第2章 锐角的正弦、余弦、正切 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

第2章学情评估 评估内容：锐角的正弦、余弦、正切 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.把Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍，得 Rt△A'B'C',那么锐角∠A,∠A'的正弦值的关系为() A.sinA=sinA' B.sinA=3sinA C.3sinA=sinA' D.不能确定 2,AC= 2.(中考·南通)在△ABC中，∠C=90°，tanA= 2√5，则BC的长为 密 A.1 B.2 C.√5 D.5 3.(中考·北部湾)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的 长为12米，AB与AC的夹角为a,则高BC是 A.12sina米 B.12cosa米 C.2米 D.12米 如 sing cosa 北 封 60° 45 第3题图 第5题图 第6题图 4.若△ABC中，锐角A,B满足 sinA- +(cosB- 2 =0, 线 则△ABC是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两 端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道 的倾斜角，下列按键顺序正确的是 sin 0 2 = SHIFT sin 0 tan 0 2 SHIFT tan 0 2= 6.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔 60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小 岛A的距离是 () A.30海里 B.60海里 C.120海里 D.(30+30√3)海里 7.如图，在△ABC中，cosB-号snC=号，BC=7,则△ABC 的面积是 1 A.2 B.12 C.14 D.21 30° 15 B D 第7题图 第8题图 8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性. 在计算tanl5°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC =30°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°，所以 tanl5°=AC=1 2-√3 CD2+3(2+√3)(2-√3) =2一√3.类比这种 方法，计算tan22.5的值为 ( A.√2+1 B.√2-1 C.√2 9.(中考·广元)如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边 长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于点P, 则cos∠APC的值为 () 4.13 B.26 5 5 c D.5 5 D A B 0000000 C B 第9题图 第10题图 10.如图，在距某居民楼AB楼底部B点左侧水平距离60m 的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i= 1:0.75,山坡坡底部C点到坡顶部D点的距离CD= 45m,在坡顶部D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为 28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民 一探究在线·九年级数学（上）·XJ一 楼AB的高度约为（结果精确到0.1m,参考数据：sin28°≈ 0.47,cos28°≈0.88，tan28°≈0.53) ) A.76.9m B.82.1m C.94.8m D.112.6m 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若0为三角形的一个锐角，且2sin0-√3=0，则tan0= 12.已知∠A为锐角，若cosA=sin65°，则∠A的度数为 13.已知R△ABC中，∠C-90,anA=专，BC=16,则AC- 14.已知等腰三角形的两边分别为4cm和8cm,则等腰三角 形底角的正弦值为 15.如图，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的 格点上，tan(a十B) tana十tang(填“>”“<”或“=”). 第15题图 第16题图 16.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E,设∠ADE=a,且 c0a=多AB=4,则AD的长为 17.（中考·盐城)一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地 面BC,D在AB上，AD=0.6m,D,E,F三点共线，DF= 3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角 正好为60°，则DF落在地面上的投影GH= m. D 60°2 HC 图① 图② 第17题图 第18题图 18.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠DAB=60°，AE分别交 BC,BD于点E,F,CE=2,连接CF,则tan∠DCF= 03 三、解答题（共66分） 19.(6分)计算： (1)tan45°-sin60°·cos30°； (2)tan230°-2sin30°tan45°+8cos260°. 20.(6分)（中考·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C= 90°，AB=5,BC=3.求AC的长和sinA的值. 21.(8分)如图，在△ABC中，AB=5,过点B作AC边上的高 线BD,cos∠DBA=手 (1)求AD的长； (2)若AC=5,求BC的长. 22.(8分)（中考·怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事， 厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园.如 图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60° 方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米.有 关部门计划在B,C两村之间修一条笔直的公路来连接两 村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.（参 04 考数据：3≈1.73，w√2≈1.41) 北 23.(9分)如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，BD=4, AD=6,AB=2/10,∠C=60°. 求：(1)∠ADB的余弦值； (2)边AC的长， 24.(9分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AE是BC 边上的中线，已知AD=8,BD=4,0s∠ABC=手 (1)求高CD的长； (2)求tan∠EAB的值. 一探究在线·九年级数学（上）·X一 25.(10分)已知对于锐角a有规律sin2a十cos2a=1.解答下列 问题： (1)根据上述规律，计算sin2a十sin(90°-a)= (2)计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin89°. 26.(10分)（中考·海南）无人机在实际生活中应用广泛.如图 所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中 P处，测得楼CD的楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB的 楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC 为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼 CD的D处的仰角为30°（点A,B,C,D,P在同一平面内）. (1)填空：∠APD= 度，∠ADC=度； (2)求楼CD的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面BC的高度. 60y45-W M---- D A.30° B C22.(1):∠ACD=∠B,∠A=∠A, ·△ACD△ABC,AS=AD 17. 1839 AB AC 又AC=2,AD=1,.AB=4,∴.DB=AB-AD=3. 1.1原式=1-×9-1-=子 (2②)：△ACD△ABC,且AS, ∴.△ACD与△ABC的面积的比为1：4， (2②)原式-（）°-2×合×1+8×（合）‘--1+2 23.设运动ts时，矩形CFNM与矩形AEFD相似 由题意，得识-号或只-会 3 20.∠C=90°，AB=5,BC=3, 解得t=4或t=1. 当t=4时，NF=8, AC=AB-BC3 -4.sinA-BC-3 架 21.(1),BD为AC边上的高线，.BD⊥AC, 且四边形CFNM与AEFD都是矩形， Cos∠DBA=号，AB=5,DB=4, ,'.矩形CFNM与矩形AEFD相似. .AD=√AB2-DB2=3. 同理可证当t=1时矩形CFNM与矩形AEFD相似. (2).AC=5,AD=3,..DC=DA+AC=8 24..AD∥EG,∴.∠ADO=∠EGF :DB=4,BD⊥AC,.BC=√DB+DC=4V5. 又.∠AOD=∠EFG=90°， 22.不穿过，理由如下： 北 △AOD∽△EFG.AO-OD 过点A作AD⊥BC,交BC于 EF FG BP 点D,根据题意可知，∠ACD= A0=EF0D_1.8X20=15. 45°，∠ABD=30° FG 2.4 设CD=xkm,则BD=(2.4一 同理，证△BOCc∽△AOD,解得BO=12, x)km, .AB=OA-OB=3(米)..旗杆的高AB为3米. 在Rt△ACD中，∠ACD=45°，则AD=CD=xkm. 25.(1):四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD,∠B=∠D,又 BE=DF, 在Rt△ABD中，tan30°-AD, :△ABE≌△ADF(SAS),∴∠BAE=∠DAF. BD ,'AB∥CD,.∠G=∠BAE=∠DAF, V3 又∠D=∠D,.△AFD∽△GAD. 即2.4-z=号，解得≈0.878， CF DF 经检验，x≈0.878是原方程的解 (2):DF=CF·CD,DF-CD, .AD≈878米， 'AD∥BH,.△CFH∽△DFA. :878米>800米，.公路不穿过纪念园 .CF-CH.CH DF 23.(1)过点A作AE⊥BC,垂足为点E. DF-DADA-CD 在Rt△ABE,Rt△ADE中， .'AD=CD,.'.CH=DF..BE=DF,.'BE=CH 'AE2=AB2-BE2 ,AE2=AD2-ED2, 26.(1)=1 .'.AB2-BE2 =AD-ED2. .BE+ED=BD=4,..BE=4-ED. 9 (2>结论能-k理由：如图②，作GMLAB-于点M, 六(2√10)2-(4-ED)2=62-ED2,即40-16+8ED- ,AE⊥GF,.∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°， ED2=36-ED2. ,∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°， 3 ∠BAE=∠FGM,∴△ABEO△GMR,:.GE=G ·AEAB1 ..ED=3 ,Cos∠ADB=ED= AD 6 4 .∠AMG=∠D=∠DAM=90°， ,.四边形AMGD是矩形， (2)由(1)知，ED=3 ∴6M=AD器-品器= 在Rt△ADE中，AE=V√AD2-ED=/6 (3)如图③，过点D作EF⊥BC,交BC的延长线于点F, 过点A作AEEF,连接AC, ·/ABC=90°，AE⊥EF,EF⊥BC -压 V4 ∴.四边形ABFE是矩形， ∠E=∠F=90°，AE=BF,EF=AB=10. 在Rt△ACE中，：sinC=AE, AC, ,AD=AB,BC=CD,AC=AC,∴.△ACD≌△ACB(SSS), 3 ∴.∠ADC=∠ABC=90°，.∠ADE+∠CDF=90°， .AC=AE AE =35. 冬Zeb28ecor sinC sn6V v3 2 2AE-2DF,DE-2CF. DC=CF2+DF2,∴.25=CF2+(10-2CF)2, 24.a在RIARCD，中co∠ABC-8肥-台， 44 解得CF=5(不合题意，舍去)或CF=3, BC=BC-5 ,BF=BC十CF=8, ∴.CD=√/BC2-BD=√/52-42=3. DNAE84 由(2)的结论可知，AAB105 (2)过点E作EF⊥AB,垂足为点F, 如图. EF⊥BD,.CD∥EF, A E为BC的中点，∴.EF是△BCD 的中位线， EF=CD=×3=,DF=BD= 2×4=2, ∴.AF=AD+DF=8十2=10， 图① 图③ 第2章学情评估 1.A2.C3.A4.D5.B6.D7.A8.B9.B 在Rt△AEF中，tan∠EAB=E 2 3 AF=10=20 10.B1.512.25°13.1214.厘15.>16.1 25.(1)1 4 3 (2)原式=(sin21°+sin289)+(sin22°+sin288)+…+ 一探究在线·九年 sin245°=1+1+.+1+ 2 =4+- 1 ∠DAG=∠FDA=45°， 26.(1)7560 在Rt△CDG中，CG= DG 100 tan∠DCG tan30° =100√3(m), (2)过点A作AE⊥DC于点E, DG 100 由题意，得AE=BC=100米，EC= 在Rt△ADG中，AG tan∠DAG tan45 =100(m), AB=10米. 60y45-N M ∴.AC=AG+CG=100+100W3≈273(m) 在Rt△AED中，∠DAE=30°， (2)过点B作BK⊥AC,延长DF交BK于点M,如图， DE=AE·tan30=100X 由题意，得AK=2BK,∠BDM=11.31°， 3 9(米 :AB=/5BK, 30° .'∠DGK=∠MKG=∠DMK=90°， .四边形DGKM是矩形， CD=DE+EBC-(9gB+10)米。 ∴.MK=DG=100m,设BK=t,则AK=21,GK=GA十 AK=100+2t=DM, 楼CD的高度为(90，万+10)米。 BM=BK-MK=t-100, 在Rt△BDM中，BM=DM·tan∠BDM, (3)过点P作PG⊥BC于点G,交AE于点F, 即t-100=(2t+100)tan11.31°， 则∠PFA=∠AED=90°，FG=AB=10米. =100(tanl1.31°+1) MN∥AE,∴.∠PAF=∠MPA=60° 1-2tanl1.31 .∠ADE=60°，∴.∠PAF=∠ADE. .∠DAE=30°，∴.∠PAD=30° AB=/5BK=5 100(tan11.31+148(m). ∠APD=75°，∴∠ADP=75°.∴∠ADP=∠APD. 1-2tan11.31° 25.(1).Rt△ABD≌Rt△ACE,∠BAD=∠CAE=90°， ∴.AP=AD.∴.△APF≌△DAE(AAS) ∴·AD=AE,AB=AC,BD=CE, .PF=AE=100米..PG=PF+FG=100+10=110(米). ∴.此时无人机距离地面BC的高度为110米. ∠ADE=∠AED=Z(I8O°-∠EAD),∠ABC= 期中学情评估 1.C2.A3.C4.B5.C6.B7.B8.C9.B ∠ACB=2(180-∠BAC), 10.D11.号12.1513. .∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°，∠EAD+∠CAD= ∠CAE=90°， 15,416.917 18.停或9 ∴.∠BAC=∠EAD, :∠BAC=∠EAD,∠ADE=∠AED=∠ABC= ∠ACB, 19.(1)原式= 9)°-2x-1w-21= 1 -√3-(2 △ABCn△ADE,AB=BC AD DE' √3)= 是--2+= 3 AB 2 在Rt△ABD中，tan∠ADB==AD (2)原式=×，5-（号） +1+22=3 2 2 +1+ 又BC=l心-EDE=4. 1 2√2=2+2V2 (2)由(1)易知，△CED是直角三角形， 20.(1)如图所示，△DEF即为所求。 .'tan∠CED=√3，设CD=√3a,ED=a, (2)(1,3)(2,1) 6 .∠CDE=90°， 21.,DE是AB的垂直平分线， ..AD=BD, ∴.CE=√CD2+ED=√（√3a)+a2=2a, 设AD=x,则BD=x, .BD=CE,.'.BD=CE=2a, 0246 ..CD=BD-BC=x-3, .BC=BD-CD=2a-√3a=(2-√3)a, 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC+CD2=AD2； 即（√15）2+(x-3)2=x2, :a∠ADB=A8,△ABCAADE, 解得x=4..CD=1, ·sin∠CAD=CD-l ÷8-8跽=28e=2-5tm∠ADB=2-E 26.(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, 22.(1)证明：CD=CE,∴.∠CED=∠CDE, .∴.∠CAB=∠CBA=45°. :∠AEC=180°-∠CED,∠ADB=180°-∠CDE, ∠APB=∠BPC=135°，∴.∠PAB+∠PBA=45° .∠AEC=∠ADB, ∠DAC=∠B,∴.△ACE△BAD. 支RPCAFCUTA PARA8 (2)由I)知，△ACE∽△BAD. BD (2)∠ACB=90°，AC=BC, CE AD' CE=6,BD=8,AE=4,AD-BDXCE-8X6-12, AB-/AC+--EBC器启 AE 4 .ED=AD-AE=12-4=8. :APB0APAB器-股-后后 23.(1)四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,.△EGC∽△EAB, ∴.PA=√2PB,PB=√2PC .:C 器器即异 _EC 2 ∴.PA=√2XW2PC=2PC=2X3=6. :∠APB=∠BPC=135°，∴∠APC=90° 解得CG=1」 .AC=√PC+PA2=√32+62=3V5 (2)证明：AB∥CD,.△DFG△BFA, (3)过B作BE⊥CD交CD的延长线 漂 于点E, ∠APC=90°. AD∥CB,∴.△AFD△EFB, .∠PAC+∠PCA=90° ,∠PCA+∠BCE=90°， .∠PAC=∠BCE 即AF2=FG·FE. 在△PAC与△ECB中， 24.(1)过点D作DG⊥AC,如图， ∠APC=∠CEB=90°， 由题意，得DG=100m,∠EDC E M PAC-/BCE, 1:2 =30°，∠FDA=45°，EF∥AC, K AC=BC, .∠DCG=∠EDC=30°， ∴.△PAC≌△ECB(AAS).∴.PC=BE 级数学（上）·XJ一 23