若令公比为9时有x=g2>0,x=4,故选：A 5.【答案D详解】y=x+b是斜率为1的直线，曲线x=√4-y2即x2+y2=4(x≥0) 是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时， =2,解得6=-22，或b=22（舍去)， 当直线过(2,0)时，b=-2,直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当-2√2<b≤-2时，直线与半圆有两个公共点。 故选：D. 6.【答案】B【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn,由S2<S,且S>S,得 a2=S2-S,<0,a2+a3=S3-S1>0,所以a3>0>a2,则数列{an}的公差d>0,所以数列{an} 是递增的等差数列，且当n≤12时，an<0,当n≥13时，an>0,又 23(a+a=234,<0,34-24(a+a】=124e+4)>0,所以使S,>0成立的最小的n为 2 2 24,故选：B. 7.【答案】C【详解】方法一：设等此数列{a}的公比为9，首项为a,若g=-1,则S4=0≠-5， 与题意不符，所以q≠-1；若g=1,则S6=6a=3×2a=3S2≠0，与题意不符，所以9≠1；由S4=-5, 8=21讽可得，-g2-5,40-g-21x4-g）0,由0可得，1+g+g=21,解得 1-9 1-9 1-9 g-4,所以及=0-马-）+g）=-5x1+1可=-85.放选：C 1-91-9 方法二：设等比数列{an}的公比为9，因为S4=-5,S。=21S2,所以9≠-1，否则S4=0, 从而，S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S6成等比数列，所以有，（-5-S2)2=S2(21S2+5),解得：2=-1或 =,当5=-l时，8，-5。-88-8，即为-14-16,8+21，易知，8+21=-64， 。即8，=-85；当S2=2时，S4=a+a,+4+a,=(4+4)1+q2）=(1+g2)2>0,与S,=-5矛盾， 舍去、故选：C 8.【答案Q详解取PR的中点M,连接M,由条件可知H=PR=M O是FF的中点，OH/IM又，OH⊥PF,.M⊥PF F=P=2c根据双曲线的定义可知P-2a+24,÷四=生，直线 试卷第1页，共4页 吸的方程是：y+0,即公-by+ac=0,原点到直线的距离0网口 .△OHr中，a2+ a+c)2 2 =c2,整理为：30-2ac-5a2=0,即3e2-2e-5=0,解得：e=, 或e=-1(舍)故选：C 9.【答案】BC【详解】椭圆C为：+ =1∴a=4,b=3,c=√7，短轴长2b=6,故A错误； 169 △ME的周长为MR+|ME+FF=2a+2c=8+2V7,故B正确；△ME的面积为 2F,所以最大值为22c-b=bc=3W7,故C正确：因为点M在椭圆C上且不在x轴上， 则a-c<M<a+c,取值范围是(4-V7,4+V)）,故D错误.故选：BC. 10.【答案】ABD【详解】对于A,直线V5x+y+1=0的斜率k=-V3,则其倾斜角为120°，A 正确：对于B,由（⊥2，得a(a-)-2a(a+1)=0,且a≠0，解得a=-3,B正确. 对于C,已知z=3+4i,则z=3-4i,在复平面内，五=3-4i对应的点为(3，-4)，该点在第四 象限，所以C错误.对于D,已知1zsV2表示的是以原点为圆心，半径r满足1≤r≤V2的圆 环圆环的面积S=元(2-P]元×亿-1)-元，所以D选项正确放选：ABD 11.【答案】ACD【详解】由题意，斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,2L,34,55,89,144,…,各项除以 4所得余数按原顺序构成的数列记为{，}，可得数列，}的各项分别为1,1,2,31,0,11,2,3,10，…， 所以数列{亿，}是周期为6的周期数列.因为2019=336×6+3，所以b19=b=2,故A正确； 因为b,+b2+b+b4+b+b。=1+1+2+3+1+0=8,且2020=336×6+4， 所以6+b2+b3+…+b22n=336(6+b2+6+b4+b,+b)+b07+b2o18+b019+b2oz0 =336×8+b+b2+b+b4=2688+1+1+2+3=2695,故C正确；n≥2，n∈N,若数列{an+元an} 为等比数列，公比为g,则a1+元an=g(an+元a)，又an+1=a,+an,则 (2+1)an+a1=g(an+九an),则元+1=g,且g=1,则元=9-1，且g=1,故B错误； 因为4=4+4，a4=4+43,,an+1=an+4n-1,at2=aml+an, 将上面各式相加得，4+a4+…+an2=(a2+a)+(a+a2)+…+(an+a-)+(a+a), 即a+a,+…+an2=(a2+4+…+an+a)+(a+a2t+…+a),则an2-☑2=a+a2+…+an, 即4+42+…+a,=a+2-1,故D正确，故选：ACD. 2【答案】-3【详解】23+21_2132-3，其虚部为3。故答案为：9 i 13.【答案】75【详解】由题意知数列{a,}满足4=1，an=an-1+1,4=a,+2,可得a=2;所 以4n=a2n+2=a2m-1+3,所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理由 a2m+2=a2n+1+1=a2n+3知数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.从而由等差数 列前n项和公式可得数列{an}的前20项和为：So=(a+a+a…+ag)+(a2+a4+a6…+a0) =5x1+5X4x3+5x2+5x4 ×3=75 2 14.【答案】4【详解】如图：设∠PCA=0,由题意C为线段OP的中点，所以 PC=0C=√m2+(2m=V5m,半径r=lCA=V3m,圆心C到直线x+2y-2=0的 试卷第2页，共4页 距离d=m+4m-2_5m-2 因为a0阅所似 J5m 5.3m ,解得m=1或m= 1+4 √5 又C为CP的中点，所以圆心C(m,2m)在直线下方，所以m+4m-2<0,即m=子故答案为：} 15.【答案】(1)an=3n-2;(2)37 【详解】(1)，a,=an+d(n≥2)，…数列{a}是公差为d的等差数列，：4=7，.4=7-2d, a2=7-d,a6=7+3d,4,a2,a成等比数列，.(7-2d)(7+3d=(7-d)2，.d=3d, .d=3或d=0,d≠0，.d=3,an=7+(n-3)x3=3n-2. (2)由(D知，8-+3m-2_61-,则3，-m3m--55m,即3m=11,故m=37. 2 2 2 16.【答案】(1)x2=4y(2)V2x-y+1=0,或V2x+y-1=0 【详解】(1)抛物线C:x2-2p(p>0)的准线方程为y=-号，把y=-号代入2+少=4中，得 2+?=4→x=土4-？，因为抛物线C2=2p(p>0)的准线被圆0：￥+y=4所锻得的 25,p>0→p=2,因此抛物线C的方程为x2=4y; (2)由(1)可知抛物线C的方程为x2=4y,焦点F(0,),由题意可知该直线1存在斜率，因此 设直线l的方程为y=ac+1, ≥f-pp1=o,然 △=(2+4k2)2-4=16k4+162>0,设A(x,）,B(x2,2),片+y2=2+42, AB到=片-(-)+2-(-1)=片+2+2=y+2=2+42+2=4+4, 川。1 点O到直线y=+1的距离为十+，因为△10的面积为25， 所以好+-25台=，所以直线1的方程为-y41-0,咸+y-10 17.【答案】(1)4，=2”-1(2)214 【详解】(1)因为a1=2a,+1,则a+1=2(a,+),且a+1=2,故{a.+1号是首项为2，公比 为2的等比数列，所以a,+1=2×2=2”,所以a,=2”-1. (2)因为a与ak(k=1,2,之间插入2个1，所以a在{b,}中对应的项数为 n=k+2+2+2++2=k+2-2=2+k-2,当=6时，2+k-2=68,当=7时， 1-2 2+k-2=133,所以a6=bs8,4,=b33,且b9=b0=…=bw=1. 因此7m=8,+2x1+22x1+2×1+…+2x刘+32x1=2-2-6+2-2 1-21-2 +32=214. 18.【答案10a,=2n-1,4=34=-5a6=96aeN）:4++6++6,= 3100-1 (3)存在符合条件的正整数m,n,m=1,n=1,理由见解析. 【详解K1)a=1,a2=3,由sn=na,-2+n(neN)得，Sn1=(n-1)a-(n-1)+(n-1(n22), 上两式相减得：(n-1)a,-(n-1)a1-2(n-1)=0,.an-a=2(n22), 试卷第3页，共4页 {a}是公差为2，首项为1的等差数列，∴.an=2n-1; (2)由6，b2,b∈{a,a2,4,a4,4}={1,3,5,7,9}得：6=1,6=3，b=9, 六单调通增等比数列么}的通项公式为么=护(N…4+么+6，十+。-3一 8 (3)由(1)可得： 1 是首项为1，公比为兮的等比数列，故其前w项和一-宁)aeN) 112 T-m3” m 3m 1-2m3-3 故不等式 3 1-m3+1 等价于3”3 m3”+1，即 1-12 2 13”+1，也即 3* 2 <1-1 2 .r1产.20小-30， -号m9”-1>0即3-2>宁成立，则3-2加>写解得m<号 叉加为正整数，故可得m=1,将其代入2(”+小(-号0月-1>0， 可得：1<3”<9，又n为正整数，故n=1. 故存在符合条件的正整数m,n,其中m=1,n=1. 19.【答案】0茸+y=1:2)①=±号@是，g 【详解1(1)曲线5的方程为：+少-1. (2)①设直线l方程为y=c+t,M(,片bN(,2),t≠0， y=kx+t y=1得0+4秘m+8r+4-4=0,4=64-40+4X2-④>0， 由x2 (4 *3= 8kt 十42’名4，k五，k=2,无，k3成等比数列，品2=北= 2 =@+0@+9=子x五+6+x)+2 ，(x+x2)+2=0, Xx2 XX2 又1e0,+10,71e0,解得-号 8kt 4t2-4 +￥，=14-4k，+42 x+x号=(：+x2)2-2xx2=16k2t2-2(22-2)=42-42+4=4, uouf sow) 2+y+x号+y好=4+(+)2+(2+02=4+k2(x+x)+2(:+x2)+22 =4+4k2-8k2t2+22=5, ∴8+8=经为定值 试卷箱4而.廿4页