微专题4 求锐角三角函数值的常用方法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

12选择@肥-鄂。 能力在线 证明：，△ACD∽△A'C'D', 10.A1.D12.A13.分14. 2 ∠Ac=∠ADC品-0， 15.,ED⊥AB,.∠ADE=90° 又·∠ACB=90°，∠A=∠A, ∠ADB=∠A'D'B', CD CDRRD-.CD 又：BDBD △ADE∽△ACB,A=AE,:AD_AC AC-ABAE-AB BDCD 则B0-C品-品，△ABD△AB'D CD AD AE=5,AD=4,心AC=4 AB 5' 或选择③∠BAD=∠B'A'D' sinB=4 'sinB=AC 5 证明：△ACD∽△A'CD', ∠ADC=∠A'D'C',∴∠ADB=∠A'D'B', 16.b2=(c+a)(c-a),.b=c2-a2,即a2+b=c2, .△ABC是以c为斜边的直角三角形. ∠BAD=∠B'A'D',△ABDn△A'B'D'. 13.B14.134 5b-4c=0,点=4 c 5· 核心素养提升 设b=4k,则c=5k, 15.(1)是(2)45 16.25+2 .在Rt△ABC中，a=√c2-b=3k, .sinA+sinB-ak3 4 综合与实践制作自相似图形 5 5 1.(1)4 1 17.如图，过点D作EF⊥L1,交1于点E,交 L4于点F, (2)原等边三角形的边数为3，边长为1， EF⊥l,l∥2∥3∥l4, 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为3， 1 EF和l2,l,l4的夹角都是90°， 即EF与l2,l3,l4都垂直， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为号， .DE=1,DF=2. ,四边形ABCD是正方形，.∠ADC=90°，AD=CD, 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花 aC00a-∠CDr, 曲线”的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来 ,AD=CD,∠AED=∠DFC=90°， .△ADE≌△DCF(AAS),∴.AE=DF=2, ∴.在Rt△ADE中，AD=√AE+DE=√5 ∴.第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是3×4”，边长 DE 15 为() sina-A5-55 拓展在线 六周长为3×4×（号）广=3×（告）》” 2.(1)能把△ABC分割成2个与它自身相似的小 8停 直角三角形.分割线CD如图所示. 第2课时锐角的余弦 理由：：∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°， 基础在线 .△BCDC∽△BAC. 1.C2.C3.D4.A5.B6.A7.A8.30 :∠A=∠A,∠CDA=∠BCA=90,·△CDA ∽△BCA. 9原式= -√. (2)①由图可知，每分割一次得到的图形中小三角形的个 (2)原式=一1. 数都是前一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当n阶 10.(1)0.1736(2)0.6115(3)56.3°(4)511811" 分割后，如果设原三角形的面积为S,那么小三角形的面 能力在线 积应该是S=是， 11.B12.B13.78.46°14.25 5 ,△DEF的面积为1， 15.(1)在Rt△ABC中，由BC=5,AC=12,得AB=13, “△DEP经n阶分制所得的小三角形的面积为 :snA-S-是 5 11 S.=64=0心n=3. (2).CD⊥AB,∴.∠CDA=90°， 在Rt△ACD中，os∠ACD=sinA=3: 5 @8=是81A81 40+7, (3)由面积公式，得13CP-5X×12,得CD= 8-()‘-器81×81=品×高-器 S 2 2 13 16.1111 ∴.S%=Sa-1XSm+1 (1)证明：如图，过点B作BH⊥AC于点H, 第2章锐角的正弦、余弦、正切 则∠AHB=90° 2.1锐角的正弦和余弦 在Rt△ABH中，BH+AH=AB2, 第1课时锐角的正弦 ,COSA=AH sinA=BH AB, 基础在线 1.B2.D3.A .'sin2A+cos2A= BH2 BH2+AH2 AB2 AB2 =1. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7,BC=24, 由勾股定理，得 (2)'.'sin2A+cos2A=1,sinA= .3 5 AB=√AC+BC=√/72+24=25， 因此，sinA=BC-24, AB 25,sinB=AC_ 7 .'.cos2A=1- (°- AB-25 4 5.2 6.、② 1 .cosA>0,..cosA= 5 2 7. 8.2 2 拓展在线 9.1)原式=2×号-×号-1-1=0. 1 17.D 2.2锐角的正切 2 基础在线 (2)原式= ()‘+×-+ ×2=2十4 1.D2.A 16 一探究在线·九年 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=√3， 在Rt△ADE中，AD=7,AE=DE, A-店9n8-能--8 由勾股定理，易得AE=7E】 2 7W2 ,1√55.60° 则sin∠ACD= AE 2 =72 AC 13 261 6,(①)原式=2。(2原武三一日 2.3解直角三角形 7.(1)0.4327(2)0.1019(3)89.4°(4)56.8° 基础在线 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5, 1.60°√6 .AB=√/BC+AC=√169=13， 2..∠C=90°，b=9,c=6√3， AB-i3,tanA=BC、5 AB13'cOsA=AC_12 .sinA=BC5 a=√(63)2-92=√27=3√3. AC=12 能力在线 865=Z∠A=30,∠B=60 'sinA=a=3131 9.D10.D1.14.0°12.号 3.'tanA= 13.(1)a=60°，B=45°.（2)a=50° 器-停A 14.如图，过点A作AE⊥BC于点E, ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=4√6. AB-AC-5,BE- ×8=4, 4.B5.C6.D ∠BAE= 2∠BAC, 7.∠C=90,6=10,∠B=30,6=70=5, a=10cos30°=5√3，∠A=90°-∠B=60°. '∠BPC=7∠BAC,∠BPC=∠BAE, 8.DE⊥AB,BD-5,cosB=4 ，在RABDE中， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AE=√AB2-BE=√52-4=3， BE=BD·cosB=5X号=4， n∠BPC=∠BAE-器-寺 根据勾股定理，得DE=√BD一BE区=√52一4？=3， 拓展在线 AD平分∠BAC,∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.CD=DE=3,.BC=BD+CD=5十3=8. 15.号 9.2或4 能力在线 微专题4求锐角三角函数值的常用方法 10.A11.A12.1013.(4W5) 2四 14.(1)DE⊥AB,∴.∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90. .∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°..∠ADE=∠B. 3.(1)如图所示 在Rt△ABC中，AC=12,BC=5,.AB=13. (2)过点D作DE⊥AB于点E,则CD =DE=3. co∠ADE-B-g%- 在Rt△ADE中， AD=AC-CD-5,DE=3,..AE=4. (2)由(1)得cos∠ADE=DE-5 AD131 ..cosA= 设AD=x,则DE=DC-3. 5 4.D 5 5.连接EF,设CF=k,由题意可得CD=AD AC=AD+DC-12,12. AB=BC=4k,BE=EC=2k,DF=3k. 根据勾股定理，得AF=5k,EF=√5k,AE 解得x=9,即AD=25 3 2√5k. 15.过点C作CDLAB于点D, EFAE=AF2 ∠B=30°，BC=12, ∴.△AEF是直角三角形，且∠AEF=90°. .CD=12sin30°=6.BD=12cos30° =EP=5k-5, :.sin/EAF-AF-5k =63. cos∠EAF=AE-25k_25 tonA-D-AD=8.AB=AD+BD=8+6V3 AF 5k 5 在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD=10. 1 6.B7.3 拓展在线 16.(1)在Rt△ABC中， 8.∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线， ∠ACB=90°，BC=√3， ∴CD=号AB=BD.∠DCB=∠B. tan∠ABC=√2， 又：∠ACD+∠DCB=90°，∠ACD+∠CAH=90°， .AC=BC·tan∠ABC=√6. .∠DCB=∠CAH=∠B. 在Rt△ACH中，AH=2CH.∴.AC=√5CH. :点D是AC的中点，CD=号AC=写 2 ·sinB=sin∠CAH=CI_CH=V5 六在RtABCD中，BD=√BC+CD=3yE 2 AC 5CH 5 .10.号 1 (2)如图，过点C作CH⊥AB于点H,由BC=√3， 11.(1)∠B=90°，∠BDC=45°， a∠ABC器巨，易得cH=E,BH=1, ,.BC=BD=5. .CE=CB,..EH=BH=1, ∠ACB=90°，BC=√3，AC=√6，∴AB=3, sinA=AC-13,.AB=12, ∴.AE=3-2=1, ∴AD=AB-BD=12-5=7. (2)如图，过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E. ∴Saam=2AECH=2×1XwE=号 2 .∠ADE=∠CDB=45°， 阶段测评3(2.1~2.3) .△ADE是等腰直角三角形， 1.A2.D3.D4.B5.B6.C7.458.0.8854 级数学（上）·XJ一微专题4锐角三 ■■专题解读■■■ 锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角 之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角 三角形求解.在求锐角的三角函数时，首先要明 确是求锐角的正弦值、余弦值，还是正切值，其次 要弄清楚是哪两条边的比. ■专题训练■■ 类型①定义法 1.如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE 交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则 tanC= 第1题图 第2题图 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,将矩 形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA 的延长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8, (1)尺规作图，作∠ABC的平分线交AC于 点D;(不写作法，保留作图痕迹) (2)若CD=3,求cosA. 角函数值的常用方法 D> 类型2参数法 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点A 作AD⊥BC于点D,若BD:CD=4:3.则tanC 的值为 () D A. B c3￥ D.23 3 5.如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中 点，点F在CD边上，且CF-}CD,求∠EAF 的正弦值、余弦值. 堡型门等角转换法 6.如图，在4×4的正方形网格中， 每个小正方形的边长均为1， △ABC和△DEF的顶点都在 小正方形的顶点上，则图中 ∠ACB的正切值为 A号 8} C.v2 D.3 2 第2章46 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4,将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点 D处，EF为折痕.若AE=3,则sin∠BFD的 值为 8.如图，已知Rt△ABC,∠ACB=90°，CD是斜 边AB的中线，过点A作AE⊥CD,AE分别 与CD,CB相交于点H,E,且AH=2CH,求 sinB的值. 类型④构造直角三角形 9.如图，在等边三角形ABC内有一点D,AD=5, BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋 转，使AB与AC重合，点D旋转至点E,则 ∠DCE的余弦值为 R 47探究在线九年级数学（上）·X灯 10.给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称 这两个角互为半余角.如图，在△ABC中， ∠A,∠B互为半余角，且C-,则anA= A B 1,如图，在Rt△ABC中，∠B=90,sinA=高， 点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5. (1)求AD的长； (2)求sin∠ACD的值.