专题02 锐角三角函数（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材湘教版

专题02 锐角三角函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 锐角三角函数的定义/ 考点二 特殊角的三角函数值/ 考点三 解直角三角形 / 考点四 增减性与互余关系 / 考点五 解直角三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 锐角三角函数的定义/ 题型二 特殊三角函数值的混合运算/ 题型三 解直角三角形（已知二求一）/题型四 实际应用题（坡度与方向角） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题核心考点覆盖锐角三角函数的定义（正弦、余弦、正切）、特殊角30°、45°、60°的三角函数值、锐角三角函数的增减性与同角/互余关系、解直角三角形（已知两个元素求其余元素），以及仰角、俯角、坡度、方向角等实际问题与几何图形（三角形、四边形、圆、坐标系）的综合应用规律。 识记 1. 能准确说出正弦、余弦、正切的定义及"对边、邻边、斜边"的相对含义。 2. 熟记30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值。 理解 1. 理解锐角三角函数值只与角度有关、与三角形大小无关。 2. 理解坡度i=铅直高度/水平宽度=tanα，仰角俯角均以水平线为基准。 应用 1. 能在直角三角形中"知二求一"解直角三角形。 2. 能作高构造直角三角形，解决一般三角形、四边形、圆中的边角计算与测高测距等实际问题。 考点一 锐角三角函数的定义 【内容总结】 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c（c为斜边）。 正弦：sinA = ∠A的______边 / ______边； 余弦：cosA = ∠A的______边 / ______边； 正切：tanA = ∠A的______边 / ______边。 2．锐角三角函数值只与______的大小有关系，与三角形边长的放大或缩小______。 【避坑指南】 ① sinA、cosA、tanA是一个完整的符号，表示"比值"，不能理解为sin与A相乘； ② 必须先确认在直角三角形中，并分清"对边""邻边"是相对于哪个锐角而言； ③ 同一个锐角的对边、邻边会随所选角改变而互换，不可张冠李戴。 【概念辨析】 ❶ 把Rt△的三边都扩大2倍，sinA的值______（填"变大/不变/变小"）。 ❷ 若tanA=，则∠A的对边与邻边之比为______。 参考答案：1．对；斜；邻；斜；对；邻　2．角度；无关。概念辨析：❶不变；❷3∶4。 考点二 特殊角的三角函数值 内容总结 【内容总结】填表（要求烂熟于心）： 函数\角度 30° 45° 60° sin cos tan 1 【记忆口诀】 正弦：分母都是2，分子根号下1、2、3依次对应30°、45°、60°；余弦与正弦反着记；正切：、1、。 【避坑指南】 ① 计算结果若含分母根号要分母有理化，如=写成； ② 牢记 sin²A+cos²A=1，可用它检验特殊角值是否记错。 【概念辨析】 ❶ 若sinA=且∠A为锐角，则∠A=______。 ❷ 计算 2sin30°+tan45°−cos60°=______。 参考答案：❶60°；❷ 2×()+1−()=。 考点三 解直角三角形 【内容总结】在Rt△ABC中，∠C=90°： 1．三边关系（勾股定理）：a²+b²=______； 2．两锐角关系：∠A+∠B=______； 3．边角关系：sinA=______，tanA=______； 4．常用结论：已知斜边c和锐角A，则a=c·______，b=c·______；已知直角边a和锐角A，则b=a÷______，c=a÷______。 【记忆口诀】 有斜（斜边）用弦（正弦/余弦），无斜用切（正切）；知二求一，遇角找函数，遇边用勾股。 【易混易错】 选函数时应尽量用"已知量"直接求"未知量"，避免先求近似值再作除数造成误差累积。 参考答案：1．c²；2．90°；3．；；4．sinA；cosA；tanA；sinA。 考点四 增减性与互余关系 【内容总结】 1．当0°<α<90°时，sinα随α增大而______，tanα随α增大而______，cosα随α增大而______； 2．互余关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=______，cosA=______，tanA·tanB=______； 3．同角关系：sin²A+cos²A=______，tanA=______（用sinA、cosA表示）。 【避坑指南】 比较不同三角函数值大小时，先利用互余关系"化异名为同名"，再用增减性判断。 【概念辨析】 ❶ 比较大小：sin40°______cos40°（填>、<或=）。 ❷ 若∠A+∠B=90°且sinA=0.6，则cosB=______。 参考答案：1．增大；增大；减小　2．cosB；sinB；1　3．1；sinA/cosA。辨析❶<（因cos40°=sin50°>sin40°）；❷0.6。 考点五 解直角三角形的实际应用 【内容总结】 1．仰角：视线在水平线______方时，视线与水平线的夹角；俯角：视线在水平线______方时的夹角； 2．坡度（坡比）i = ______高度 / ______宽度 = ______（用坡角α表示）； 3．方向角"北偏东30°"是以______方向为始边向东旋转所成的角。 【记忆口诀】 上仰下俯看水平，坡度竖直比水平（i=h∶l=tanα）；方位先画十字标，北偏东自北起。 【避坑指南】 ① 仰角、俯角的参照线必须是"水平线"；② 坡度是铅直高度比水平宽度，切勿记反；③ 结果需还原为实际问题，注意单位与近似值要求。 参考答案：1．上；下　2．铅直；水平；tanα　3．正北。 题型一 锐角三角函数的定义 典例1 （25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 易错警示 比值不变性：三角函数值只与角度有关，与三角形的大小（边长放大缩小）无关。 互余关系：若 ，则 ， 。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，于，，，则_________； 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 题型二 特殊三角函数值的混合运算 典例1 （24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 一句话口诀：见角先换值、乘方先求值、绝对先定号、根式最后并——按这四步走，特殊角混合运算基本零失误。 迁移应用 1．（25-26九年级下·云南·期中）计算： 2．（25-26九年级下·北京·期中）计算：． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）计算：． 题型三 解直角三角形（已知二求一） 典例1 （25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 已知直角三角形中的两个元素（至少一个是边），求其余元素。 常见模型 已知斜边 和锐角 ： 求对边 ： 求邻边 ： 已知直角边 和锐角 ： 求邻边 ： 求斜边 ： 解题策略 有斜用弦，无斜用切：已知斜边求直角边用正弦或余弦；已知两直角边关系用正切。 知边求角：利用反三角函数概念（计算器或特殊角逆推）。 迁移应用 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，将矩形绕其顶点顺时针方向旋转得到矩形，与交于，若，则旋转角的度数为（    ） A． B．40° C．50° D． 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则_______． 题型四 实际应用题（坡度与方向角） 典例1 （2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 将实际问题转化为数学模型，主要考察建模能力。 关键概念 坡度（坡比） ：坡面的铅直高度 与水平宽度 的比，即 （ 为坡角）。 方向角： 仰角/俯角：视线与水平线的夹角。 方位角：如“北偏东 ”，需画出十字方向标辅助理解。 解题步骤 抽象：画出平面几何图形，将实物转化为线段和角。 构造：若无直角，作高构造 。 求解：选择合适的三角函数求解。 还原：将计算结果还原为实际问题的答案（注意单位和近似值要求）。 迁移应用 1．（2026·吉林长春·中考真题）如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站和．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为，测得点C距离通信基站的水平距离为；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站的水平距离为，测得山坡的坡度．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为__________m． 3．（25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为____ ． 3．（24-25八年级下·北京通州·期中）某同学将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究． 如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到．分别连结，（如图2所示），平移______个单位长度后四边形是矩形，平移______个单位长度后四边形是菱形． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)． (2)． 5．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1) (2) 6．（2026·湖北·一模）如图，这是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿的夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，．求此运动员的身高．(精确到；参考数据：) 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，塔前有一座高为的台阶，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为，在D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求台阶的高； (2)求塔的高度（结果精确到米） 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若为锐角，，则 3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，点为内一点，连接，，，，，则的长为___________． 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为________； （2）当时，的值为________； 6．（25-26九年级上·广西桂林·期中）【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点F为边的中点，连结，过点B作于点E，交边于点D．若，的值为______． （2）如图③，在中，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交边于点F．若，的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 锐角三角函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 锐角三角函数的定义/ 考点二 特殊角的三角函数值/ 考点三 解直角三角形 / 考点四 增减性与互余关系 / 考点五 解直角三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 锐角三角函数的定义/ 题型二 特殊三角函数值的混合运算/ 题型三 解直角三角形（已知二求一）/题型四 实际应用题（坡度与方向角） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题核心考点覆盖锐角三角函数的定义（正弦、余弦、正切）、特殊角30°、45°、60°的三角函数值、锐角三角函数的增减性与同角/互余关系、解直角三角形（已知两个元素求其余元素），以及仰角、俯角、坡度、方向角等实际问题与几何图形（三角形、四边形、圆、坐标系）的综合应用规律。 识记 1. 能准确说出正弦、余弦、正切的定义及"对边、邻边、斜边"的相对含义。 2. 熟记30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值。 理解 1. 理解锐角三角函数值只与角度有关、与三角形大小无关。 2. 理解坡度i=铅直高度/水平宽度=tanα，仰角俯角均以水平线为基准。 应用 1. 能在直角三角形中"知二求一"解直角三角形。 2. 能作高构造直角三角形，解决一般三角形、四边形、圆中的边角计算与测高测距等实际问题。 考点一 锐角三角函数的定义 【内容总结】 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c（c为斜边）。 正弦：sinA = ∠A的______边 / ______边； 余弦：cosA = ∠A的______边 / ______边； 正切：tanA = ∠A的______边 / ______边。 2．锐角三角函数值只与______的大小有关系，与三角形边长的放大或缩小______。 【避坑指南】 ① sinA、cosA、tanA是一个完整的符号，表示"比值"，不能理解为sin与A相乘； ② 必须先确认在直角三角形中，并分清"对边""邻边"是相对于哪个锐角而言； ③ 同一个锐角的对边、邻边会随所选角改变而互换，不可张冠李戴。 【概念辨析】 ❶ 把Rt△的三边都扩大2倍，sinA的值______（填"变大/不变/变小"）。 ❷ 若tanA=，则∠A的对边与邻边之比为______。 参考答案：1．对；斜；邻；斜；对；邻　2．角度；无关。概念辨析：❶不变；❷3∶4。 考点二 特殊角的三角函数值 内容总结 【内容总结】填表（要求烂熟于心）： 函数\角度 30° 45° 60° sin cos tan 1 【记忆口诀】 正弦：分母都是2，分子根号下1、2、3依次对应30°、45°、60°；余弦与正弦反着记；正切：、1、。 【避坑指南】 ① 计算结果若含分母根号要分母有理化，如=写成； ② 牢记 sin²A+cos²A=1，可用它检验特殊角值是否记错。 【概念辨析】 ❶ 若sinA=且∠A为锐角，则∠A=______。 ❷ 计算 2sin30°+tan45°−cos60°=______。 参考答案：❶60°；❷ 2×()+1−()=。 考点三 解直角三角形 【内容总结】在Rt△ABC中，∠C=90°： 1．三边关系（勾股定理）：a²+b²=______； 2．两锐角关系：∠A+∠B=______； 3．边角关系：sinA=______，tanA=______； 4．常用结论：已知斜边c和锐角A，则a=c·______，b=c·______；已知直角边a和锐角A，则b=a÷______，c=a÷______。 【记忆口诀】 有斜（斜边）用弦（正弦/余弦），无斜用切（正切）；知二求一，遇角找函数，遇边用勾股。 【易混易错】 选函数时应尽量用"已知量"直接求"未知量"，避免先求近似值再作除数造成误差累积。 参考答案：1．c²；2．90°；3．；；4．sinA；cosA；tanA；sinA。 考点四 增减性与互余关系 【内容总结】 1．当0°<α<90°时，sinα随α增大而______，tanα随α增大而______，cosα随α增大而______； 2．互余关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=______，cosA=______，tanA·tanB=______； 3．同角关系：sin²A+cos²A=______，tanA=______（用sinA、cosA表示）。 【避坑指南】 比较不同三角函数值大小时，先利用互余关系"化异名为同名"，再用增减性判断。 【概念辨析】 ❶ 比较大小：sin40°______cos40°（填>、<或=）。 ❷ 若∠A+∠B=90°且sinA=0.6，则cosB=______。 参考答案：1．增大；增大；减小　2．cosB；sinB；1　3．1；sinA/cosA。辨析❶<（因cos40°=sin50°>sin40°）；❷0.6。 考点五 解直角三角形的实际应用 【内容总结】 1．仰角：视线在水平线______方时，视线与水平线的夹角；俯角：视线在水平线______方时的夹角； 2．坡度（坡比）i = ______高度 / ______宽度 = ______（用坡角α表示）； 3．方向角"北偏东30°"是以______方向为始边向东旋转所成的角。 【记忆口诀】 上仰下俯看水平，坡度竖直比水平（i=h∶l=tanα）；方位先画十字标，北偏东自北起。 【避坑指南】 ① 仰角、俯角的参照线必须是"水平线"；② 坡度是铅直高度比水平宽度，切勿记反；③ 结果需还原为实际问题，注意单位与近似值要求。 参考答案：1．上；下　2．铅直；水平；tanα　3．正北。 题型一 锐角三角函数的定义 典例1 （25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 易错警示 比值不变性：三角函数值只与角度有关，与三角形的大小（边长放大缩小）无关。 互余关系：若 ，则 ， 。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据正切的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，于，，，则_________； 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，余角和补角，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，然后根据同角的余角相等求得，再利用锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，于，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题关键．根据题意设，，由勾股定理得，从而求出，，再利用三角形面积公式，通过面积相等列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，， 由勾股定理得， ， ， ，， ， ， 故答案为：．    题型二 特殊三角函数值的混合运算 典例1 （24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一句话口诀：见角先换值、乘方先求值、绝对先定号、根式最后并——按这四步走，特殊角混合运算基本零失误。 迁移应用 1．（25-26九年级下·云南·期中）计算： 【答案】0 【详解】解：原式. 2．（25-26九年级下·北京·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】3 【分析】根据绝对值意义，负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 题型三 解直角三角形（已知二求一） 典例1 （25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了动点型问题，直角三角形，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论得思想是解题得关键； 要使为直角三角形，则可能出现和两种情况，同时还需要分点从到以及从到两种情况，不难得到当→时，，当→时，；当，根据得出，由含角的直角三角形的性质，可得到的长度，建立关于的方程，求出的值，同理求解时的值． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，为的中点，动点以的速度从点出发， ∴，， ①若， 当→时，∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当→时，， ②若时， 当→时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当→时，（舍去）， 综上可得：t的值为或或， 故选：D． 已知直角三角形中的两个元素（至少一个是边），求其余元素。 常见模型 已知斜边 和锐角 ： 求对边 ： 求邻边 ： 已知直角边 和锐角 ： 求邻边 ： 求斜边 ： 解题策略 有斜用弦，无斜用切：已知斜边求直角边用正弦或余弦；已知两直角边关系用正切。 知边求角：利用反三角函数概念（计算器或特殊角逆推）。 迁移应用 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，将矩形绕其顶点顺时针方向旋转得到矩形，与交于，若，则旋转角的度数为（    ） A． B．40° C．50° D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据正切值求角度． 根据求出，可知，即旋转角的度数为． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 即旋转角的度数为． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题的关键． 由折叠的性质可得：，在根据特殊角的三角函数值可得，进而得到、，再解直角三角形得到，，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为4． 题型四 实际应用题（坡度与方向角） 典例1 （2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 将实际问题转化为数学模型，主要考察建模能力。 关键概念 坡度（坡比） ：坡面的铅直高度 与水平宽度 的比，即 （ 为坡角）。 方向角： 仰角/俯角：视线与水平线的夹角。 方位角：如“北偏东 ”，需画出十字方向标辅助理解。 解题步骤 抽象：画出平面几何图形，将实物转化为线段和角。 构造：若无直角，作高构造 。 求解：选择合适的三角函数求解。 还原：将计算结果还原为实际问题的答案（注意单位和近似值要求）。 迁移应用 1．（2026·吉林长春·中考真题）如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 光线平行且直径与光线垂直， 的长度等于平行光线与之间的距离，即， 在中，，，， ， ． 2．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站和．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为，测得点C距离通信基站的水平距离为；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站的水平距离为，测得山坡的坡度．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为__________m． 【答案】 【分析】在中，解直角三角形得出，再根据山坡的坡度，求出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵山坡的坡度，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为． 3．（25-26九年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【详解】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为____ ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的锐角三角函数值. 根据，可得，利用特殊角的锐角三角函数值解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·北京通州·期中）某同学将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究． 如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到．分别连结，（如图2所示），平移______个单位长度后四边形是矩形，平移______个单位长度后四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定， 先说明四边形是平行四边形，当平移至时，再根据正切求出平移距离；当与共线时，，根据正弦求出距离即可． 【详解】解：由题意，得， ∴四边形是平行四边形． 当平移至时，， 此时四边形是矩形， 可知， ∴平移距离， 所以平移个单位长度后四边形是矩形.； 当与共线时，， 此时四边形是菱形， 可知， ∴， 所以平移个单位长度后四边形是菱形． 故答案为：；． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)2 (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根． （1）根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解； （2）根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 5．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数值的混合运算； （1）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可求解； （2）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（2026·湖北·一模）如图，这是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿的夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，．求此运动员的身高．(精确到；参考数据：) 【答案】此运动员的身高为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，核心是利用三角函数定义，结合图形中的垂直、平行关系，分别计算上身、大腿、小腿的长度，再求和得到运动员的身高． 【详解】解：在中，，，∴． ∵，∴． ∵，，∴． 在中，，，， 运动员的身高为上身长度、大腿长度与小腿长度之和： ， 故此运动员的身高为． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，塔前有一座高为的台阶，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为，在D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求台阶的高； (2)求塔的高度（结果精确到米） 【答案】(1)台阶的高为 (2)塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，根据题意可得，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， ∴，， 台阶的高为； （2）解：过点D作，垂足为F， 由题意得：，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 塔的高度约为 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的对称性可得，即，当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长，由图中此时，即，在菱形中点E是边的中点，再说明，可得，当点F和点B重合时，此时的最大值为6，可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵菱形中点A与点C关于对称， ∴， 即， 当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长， 由图象知此时，即， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴． 当点F和点B重合时，此时的最大值为6，， ∴点Q的坐标为． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若为锐角，，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键. 根据三角函数的定义和性质判断：A中是比值，边扩大但比值不变；B中在锐角范围内小于1；C中三角函数值不能直接相加角度；D中由可推导． 【详解】解：A．在中，，当两个邻边都扩大5倍时，比值不变，即不变，故A错误，不符合题意； B．当时，从减小到，即，故B错误，不符合题意； C．，，两者之和，，故C错误，不符合题意； D．由，设对边，邻边，则斜边，即，故D正确，符合题意． 故选D． 3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了动点型问题，直角三角形，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论得思想是解题得关键； 要使为直角三角形，则可能出现和两种情况，同时还需要分点从到以及从到两种情况，不难得到当→时，，当→时，；当，根据得出，由含角的直角三角形的性质，可得到的长度，建立关于的方程，求出的值，同理求解时的值． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，为的中点，动点以的速度从点出发， ∴，， ①若， 当→时，∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当→时，， ②若时， 当→时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当→时，（舍去）， 综上可得：t的值为或或， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，点为内一点，连接，，，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，利用勾股定理求坐标系中两点的距离，解题的关键是建立平面直角坐标系；由勾股定理可先求出、，然后建立平面直角坐标系，设，利用勾股定理表示出，，然后通过方程求解即可. 【详解】解：∵，， ∴直角中，设，则， 由勾股定理：，即， 解得， ∴，， 作于，则为中点，以点为坐标原点，为x轴，建立直角坐标系，如图所示： ∴，则， ∴，，，设， 过D点作轴，轴， ∴，， ∴，，，， ∵在中，在中， ∴， ∴ 整理得： 由得，整理得， 将代入①得， 解得：或， ∵点为内一点， ∴， ∴舍去， ∴将代入得， ∴， ∴，， ∴在中， ∴. 故答案为：. 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为________； （2）当时，的值为________； 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、动点问题中的平行与垂直关系，解题的关键是通过作辅助线求出AD的长度，利用相似三角形的比例关系建立方程求解的值． （1） 先求AD长度，当时，利用的相似比列方程； （2） 作构造，利用与互余的正切关系列方程． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴四边形DEBC是矩形，， ∵， ∴， ∴. 当时，， ∴， 即，解得． 故答案为：． （2） 解：过作于， ∵，， ∴， ∴， 其中， 即， ∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ 在中，， 即， 化简得， 解得， 故答案为：. 6．（25-26九年级上·广西桂林·期中）【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点F为边的中点，连结，过点B作于点E，交边于点D．若，的值为______． （2）如图③，在中，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交边于点F．若，的值为______． 【答案】【探究】；（1）；（2） 【探究】根据题意 ， ，则，即可求解； （1）根据题意证，得，则 ，则 ，即可求解； （2）如图，作于G，设，则，则， 由， 得 ，设，可知，可得，即可求解. 【详解】解：【探究】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【应用】解：（1）∵， ∴设， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，作于G， 设，则 ， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴ ， 设， ∴， ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $