7.3平行线的证明（分层作业，12大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 7.3 平行线的证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 同位角相等，两直线平行 题型02 内错角相等，两直线平行 题型03 同旁内角互补两直线平行 题型04 平行公理的应用 题型05 平行公理推论的应用 题型06 两直线平行，同位角相等 题型07 两直线平行内错角相等 题型08 两直线平行同旁内角互补 题型09 根据平行线判定与性质证明 题型10 平行线的实际应用 B组 能力进阶 题型 垂直于同一条直线的两直线平行 C组 思维拔高 题型 巧添辅助线解决与平行线有关的问题 同位角相等，两直线平行题型01 1．如图，我们借助三角板和直尺画平行线，其中的数学依据是（    ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．以上结论都正确 【答案】A 【分析】由作图可得，再根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：由作图可得：，    ∴， ∴其依据是：同位角相等，两直线平行 故选A． 2．如图，已知，则_______∥_______，理由是_________________________ 【答案】 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 故答案为：；；同位角相等，两直线平行． 3．完成下面的解答．如图，，平分，． (1)与平行吗？请说明理由； 解：，理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （ ）， （ ）． (2)与的位置关系如何？为什么． 解：，理由如下： 平分（已知）， （ ）， 又（已知）， 即， （ ）， （ ）． 【答案】(1)；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 (2)角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定及角平分线的定义，熟练运用平行线的判定定理是解题的关键． （1）结合邻补角定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）结合角平分线定义求出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解 【详解】（1）解： ．理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行； （2）解：，理由如下： 平分（已知）， （角平分线定义）， 又．（已知）， 即， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 4．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分，，．求证：． 【答案】 证明：∵CD平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【分析】根据角平分线定义可求，然后利用等量代换可得，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得． 【详解】略 【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 5．（25-26七年级·河南驻马店·期中）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与纸张边缘交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使点的对应点落在上，打开纸张铺平（如图4），得到折痕； 小明说：“”．你认为小明的作法合理吗？请说明理由． (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角板沿直尺的边沿向上推至点； 第三步：如图7，过点画直线． 小婷说：“就是过点平行于的直线”．小婷这样做的依据是______． (3)小颖的作法：用一个三角板． 小颖说：“我只用一个三角板就能作出过点平行于的直线”． 请你利用图8提供的三角板，画出小颖作法的过程示意图．（如需分步画，就画几个图） 【答案】(1) 解：小明的作法合理，理由如下： ∵， ， ∵， ， ， ； (2)同位角相等，两直线平行 (3) 解：第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线； 第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线； 则就是经过点P且平行于的一条直线． 【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的定义，平行线的判定方法进行作答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行作答即可； （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线；第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线，即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行． （3）略 内错角相等，两直线平行题型02 1．如图，点分别在上，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，故此选项符合题意； C、∵与为邻补角， ∴， 不能判定，故此选项不符合题意； D、由，不能判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．结合如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式： ________，．    【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握内错角的概念是解题的关键． 3．如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握“内错角相等（或同位角相等、同旁内角互补），两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等），添加能判定的角的关系． 【详解】解：添加条件：， ∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．如图，平分，，图中哪两条直线平行？说明理由． 【答案】 ， 理由：平分， ． ， ， ． 【分析】先根据平分得出，再由得出，由此可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完成下面的证明． 已知：如图，在三角形中，于点D，E是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴__________（__________）． ∴__________， ∵（已知）， ∴__________． ∴（__________）． 【答案】；垂直的定义；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，余角的性质；由余角的性质得，由平行线的判定方法，即可求解；掌握平行线的判定，余角的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴， ∵（已知）， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；；内错角相等，两直线平行． 同旁内角互补两直线平行题型03 1．（24-25七年级下·广西钦州·月考）如图，添加下列条件能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由可判定，不能判定，故A不符合题意； B、由可判定，不能判定，故B不符合题意； C、由可判定，不能判定，故C不符合题意； D、由可判定，故D符合题意． 故选：D． 2．如图一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据______． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】，由同旁内角互补，两直线平行即可判定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查平行线判定定理，根据定理内容解题是关键． 3．如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是________．（请填写序号） 【答案】①③或③① 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】①，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； ②，无法判定，不满足要求； ③，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； 综上所述：①③符合要求； 故答案为：①③． 4．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且．求证：． 证明：平分 （ ①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （ ④）． 【答案】①角的平分线的定义；②；③；④同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线定义，平行线的判定，根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定，得出．解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法， 【详解】证明：平分 （角的平分线的定义①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （同旁内角互补，两直线平行④）． 平行公理的应用题型04 1．如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（    ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查的是平行公理．根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”解答． 【详解】解：过直线外一点画直线的平行线，只能画一条， 故选：B． 2．如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：当时，；时，， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 3．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系． 分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断． 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 4．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 5．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短， 如图： (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 如图； 【分析】（1）先画垂线段，由点到直线的距离，垂线段最短，即可求解； （2）先画平行线，由过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为， ， 理由是：点到直线的距离，垂线段最短； （2）过点P作直线，， 理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查了作垂线，平行线，点到直线的距离，平行公理的推论，正确掌握基本作图方法是解题关键． 平行公理推论的应用题型05 1．如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行． 故选：D． 2．如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是_____． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】 解：这样做的数学依据是平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 3．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1) 如图，直线即为所求． (2) 如图，直线即为所求． (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ， 故答案为：． 4．如图所示，已知直线，，，，，且，，则与平行吗？为什么？ 【答案】 解：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查平行线的判定，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据平行公理的推论即可得出结论．解题的关键是掌握平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】略 5．如图，两条直线a、b相交于点O．如果直线直线c，那么直线b能与直线c平行吗？为什么？ 【答案】 解：直线不能与直线平行，理由如下： 假设直线与直线平行， ∵直线直线c， ∴直线直线b，这与直线a、b相交于点O矛盾， ∴直线不与直线平行，即直线不能与直线平行． 【分析】假设直线与直线平行，那么根据平行公理的推论可知直线直线b，这与直线a、b相交于点O矛盾，据此可得结论． 【详解】略 两直线平行，同位角相等题型06 1．如图，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·月考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，解题关键是掌握两直线平行同位角相等． 根据两直线平行同位角相等求出，再利用平角的意义求出． 【详解】解：∵直尺的对边平行，， ∴， 又， ∴，解得：， 故选：C． 3．如图，，，，则________°． 【答案】55 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同位角相等成为解题的关键． 先根据平角的定义可得,然后根据两直线平行、同位角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55． 4．如图，点P，点Q分别在的内部和外部． (1)请按要求完成下列画图：过点P作，交于点D．过点Q作，垂足为E，直线交于点F． (2)在（1）的条件下，求证：． 请补充完整下面的证明过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴①______（垂直的定义）． ∵（已知）， ∴②_______（两直线平行，同位角相等）． ∴③______（④______）． ∴（⑤______）． 【答案】(1) 如图： (2)①；②；③；④等量代换；⑤垂直的定义． 【分析】本题主要考查平行线的性质，垂线的定义： （1）根据题意画出图形即可； （2）根据垂直的定义以及平行线的性质求解即可 【详解】（1）略 （2）略 5．将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使顶点C落在的边上，．经过点D画直线，交边于点M． (1)如图1，若． ①求 的度数； ②试说明：平分 ； (2)如图2，平分，交边于点F，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①； ②解：∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴平分． (2)解：；理由如下： 设如图 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）①根据，可得，再根据，即可得出结论；②计算出角度即可； （2）设，根据平行线的性质和角平分线定义把，表示出来即可； 【详解】（1）①∵， ∴°， ∵， ∴， ②略 （2）略 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 两直线平行内错角相等题型07 1．如图，已知直线，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解决此题的关键．直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】 解：∵直线，， ∴， 故选：A ． 2．如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】D 【分析】根据折叠的性质得到∠1=∠5，∠3=∠4，根据平行线的性质得到∠2=∠3，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，标注角度， 由折叠的性质得：∠5=∠1=55°，∠3=∠4， ∴∠3=∠4=(180°-∠1-∠5)=35°， ∵长方形的对边平行， ∴∠2=∠3=35°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记各性质定理是解题的关键． 3．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，平分，，如果，那么___________ 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可求出，最后再根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC的度数. 【答案】∠ADC=118° 【分析】根据两直线平行，内错角相等先求出∠ADB=∠2，再与∠1相加即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠2=40°， ∴∠ADC=∠ADB+∠1=40°+78°=118°． 【点睛】本题利用两直线平行，内错角相等的性质，需要熟练掌握． 5．（25-26七年级上·吉林·期末）【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？ 【问题探究】已知的两边和的两边分别平行． （1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程； （2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______． 【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______． 【答案】 问题探究：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）相等，互补； 结论应用：平行或垂直 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 问题探究：（1）由两直线平行，内错角相等得出，，从而即可得证； （2）由两直线平行，内错角相等得出，由两直线平行，同旁内角互补得出，从而即可得出结果； （3）根据（1）（2）即可得出结论； 结论应用：分两种情况，结合角平分线的定义，逐项计算即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图：即为所求， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补； 结论应用：如图，当时，为的角平分线，为的角平分线， ， 令与相交于点，作平分， ∵为的角平分线，为的角平分线，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图，当时，为的角平分线，为的角平分线， ， 令与相交于点，作平分，令交于点， ∵为的角平分线，为的角平分线，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是平行或垂直． 两直线平行同旁内角互补题型08 1．如图，一个弯形管道的拐角，管道所在直线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质易求． 【详解】解：， ． 又， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 2．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·期末）如图，直线、被直线所截，若，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4．如图，，，，和各是多少度？它们相等吗？ 【答案】和都是120度，它们相等 【分析】根据平行线的性质求出和的度数，然后判断是否相等即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴， ∴． ∴和都是120度，它们相等． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 5．（24-25七年级·山东聊城·月考）如图，直线分别与直线相交，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及对顶角、平行线的判定与性质等知识，先由对顶角定义得到，，再由同位角相等两直线平行得到，最后根据两直线平行同旁内角互补即可得到答案．熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，， ， ， 则， ． 根据平行线判定与性质证明题型09 1．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 2．把下面的推理过程补充完整． 如图，在四边形中，点E，F分别在和上，已知，，求证：． 证明：（已知） _____．（_____） （已知） _____（_____） （_____） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行 【分析】根据两直线平行内错角相等和同位角相等两直线平行，据此解答即可． 【详解】证明：（已知） ．（两直线平行，内错角相等） （已知） （等式的基本事实） （同位角相等，两直线平行） 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）完成下面的证明过程，并在括号内填写依据． 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：，（已知） _______ （②_______） （③_______） 又 （④_______） （⑤_______） 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】首先根据同角的补角相等这一性质，得出与另一角的关系，进而根据内错角相等，两直线平行判定与的位置关系；再依据两直线平行，同位角相等得到与另一角的关系；然后结合已知条件，通过等量代换得出与另一角的关系；最后根据同位角相等，两直线平行来证明与的位置关系．本题主要考查了平行线的判定定理与性质定理，以及同角的补角相等这一性质和等量代换的思想．熟练掌握平行线的判定与性质，并能灵活运用它们进行几何证明是解题的关键． 【详解】解：，（已知）， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 4．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】 解：． 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找与的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得，则；根据平行线的性质，可得，结合已知条件，得，根据平行线的判定，得，从而求得结论． 【详解】略 5．如图，已知：，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：，， ， ； (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由对顶角相等得，结合，可得，根据同位角相等，两直线平行，可得； （2）先证，得出，由得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 平行线的实际应用题型10 1．如图，有一条公路，经过两次拐弯后，和原来的方向相同．第一次拐弯形成的角，第二次拐弯形成的角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：C． 2．（24-25下·山东青岛·期中）如图，之间是一座山，一条铁路要通过两点，为此需要在之间修一条笔直的隧道，在地测得铁路走向是北偏东，那么在地按南偏西_____的方向施工，就能保证铁路准确接通． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等）和方位角．解题的关键在于识别出两地南北方向平行，利用平行线内错角相等确定地施工方位角． 【详解】如图， 解：因为在地测得铁路的走向是北偏东，即， 所以在地按南偏西的方向施工，才能保证铁路准确接通， 即． 故答案为：． 3．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在“绿色环保、低碳生活”的理念下，健康骑行越来越受到大家的喜欢，下图为某款自行车及其示意图，通过测量得到，，，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 平行，理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先判定，求得，推出，即可得到． 【详解】略 5．（24-25七年级下·河南新乡·期末）综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等．如图1，一束光线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC，此时 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置，若，求证：． (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线反射后的光线为，且．若一入射光线（C是入射光线与曲面镜的交点）反射后的光线为，且∠，直接写出的度数． 【答案】(1) 解：；理由如下： ， ， ， ， ； (2) 证明：， ， ， ， ∴； (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据，得出，从而得出，最后根据平行线的判定方法，求出结果即可； （2）根据，求出，根据平行线的判定得出答案即可； （3）分两种情况：当点在点下方时，当点在点上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点下方时， 此时； ②如图2，当点在点上方时， 此时． 综上所述，的度数为或． 垂直于同一条直线的两直线平行题型 1．在同一平面上，有三条直线，如果，则直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行进行求解即可． 【详解】解：∵在同一平面上，有三条直线，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行是解题的关键． 2．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 【答案】B 【详解】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答． 【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意， B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意， C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意， D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理及性质、垂直的性质等知识点，灵活运用相关的性质定理是解答本题的关键． 3．（25-26七年级下·福建·期中）小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 【答案】平行 【分析】先根据已知条件梳理直线间平行、垂直的循环规律，再判断与的位置关系． 【详解】解：已知，且在同一平面， 依次推导： ， ， ， ， ， ， ， 由此可得规律：每4条直线为一个循环周期， 即：， 计算：，余数为0，此余数规律与的情况一致，故． 4．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：________； (2)用图形语言表示该命题如图所示，请用符号语言表示该命题，补全下列填空． 已知：，________．求证：________． 【答案】(1)如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)，． 【分析】本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键． （1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）解：，， 证明如下： ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1) 点即为所求． (2) 解：如图2，点即为所求． (3)平行 【分析】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值 （2）略 （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 巧添辅助线解决与平行线有关的问题题型 1．（25-26七年级下·山东滨州·期中）“抖空竹”，这是一项极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小颖抖空竹的瞬间，小明将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，，E为平行线外一点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作的平行线，进而可得，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点E作,则． ， ， ． ， ， ． 2．如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（    ） A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1) 【答案】C 【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，作，，， ∵， ∴，，，…… ∴，…… ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明． 3．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则______（用含，的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，根据平行线的判定与性质探究角之间的关系是解题的关键． 设，由平分，得，，然后分当点在的右侧，且在上方时，当点在的左侧时，且在上方时，当点在直线的下方时三种情况分析即可． 【详解】设，因为平分，所以，，根据小明的操作有以下三种情况： 当点在的右侧，且在上方时，过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以，， 又因为， 所以， 同理：， 因为， 所以， 因为，，， 所以，， 得：，代入得， 所以； 当点在的左侧时，且在上方时，如图所示： 同理：，， 因为， 所以，， 得：，代入得：； 当点在直线的下方时，过点作，如图所示： 同理：，即， 因为，， 所以，，， 因为， 所以，将代入得， 所以， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 4．如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质的应用，平行公理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． （1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可． （2）首先由（1），可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得，即可判断出． （3）首先由（1），可得，；然后根据，，推得，即可判断出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． （2）如图2，    由（1），可得，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即∶， ∴． （3）由（1），可得，， ∵，， ∴ ， ∴． 5．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）解：，理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 7.3 平行线的证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 同位角相等，两直线平行 题型02 内错角相等，两直线平行 题型03 同旁内角互补两直线平行 题型04 平行公理的应用 题型05 平行公理推论的应用 题型06 两直线平行，同位角相等 题型07 两直线平行内错角相等 题型08 两直线平行同旁内角互补 题型09 根据平行线判定与性质证明 题型10 平行线的实际应用 B组 能力进阶 题型 垂直于同一条直线的两直线平行 C组 思维拔高 题型 巧添辅助线解决与平行线有关的问题 同位角相等，两直线平行题型01 1．如图，我们借助三角板和直尺画平行线，其中的数学依据是（    ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．以上结论都正确 2．如图，已知，则_______∥_______，理由是_________________________ 3．完成下面的解答．如图，，平分，． (1)与平行吗？请说明理由； 解：，理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （ ）， （ ）． (2)与的位置关系如何？为什么． 解：，理由如下： 平分（已知）， （ ）， 又（已知）， 即， （ ）， （ ）． 4．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分，，．求证：． 5．（25-26七年级·河南驻马店·期中）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与纸张边缘交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使点的对应点落在上，打开纸张铺平（如图4），得到折痕； 小明说：“”．你认为小明的作法合理吗？请说明理由． (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角板沿直尺的边沿向上推至点； 第三步：如图7，过点画直线． 小婷说：“就是过点平行于的直线”．小婷这样做的依据是______． (3)小颖的作法：用一个三角板． 小颖说：“我只用一个三角板就能作出过点平行于的直线”． 请你利用图8提供的三角板，画出小颖作法的过程示意图．（如需分步画，就画几个图） 内错角相等，两直线平行题型02 1．如图，点分别在上，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．结合如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式： ________，．    3．如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 4．如图，平分，，图中哪两条直线平行？说明理由． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完成下面的证明． 已知：如图，在三角形中，于点D，E是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴__________（__________）． ∴__________， ∵（已知）， ∴__________． ∴（__________）． 同旁内角互补两直线平行题型03 1．（24-25七年级下·广西钦州·月考）如图，添加下列条件能够判断的是（   ） A． B． C． D． 2．如图一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据______． 3．如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是________．（请填写序号） 4．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且．求证：． 证明：平分 （ ①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （ ④）． 平行公理的应用题型04 1．如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（    ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 4．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 5．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 平行公理推论的应用题型05 1．如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是_____． 3．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 4．如图所示，已知直线，，，，，且，，则与平行吗？为什么？ 5．如图，两条直线a、b相交于点O．如果直线直线c，那么直线b能与直线c平行吗？为什么？ 两直线平行，同位角相等题型06 1．如图，，，则（      ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·月考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，则________°． 4．如图，点P，点Q分别在的内部和外部． (1)请按要求完成下列画图：过点P作，交于点D．过点Q作，垂足为E，直线交于点F． (2)在（1）的条件下，求证：． 请补充完整下面的证明过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴①______（垂直的定义）． ∵（已知）， ∴②_______（两直线平行，同位角相等）． ∴③______（④______）． ∴（⑤______）． 5．将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使顶点C落在的边上，．经过点D画直线，交边于点M． (1)如图1，若． ①求 的度数； ②试说明：平分 ； (2)如图2，平分，交边于点F，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 两直线平行内错角相等题型07 1．如图，已知直线，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，平分，，如果，那么___________ 4．如图所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC的度数. 5．（25-26七年级上·吉林·期末）【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？ 【问题探究】已知的两边和的两边分别平行． （1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程； （2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______． 【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______． 两直线平行同旁内角互补题型08 1．如图，一个弯形管道的拐角，管道所在直线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·期末）如图，直线、被直线所截，若，，则___________． 4．如图，，，，和各是多少度？它们相等吗？ 5．（24-25七年级·山东聊城·月考）如图，直线分别与直线相交，，，，求的度数． 根据平行线判定与性质证明题型09 1．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．把下面的推理过程补充完整． 如图，在四边形中，点E，F分别在和上，已知，，求证：． 证明：（已知） _____．（_____） （已知） _____（_____） （_____） 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）完成下面的证明过程，并在括号内填写依据． 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：，（已知） _______ （②_______） （③_______） 又 （④_______） （⑤_______） 4．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 5．如图，已知：，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 平行线的实际应用题型10 1．如图，有一条公路，经过两次拐弯后，和原来的方向相同．第一次拐弯形成的角，第二次拐弯形成的角度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25下·山东青岛·期中）如图，之间是一座山，一条铁路要通过两点，为此需要在之间修一条笔直的隧道，在地测得铁路走向是北偏东，那么在地按南偏西_____的方向施工，就能保证铁路准确接通． 3．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 4．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在“绿色环保、低碳生活”的理念下，健康骑行越来越受到大家的喜欢，下图为某款自行车及其示意图，通过测量得到，，，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 5．（24-25七年级下·河南新乡·期末）综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等．如图1，一束光线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC，此时 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置，若，求证：． (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线反射后的光线为，且．若一入射光线（C是入射光线与曲面镜的交点）反射后的光线为，且∠，直接写出的度数． 垂直于同一条直线的两直线平行题型 1．在同一平面上，有三条直线，如果，则直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．以上都不对 2．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 3．（25-26七年级下·福建·期中）小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 4．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：________； (2)用图形语言表示该命题如图所示，请用符号语言表示该命题，补全下列填空． 已知：，________．求证：________． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 巧添辅助线解决与平行线有关的问题题型 1．（25-26七年级下·山东滨州·期中）“抖空竹”，这是一项极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小颖抖空竹的瞬间，小明将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，，E为平行线外一点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（    ） A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1) 3．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则______（用含，的代数式表示）． 4．如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 5．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $