第三章·位置与坐标·期中综合复习·培优讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第三章·位置与坐标·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握用有序数对、方向角与距离确定物体的位置 · 掌握平面直角坐标系中点的坐标及象限分布规律 · 掌握两点间的距离与点到坐标轴的距离的计算 · 掌握轴对称变换下点的坐标变化规律 · 能探索点的坐标规律并解决坐标系中的综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.确定位置的方法 有序数对(a,b)：用两个有序数据确定平面上一个位置，顺序不能交换 方向角与距离：用方向角（如北偏东30°）加距离确定位置 平面上确定物体的位置至少需要两个数据 概念辨析例题：电影院座位用「3排5号」表示，若「3排5号」记作(3,5)，则(5,3)表示什么？ 答案：(5,3)表示5排3号 解析：有序数对(a,b)中第一个数表示排、第二个数表示号，所以(5,3)表示5排3号，与(3,5)位置不同。 ☆ 2.平面直角坐标系 x轴（横轴）与y轴（纵轴）互相垂直，交点O为原点 四个象限：第一象限(+,+)、第二象限(−,+)、第三象限(−,−)、第四象限(+,−) 坐标轴上的点不属于任何象限；点P(a,b)中a为横坐标、b为纵坐标 概念辨析例题：点A(−2,3)在第几象限？ 答案：第二象限 解析：横坐标−2<0、纵坐标3>0，符号为(−,+)，所以点A在第二象限。 ☆ 3.轴对称与坐标变化 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y)，横坐标不变、纵坐标互为相反数 关于y轴对称：(x,y)→(−x,y)，纵坐标不变、横坐标互为相反数 关于原点对称：(x,y)→(−x,−y)，横、纵坐标都互为相反数 概念辨析例题：点P(3,−2)关于x轴对称的点的坐标是什么？ 答案：(3,2) 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数，所以对称点为(3,2)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有序数对 (a,b)两个有序数据确定一个位置 顺序不能交换 平面直角坐标系 点P(x,y)，x为横坐标、y为纵坐标 坐标轴上的点不属于任何象限 四个象限 一(+,+)、二(−,+)、三(−,−)、四(+,−) 先横坐标后纵坐标 距离 点到x轴距离=|y|，到y轴距离=|x| 两点距离用勾股定理求 轴对称 关于x轴(x,−y)、关于y轴(−x,y) 关于原点(−x,−y) ⚠️ 核心考点 【考点1】用有序数对与方向角确定位置（第1-11题） · 有序数对中两个数据的顺序不能交换，(a,b)与(b,a)表示不同位置 · 用方向角与距离确定位置：方向角+距离两个数据缺一不可 · 注意方位角的规范表示（北偏东、南偏西等） 1．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，甲、乙、丙三人在同一条直线上的三个点的位置上，米，米，下列说法正确的是（   ） A．丙在甲的北偏东方向的22米处 B．甲在丙的北偏东方向的22米处 C．丙在乙的北偏东方向的15米处 D．乙在甲的北偏东方向的7米处 【答案】C 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】根据方向角的定义进行判断，即可解答．本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义． 【详解】解：由图可知， 丙在甲的北偏东方向的22米处，甲在丙的南偏西方向的22米处，故A，B选项错误； 丙在乙的北偏东方向的15米处，故C选项正确； 乙在甲的北偏东方向的7米处，故D选项错误； 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东德州·期中）根据下列表述，能确定某地点其体位置的是（   ） A．， B．东风东路 C．北偏东 D．大地影院第2排 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了位置的表示方式，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置即可得出答案． 【详解】解：A．，能确定位置，符合题意； B．东风东路不能确定位置，不符合题意； C．北偏东不能确定位置，不符合题意； D．大地影院第2排不能确定位置，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，如果嘉嘉的座位10排7号可以用表示，则表示淇淇的座位为______． 【答案】排号 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了用有序实数对表示方位，第二个数表示第几排，第一个数表示在该排的第几号，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵排号可以用表示， ∴表示淇淇的座位为排号， 故答案为：排号． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，对应的有序数对为，有一个英文单词的字母依次对应有序数对，，，，则这个英文单词为______． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对，根据对应的有序数对为，分别找到有序数对，，，对应的字母，即可求解，掌握有序数对的表示方法是解题的关键． 【详解】根据题图，可得对应，对应，对应，对应， ∴这个英文单词为， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点( )．操场位于点( )，在大门的( )偏北( )°方向上． 【答案】 东 【知识点】用有序数对表示位置、方向角的表示 【分析】此题考考查了用有序数对确定位置，方向角等知识，根据图形进行解答即可． 【详解】解：在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点．操场位于点，在大门的东偏北方向上． 故答案为：，，东， 6．（26-27八年级下·全国·课后作业）在办公软件电子表格的界面上，每个单元格的位置都可以用字母和数字确定．如图，单元格中的内容分别为“姓名”“演讲”“绘画”“书法”． A B C D 1 姓名 演讲 绘画 书法 2 李明 88 92 90 3 张磊 86 94 82 4 王涛 78 90 86 5 刘强 90 87 91 (1)请分别指出单元格中的内容． (2)请分别指出王涛的演讲成绩和张磊的书法成绩所在的单元格． 【答案】(1)“李明”；“86”；“90”；“91” (2)； 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】（1）根据表格的内容和题意可得答案； （2）据表格的内容和题意可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，单元格中的内容为“李明”， 单元格中的内容为“86”， 单元格中的内容为“90”， 单元格中的内容为“91”； （2）解：由题意得，王涛的演讲成绩所在的单元格为， 张磊的书法成绩所在的单元格为． 7．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）2022年10月28日下午，习近平总书记来到河南省安阳市的殷墟遗址考察，观摩青铜器、玉器、甲骨文等出土文物，在车马坑展厅查看商代畜力车实物标本和道路遗迹，强调“殷墟我向往已久，这次来是想更深入地学习理解中华文明，古为今用，为更好建设中华民族现代文明提供借鉴”． 在习爷爷的感召下，六年级的同学们前去游览殷墟宫殿宗庙遗址，开始了“探寻殷商文明”的研学活动． (1)同学们从学校步行出发，路线如下图．请写出同学们从学校到殷墟宫殿宗庙遗址的行走方向和路程． (2)在参观殷墟碑林的过程中，同学们对甲骨文产生了浓厚的兴趣．大家比赛书写甲骨文字．规定时间内，赵文写了75个，李明写的比赵文多12%，李明写了多少个？ (3)在文字探秘实践活动中，参加汉字剧本杀活动的人数有81人．已知参加雕版印刷、竹简编联、汉字剧本杀活动的人数比为4：7：9．根据这些信息，请提出一个数学问题并解答． (4)午餐时间到了，餐厅提供了不同的套餐方案．六年级共180名学生就餐，选择哪种套餐更省钱？ 套餐A：每份套餐12元，买5份送1份． 套餐B：每份套餐10元，团体订餐（20人及以上）可享受九折优惠． (5)殷墟博物馆招募小导游志愿者，可以分别选择甲、乙、丙三组志愿者报名（每人限报1组）．同学们踊跃报名参加．下面两幅统计图反映了同学们报名参加活动的情况： ①报名小导游志愿者的一共有 人． ②甲组报名人数比乙组报名人数多 人． ③请根据信息，将条形统计图和扇形统计图补充完整． 【答案】(1) 根据图示可知， 先向东行走米，然后向南偏东方向行走米，再向北偏东方向行走米； 同学们从学校到殷墟宫殿宗庙遗址的行走路程为米． (2) (3) 提问：文字探秘实践活动中，一共有多少学生参加？ 解：因为参加汉字剧本杀活动的人数有81人，参加雕版印刷、竹简编联、汉字剧本杀活动的人数比为4：7：9． ， 所以参加雕版印刷、竹简编联的人数的人数分别为 ∴（人） 答：一共有人参加活动 (4)套餐B更省钱 (5)①；②； ③甲组的占比为：，乙组的人数为人， 补充统计图如图所示 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用方向角和距离确定物体的位置、条形统计图和扇形统计图信息关联、 按比例分配问题 【分析】（1）根据图示结合方位角，分别写出方向和路程，即可求解； （2）根据题意列出算式即可求解； （3）本题根据已知比例，提出问题并解决即可； （4）分别计算两个套餐的总价，比较大小，即可求解； （5）①根据丙组的人数与占比求得总人数； ②根据总人数减去甲和丙的人数求得乙组人数，即可求解； ③先求得甲组的占比，再补充统计图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：（个） 答：李明写了个 （3）略 （4）解：套餐A：（份） （元） 套餐B：（元） 所以套餐B更省钱 （5）解：①总人数为：（人） 故答案为：． ②乙组人数为：（人） （人） 故答案为：． ③ 略 【点睛】本题考查了方位角，条形统计图，扇形统计图，按比例分配，开放性题型，认真阅读文字，理解题意是解题的关键． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）我们知道，如果已知一点相对于定点的距离和方向，那么这个点就被唯一确定了．这就是说，我们可用角度和距离来确定平面上点的相对位置． 在平面内取一个定点，叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任一点，用表示线段的长度，表示从到的角度，叫做点的极径，叫做点的极角，有序数对就叫做点的极坐标，这样就在平面上建立了极坐标系．极坐标为的点，可表示为．建立极坐标系后，给定和就可以在平面内唯一确定一点． 如图，如果点的位置为，点的位置为． (1)请表示点与点的位置； (2)若以为极点，为极轴，写出点、点和点的极坐标． 【答案】(1)，； (2)；；． 【知识点】用有序数对表示位置、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了用坐标确定位置的知识，解题的关键是理解题中“极坐标”的意义． （）根据图中点和点的行与列，结合它的坐标，据此即可写出点和点的位置表示； （）根据“极坐标”的定义，只要求出、、的度数，以及的长度即可写出点、点和点的极坐标． 【详解】（1）解：根据点的位置为，点的位置为， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：连接， 则有，， ∴，， ∵，， ∴点的极坐标为，点的极坐标为，点的极坐标为． 【考点2】实际问题中用坐标表示位置（第12-19题） · 建立合适的平面直角坐标系，选择合适的点为原点 · 根据题目描述确定各点的坐标，注意正方向与单位长度 · 由坐标描述位置或由位置写坐标，注意一一对应 9．（25-26九年级上·海南儋州·期末）如图，已知棋子“车”、“炮”的坐标分别为、，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系． 根据棋子“车”、“炮”的坐标，建立平面直角坐标系，即可得棋子“马”的坐标． 【详解】解：∵棋子“车”、 “炮”的坐标分别为、， ∴建立平面直角坐标系，如图所示， ∴棋子“马”的坐标为， 故选：B． 10．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图所示，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，根据已知点的坐标确定平面直角坐标系，由此即可求． 已知点和，画出直角坐标系，即可求解． 【详解】解：已知点和， 建立平面直角坐标系如图所示， ∴ 故选： B． 11．（2025·河南郑州·三模）如图，如果“马”在点，“仕”在点，则“帅”所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查坐标系的实际应用、中国象棋棋盘布局知识．解题关键在于准确建立坐标系，结合棋子标准位置和图形相对距离进行空间推理，实现几何位置向坐标数值的转化．首先，建立坐标系，每个单位长度为棋盘的一个格子宽度．据此求解即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的坐标系，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，每个单位长度为棋盘的一个格子宽度，从图中观察，“帅”位于第四象限，“帅”的坐标为． 故选：D． 12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）小明同学在做许昌胖东来游玩攻略时，绘制了胖东来各店位置的示意图如图所示，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示时代广场店的点的坐标为，表示大众服饰店的点的坐标为，则表示天使城店的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据时代广场店的点的坐标为，大众服饰店的点的坐标为，可确定坐标轴和原点的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，故表示天使城店的点的坐标是， 故选：C． 13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”若以乙为坐标原点（三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同），甲、丙的坐标分别是 __________． 【答案】， 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应．据此解答即可． 【详解】解：由于已知三人建立坐标系时，x轴y轴正方向相同， 则以甲为坐标原点，乙的位置是，则以乙为坐标原点，甲的位置是； 以丙为坐标原点，乙的位置是，则以乙为坐标原点，丙的位置是． 故答案为：，． 14．（25-26七年级下·北京·期末）小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图所示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为__________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据已知点、的坐标确定原点位置及轴、轴的位置，由此求解即可 ． 【详解】解：∵黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 且可知相邻两颗棋子之间的间隔为2个单位长度， 由图可知，黑棋所在位置的坐标为 ． 【考点3】点所在的象限与参数（第20-29题） · 由坐标符号判断象限：一(+,+)、二(−,+)、三(−,−)、四(+,−) · 已知点所在象限求参数：列不等式组解出参数的取值范围 · 绝对值、平方的非负性与象限判定结合时，先求参数再判断 15．（22-23七年级下·全国·课后作业）如果点A（a，b）在第三象限，那么a，b的符号是（    ） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 【答案】D 【知识点】已知点所在的象限求参数 【解析】略 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，且，则点P的位置（   ） A．一定在x轴上 B．一定在y轴上 C．一定在坐标原点 D．一定在坐标轴上 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上的点，掌握平面直角坐标系的特点是关键，根据题意可得或，进而得出点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 可知点或在坐标轴上． 故选：D． 17．（18-19七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点不经过第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键．由于为任意实数，故将分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得，的取值范围，再根据直角坐标系中点的特征判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，当时，，则点在第一象限， 当时，，则点在第四象限， 当时，，则点在第三象限， 点不可能在第二象限， 故选：B． 18．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若点的坐标满足条件，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、平面直角坐标系中点的坐标．首先根据平方的非负性和绝对值的非负性得到，，从而可得点的坐标为，根据坐标判断点所在原象限． 【详解】解： 又，， ，， 解得：，， 点的坐标为， 点在第四象限． 故选：D． 19．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）若点在坐标轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，分两种情况进行计算是解题的关键，分点A在x轴上与y轴上两种情况进行讨论即可． 【详解】解：分两种情况： 当点在x轴上时，， 解得：， ∴点A的坐标为或； 当点在y轴上时，， 解得：， ∴点A的坐标为； 综上所述：点A的坐标为或， 故选：C． 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知平面直角坐标系中有一点． (1)当点M在第二象限，且其到x轴的距离为1时，求点M的坐标； (2)当点M在第三象限，且其到y轴的距离为3时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，具体包括：各象限内点的坐标符号规律，点到坐标轴的距离与坐标的关系，利用上述特征建立方程求解参数，进而确定点的坐标是解决本题的关键. （1）由于已确定，可去掉绝对值符号，直接得，进而求解m的值，再代入坐标表达式得到点M的坐标. （2）由于已确定，可去掉绝对值符号，直接得，进而求解m的值，再代入坐标表达式得到点M的坐标. 【详解】（1）解：由题意，得，解得， 所以， 所以点M的坐标是． （2）解：由题意，得，解得， 所以， 所以点M的坐标是． 21．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，，， 即， 解得： 【考点4】点的坐标与距离（第30-44题） · 点到x轴的距离=|纵坐标|，到y轴的距离=|横坐标| · 两点间的距离：构造直角三角形用勾股定理，或利用数轴上两点距离|a−b| · 结合全等三角形、三角形的高求点的坐标时，注意多解情况 22．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点A为圆心，的长为半径画弧交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标及勾股定理的应用． 解题的关键是先根据、的坐标求出的长度，再根据圆的性质得到的长度，最后在中利用勾股定理求出的长度，进而确定点的坐标． 【详解】解：，， ， 以点A为圆心，的长为半径画弧交y轴正半轴于点C， ， 在中，，，， ， ． 故选B． 23．（25-26七年级下·广西钦州·期中）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据点M，N的坐标可得轴，轴，再求出小正方形的边长，进而得出点，然后根据轴可得点，则此题可解． 【详解】解：∵点M，N的坐标分别为， ∴轴，轴， ∴正方形的边长为4， ∴， ∴，即． ∵， ∴轴， ∴点，即． 24．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长为________． 【答案】4 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中两点间的距离，解题关键是观察两坐标的特征再求解． 根据两点的纵坐标相同，可知两点间的距离为横坐标的差（大的减小的）． 【详解】解：∵点，，它们的纵坐标相同， ∴， 故答案为：4． 25．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为__________． 【答案】， 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中两点之间的距离， 设，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵点在轴上 ∴设 ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为，． 故答案为：，． 26．（24-25七年级下·重庆·期末）若不同两点和到x轴的距离相等，则实数a的值为_______． 【答案】 【知识点】绝对值方程、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了解绝对值方程，点到坐标轴之间的距离． 利用不同两点到x轴的距离相等，得出，解方程求出a的值，检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴或， ∴或， 当时， ，不符合题意， 当时， ，符合题意， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点在第三象限，距离轴4个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为___________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标；根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，点在第三象限得出横坐标小于，纵坐标小于，即可求解． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴横坐标小于，纵坐标小于， ∵点距离轴4个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴点的坐标为． 故答案为：． 28．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，若与全等点与点不重合，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定，写出坐标系中点的坐标，由全等三角形的判定在坐标系中画出与之全等的三角形，写出坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，以A、B、P为顶点的三角形与全等（点P与点C不重合），满足条件的点P有3个． 点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 29．（25-26七年级下·全国·单元测试）若第三象限内的点满足，，则点的坐标是________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标特征是关键． 点在第三象限，横纵坐标均为负，由，分别求出满足条件的，即可. 【详解】解：， ； ， . 点在第三象限， ，， ，. 故点的坐标为. 故答案为：. 30．（23-24七年级下·广东汕头·期中）点C在x轴上，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为___________________． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离，根据“点C在x轴上，距离y轴5个单位长度”得到点C的横纵坐标，即可解题． 【详解】解：点C在x轴上，距离y轴5个单位长度， ，， 点C的坐标为或； 故答案为：或． 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形在网格中的位置如下图所示（每个小正方形的边长都是1）．请建立适当的平面直角坐标系，并写出三角形的顶点A，B，C的坐标． 【答案】 解：建立平面直角坐标系如下： 点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系、点的坐标；以边所在的直线为轴，过点垂直的直线为轴，即可建立平面直角坐标系，写出坐标即可求解． 【详解】略 32．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 【答案】 如图，平面直角坐标系即为所求． A，C，D三点的坐标分别为． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 根据题意建立适当的平面直角坐标系，再写出点A，C，D的坐标，即可求解． 【详解】略 33．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）先得出，再根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程，整理得，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P为x轴上的一点， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 【考点5】轴对称与坐标变化（第45-59题） · 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y)；关于y轴对称：(x,y)→(−x,y) · 关于原点对称：(x,y)→(−x,−y) · 画轴对称图形：先作出关键点的对称点，再顺次连接 34．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）若点与点关于轴对称，则 ______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标特征，代数式求值，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： ①关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； ②关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； ③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出、，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ∴． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点重合，那么A，B两点之间的距离等于________． 【答案】4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了点关于轴对称的特点，以及两点之间的距离的计算．解师关键是掌握关于轴对称的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据点关于轴对称的点的坐标特点可求出点的坐标，即可求出、两点之间的距离． 【详解】解：点与关于轴对称，点坐标为， 点坐标为， 、两点之间的距离． 故答案为：4． 36．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点在轴的负半轴上，，直线经过原点，点关于直线的对称点在轴的正半轴上，点关于直线的对称点为，则的度数为______；点的纵坐标为______． 【答案】 /75度 【知识点】坐标与图形、含30度角的直角三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】题目主要考查轴对称的性质、坐标与图形、含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据等边对等角确定，再由轴对称图形的性质得出直线垂直平分，结合图形即可求解确定；过A作轴于C，过作轴于D．根据等腰三角形的性质得出，再由含30度角的直角三角形的性质得出，结合图象即可求解． 【详解】解：∵ ∴． ∵点关于直线的对称点在轴的正半轴上， ∴直线垂直平分 ， ∵直线经过原点O， ∴ ， ∴． 如图，过A作轴于C，过作轴于D． ∵点A的横坐标为， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的纵坐标为， 故答案为：；． 37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 38．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·全国·期中）如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化特点，掌握关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键． 先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征易得C点坐标即可． 【详解】解：∵轴是的对称轴，且点A的坐标为， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵轴是的对称轴， ∴点B与点C关于y轴对称， ∴． 故答案为：． 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在点，，，…，中，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称……以此类推，如果点在第二象限，那么点在第________象限． 【答案】一 【知识点】点坐标规律探索、判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的变化规律． 通过对称操作规律，发现点序列每个点重复一次，根据除以的余数确定对应象限即可． 【详解】解：点在第二象限，那么与关于轴对称，在第三象限； 与关于轴对称，在第四象限； 与关于轴对称，在第一象限； 与关于轴对称，在第二象限，与相同，周期为， ，故与象限相同，在第一象限． 故答案为：一． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请回答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出的坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求，点． 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． （1）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 42．（25-26八年级上·天津·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴成轴对称的三个顶点坐标分别为______，______，______； (2)写出点关于过且平行于轴的直线对称的点的坐标_____． 【答案】(1) 解：如图所示： ，，； (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标系中的对称 【分析】本题考查对称作图，数形结合，掌握对称性质是解决问题的关键． （1）作出的三个顶点关于轴对称的三个顶点，连接三个顶点即可得到，数形结合即可得到三个顶点的坐标； （2）先过点作轴的平行线，再作点关于这条直线的对称点，数形结合即可得到对称点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示： ， 故答案为：． 43．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出格点A、B的坐标； (2)将点A、B、C、D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，依次得到点E、F、G、H，用线段顺次连接起来，画出四边形，则四边形与四边形有怎样的位置关系？ (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 作图如下： 由图可知：两个图形关于y轴对称； (3)6 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了坐标与图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）写出点A、B坐标即可； （2）根据横坐标分别乘，得到横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出两个图形关于y轴对称； （3）分割法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）解：，，，， 横坐标分别乘，依次得到点、、、， 作图如下： 由图可知：两个图形关于y轴对称； （3）解：由图可知：四边形的面积为：． 44．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义；点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是_____； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长； 【答案】(1)、、 (2)； 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， 故答案为：、、； （2）解：∵点的坐标是， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴． 45．（24-25八年级上·福建厦门·期中）情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张老师结合七年级学习的坐标系的知识，将课本上的“饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上找一点C，使得的值最小．你能求出点C的坐标吗？ 【方法探究】 （1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，则此时的值最小；然后连接，利用列方程求出点C的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点C的坐标； 【类比推广】 （2）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址”问题放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，直线m经过点，且与x轴平行，分别在x轴和直线m上找点M，N，使得轴，且的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点M，N的坐标； 【拓展创新】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，C是的中点，交于点D，求点D的坐标． 【答案】（1）如图， ； （2）如图，点M和点N即为所作． ，； （3）． 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】（1）根据题意作图即可，由题意可知，设，则可求出，，．再根据，列方程求解即可； （2）作点D关于x轴的对称点，连接交直线m于点N，过点N作轴于点M，则点M和点N即为所作，即得出．设，则，可求，，．再根据，列方程求解即可； （3）过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E．证明为等腰直角三角形，即得出．又可证，即得出．最后根据列等式可求出，从而即可求解． 【详解】解：（1）设， ∵， ∴， ∴，，． ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）由作图可知． 设，则， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得：， ∴，； （3）如图，过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵C是的中点， ∴． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，利用等积法求解等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 【考点6】点坐标规律探索（第60-64题） · 观察横、纵坐标各自的变化规律，寻找周期或增量 · 按组、按次分析点的运动路径，用代数式表示第n个点的坐标 · 结合象限判断与对称知识验证规律的正确性 46．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 47．（23-24七年级下·山东临沂·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”， 在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点__________ 【答案】 【知识点】数字类规律探索、点坐标规律探索 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， 经过4次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：循环圈为 ， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 48．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，．若点的坐标为，点的坐标为___________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键． 根据伴随点的定义求出点，，，的坐标，发现规律即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，即，点的坐标为，即，点的坐标为，即，点的坐标为，即，由此可知，每4个点为一个循环， ∵， ∴的坐标与点的坐标相同，即为． 答案为：． 【考点7】坐标系中的综合应用（第65-70题） · 描点连线构成图形，利用网格求三角形或四边形的面积（割补法） · 动点问题：用含参数的式子表示点的坐标，再列方程求解 · 对称与最短路径结合：利用对称点构造共线求最值 49．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 50．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为___________． 【答案】4 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、点到直线的距离 【分析】根据题意得出点始终在竖直线上运动，根据垂线段最短得出，从而得到的最小值． 【详解】解：点的横坐标固定为， ∴点始终在竖直线上运动， 根据垂线段最短，点到直线的垂线段就是最短的， 直线垂直于x轴，因此它的垂线平行于x轴，此时、纵坐标相等，即， ∴， 点、纵坐标相同，线段长度为横坐标差的绝对值：， ∴的最小值为4． 51．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)的面积为________； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、三角形面积的计算，解题的关键是利用割补法求三角形面积，并根据面积关系列方程求解． （1）根据点的位置直接写出坐标； （2）利用割补法计算即可； （3）根据△ABC的面积得到△ABP的面积，再设，根据三角形面积公式列出方程， 【详解】（1）点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：，； （2）； 故答案为：， （3）解：设， 的面积等于的面积， ， 解得：或， 点的坐标为或． 52．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、列代数式、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）根据点A、的坐标，求出，根据坐标与图形，得出的边上的高，根据三角形的面积公式，得出答案即可； （3）根据坐标与图形，结合三角形的面积公式，由的面积是的面积的2倍，得出，分“当点在点的左侧时”和“当点在点的右侧时”两种情况，根据坐标与图形，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：由（1）得，， ，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴的边上的高， ∴； （3）解：∵，，点是轴上的动点， ∴的边上的高和的边上的高相等， 又∵三角形的面积底高，的面积是的面积的2倍， ∴， ∴当点在点的左侧时， ，则点的坐标为， 当点在点的右侧时， ，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 💯 课后巩固 复习建议 · 掌握有序数对、方向角与距离等多种确定位置的方法 · 熟记象限符号规律与坐标轴上点的坐标特征 · 距离计算注意与坐标的转换，点到轴的距离用绝对值 · 轴对称变换熟记三种规则：关于x轴、y轴、原点 · 规律探索题注意观察周期与增量，用代数式表达第n个点 【作业1】．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，运动会上，同学们在操场列队，建立适当的平面直角坐标系后，小面所在位置的坐标为，小鹿所在位置的坐标为，则下列关于同学们坐标的说法正确的是（    ） A．小研所在位置的坐标为 B．小万所在位置的坐标为 C．小白所在位置的坐标为 D．小唯所在位置的坐标为 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据题意建立平面直角坐标系即可，正确建立平面直角坐标系是解题的关键 【详解】解：∵小面所在位置的坐标为，小鹿所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如下： 由坐标可知，小研所在位置的坐标为，小万所在位置的坐标为，小白所在位置的坐标为，小唯所在位置的坐标为， ∴选项C说法正确， 故选：C． 【作业2】．（24-25七年级下·天津·期中）如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置、写出直角坐标系中点的坐标 【详解】解：∵从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，点M的位置用表示， ∴表示的位置是先向东走1步，再向北走2步，即为B点， 【作业3】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点在第二象限的符号特点是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有选项， 故选：． 【作业4】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，点的坐标，利用勾股定理求出，进而求出即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴， 由题意得，， ∵点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是， 故选：． 【作业5】．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 【作业6】．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，以点A为圆心的圆上有B、C两点． （1）用数对表示A和B的位置：A(_______，_______)，B(_______，_______)； （2）C点在A点的( )偏( )( )度方向，距离A点( )． 【答案】 0 4 4 南 西 12 【知识点】用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合图形，进行作答即可； （2）结合图形，得C点在A点的南偏西45度方向，再根据一个格子长度为，C点与A点相隔三个格子，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得，， 故答案为：； （2）观察图形，C点在A点的南偏西45度方向， 结合一个格子长度为，C点与A点相隔三个格子， ∴， ∴C点距离A点， 故答案为：南，西，45，12． 【作业7】．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点A的坐标为，表示叶片“顶部”的点B的坐标为，则图中点D的坐标是_______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵表示叶柄“底部”的点A的坐标为，表示叶片“顶部”的点B的坐标为， ∴得出坐标系如图所示位置： ∴点的坐标为． 故答案为． 【作业8】．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，那么______． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中轴上的点横坐标为成为解题的关键． 根据平面直角坐标系中，轴上的点横坐标为得到的等式求解即可． 【详解】解：由题意得，解得． 故答案为：． 【作业9】．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的纵坐标相等时，则这两点在平行于轴的直线上，掌握以上知识是解答本题的关键． 点、的纵坐标相等，则直线在平行于轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式，从而解得的值． 【详解】解：∵点与点之间的距离是3， ∴， 解得：或， 故选：C． 【作业10】．（25-26八年级下·上海·期末）点关于y轴对称的点的坐标是____________． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用关于轴对称的点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）的坐标规律即可求解． 【详解】解：已知点的坐标为，关于轴对称的点，可得点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 【作业11】．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，、、、、、…，按此规律进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，根据题意得到当为奇数项时的坐标规律是解题的关键．根据题意可知当为奇数项时，其横坐标为，纵坐标依次为2，3，4，5，……，设奇数，则对应的纵坐标为，然后由，用表示出纵坐标，得到规律，即可解题． 【详解】解：2025为奇数，根据题意，、、、、…… 当为奇数项时，其横坐标为，纵坐标依次为2，3，4，5，…… 设奇数， 则对应的纵坐标为， 此时， 奇数项的纵坐标为， 当为奇数项时，其坐标为， ． 故选：A． 【作业12】．（20-21七年级下·四川德阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴上，如果，则点C的坐标是_____． 【答案】或/或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查的是坐标与图形，平面直角坐标系内三角形的面积的计算，熟练的表示坐标系内线段的长度是解本题的关键． 设再利用三角形的面积公式列方程，从而可得答案． 【详解】解：如图，设， ∵， ∴， ∵，面积为， ∴ 解得或 点坐标为或． 故答案为：或 【作业13】．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)甲同学想到用平面直角坐标系，如图甲，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)乙同学想到用方位角和距离，如图乙，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【答案】(1)如图， (2)（北偏东） 【知识点】用有序数对表示位置、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，写平面直角坐标系中点的坐标，用方向角和距离表示物体的位置．熟练掌握用有序数对表示位置是解题的关键． （1）根据文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．画出x轴与y轴，再根据大宋校场的位置写出其坐标即可； （2）测出表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角和连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）解：由图测得：表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角为，连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度为． ∴大宋校场的位置记为（北偏东） 故答案为：（北偏东）． 【作业14】．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据“点的纵坐标比横坐标大3”列方程求解即可； （2）根据“点在轴上”得到纵坐标为0，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得． （2）解：点在轴上， ， 解得． 【作业15】．（26-27八年级下·全国·课后作业）选择适当的方法，将图中图形的形状告诉你的同学，以便他们能画出相同的图形． 【答案】解：以网格中所在的直线为轴、以图中网格左侧边界为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设每个小方格边长为个单位长度，可得图形各顶点坐标为，，，，，， 将建立平面直角坐标系的方法及图中图形各个顶点的坐标告诉你的同学，在相同大小网格的坐标系中描出各点，再依次连接点，即可画出相同的图形． 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】在网格中建立平面直角坐标系，得到图形各个顶点的坐标，将建系方法及图形各顶点坐标告知他人即可画出相同图形，注意：建立平面直角坐标系时，原点位置不同，图形顶点坐标就不同，合理建系得到图形各个顶点坐标是画出相同图形的关键． 【详解】略 【作业16】．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系． (2)请画出关于轴对称的． (3)若为坐标原点，在轴上是否存在一点，使的面积等于8，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图所示： (2) 如图所示： (3)存在，点的坐标为或 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的建立、关于坐标轴对称的图形规律以及三角形面积的计算，涉及坐标与图形的性质． （1）根据已知点、的坐标，确定原点位置，建立平面直角坐标系； （2）关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此得到的坐标并画图； （3）设，利用三角形面积公式，结合的面积为8列方程求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点的坐标为， ∵，， ∴，点到轴的距离为， ∴的面积为，解得或， ∴点的坐标为或． 【作业17】．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、点坐标规律探索、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 【作业18】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中， (1)描出下列各点：； (2)在（1）的条件下，依次连接，求这个四边形的面积． 【答案】(1) 解：如图，描点如下： (2)13 【知识点】坐标系中描点、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查坐标系描点和坐标系中图形的面积，掌握坐标系中点的坐标的含义和求面积的方法是解题关键． （1）根据坐标描点即可； （2）将四边形放在大四边形中，用大四边形的面积减去周边的规则图形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，四边形的面积为． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章·位置与坐标·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握用有序数对、方向角与距离确定物体的位置 · 掌握平面直角坐标系中点的坐标及象限分布规律 · 掌握两点间的距离与点到坐标轴的距离的计算 · 掌握轴对称变换下点的坐标变化规律 · 能探索点的坐标规律并解决坐标系中的综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.确定位置的方法 有序数对(a,b)：用两个有序数据确定平面上一个位置，顺序不能交换 方向角与距离：用方向角（如北偏东30°）加距离确定位置 平面上确定物体的位置至少需要两个数据 概念辨析例题：电影院座位用「3排5号」表示，若「3排5号」记作(3,5)，则(5,3)表示什么？ 答案：(5,3)表示5排3号 解析：有序数对(a,b)中第一个数表示排、第二个数表示号，所以(5,3)表示5排3号，与(3,5)位置不同。 ☆ 2.平面直角坐标系 x轴（横轴）与y轴（纵轴）互相垂直，交点O为原点 四个象限：第一象限(+,+)、第二象限(−,+)、第三象限(−,−)、第四象限(+,−) 坐标轴上的点不属于任何象限；点P(a,b)中a为横坐标、b为纵坐标 概念辨析例题：点A(−2,3)在第几象限？ 答案：第二象限 解析：横坐标−2<0、纵坐标3>0，符号为(−,+)，所以点A在第二象限。 ☆ 3.轴对称与坐标变化 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y)，横坐标不变、纵坐标互为相反数 关于y轴对称：(x,y)→(−x,y)，纵坐标不变、横坐标互为相反数 关于原点对称：(x,y)→(−x,−y)，横、纵坐标都互为相反数 概念辨析例题：点P(3,−2)关于x轴对称的点的坐标是什么？ 答案：(3,2) 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数，所以对称点为(3,2)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有序数对 (a,b)两个有序数据确定一个位置 顺序不能交换 平面直角坐标系 点P(x,y)，x为横坐标、y为纵坐标 坐标轴上的点不属于任何象限 四个象限 一(+,+)、二(−,+)、三(−,−)、四(+,−) 先横坐标后纵坐标 距离 点到x轴距离=|y|，到y轴距离=|x| 两点距离用勾股定理求 轴对称 关于x轴(x,−y)、关于y轴(−x,y) 关于原点(−x,−y) ⚠️ 核心考点 【考点1】用有序数对与方向角确定位置（第1-11题） · 有序数对中两个数据的顺序不能交换，(a,b)与(b,a)表示不同位置 · 用方向角与距离确定位置：方向角+距离两个数据缺一不可 · 注意方位角的规范表示（北偏东、南偏西等） 1．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，甲、乙、丙三人在同一条直线上的三个点的位置上，米，米，下列说法正确的是（   ） A．丙在甲的北偏东方向的22米处 B．甲在丙的北偏东方向的22米处 C．丙在乙的北偏东方向的15米处 D．乙在甲的北偏东方向的7米处 2．（23-24七年级下·山东德州·期中）根据下列表述，能确定某地点其体位置的是（   ） A．， B．东风东路 C．北偏东 D．大地影院第2排 3．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，如果嘉嘉的座位10排7号可以用表示，则表示淇淇的座位为______． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，对应的有序数对为，有一个英文单词的字母依次对应有序数对，，，，则这个英文单词为______． 5．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）在图中，学校大门位于点，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点( )．操场位于点( )，在大门的( )偏北( )°方向上． 6．（26-27八年级下·全国·课后作业）在办公软件电子表格的界面上，每个单元格的位置都可以用字母和数字确定．如图，单元格中的内容分别为“姓名”“演讲”“绘画”“书法”． A B C D 1 姓名 演讲 绘画 书法 2 李明 88 92 90 3 张磊 86 94 82 4 王涛 78 90 86 5 刘强 90 87 91 (1)请分别指出单元格中的内容． (2)请分别指出王涛的演讲成绩和张磊的书法成绩所在的单元格． 7．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）2022年10月28日下午，习近平总书记来到河南省安阳市的殷墟遗址考察，观摩青铜器、玉器、甲骨文等出土文物，在车马坑展厅查看商代畜力车实物标本和道路遗迹，强调“殷墟我向往已久，这次来是想更深入地学习理解中华文明，古为今用，为更好建设中华民族现代文明提供借鉴”． 在习爷爷的感召下，六年级的同学们前去游览殷墟宫殿宗庙遗址，开始了“探寻殷商文明”的研学活动． (1)同学们从学校步行出发，路线如下图．请写出同学们从学校到殷墟宫殿宗庙遗址的行走方向和路程． (2)在参观殷墟碑林的过程中，同学们对甲骨文产生了浓厚的兴趣．大家比赛书写甲骨文字．规定时间内，赵文写了75个，李明写的比赵文多12%，李明写了多少个？ (3)在文字探秘实践活动中，参加汉字剧本杀活动的人数有81人．已知参加雕版印刷、竹简编联、汉字剧本杀活动的人数比为4：7：9．根据这些信息，请提出一个数学问题并解答． (4)午餐时间到了，餐厅提供了不同的套餐方案．六年级共180名学生就餐，选择哪种套餐更省钱？ 套餐A：每份套餐12元，买5份送1份． 套餐B：每份套餐10元，团体订餐（20人及以上）可享受九折优惠． (5)殷墟博物馆招募小导游志愿者，可以分别选择甲、乙、丙三组志愿者报名（每人限报1组）．同学们踊跃报名参加．下面两幅统计图反映了同学们报名参加活动的情况： ①报名小导游志愿者的一共有 人． ②甲组报名人数比乙组报名人数多 人． ③请根据信息，将条形统计图和扇形统计图补充完整． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）我们知道，如果已知一点相对于定点的距离和方向，那么这个点就被唯一确定了．这就是说，我们可用角度和距离来确定平面上点的相对位置． 在平面内取一个定点，叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任一点，用表示线段的长度，表示从到的角度，叫做点的极径，叫做点的极角，有序数对就叫做点的极坐标，这样就在平面上建立了极坐标系．极坐标为的点，可表示为．建立极坐标系后，给定和就可以在平面内唯一确定一点． 如图，如果点的位置为，点的位置为． (1)请表示点与点的位置； (2)若以为极点，为极轴，写出点、点和点的极坐标． 【考点2】实际问题中用坐标表示位置（第12-19题） · 建立合适的平面直角坐标系，选择合适的点为原点 · 根据题目描述确定各点的坐标，注意正方向与单位长度 · 由坐标描述位置或由位置写坐标，注意一一对应 9．（25-26九年级上·海南儋州·期末）如图，已知棋子“车”、“炮”的坐标分别为、，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图所示，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河南郑州·三模）如图，如果“马”在点，“仕”在点，则“帅”所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）小明同学在做许昌胖东来游玩攻略时，绘制了胖东来各店位置的示意图如图所示，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示时代广场店的点的坐标为，表示大众服饰店的点的坐标为，则表示天使城店的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”若以乙为坐标原点（三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同），甲、丙的坐标分别是 __________． 14．（25-26七年级下·北京·期末）小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图所示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为__________． 【考点3】点所在的象限与参数（第20-29题） · 由坐标符号判断象限：一(+,+)、二(−,+)、三(−,−)、四(+,−) · 已知点所在象限求参数：列不等式组解出参数的取值范围 · 绝对值、平方的非负性与象限判定结合时，先求参数再判断 15．（22-23七年级下·全国·课后作业）如果点A（a，b）在第三象限，那么a，b的符号是（    ） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，且，则点P的位置（   ） A．一定在x轴上 B．一定在y轴上 C．一定在坐标原点 D．一定在坐标轴上 17．（18-19七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点不经过第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若点的坐标满足条件，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）若点在坐标轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知平面直角坐标系中有一点． (1)当点M在第二象限，且其到x轴的距离为1时，求点M的坐标； (2)当点M在第三象限，且其到y轴的距离为3时，求点M的坐标． 21．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 【考点4】点的坐标与距离（第30-44题） · 点到x轴的距离=|纵坐标|，到y轴的距离=|横坐标| · 两点间的距离：构造直角三角形用勾股定理，或利用数轴上两点距离|a−b| · 结合全等三角形、三角形的高求点的坐标时，注意多解情况 22．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点A为圆心，的长为半径画弧交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·广西钦州·期中）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长为________． 25．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为__________． 26．（24-25七年级下·重庆·期末）若不同两点和到x轴的距离相等，则实数a的值为_______． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点在第三象限，距离轴4个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为___________． 28．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，若与全等点与点不重合，则点的坐标为__________． 29．（25-26七年级下·全国·单元测试）若第三象限内的点满足，，则点的坐标是________． 30．（23-24七年级下·广东汕头·期中）点C在x轴上，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为___________________． 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形在网格中的位置如下图所示（每个小正方形的边长都是1）．请建立适当的平面直角坐标系，并写出三角形的顶点A，B，C的坐标． 32．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 33．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 【考点5】轴对称与坐标变化（第45-59题） · 关于x轴对称：(x,y)→(x,−y)；关于y轴对称：(x,y)→(−x,y) · 关于原点对称：(x,y)→(−x,−y) · 画轴对称图形：先作出关键点的对称点，再顺次连接 34．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）若点与点关于轴对称，则 ______． 35．（24-25八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点重合，那么A，B两点之间的距离等于________． 36．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点在轴的负半轴上，，直线经过原点，点关于直线的对称点在轴的正半轴上，点关于直线的对称点为，则的度数为______；点的纵坐标为______． 37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 38．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） 39．（24-25八年级上·全国·期中）如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在点，，，…，中，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称……以此类推，如果点在第二象限，那么点在第________象限． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请回答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出的坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出的坐标． 42．（25-26八年级上·天津·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴成轴对称的三个顶点坐标分别为______，______，______； (2)写出点关于过且平行于轴的直线对称的点的坐标_____． 43．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出格点A、B的坐标； (2)将点A、B、C、D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，依次得到点E、F、G、H，用线段顺次连接起来，画出四边形，则四边形与四边形有怎样的位置关系？ (3)求四边形的面积． 44．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义；点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是_____； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长； 45．（24-25八年级上·福建厦门·期中）情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张老师结合七年级学习的坐标系的知识，将课本上的“饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上找一点C，使得的值最小．你能求出点C的坐标吗？ 【方法探究】 （1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，则此时的值最小；然后连接，利用列方程求出点C的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点C的坐标； 【类比推广】 （2）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址”问题放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，直线m经过点，且与x轴平行，分别在x轴和直线m上找点M，N，使得轴，且的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点M，N的坐标； 【拓展创新】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，C是的中点，交于点D，求点D的坐标． 【考点6】点坐标规律探索（第60-64题） · 观察横、纵坐标各自的变化规律，寻找周期或增量 · 按组、按次分析点的运动路径，用代数式表示第n个点的坐标 · 结合象限判断与对称知识验证规律的正确性 46．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 47．（23-24七年级下·山东临沂·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”， 在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点__________ 48．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，．若点的坐标为，点的坐标为___________． 【考点7】坐标系中的综合应用（第65-70题） · 描点连线构成图形，利用网格求三角形或四边形的面积（割补法） · 动点问题：用含参数的式子表示点的坐标，再列方程求解 · 对称与最短路径结合：利用对称点构造共线求最值 49．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 50．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为___________． 51．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)的面积为________； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 52．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · 掌握有序数对、方向角与距离等多种确定位置的方法 · 熟记象限符号规律与坐标轴上点的坐标特征 · 距离计算注意与坐标的转换，点到轴的距离用绝对值 · 轴对称变换熟记三种规则：关于x轴、y轴、原点 · 规律探索题注意观察周期与增量，用代数式表达第n个点 【作业1】．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，运动会上，同学们在操场列队，建立适当的平面直角坐标系后，小面所在位置的坐标为，小鹿所在位置的坐标为，则下列关于同学们坐标的说法正确的是（    ） A．小研所在位置的坐标为 B．小万所在位置的坐标为 C．小白所在位置的坐标为 D．小唯所在位置的坐标为 【作业2】．（24-25七年级下·天津·期中）如图，从点O出发，先向西走4步，再向南走3步到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【作业3】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，以点A为圆心的圆上有B、C两点． （1）用数对表示A和B的位置：A(_______，_______)，B(_______，_______)； （2）C点在A点的( )偏( )( )度方向，距离A点( )． 【作业7】．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点A的坐标为，表示叶片“顶部”的点B的坐标为，则图中点D的坐标是_______． 【作业8】．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，那么______． 【作业9】．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 【作业10】．（25-26八年级下·上海·期末）点关于y轴对称的点的坐标是____________． 【作业11】．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，、、、、、…，按此规律进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【作业12】．（20-21七年级下·四川德阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴上，如果，则点C的坐标是_____． 【作业13】．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)甲同学想到用平面直角坐标系，如图甲，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)乙同学想到用方位角和距离，如图乙，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【作业14】．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 【作业15】．（26-27八年级下·全国·课后作业）选择适当的方法，将图中图形的形状告诉你的同学，以便他们能画出相同的图形． 【作业16】．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系． (2)请画出关于轴对称的． (3)若为坐标原点，在轴上是否存在一点，使的面积等于8，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【作业17】．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【作业18】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中， (1)描出下列各点：； (2)在（1）的条件下，依次连接，求这个四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $