7.3 平行线的证明（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 7.3 平行线的证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 平行线的条件 题型02 平行线的性质 题型03 平行线与三角板 题型04 平行与折叠 题型05 平行与分类讨论问题 题型06 平行线的综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 平行线的条件题型01 一、单选题 1．下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（     ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向右拐，第二次向右拐 3．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，有下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 5．如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下列条件中，能判定直线的是（     ） A． B． C． D． 6．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 7．如图，下列推理错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 8．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④． 能判断的有______个． 9．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 三、解答题 10．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 11．完成下面的证明：如图，中，点在上，于点，点在上，与相交于点，且．求证：． 证明：（已知）， 又（平角的定义）， ________________，（______________） （________________）， ________（________________）． 又（已知）， （________________）， ________（等式的基本事实）， （________________）． 12．如图，，，，试说明． 证明：∵，（已知） ∴________________（________________） ∴________________（________________） ∵（________________） ∴________________（________________） ∴（________________）（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴（________________）． 13．如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 14．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 平行线的性质题型02 一、单选题 1．如图，，和的对应边分别是和，则下列与相等的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线交于点，交于点，过点的直线交于点．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，，垂足为A，则下列选项中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．自行车结构示意图如图所示，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．伴随人工智能与机器人技术高速迭代，具身机器人现已具备高精度全身肢体协同能力，在弓步姿态下如图1，仍能够保证手臂与大腿精准平行，图2是其示意图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，，，，则________°． 8．如图，平行线a，b被直线c所截，a与c相交于点O，于点O，，则的度数为__________． 9．如图，，，若是的平分线，，则______． 10．如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为___________⁠． 11．如图，直线，，，则的度数为______． 12．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 13．如图，．若，则的度数为________． 三、解答题 14．如图，直线、被直线所截，，连接，点在直线上，点在直线上，连接，点在线段上，连接，． (1)试说明：； (2)与相等吗？为什么？ 15．如图，直线两两相交，交点分别为点，，点在直线上，过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，的度数是否发生改变？请说明理由． 16．如图，某款露营椅展开时，前支架垂直于后支架，且与靠背平行，扶手与底架都平行于地面．经厂家测试，当时，人体体感最为舒适，此时扶手与靠背所形成的是多少度？请你结合所学知识，补全下列解答过程． 解：∵（已知）， ∴________°（垂直定义）． ∵________（已知）， ∴________（________________________）． ∵， ∴． ∵，（已知）， ∴________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴________（________________________）． 17．已知：如图，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． 18．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 平行线与三角板题型03 一、单选题 1．如图摆放一副三角尺，，点E在上，，，则（   ） A． B． C． D． 2．将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 5．将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，，将一副三角板如图放置，使得点恰巧落在直线上，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 8．将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（     ） A． B． C． D． 9．将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点，在直线上，，，，点，，，在同一条直线上，当时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 12．已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 13．一副直角三角板先按如图1所示的方式叠放，再让含的三角板固定不动，然后将含的三角板绕顶点按顺时针方向旋转半周． （1）当时（如图），的度数是_____． （2）当平行于三角板的其他边时，的度数是_____． 14．在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 三、解答题 15．按要求解答下列问题： (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请判断直线与是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的关系式不用说明理由． 16．如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：________°，________°； (2)如图，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时 ①如果，求的值； ②若恰好是的倍，求的值． 平行与折叠题型04 一、单选题 1．如图，为一长方形纸带，，将沿折叠，，两点分别与、对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 3．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置．如果，则___________．      4．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为_____． 三、解答题 5．如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 6．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 平行与分类讨论问题题型05 一、单选题 1．已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 二、填空题 2．与的两边分别平行，，则________． 三、解答题 3．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展探究活动：探究两边分别平行的两个角的数量关系．同学们画出如下图形：的两边分别与的两边平行，即，． 【探索发现】 (1)在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向． 请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． 【归纳总结】 (2)根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是__________． 【迁移应用】 (3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考以下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数． 平行线的综合应用题型06 一、解答题 1．按要求解答下列问题： (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请判断直线与是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的关系式不用说明理由． 2．自行车的尾灯（如图）自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果是利用镜面反射光线的原理． 问题探究：如图1，已知为镜面，为入射光线，为反射光线，从入射点O作一条垂直于镜面的射线．经过探究发现有． (1)如图2，，是两个互相垂直的平面镜，． ①若，则________； ②试判断入射光线和反射光线是否平行，并说明理由； (2)如图3，数学小组模拟了当后面汽车的灯光照射在前面自行车尾灯上时的光线图，由于驾驶员的视点G会高于反射点F，所以反射光线会与水平视线成一定角度，若，请探究与满足的数量关系，并写出探究过程． 3．【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等．如：在图1中，． 【深入探究】某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，围绕“两个平面镜平行或垂直放置，入射光线经过两次反射后得到反射光线，与是否平行？”这一问题进行了探究． (1)如图1，当平面镜与平行时，与平行． 完成下列说明过程中的填空； 理由如下：（已知）， （__________）， 又，（光的反射原理）， （等量代换）， （等式的性质）， 即：__________， （__________）． (2)如图2，当平面镜与互相垂直时，在图中画出反射光线的大致位置，判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由．（注：三角形的内角和为） 【实践应用】 (3)如图3，在一口井上按如图方式放置平面镜，入射光线经过镜面反射后得到反射光线，与水平线的夹角为，请直接写出反射光线正好垂直照射到井底水面上时的度数． 4．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 【操作探究】 (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)当三角板绕A转到图2的位置时，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 5．数学兴趣小组的同学们以“一副三角板”为工具开展了数学活动． 【问题探究】一副三角板（）按照如图1位置摆放，点C与点E重合，两条斜边所在的直线相交于点P．    (1)直角边所在的两条直线与的位置关系是 ，并说明理由． (2)求此时的度数． 下面是亮亮同学的部分解题过程，请你补充完整． 解：过点P作，如图2所示 …… (3)【类比迁移】将等腰直角三角板绕点A旋转，直线与直线相交于点N，与直线相交于点P． ①当等腰直角三角板绕点A旋转至如图3位置时，请你补全图形，写出与的数量关系，并说明理由． ②当等腰直角三角板绕点A旋转至时，直接写出∠EAB的度数． 一、单选题 1．小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件，不能判断的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，有下列条件能判断直线的有（    ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边的有（    ） ①；            ②； ③；        ④； ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，下列能判定的条件有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、解答题 7．如图，，，，求证：； 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内或横线上注明条件或理由． 证明：（已知）， （① ）， （② ）， ③ （④ ）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     ⑤ （⑥ ）， （已知）； ， （⑦ ）， （⑧ ）． 8．根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点F，．求证：． 证明：∵ ∴（ ）， ∴ ∵平分（已知）， ∴（ ）， ∴ ∵， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴ 9．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，，，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 10．如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 11．如图，直线分别交、于点M、N，点E、L分别在、上，点F、H是直线、内的两点，连接，，延长交于点．求证：． 12．如图1，点为直线上一点，射线交直线于点． (1)求证：； (2)如图2，点为内部，右侧一点，点在上，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的度数． 13．（1）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．请直接写出直线与的位置关系______； （2）如图2，动点P在直线，之间，且在直线左侧．连接，，探究，．之间的数量关系． （3）如图3，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点Q．设，．α与β有何数量关系？写明过程． 14．数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； (2)小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 15．在平面直角坐标系中，四边形的顶点、分别在轴和轴上，顶点在第一象限，． (1)如图1，若点，，点是轴上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，点是轴上点左边的一点，连接，和的角平分线交于点，求证：； (3)如图3，点是轴上点左边的一点，点是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点，求的值． 一、填空题 1．如图，将三角形纸片的折叠，使点的对应点落在上，折痕为，再将折叠，使点的对应点落在上，折痕为，此时得，若，则的度数为_________． 二、解答题 2．已知：直线分别交直线于点M、N，并且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平分，在上取一点Q，连接，延长交于点，若，在上取一点，连接，且，过点G作，连接交于点P，当三角形面积为90，时，求的长度． 3．光的反射定律是由法国土木工程兼物理学家菲涅耳提出．他发现光的反射定律为：反射光线与入射光线与法线在同一平面上（法线垂直于平面）；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；如图反射角等于入射角． (1)如图1，与是互相垂直的两面平面镜，一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知三角形内角和等于．求证：； (2)如图2，与是两面平面镜，其中于点A，于点C，交于点B，交于点D；一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知交于点M，且，交于点H，若，求的度数； (3)如图3，已知，点E，M在线段上，点F，N在线段上，交于点G，且，，，射线绕着点M顺时针旋转后停止，旋转速度为秒，同时绕点G逆时针旋转，旋转速度为秒，当射线停止旋转时，也立即停止旋转；当所在直线与的边平行时，请直接写出对应时间t的所有值． 4．数学兴趣小组的同学们以“一副三角板”为工具开展了数学活动． 【问题探究】一副三角板（）按照如图1位置摆放，点C与点E重合，两条斜边所在的直线相交于点P．    (1)直角边所在的两条直线与的位置关系是 ，并说明理由． (2)求此时的度数． 下面是亮亮同学的部分解题过程，请你补充完整． 解：过点P作，如图2所示 …… (3)【类比迁移】将等腰直角三角板绕点A旋转，直线与直线相交于点N，与直线相交于点P． ①当等腰直角三角板绕点A旋转至如图3位置时，请你补全图形，写出与的数量关系，并说明理由． ②当等腰直角三角板绕点A旋转至时，直接写出∠EAB的度数． 5．学习平行线判定后，我们以“过直线外一点作已知直线平行线”为主题开展探究． (1)方法一：用尺规作图的方法画平行线 ①甲同学画法：过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． ②乙同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． (2)方法二：用折纸的方法画平行线 ①如图1，甲在纸上画直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使点C对应点落在直线上（如图2），记折痕与交点为A，将纸片展开铺平；再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时就是的平行线．请写出过程予以证明； ②拓展延伸：乙同学在甲同学折纸基础上补充了条件：在折痕上任取一点M，连接、．若记为，为，为，请探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 7.3 平行线的证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 平行线的条件 题型02 平行线的性质 题型03 平行线与三角板 题型04 平行与折叠 题型05 平行与分类讨论问题 题型06 平行线的综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 平行线的条件题型01 一、单选题 1．下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项，与是直线、被直线所截形成的内错角，由可得，不能得到，故A不符合题意； B项，与不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，无法判定，故B不符合题意； C项，的对顶角与处于同位角的位置，由及对顶角相等可得同位角相等，进而得到，故C符合题意； D项，与是直线和被直线所截形成的同旁内角，由无法判定，故D不符合题意. 2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（     ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向右拐，第二次向右拐 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，结合图形即可求得答案． 【详解】解：A、如图，，， ∴， ∴， ∴与不平行，故该选项不符合题意； B、如图，，， ∴， ∴， ∴，但方向相反，该选项不符合题意； C、如图，，， ∴， ∴，故该选项符合题意； D、如图，，，， ∴， ∴与不平行，故该选项不符合题意． 3．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， ， 故本选项不符合题意， 选项B：， ， 故本选项不符合题意， 选项C：， ， 故本选项符合题意， 选项D：， ， 故本选项不符合题意． 4．如图，有下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：①∵，∴，故不符合题意； ②∵，∴，故符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故不符合题意． 5．如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下列条件中，能判定直线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．能判定直线，故该选项符合题意， B．不能判定直线，故该选项不符合题意， C．不能判定直线，故该选项不符合题意， D．不能判定直线，故该选项不符合题意． 6．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导时与的数量关系，再逐项验证． 【详解】解：，， ， 点在直线上， ， ， 要使，则需要，即； A、若，，满足，，不符合题意； B、若，即，，不符合题意； C、若，则，整理得，，不符合题意； D、若，无法推出（仅当 时成立），不能判定，符合题意． 7．如图，下列推理错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，不能推出，故此选项符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意． 二、填空题 8．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④． 能判断的有______个． 【答案】3 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可． 【详解】解：①如果，那么，故①错误； ②，那么；内错角相等，两直线平行，故②正确； ③ ，那么；同位角相等，两直线平行，故③正确； ④ ，那么；同旁内角互补，两直线平行，故④正确． 即正确的有②③④，共3个． 9．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④． 三、解答题 10．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先由，利用同位角相等，两直线平行得到；再结合已知，根据平行公理的推论得到；最后由两直线平行，内错角相等证得． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 11．完成下面的证明：如图，中，点在上，于点，点在上，与相交于点，且．求证：． 证明：（已知）， 又（平角的定义）， ________________，（______________） （________________）， ________（________________）． 又（已知）， （________________）， ________（等式的基本事实）， （________________）． 【答案】；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；垂直的定义；；垂直的定义 【详解】略 12．如图，，，，试说明． 证明：∵，（已知） ∴________________（________________） ∴________________（________________） ∵（________________） ∴________________（________________） ∴（________________）（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴（________________）． 【答案】；垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；已知；；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据垂直的定义可得，进而根据同位角相等，两直线平行得到，根据已知条件，利用内错角相等，两直线平行得到，继而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得到，根据两直线平行，同位角相等得到． 【详解】略． 13．如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义以及角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 14．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据“同位角相等，两直线平行”得，继而得到，进一步推出，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论； （2）根据垂直的定义得，结合已知得，再利用角的和差可得答案、 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 平行线的性质题型02 一、单选题 1．如图，，和的对应边分别是和，则下列与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形全等的性质和平行线的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴． 2．如图，直线，直线交于点，交于点，过点的直线交于点．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用两直线平行同旁内角互补，结合题意得到，再通过平角定义求出，最后依据平行线性质推出的度数． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，，，垂足为A，则下列选项中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由垂直定义得出 ，结合 求出 ，由，可判断A；由A正确可得 ，即得与相等，可判断B、C；最后判断无法证得 ，可判断D． 【详解】解：， ， ， ， ， ，选项 A 正确； ∴， ∴ ，选项 B 正确，选项 C 正确；　　 现有条件无法证明 ，选项 D 错误． 故答案为 D． 4．自行车结构示意图如图所示，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．伴随人工智能与机器人技术高速迭代，具身机器人现已具备高精度全身肢体协同能力，在弓步姿态下如图1，仍能够保证手臂与大腿精准平行，图2是其示意图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得． 6．如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义表示出与的数量关系，再利用邻补角的性质及角平分线定义表示出，通过代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 分别平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． 二、填空题 7．如图，，，，则________°． 【答案】 【分析】过点B作再根据平行线的性质求出，再求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】解：过点B作 ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 8．如图，平行线a，b被直线c所截，a与c相交于点O，于点O，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求出相关角的度数，再根据垂直的定义，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，设直线上方、直线右侧的角为 ， ， ． 9．如图，，，若是的平分线，，则______． 【答案】 【详解】解：，， ， 平分， ， 又， ， ． 10．如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为___________⁠． 【答案】/度 【分析】由两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 11．如图，直线，，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据两直线平行，同位角相等得到， ， 即可求出答案． 【详解】解：对图形进行角标注，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 13．如图，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握垂直于同一条直线的两条直线平行，以及平行线的同位角相等的性质是解题的关键． 先根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ ． 故答案为：70°． 三、解答题 14．如图，直线、被直线所截，，连接，点在直线上，点在直线上，连接，点在线段上，连接，． (1)试说明：； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由等角的补角相等得出，即可得出． （2）由平行线的性质得出，，等量代换可得出． 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，直线两两相交，交点分别为点，，点在直线上，过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，的度数是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：的度数发生了改变，， 理由如下： ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数； （2）根据两直线平行，同位角相等，可得：，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）略 16．如图，某款露营椅展开时，前支架垂直于后支架，且与靠背平行，扶手与底架都平行于地面．经厂家测试，当时，人体体感最为舒适，此时扶手与靠背所形成的是多少度？请你结合所学知识，补全下列解答过程． 解：∵（已知）， ∴________°（垂直定义）． ∵________（已知）， ∴________（________________________）． ∵， ∴． ∵，（已知）， ∴________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴________（________________________）． 【答案】90；；；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据已知条件得出，再由平行线的性质结合题意可得出． 【详解】略 17．已知：如图，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)，理由如下： ∵，且， ∴， ∴． (2)由（1）得，， ， 又∵平分， ∴， ∴． 【分析】（1）根据与是互为邻补角，因此．结合已知，可推得，根据平行线的判定定理即可判断与的位置关系． （2）由（1）得，，．结合平分的条件，可得，通过等量代换即可完成求证． 【详解】（1）略． （2）略． 18．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和同旁内角互补两直线平行，即可推导出结论； （2）根据两直线平行同位角相等和角平分线的定义可求得，然后根据两直线平行同旁内角互补，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴． 平行线与三角板题型03 一、单选题 1．如图摆放一副三角尺，，点E在上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质．根据三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，问题随之得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 2．将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出． 【详解】解：如图，∵    ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 3．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，求出的度数，再用的度数减去的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵为等腰三角形， ， ∴, ∵， ， ∴, ∴, ∵， ∴． 4．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导时与的数量关系，再逐项验证． 【详解】解：，， ， 点在直线上， ， ， 要使，则需要，即； A、若，，满足，，不符合题意； B、若，即，，不符合题意； C、若，则，整理得，，不符合题意； D、若，无法推出（仅当 时成立），不能判定，符合题意． 5．将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板角的度数结合，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 6．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据，可得，据此可判断①；根据三角形内角和定理可得，再由平角的定义可得，则可得到，再根据，可得，据此可判断③；过点E作，则，由平行线的性质可得，则，即可得到，同理可得，则，据此可判断④；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解；∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故结论中正确的有①③④． 7．如图，，将一副三角板如图放置，使得点恰巧落在直线上，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，再结合三角板的内角，通过角度之差求出． 【详解】解：， ， 由三角板可知：， ． 8．将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角板的度数求得，过点作，分别表示出，进而可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 过点作， ∴， ∴ ∴ 9．将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平角定义和两直线平行内错角相等结合题目条件求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ． 10．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点，在直线上，，，，点，，，在同一条直线上，当时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出和的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， 是的外角， ． 故选：C． 二、填空题 11．小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 【答案】 【分析】设交于点G，根据平行线的性质可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 【答案】75 【分析】分别过点、作的平行线、，设，首先利用三角形内角和定理求出的度数，进而用含的代数式表示出，接着根据平分将用表示出来，利用“平行于同一条直线的两条直线平行”构建起平行关系网，随后利用平行线的性质及的条件，逐步推导出与关于的表达式，最后结合角平分线的性质求出目标角． 【详解】解：如图，分别过点，点作的平行线，， ， 设 ， 平分 ， ， 平分 ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理与角平分线的定义，解决此类问题的通法是“过拐点作平行线”，这一辅助线能将分散在不同位置的角联系起来，“设而不求”（设）则是处理此类角度计算题的高效技巧． 13．一副直角三角板先按如图1所示的方式叠放，再让含的三角板固定不动，然后将含的三角板绕顶点按顺时针方向旋转半周． （1）当时（如图），的度数是_____． （2）当平行于三角板的其他边时，的度数是_____． 【答案】 或 【分析】（1）设与交于点，根据平行线的性质得出，进而得出点在上，根据角的和差关系即可得出答案； （2）分和两种情况，利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点与点重合，即点在上， ∴． （2）如图，当时，则， ∴； 如图，当时，则； 综上所述：的度数是或． 14．在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】（1）过点F作，则；由邻补角互补求出的度数，进而求出的度数，再证明，由平行线的性质即可得到答案； （2）可证明，据此可判断①；由（1）可判断②；求出的度数，进而求出的度数，据此可判断③． 【详解】解：（1）如图所示，过点F作， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由（1）可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 三、解答题 15．按要求解答下列问题： (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请判断直线与是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的关系式不用说明理由． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ． ， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，所以可得，进而完成解答； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由略． （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：________°，________°； (2)如图，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时 ①如果，求的值； ②若恰好是的倍，求的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用平行线的性质、含的三角板的角度进行计算即可； （2）①利用平行线的性质、含的三角板的角度计算以及平角的定义进行计算即可； 先求得，，再根据题意列出方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：是含的直角三角板， ，， ， ， ，； （2）解：①∵，， ∴ ， ∴ ∵， ， ∴； ②， ∴， ∴,又， ∴ 恰好是的倍，， ， 解得． 平行与折叠题型04 一、单选题 1．如图，为一长方形纸带，，将沿折叠，，两点分别与、对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质，得到和相等，作为第一个关键关系．因为，根据平行线的内错角相等，得到与相等．因为是直线，平角为，所以，结合已知的，联立方程求解． 【详解】解：根据折叠的性质：； ∵长方形中， ∴， 因此． ∵ ， 代入得：， ∵， ∴联立两个方程：， 解得， 因此． 二、填空题 2．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据平行的性质得到，再根据折叠得到即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴． 3．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置．如果，则___________．      【答案】/66度 【分析】首先根据折叠可得，再求出，然后根据平行线的性质可得． 【详解】解：根据折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，轴对称的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 4．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得，，由对顶角相等得，由直角三角形两锐角互余得，则，再根据列方程求解即可． 【详解】解：如图， ， ， 又∵， ∴， ， 又， ， 又∵， ∴， 解得． 三、解答题 5．如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：． 理由如下：∵， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了长方形折叠．熟练掌握长方形对边平行的性质，折叠性质，是解题的关键． （1）根据，得，根据，得，即得． （2）根据，得，由折叠可得，． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴． 6．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）本题涉及平行线的性质以及折叠的性质．利用得到角的关系，再结合折叠前后角相等的性质来求解的度数． （2）①根据折叠性质和邻补角的定义求出相关角的度数，再利用平角的度数为来计算的度数．②设未知数，依据折叠性质、平行线性质以及平角定义建立方程，从而求解的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴折叠可知． 又∵， ∴． （2）解：①∴折叠可知， ∴． 又∵，且， ∴． ②设，则． ∵， ∴． ∴折叠可知，． ∵，，，且， ∴，． ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴． 平行与分类讨论问题题型05 一、单选题 1．已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵与的两边分别平行， ∴或， ∵比的2倍多， ∴， ∴且， ∴， 解得． 二、填空题 2．与的两边分别平行，，则________． 【答案】或 【分析】与两边分别平行，可得或，结合已知关系式分情况求解即可． 【详解】解：当两个角的两边分别平行时，两角相等或互补， 分两种情况计算：（1）当时， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）当时， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 三、解答题 3．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展探究活动：探究两边分别平行的两个角的数量关系．同学们画出如下图形：的两边分别与的两边平行，即，． 【探索发现】 (1)在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向． 请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． 【归纳总结】 (2)根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是__________． 【迁移应用】 (3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考以下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数． 【答案】(1)如图1，， ， ， ， ； 如图2，， ， ， ， ； 如图3，， ， ， ， ； (2)相等或互补 (3)或， 【分析】（1）根据平行线的性质判断即可； （2）由（1）求解即可； （3）方法一：设为，为，根据题意列出二元一次方程组求解； 方法二：由（1）得或，然后根据题意得到，然后分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：方法一：设为，为， 由题意得①；② 解得，①；② 答：或，； 方法二：和的两边分别平行， 或， 比的2倍少， ， 或， 或， 或， 答：或，． 平行线的综合应用题型06 一、解答题 1．按要求解答下列问题： (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请判断直线与是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的关系式不用说明理由． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ． ， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，所以可得，进而完成解答； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由略． （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．自行车的尾灯（如图）自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果是利用镜面反射光线的原理． 问题探究：如图1，已知为镜面，为入射光线，为反射光线，从入射点O作一条垂直于镜面的射线．经过探究发现有． (1)如图2，，是两个互相垂直的平面镜，． ①若，则________； ②试判断入射光线和反射光线是否平行，并说明理由； (2)如图3，数学小组模拟了当后面汽车的灯光照射在前面自行车尾灯上时的光线图，由于驾驶员的视点G会高于反射点F，所以反射光线会与水平视线成一定角度，若，请探究与满足的数量关系，并写出探究过程． 【答案】(1)①； ②． 理由：如图1，过点E作，过点F作， 由题意，得，， ，， ∵， ， ，， ， ，即， ． (2)． 如图2，过点F作， ， 由（1）可知，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】（1）①过点E作，过点F作，由题意，得，，可得，，再由，即可求解； ②过点E作，过点F作，由题意，得，，可得，，再由，可得，可得，即可得结论； （2）过点F作，可得，由（1）可知，，，可得，再由，可得，则，即可得结论． 【详解】（1）解：（1）①如图，过点E作，过点F作， 由题意，得，， ，， ∵， ∴， ∴． ②略 （2）略 3．【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等．如：在图1中，． 【深入探究】某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，围绕“两个平面镜平行或垂直放置，入射光线经过两次反射后得到反射光线，与是否平行？”这一问题进行了探究． (1)如图1，当平面镜与平行时，与平行． 完成下列说明过程中的填空； 理由如下：（已知）， （__________）， 又，（光的反射原理）， （等量代换）， （等式的性质）， 即：__________， （__________）． (2)如图2，当平面镜与互相垂直时，在图中画出反射光线的大致位置，判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由．（注：三角形的内角和为） 【实践应用】 (3)如图3，在一口井上按如图方式放置平面镜，入射光线经过镜面反射后得到反射光线，与水平线的夹角为，请直接写出反射光线正好垂直照射到井底水面上时的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明可得结论； （2）证明即可； （3）根据，，，再结合求解即可． 【详解】（1）解：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又，（光的反射原理）， （等量代换）， （等式的性质）， 即：， （内错角相等，两直线平行）． （2）解：，理由如下： 如图， 为反射光线， 由题意得，，， 由题意得，，， ， ∴ ， ， 即， ， ． （3）解：，，， ， ， ． 4．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 【操作探究】 (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)当三角板绕A转到图2的位置时，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出则，，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在上方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 5．数学兴趣小组的同学们以“一副三角板”为工具开展了数学活动． 【问题探究】一副三角板（）按照如图1位置摆放，点C与点E重合，两条斜边所在的直线相交于点P．    (1)直角边所在的两条直线与的位置关系是 ，并说明理由． (2)求此时的度数． 下面是亮亮同学的部分解题过程，请你补充完整． 解：过点P作，如图2所示 …… (3)【类比迁移】将等腰直角三角板绕点A旋转，直线与直线相交于点N，与直线相交于点P． ①当等腰直角三角板绕点A旋转至如图3位置时，请你补全图形，写出与的数量关系，并说明理由． ②当等腰直角三角板绕点A旋转至时，直接写出∠EAB的度数． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2) 解：过点P作， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴； (3) ①补全图形如下，，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②或 【分析】（1）可证明，则可证明； （2）可证明，则，再由角的和差关系可得答案； （3）①根据题意补全图形，过点P作，则，根据平行线的性质得到，据此由角的和差关系可得答案；②根据题意分两种情况：在点A右侧和在点A左侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①略 ②如图所示，∵，    ∴， 又∵， ∴； 如图所示，延长交于点O，    ∵， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 一、单选题 1．小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，观察图形判定即可． 【详解】解：观察选项，A选项中，因为内错角(两直角)相等，所以，，，选项不能得到． 2．如图，下列条件，不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：可利用“内错角相等，两直线平行”来判断，故A不符合题意； 对于选项B：∵， ∴， ∴可利用“同旁内角互补，两直线平行”来判断，故B不符合题意； 对于选项C：可利用“同旁内角互补，两直线平行”来判断，故C不符合题意； 对于选项D：只能判断，不能判断，故D符合题意． 3．如图，有下列条件能判断直线的有（    ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】依据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①，且与互为内错角，，故①符合题意； ②，且与互为同旁内角，，故②符合题意； 根据邻补角互补可知，，，又与互为同位角，，故③符合题意； ④与分别是两条不同截线与直线、形成的角，无法判断，故④不符合题意； 综上所述，能判断直线的有3个． 4．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边的有（    ） ①；            ②； ③；        ④； ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：由图可知，直角三角尺的直角顶点在直线上， ， 即，不能判定，故②不符合题意； ① ，且与互为同位角， ，故①符合题意； ③ ，且与互为同旁内角， ，故③符合题意； ④ ，又， ， ，故④符合题意； ⑤ ，且， ， 即， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的有①③④⑤，共个． 5．以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，折叠的性质，熟练掌握平行线的判定定理，是解题的关键．根据平行线的判定定理和折叠的性质，进行分析，即可解答． 【详解】解：A．根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∴无法判断a，b互相平行，故A不符合题意； B．根据折叠可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行，故B符合题意； C．延长， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴不能判定纸带两条边线a，b互相平行，故C不符合题意； D．延长，如图所示： 根据折叠可知：， ， ∴， ∴，故D符合题意； 故选：D． 6．如图，下列能判定的条件有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①， ，符合题意； ②， ，不符合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤与是同旁内角，若才能判定，而不能判定，不符合题意； 综上所述，能判定的条件有①③④，共3个． 二、解答题 7．如图，，，，求证：； 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内或横线上注明条件或理由． 证明：（已知）， （① ）， （② ）， ③ （④ ）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     ⑤ （⑥ ）， （已知）； ， （⑦ ）， （⑧ ）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③；④同位角相等，两直线平行；⑤；⑥两直线平行，内错角相等；⑦同旁内角互补，两直线平行；⑧平行于同一条直线的两直线互相平行 【分析】先根据已知和对顶角得到，推出，得到，进而得到，推出，得到，推出，然后根据等量代换即可得证． 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     （两直线平行，内错角相等）， （已知）； ， （同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一条直线的两直线互相平行）． 8．根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点F，．求证：． 证明：∵ ∴（ ）， ∴ ∵平分（已知）， ∴（ ）， ∴ ∵， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴ 【答案】证明过程见详解 【分析】根据平行线的判定方法，角平分线的定义，平行线的性质进行作答即可． 【详解】证明：∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴． 9．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，，，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得；根据对顶角相等结合已知得出，证得． （2）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先根据“两直线平行内错角相等”得，再结合已知条件可得，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得出答案； （2）先根据“两直线平行同旁内角互补”得，再根据平行线的性质得，然后根据角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 11．如图，直线分别交、于点M、N，点E、L分别在、上，点F、H是直线、内的两点，连接，，延长交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，相交线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 先根据对顶角相等得到，结合，得到，根据同旁内角互补，两直线平行得到，再根据两直线平行，内错角相等得到，结合，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 12．如图1，点为直线上一点，射线交直线于点． (1)求证：； (2)如图2，点为内部，右侧一点，点在上，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：射线交直线于点， ， ， ； (2) 证明：过点作，如图2所示： ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据对顶角的性质得，再根据得然后根据平行线的判定即可得出结论； （2）过点G作，则，证明得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点E作，设，则，由（2）的结论得，证明，则，根据邻补角的定义可求出，证明得，再证明，则，根据得，则，然后根据得，由此解出即可得出的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，如图3所示： 设， ， ， 由（2）的结论得： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ， ， 解得：， . 13．（1）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．请直接写出直线与的位置关系______； （2）如图2，动点P在直线，之间，且在直线左侧．连接，，探究，．之间的数量关系． （3）如图3，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点Q．设，．α与β有何数量关系？写明过程． 【答案】 （1） （2），理由如下： 过点作，如图2， （两直线平行，内错角相等）． （已知）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行．内错角相等）． ， （等量代换）． （3），过程如下： 由（2）得：， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与灵活运用． （1）由对顶角相等得，，从而得，即有； （2）由平行线的性质可得，再由平行线的判定可得，有，即得，从而可求解； （3）结合（2）的结论进行求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ，，， ， ； （2）略 （3）略 14．数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； (2)小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行； (2) 当时，，理由如下： ， ， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）， (3)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）结合图①，得到时，因为同位角相等，两直线平行，得到； （2）当时，得到，求出的度数，利用同旁内角互补，两直线平行得到结果； （3）结合图③，先求出，再利用平角，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图①，将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）略 （3）解：如图③，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．在平面直角坐标系中，四边形的顶点、分别在轴和轴上，顶点在第一象限，． (1)如图1，若点，，点是轴上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，点是轴上点左边的一点，连接，和的角平分线交于点，求证：； (3)如图3，点是轴上点左边的一点，点是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点，求的值． 【答案】(1)或 (2) 证明：如图，过点作，设，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即； (3) 【分析】（1）设，分两种情形分别构建方程求解即可． （2）如图，过点作，设，，根据平行线的性质推出，，即可得证； （3）如图，设交于点，过点作，设，，，，分别用，，的代数式表示，即可解决问题． 【详解】（1）解：设， ∵，即轴，， ∴，， 当点在线段下方时， ， ∴， 解得：； 当点在线段上方时， ， ∴， 解得：； ∴满足条件的点的坐标或； （2）略 （3）解：如图，设交于点，过点作，设，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 用同样的方法得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的推论等知识，解题的关键是学会利用方程和参数解决问题． 一、填空题 1．如图，将三角形纸片的折叠，使点的对应点落在上，折痕为，再将折叠，使点的对应点落在上，折痕为，此时得，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由折叠可知，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，， ∴． 二、解答题 2．已知：直线分别交直线于点M、N，并且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平分，在上取一点Q，连接，延长交于点，若，在上取一点，连接，且，过点G作，连接交于点P，当三角形面积为90，时，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2) 证明：过点作， 由（1）知， 则， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据邻补角的定义可得，再结合已知可得，即可证明结论； （2）过点作，则，可得，即可证明结论； （3）设，则，根据，求出，过点作，求出，得到，由，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 过点作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 3．光的反射定律是由法国土木工程兼物理学家菲涅耳提出．他发现光的反射定律为：反射光线与入射光线与法线在同一平面上（法线垂直于平面）；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；如图反射角等于入射角． (1)如图1，与是互相垂直的两面平面镜，一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知三角形内角和等于．求证：； (2)如图2，与是两面平面镜，其中于点A，于点C，交于点B，交于点D；一束光线照射到平面镜上，经两次反射后从射出，已知交于点M，且，交于点H，若，求的度数； (3)如图3，已知，点E，M在线段上，点F，N在线段上，交于点G，且，，，射线绕着点M顺时针旋转后停止，旋转速度为秒，同时绕点G逆时针旋转，旋转速度为秒，当射线停止旋转时，也立即停止旋转；当所在直线与的边平行时，请直接写出对应时间t的所有值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或 【分析】（1）根据反射定律可以推出镜面与反射光线的夹角以及镜面与入射光线的夹角也相等，推出，即可得证； （2）作，作，根据平行线的性质和反射定律进行求解即可； （3）分五种情况进行讨论即可． 【详解】（1）证明：∵反射角等于入射角， ∴反射角入射角， 即镜面与反射光线的夹角以及镜面与入射光线的夹角也相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵三角形内角和等于， ∴， ∴ ； ∴； （2）解：作，作， ∵于点A，于点C， ∴，， ∴， ∴，，， 由反射定律和（1）可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当所在直线与的边平行时，分四种情况： ①当时，如图，设交于点， 则， 由题意，， ∴，， ∴，解得； ②当时，如图，设交于点， 则，，， ∴， ∴， ∴，解得； ③当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∵， ∴， ∴，解得； ④当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∴，解得； ⑤当当点旋转至上方，时，如图，延长交于点， 则， ∴，解得； 综上：或或或或． 4．数学兴趣小组的同学们以“一副三角板”为工具开展了数学活动． 【问题探究】一副三角板（）按照如图1位置摆放，点C与点E重合，两条斜边所在的直线相交于点P．    (1)直角边所在的两条直线与的位置关系是 ，并说明理由． (2)求此时的度数． 下面是亮亮同学的部分解题过程，请你补充完整． 解：过点P作，如图2所示 …… (3)【类比迁移】将等腰直角三角板绕点A旋转，直线与直线相交于点N，与直线相交于点P． ①当等腰直角三角板绕点A旋转至如图3位置时，请你补全图形，写出与的数量关系，并说明理由． ②当等腰直角三角板绕点A旋转至时，直接写出∠EAB的度数． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2) 解：过点P作， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴； (3) ①补全图形如下，，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②或 【分析】（1）可证明，则可证明； （2）可证明，则，再由角的和差关系可得答案； （3）①根据题意补全图形，过点P作，则，根据平行线的性质得到，据此由角的和差关系可得答案；②根据题意分两种情况：在点A右侧和在点A左侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①略 ②如图所示，∵，    ∴， 又∵， ∴； 如图所示，延长交于点O，    ∵， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 5．学习平行线判定后，我们以“过直线外一点作已知直线平行线”为主题开展探究． (1)方法一：用尺规作图的方法画平行线 ①甲同学画法：过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． ②乙同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． (2)方法二：用折纸的方法画平行线 ①如图1，甲在纸上画直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使点C对应点落在直线上（如图2），记折痕与交点为A，将纸片展开铺平；再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时就是的平行线．请写出过程予以证明； ②拓展延伸：乙同学在甲同学折纸基础上补充了条件：在折痕上任取一点M，连接、．若记为，为，为，请探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行 (2) ①证明：由题意可知，点、、、共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 同理可得，， ， ； ②解：当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①根据折叠的性质结合平行线的判定定理求解即可； ②先证得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （2）分三种情况讨论，过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：①甲同学画法，依据是：同位角相等，两直线平行； ②乙同学画法，依据是：内错角相等，两直线平行； （2）①略 ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $