专题02 锐角三角函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材湘教版

专题01 锐角三角函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(1类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的概念 在 中，，、 为锐角，三边： 的对边 ， 的邻边 ，斜边 。 正弦：锐角 的对边与斜边的比，记作 余弦：锐角 的邻边与斜边的比，记作 正切：锐角 的对边与邻边的比，记作 注意：、、 是完整符号，不能拆成 ；只针对直角三角形中的锐角；三角函数值只和角的大小有关，与三角形边长无关。 取值范围：，，（ 为锐角） 知识点02 互余两角的三角函数关系 若 ，则 口诀：正余互换，角度互余 知识点03 特殊角的三角函数值 角度 记忆口诀：正三对半四二根，六三二；余弦反过来，正切三三一，一，根号三。 知识点04 三角形内角和定理 定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。，，五个元素：、、、、。知道除直角外两个元素（至少一条边），就可以解直角三角形。 三大等量关系 三边关系（勾股定理）： 锐角关系： 边角关系：，， 知识点05 解直角三角形的实际应用 仰角、俯角：视线与水平线的夹角；向上看为仰角，向下看为俯角。 坡度（坡比）、坡角：坡比 ， 是坡角；。 方向角：以正北、正南方向为基准描述物体方位，如北偏东 ，南偏西 。 考点01 锐角三角函数的概念 考点内容：、、 定义；分清对边、邻边、斜边；三角函数值只和角度大小有关。 常见考法： ①给定直角三角形边长，求锐角的正弦、余弦、正切； ②网格图形中求三角函数值； ③角度不变，放大缩小三角形，判断三角函数值是否改变。 考点02 互余两角三角函数转换 考点内容：，。 常见考法： ①已知 ，求 ； ②化简含有互余角的三角式子 ③结合角度计算求值。 考点03 特殊角三角函数计算 考点内容：30∘、45∘、60∘ 三角函数值；混合运算。 常见考法： ①直接代入数值计算； ②结合零次幂、绝对值、二次根式做混合运算； ③已知三角函数值，反求锐角度数。 考点04 解直角三角形 考点内容：勾股定理、两锐角互余、边角三角函数；已知两边或者一边一角解直角三角形。 常见考法： ①已知两条边，求锐角、第三条边； ②已知一边一锐角，求剩余边、剩余角； ③非直角三角形，作高分割成两个直角三角形求解。 考点05 坡度、仰角俯角、方向角实际应用题 考点内容：仰角俯角、坡比坡角、方向角；构造直角三角形。 常见考法： ①测楼高、测树高（仰角俯角模型）； ②堤坝、斜坡问题（坡度坡比）； ③航海方位问题（方向角）。 考点06 三角函数与几何综合 考点内容：三角函数结合相似、四边形。 常见考法： ①四边形作垂线构造直角三角形； ②合勾股、相似求线段长． 序号 名称 公式 说明 1 正弦定义 ，， 对边， 斜边 2 余弦定义 是 的邻边 3 正切定义 对边÷邻边，无斜边参与 4 互余正弦余弦转换 两个锐角相加等于 5 互余正切关系 互余两角正切互为倒数 6 勾股定理 直角三角形三边关系 7 锐角互余 直角三角形两个锐角相加 8 坡度坡角 竖直高度； 水平宽度； 坡角 9 同角平方关系 同一个锐角正弦平方加余弦平方等于1 辨析01 三角函数是比值，没有单位，只跟角的大小有关，跟三角形边长大小无关 三角形边长扩大2倍，三角函数值不变. 辨析02 求三角函数值，必须放在直角三角形中；不是直角三角形，要作垂线构造直角三角形 不能直接套用定义 辨析03 分清对边、邻边：对边是角对面的边，邻边是角旁边的直角边，斜边永远是直角对的最长边 不要搞混对边、邻边导致 、 写反。 辨析04 仰角俯角是视线与水平线夹角，不是和竖直方向夹角 画图一定要先画水平线． 【题型一】三角函数概念与网格求三角函数 【例1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【变式1-2】（2026·四川乐山·一模）如图，在中，，，，则________ 【题型二】特殊角三角函数混合计算 【例2-1】（2026·江苏盐城·中考真题）计算：． 【变式2-1】2026·四川乐山·二模）计算： 【变式2-2】（2026·山东济南·中考真题）计算：． 【变式2-3】（2026·宁夏·中考真题）计算：． 【题型三】解直角三角形 【例3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）已知：如图，在中，，，，求的长． 【变式3-1】（2026·山东淄博·中考真题）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27九年级上·辽宁·期中）如图1，在中，，延长至点，使，点是边上一点，且，连接． (1)猜想与的关系，并说明理由． (2)如图2，延长交于点，连接， ①求证： ； ②若，求的面积． 【题型四】简单实际应用（仰角俯角/坡度） 【例4-1】（2026·辽宁·中考真题）2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【例4-2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-1】（2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【变式4-2】（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【变式4-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【题型一】分不清对边邻边，三角函数写反 【例1】在 中，，，，求 。 易错警示 找 的邻边，不是 对边，审题看清是哪个角。 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【变式1-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【题型二】非直角三角形直接套用三角函数，没有作高 【例2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长度为_________． 易错警示 图形不是直角三角形，必须过构造直角三角形，不能直接用三角函数 【变式2-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【变式2-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【题型三】坡比概念混淆，把斜边当作水平宽度 【例3】（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 易错警示 坡比 ，先算水平宽度 ，不是斜坡长； 竖直：水平，不是竖直：斜边。 【变式3-1】（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【变式3-2】（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【题型一】实物模型 【例1】（2026·贵州黔东南·三模）凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． (1)求的度数： (2)求的长．（参考数据：，，，） 【变式1-1】（2024·湖南湘潭·模拟预测）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．(结果保留小数点后一位) (1)若，，求点到直线的距离； (2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．(参考数据：，，，，，，) 【变式1-2】（2026·内蒙古通辽·三模）如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 【变式1-3】（2025九年级·江西赣州·专题练习）随着生活水平的提高，人们越来越注重生活品质．在炎炎夏日，为了减少空调冷风直吹的不适，很多家庭给空调装上了防直吹遮风板，如图（1）所示．图（2）是其截面抽象示意图．挂钩紧贴墙面，且上端与空调底部连接，下端与挂杆连接，空调下方和挂杆垂直于墙面，导风口可以绕点B旋转，可将三角杆绕点E旋转调节遮风板的角度，经测量，，． (1)安装防直吹遮风板时，为了保证导风板能完全打开，求挂钩的最小长度． (2)在（1）的条件下，若挂钩的长度最小，，当时，点B，C，M恰好在同一条直线上，求挂杆的长度．（参考数据：，，，．结果保留一位小数） 【题型二】三角函数和四边形综合 【例2-1】（（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，在中，， 且． (1)求证：； (2)连接交于点E，过点C作 交于点F． ①过点C作分别交､于点G､H，如图2所示．已知，，求和的长； ②如图3，如果F为的中点，求的值． 【变式2-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知正方形，点，，分别在边，，上，连接，． (1)若于点． ①如图1，过作于，求证：； ②如图2，将向下平移，当点与重合时，若为的中点，连接，求的值； (2)如图3，若，，且，请你求出的度数． 【变式2-2】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： (1)如图，若，求的度数； (2)如图，当，且时，求的长； (3)问题解决：如图，延长，与的角平分线交于点；交于点，当时，则_______． 【题型三】方位角航海问题 【例3】（2024·湖北·模拟预测）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【变式3-1】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【变式3-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【题型一】背靠背模型 【模型解读】 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图．为测量学校旗杆的高度,小明从旗杆正前方8米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进8米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直． (1)求点D的铅垂高度； (2)求旗杆的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，．） 【变式1-1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为，然后小李沿斜坡AC走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．（参考数据：， ，，） 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长，结果保留位小数） （参考数据：，，，，，） 【题型二】母子型 【模型解读】 【例2】（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【变式2-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是．已知测角仪的高度是，请你计算出该建筑物的高度． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【变式2-3】（2026·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 技巧 一句话要点 做应用题第一步 画图！标出仰角、坡角、已知边长，分清水平线、竖直线。 没有直角三角形 立刻作垂线，构造直角，才能使用三角函数。 出现 、、 特殊角 优先找直角；找不到直角，找相等角做替换。 坡度看清 ，竖直：水平 ，不要写反 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(1类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的概念 在 中，，、 为锐角，三边： 的对边 ， 的邻边 ，斜边 。 正弦：锐角 的对边与斜边的比，记作 余弦：锐角 的邻边与斜边的比，记作 正切：锐角 的对边与邻边的比，记作 注意：、、 是完整符号，不能拆成 ；只针对直角三角形中的锐角；三角函数值只和角的大小有关，与三角形边长无关。 取值范围：，，（ 为锐角） 知识点02 互余两角的三角函数关系 若 ，则 口诀：正余互换，角度互余 知识点03 特殊角的三角函数值 角度 记忆口诀：正三对半四二根，六三二；余弦反过来，正切三三一，一，根号三。 知识点04 三角形内角和定理 定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。，，五个元素：、、、、。知道除直角外两个元素（至少一条边），就可以解直角三角形。 三大等量关系 三边关系（勾股定理）： 锐角关系： 边角关系：，， 知识点05 解直角三角形的实际应用 仰角、俯角：视线与水平线的夹角；向上看为仰角，向下看为俯角。 坡度（坡比）、坡角：坡比 ， 是坡角；。 方向角：以正北、正南方向为基准描述物体方位，如北偏东 ，南偏西 。 考点01 锐角三角函数的概念 考点内容：、、 定义；分清对边、邻边、斜边；三角函数值只和角度大小有关。 常见考法： ①给定直角三角形边长，求锐角的正弦、余弦、正切； ②网格图形中求三角函数值； ③角度不变，放大缩小三角形，判断三角函数值是否改变。 考点02 互余两角三角函数转换 考点内容：，。 常见考法： ①已知 ，求 ； ②化简含有互余角的三角式子 ③结合角度计算求值。 考点03 特殊角三角函数计算 考点内容：30∘、45∘、60∘ 三角函数值；混合运算。 常见考法： ①直接代入数值计算； ②结合零次幂、绝对值、二次根式做混合运算； ③已知三角函数值，反求锐角度数。 考点04 解直角三角形 考点内容：勾股定理、两锐角互余、边角三角函数；已知两边或者一边一角解直角三角形。 常见考法： ①已知两条边，求锐角、第三条边； ②已知一边一锐角，求剩余边、剩余角； ③非直角三角形，作高分割成两个直角三角形求解。 考点05 坡度、仰角俯角、方向角实际应用题 考点内容：仰角俯角、坡比坡角、方向角；构造直角三角形。 常见考法： ①测楼高、测树高（仰角俯角模型）； ②堤坝、斜坡问题（坡度坡比）； ③航海方位问题（方向角）。 考点06 三角函数与几何综合 考点内容：三角函数结合相似、四边形。 常见考法： ①四边形作垂线构造直角三角形； ②合勾股、相似求线段长． 序号 名称 公式 说明 1 正弦定义 ，， 对边， 斜边 2 余弦定义 是 的邻边 3 正切定义 对边÷邻边，无斜边参与 4 互余正弦余弦转换 两个锐角相加等于 5 互余正切关系 互余两角正切互为倒数 6 勾股定理 直角三角形三边关系 7 锐角互余 直角三角形两个锐角相加 8 坡度坡角 竖直高度； 水平宽度； 坡角 9 同角平方关系 同一个锐角正弦平方加余弦平方等于1 辨析01 三角函数是比值，没有单位，只跟角的大小有关，跟三角形边长大小无关 三角形边长扩大2倍，三角函数值不变. 辨析02 求三角函数值，必须放在直角三角形中；不是直角三角形，要作垂线构造直角三角形 不能直接套用定义 辨析03 分清对边、邻边：对边是角对面的边，邻边是角旁边的直角边，斜边永远是直角对的最长边 不要搞混对边、邻边导致 、 写反。 辨析04 仰角俯角是视线与水平线夹角，不是和竖直方向夹角 画图一定要先画水平线． 【题型一】三角函数概念与网格求三角函数 【例1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 【变式1-1】（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 【变式1-2】（2026·四川乐山·一模）如图，在中，，，，则________ 【答案】 【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理求得，再根据余弦函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 【题型二】特殊角三角函数混合计算 【例2-1】（2026·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】分别计算零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再合并计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】2026·四川乐山·二模）计算： 【答案】3 【分析】原式分别根据有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角三角函数值和零指数幂的意义化简各项后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】（2026·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】计算三角函数，负整数幂，零指数幂，二次根式，绝对值，最后合并计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】（2026·宁夏·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【题型三】解直角三角形 【例3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）已知：如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点A作，垂足为点D，设，根据，得出，再根据，表示出的长，再在中，根据，即可求出x的值，从而得出的长，即可求解． 【详解】解：过点A作，垂足为点D， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ，即 解得：， ∴． 【变式3-1】（2026·山东淄博·中考真题）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作辅助线构造全等三角形，将已知线段转化到含待求线段的直角三角形中，利用三角函数求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴. 在和中，， ， ∴， ∵，， ∴点在射线上， ∴， 在中，. ∴， ∴ ∴ 按键顺序为． 【变式3-2】（26-27九年级上·辽宁·期中）如图1，在中，，延长至点，使，点是边上一点，且，连接． (1)猜想与的关系，并说明理由． (2)如图2，延长交于点，连接， ①求证： ； ②若，求的面积． 【答案】(1)解：且，理由如下：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)①证明：过点作，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】（1）证明，可得，，即可解答； （2）①过点作，交于点，证明，可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得，再证明，可得，从而得到，即可解答； ②过点作，垂足为点，由①可知，，在中， 利用锐角三角函数可得到，证明，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略， ②过点作，垂足为点，如图， 由①可知，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型四】简单实际应用（仰角俯角/坡度） 【例4-1】（2026·辽宁·中考真题）2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【答案】(1) (2)，小组所设计的方案可行 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ （2）解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 【例4-2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 【变式4-1】（2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 【变式4-2】（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【答案】(1)甲同学的成绩是 (2)乙同学的成绩是 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，以及三角函数的定义．将不规则图形分割成规则图形是解题的关键． 【变式4-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型一】分不清对边邻边，三角函数写反 【例1】在 中，，，，求 。 错解：；正解：。 易错警示 找 的邻边，不是 对边，审题看清是哪个角。 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 【变式1-2】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【答案】 【分析】根据坡比得到，从而求出的值． 【详解】解：斜坡坡比为， ， ， ． 【变式1-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型二】非直角三角形直接套用三角函数，没有作高 【例2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长度为_________． 【答案】或 【分析】过点作，交所在直线于点，根据设出和的长度，用勾股定理求出的长度，分两种情况计算的长度即可． 【详解】解：过点作，交所在直线于点， ①当点D在线段上时，如图所示： ， 设，， 在中，由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 同理可得：，， ∴； 综上，的长度为12或6． 易错警示 图形不是直角三角形，必须过构造直角三角形，不能直接用三角函数 【变式2-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 【变式2-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【题型三】坡比概念混淆，把斜边当作水平宽度 【例3】（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 易错警示 坡比 ，先算水平宽度 ，不是斜坡长； 竖直：水平，不是竖直：斜边。 【变式3-1】（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 【题型一】实物模型 【例1】（2026·贵州黔东南·三模）凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． (1)求的度数： (2)求的长．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据余弦值求角度即可； （2）由得到，过点A作于点H，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∴， ． （2）解：在中，，， ， ， ， ， 如图，过点A作于点H， ， ， 在中，， ， ， 的长约为． 【变式1-1】（2024·湖南湘潭·模拟预测）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．(结果保留小数点后一位) (1)若，，求点到直线的距离； (2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．(参考数据：，，，，，，) 【答案】(1)点到直线的距离约为 (2)旋转的角度约为 【分析】（1）过作，交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据已知条件分别求出和，再相加即可； （2）根据题意可知 在中，根据正切的定义求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过作，交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意可知，，，，， 在中，， ， 又， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 答：点到直线的距离约为； （2）旋转后，如图3所示，根据题意可知， 在中，，， ， ， 因此旋转的角度约为：， 答：旋转的角度约为． 【变式1-2】（2026·内蒙古通辽·三模）如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 【答案】(1)试管口比试管底部低的竖直高度为 (2)台面上到的水平距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）延长交于点，根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：延长交于点，如图1， 由题意可知，，， ； （2）由题意知， ， ， ， 过点作于点，如图2， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ． 又， ， ． 【变式1-3】（2025九年级·江西赣州·专题练习）随着生活水平的提高，人们越来越注重生活品质．在炎炎夏日，为了减少空调冷风直吹的不适，很多家庭给空调装上了防直吹遮风板，如图（1）所示．图（2）是其截面抽象示意图．挂钩紧贴墙面，且上端与空调底部连接，下端与挂杆连接，空调下方和挂杆垂直于墙面，导风口可以绕点B旋转，可将三角杆绕点E旋转调节遮风板的角度，经测量，，． (1)安装防直吹遮风板时，为了保证导风板能完全打开，求挂钩的最小长度． (2)在（1）的条件下，若挂钩的长度最小，，当时，点B，C，M恰好在同一条直线上，求挂杆的长度．（参考数据：，，，．结果保留一位小数） 【答案】(1)挂钩的最小长度约为 (2)挂杆的长度约为 【分析】（1）先确定最小的临界条件：当且点C落在上时，最短．过点B作，由矩形得，在中，利用计算即可； （2）通过作、构造直角三角形，利用矩形性质得、，结合角度关系得，用三角函数求、、，再通过线段和差求解． 【详解】（1）解：如图，当导风板刚好完全打开，即，且点落在上时，过点作交于点， 则， ， 在中，， ． 答：挂钩的最小长度约为； （2）解：连接，交于点． 点，，共线， 经过点， 过点作于点，过点作，垂足为点，如图， 由（1）可得，四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中， ． 在中，， ， 在中，， ， ， ． 答：挂杆的长度约为． 【题型二】三角函数和四边形综合 【例2-1】（（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，在中，， 且． (1)求证：； (2)连接交于点E，过点C作 交于点F． ①过点C作分别交､于点G､H，如图2所示．已知，，求和的长； ②如图3，如果F为的中点，求的值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接． （已知） 为等腰三角形 为中点 ， ， 在和中 ， ， ， ， 为中点 即 (2)①，;②． 【分析】（1）关键在于利用构造等腰三角形，由“三线合一”性质得到中线兼高线，再证明，从而建立、、之间的关系 （2）①利用和，设参数求解Rt的三边长； 引用第(1)问结论求；证明（注意对应顶点），利用比例关系求；利用等面积法（的面积）求；在Rt中用勾股定理求；利用得到，结合求出； ② 作于点，将面积比转化为高之比，由得到，将转化为， 由得到，将转化为， 由（1），将转化为， 利用为中点的条件建立方程，解出，所求可得 【详解】（1）略 （2）①解：， 设，（） 在Rt中，由勾股定理： ， 即， 解得（负值舍去）， ，， 由第(1)问结论：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由第(1)问证明过程知：为中点，， 在Rt中，由勾股定理： 利用等面积法： ， 在Rt中，由勾股定理： ∴， ， 、、三点共线， 综上：， ②如图，作于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 为的中点 点在线段上， 又 点在线段上 代入： 整理，得， ∴， ， 即 ． 【变式2-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知正方形，点，，分别在边，，上，连接，． (1)若于点． ①如图1，过作于，求证：； ②如图2，将向下平移，当点与重合时，若为的中点，连接，求的值； (2)如图3，若，，且，请你求出的度数． 【答案】(1) ①∵正方形，于 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质和平行线的性质得出，则，根据垂直定义和三角形内角和定理得出，然后根据余角的性质证明即可； ②过点H作于点M，不妨设，勾股定理，直角三角形的面积公式，分别计算，，计算比值即可． （2）以点D为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据坐标系，解析式的确定，交点坐标的确定，勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】（1）① 略． ②过点H作于点M， ∵E为的中点，不妨设 ∵正方形， ∴，， ∴， ∵于点H， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，以点D为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵，且， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为； 由此得， 解得， 故点， ∴， 设直线 与x轴的交点为P， ∴点， ∴，， ∴， 过点E作于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标系的应用，待定系数法，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式是解题的关键． 【变式2-2】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： (1)如图，若，求的度数； (2)如图，当，且时，求的长； (3)问题解决：如图，延长，与的角平分线交于点；交于点，当时，则_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠知,利用正弦可求出，又,,由折叠得; （2）利用两角相等证明,得到,求出,从而得到结果； （3）设,过点作,易得,,,可证明,得到,则,,又,,列方程即可求得答案． 【详解】（1）解：由折叠知, 因为是矩形， ∴, ∴ ∴， 又, ∴, 由折叠得; （2）由题可知, ∴, ∴, ∴, 即, ∴, 又, ∴； （3） 设,过点作, ∵平分,, ∴, 又, ∴, ∴, 由折叠得, ∵, ∴, ∴, ∴,, 又,, ∴, 解得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的有关折叠问题，涉及到矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质等，解决问题的关键是要能熟练掌握这些知识点． 【题型三】方位角航海问题 【例3】（2024·湖北·模拟预测）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点B作于点F，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 【变式3-1】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【答案】 【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答； 【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴灯塔到环海路的距离为米． 【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． 【变式3-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 【题型一】背靠背模型 【模型解读】 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图．为测量学校旗杆的高度,小明从旗杆正前方8米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进8米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直． (1)求点D的铅垂高度； (2)求旗杆的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，．） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 延长交延长线于点,则中求得米，米； 作可得，，根据，可得答案． 【详解】（1）解：延长交射线于点， 由题意得， 在中, 米， 米，米， ∴点D的铅垂高度为米． （2）解：过点作于， 由题意得，即为点观察点时的仰角, ∴四边形为矩形， 米， 米， 在中，，米， 米． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为，然后小李沿斜坡AC走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．（参考数据：， ，，） 【答案】40.8米 【分析】如图于G，于H，连接 ，根据比例设，，结合勾股定理求出，得到，再次由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图于G，于H，连接、， ∵的坡比， 设，， ∴在中， ， ∴， ∴， 在中，， 设，在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， 在中，， ， ， ∴， 答：建筑物的高度为40.8米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出正确的辅助线是解答此题的关键． 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】(1)高椅的实际高度为7米 (2)此时线段的长约为9米 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长，结果保留位小数） （参考数据：，，，，，） 【答案】调整后的滑梯会多占约的一段地面 【分析】过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占约的一段地面． 【题型二】母子型 【模型解读】 【例2】（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是．已知测角仪的高度是，请你计算出该建筑物的高度． 【答案】该建筑物的高度约为 【分析】设，则由题意可知，，再利用解直角三角形得出x的值，即可得出的长． 【详解】解：设，则由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 故该建筑物的高度约为． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)99米 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； （2）解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 【变式2-3】（2026·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【答案】引滦入津工程纪念碑的高度约为． 【分析】分别在中，得出，在中，得出，再根据，列式求出，过点C作，垂足为H，在中，利用，求出，再利用四边形是矩形，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 技巧 一句话要点 做应用题第一步 画图！标出仰角、坡角、已知边长，分清水平线、竖直线。 没有直角三角形 立刻作垂线，构造直角，才能使用三角函数。 出现 、、 特殊角 优先找直角；找不到直角，找相等角做替换。 坡度看清 ，竖直：水平 ，不要写反 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $