阶段测评3（2.1-2.3）-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

12选择@肥-鄂。 能力在线 证明：，△ACD∽△A'C'D', 10.A1.D12.A13.分14. 2 ∠Ac=∠ADC品-0， 15.,ED⊥AB,.∠ADE=90° 又·∠ACB=90°，∠A=∠A, ∠ADB=∠A'D'B', CD CDRRD-.CD 又：BDBD △ADE∽△ACB,A=AE,:AD_AC AC-ABAE-AB BDCD 则B0-C品-品，△ABD△AB'D CD AD AE=5,AD=4,心AC=4 AB 5' 或选择③∠BAD=∠B'A'D' sinB=4 'sinB=AC 5 证明：△ACD∽△A'CD', ∠ADC=∠A'D'C',∴∠ADB=∠A'D'B', 16.b2=(c+a)(c-a),.b=c2-a2,即a2+b=c2, .△ABC是以c为斜边的直角三角形. ∠BAD=∠B'A'D',△ABDn△A'B'D'. 13.B14.134 5b-4c=0,点=4 c 5· 核心素养提升 设b=4k,则c=5k, 15.(1)是(2)45 16.25+2 .在Rt△ABC中，a=√c2-b=3k, .sinA+sinB-ak3 4 综合与实践制作自相似图形 5 5 1.(1)4 1 17.如图，过点D作EF⊥L1,交1于点E,交 L4于点F, (2)原等边三角形的边数为3，边长为1， EF⊥l,l∥2∥3∥l4, 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为3， 1 EF和l2,l,l4的夹角都是90°， 即EF与l2,l3,l4都垂直， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为号， .DE=1,DF=2. ,四边形ABCD是正方形，.∠ADC=90°，AD=CD, 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花 aC00a-∠CDr, 曲线”的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来 ,AD=CD,∠AED=∠DFC=90°， .△ADE≌△DCF(AAS),∴.AE=DF=2, ∴.在Rt△ADE中，AD=√AE+DE=√5 ∴.第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是3×4”，边长 DE 15 为() sina-A5-55 拓展在线 六周长为3×4×（号）广=3×（告）》” 2.(1)能把△ABC分割成2个与它自身相似的小 8停 直角三角形.分割线CD如图所示. 第2课时锐角的余弦 理由：：∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°， 基础在线 .△BCDC∽△BAC. 1.C2.C3.D4.A5.B6.A7.A8.30 :∠A=∠A,∠CDA=∠BCA=90,·△CDA ∽△BCA. 9原式= -√. (2)①由图可知，每分割一次得到的图形中小三角形的个 (2)原式=一1. 数都是前一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当n阶 10.(1)0.1736(2)0.6115(3)56.3°(4)511811" 分割后，如果设原三角形的面积为S,那么小三角形的面 能力在线 积应该是S=是， 11.B12.B13.78.46°14.25 5 ,△DEF的面积为1， 15.(1)在Rt△ABC中，由BC=5,AC=12,得AB=13, “△DEP经n阶分制所得的小三角形的面积为 :snA-S-是 5 11 S.=64=0心n=3. (2).CD⊥AB,∴.∠CDA=90°， 在Rt△ACD中，os∠ACD=sinA=3: 5 @8=是81A81 40+7, (3)由面积公式，得13CP-5X×12,得CD= 8-()‘-器81×81=品×高-器 S 2 2 13 16.1111 ∴.S%=Sa-1XSm+1 (1)证明：如图，过点B作BH⊥AC于点H, 第2章锐角的正弦、余弦、正切 则∠AHB=90° 2.1锐角的正弦和余弦 在Rt△ABH中，BH+AH=AB2, 第1课时锐角的正弦 ,COSA=AH sinA=BH AB, 基础在线 1.B2.D3.A .'sin2A+cos2A= BH2 BH2+AH2 AB2 AB2 =1. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7,BC=24, 由勾股定理，得 (2)'.'sin2A+cos2A=1,sinA= .3 5 AB=√AC+BC=√/72+24=25， 因此，sinA=BC-24, AB 25,sinB=AC_ 7 .'.cos2A=1- (°- AB-25 4 5.2 6.、② 1 .cosA>0,..cosA= 5 2 7. 8.2 2 拓展在线 9.1)原式=2×号-×号-1-1=0. 1 17.D 2.2锐角的正切 2 基础在线 (2)原式= ()‘+×-+ ×2=2十4 1.D2.A 16 一探究在线·九年 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=√3， 在Rt△ADE中，AD=7,AE=DE, A-店9n8-能--8 由勾股定理，易得AE=7E】 2 7W2 ,1√55.60° 则sin∠ACD= AE 2 =72 AC 13 261 6,(①)原式=2。(2原武三一日 2.3解直角三角形 7.(1)0.4327(2)0.1019(3)89.4°(4)56.8° 基础在线 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5, 1.60°√6 .AB=√/BC+AC=√169=13， 2..∠C=90°，b=9,c=6√3， AB-i3,tanA=BC、5 AB13'cOsA=AC_12 .sinA=BC5 a=√(63)2-92=√27=3√3. AC=12 能力在线 865=Z∠A=30,∠B=60 'sinA=a=3131 9.D10.D1.14.0°12.号 3.'tanA= 13.(1)a=60°，B=45°.（2)a=50° 器-停A 14.如图，过点A作AE⊥BC于点E, ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=4√6. AB-AC-5,BE- ×8=4, 4.B5.C6.D ∠BAE= 2∠BAC, 7.∠C=90,6=10,∠B=30,6=70=5, a=10cos30°=5√3，∠A=90°-∠B=60°. '∠BPC=7∠BAC,∠BPC=∠BAE, 8.DE⊥AB,BD-5,cosB=4 ，在RABDE中， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AE=√AB2-BE=√52-4=3， BE=BD·cosB=5X号=4， n∠BPC=∠BAE-器-寺 根据勾股定理，得DE=√BD一BE区=√52一4？=3， 拓展在线 AD平分∠BAC,∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.CD=DE=3,.BC=BD+CD=5十3=8. 15.号 9.2或4 能力在线 微专题4求锐角三角函数值的常用方法 10.A11.A12.1013.(4W5) 2四 14.(1)DE⊥AB,∴.∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90. .∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°..∠ADE=∠B. 3.(1)如图所示 在Rt△ABC中，AC=12,BC=5,.AB=13. (2)过点D作DE⊥AB于点E,则CD =DE=3. co∠ADE-B-g%- 在Rt△ADE中， AD=AC-CD-5,DE=3,..AE=4. (2)由(1)得cos∠ADE=DE-5 AD131 ..cosA= 设AD=x,则DE=DC-3. 5 4.D 5 5.连接EF,设CF=k,由题意可得CD=AD AC=AD+DC-12,12. AB=BC=4k,BE=EC=2k,DF=3k. 根据勾股定理，得AF=5k,EF=√5k,AE 解得x=9,即AD=25 3 2√5k. 15.过点C作CDLAB于点D, EFAE=AF2 ∠B=30°，BC=12, ∴.△AEF是直角三角形，且∠AEF=90°. .CD=12sin30°=6.BD=12cos30° =EP=5k-5, :.sin/EAF-AF-5k =63. cos∠EAF=AE-25k_25 tonA-D-AD=8.AB=AD+BD=8+6V3 AF 5k 5 在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD=10. 1 6.B7.3 拓展在线 16.(1)在Rt△ABC中， 8.∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线， ∠ACB=90°，BC=√3， ∴CD=号AB=BD.∠DCB=∠B. tan∠ABC=√2， 又：∠ACD+∠DCB=90°，∠ACD+∠CAH=90°， .AC=BC·tan∠ABC=√6. .∠DCB=∠CAH=∠B. 在Rt△ACH中，AH=2CH.∴.AC=√5CH. :点D是AC的中点，CD=号AC=写 2 ·sinB=sin∠CAH=CI_CH=V5 六在RtABCD中，BD=√BC+CD=3yE 2 AC 5CH 5 .10.号 1 (2)如图，过点C作CH⊥AB于点H,由BC=√3， 11.(1)∠B=90°，∠BDC=45°， a∠ABC器巨，易得cH=E,BH=1, ,.BC=BD=5. .CE=CB,..EH=BH=1, ∠ACB=90°，BC=√3，AC=√6，∴AB=3, sinA=AC-13,.AB=12, ∴.AE=3-2=1, ∴AD=AB-BD=12-5=7. (2)如图，过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E. ∴Saam=2AECH=2×1XwE=号 2 .∠ADE=∠CDB=45°， 阶段测评3(2.1~2.3) .△ADE是等腰直角三角形， 1.A2.D3.D4.B5.B6.C7.458.0.8854 级数学（上）·XJ一 9是13￥ 11.8312.5-2 第2课时与坡度、坡角有关的应用问题 基础在线 13.(1)原式=1.(2)原式=3十√3. 1.D2.503.1330°4.46 14.(1).在Rt△ABD中， 5.在Rt△DCE中，由DE=10,i=1W5,得DC=5=AB. cosB=BD 5 AB13,AB-13, 在Rt△ABF中，由AB=5,i2=1:4,得BF=4AB=20, ,∴.AF=/AB2+BF2=5W17≈20.62(m)」 BD-13X最-5，CD=BC-BD- 6.(1),山坡②的坡度i=1:1, 21-5=16. tan∠BCN=8-1,∠BCN=45 ,AD=√AB2-BD=√/132-5=12 ∠ACM=30°，∴.∠ACB=180°-45°-30°=105°. .在Rt△ACD中， (2),∠BCN=45°，CN=√2千米，∴.BC=2千米. AC=WAD+CD=√122+162=20. ∠ACM=30°，AM=0.6千米， (2)过点C作CH⊥AB于点H, :△ABC的面积=合AB·CH=合BC·AD, ·sin∠ACM=AM_L AC=2, ∴.AC=1.2千米，AC+BC=1.2+2=3.2(千米) 13CH=21X12,CH=252 ∴.该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米 13 能力在线 252 7.C8.20√3 ∴sin∠BAC=CH_13_63 9.(1)如图，作CD⊥AM于点D,作BEI AC2065 CD于点E,作BF⊥AM于点F, 15.AD b·sinC .'斜坡BC的长为200√2米，坡度是1：1， .BE=CE=200米. 在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°， ∴.∠A=180°-45°-75°=60°， ,A点的海拔为121米，C点的海拔为721米， ∴△ABC是锐角三角形. .CD=600米，.BF=DE=CD-CE=400(米). 根据正弦定理，得 :121+400=521(米)，.B点的海拔是521米. 2 (2),在Rt△ABF中，斜坡AB的长为200/13米，BF=400米， sinAsinC,sin60-sin45, ∴.AF=√(200√13)2-4002=600（米）， ∴BF:AF=400:600=2:3,即斜坡AB的坡度是2：3. c=2sin45° 2X 2=2y6.AB=2 (3)连接AC,.CD=600米，AD=AF十FD=AF十BE= sin60° E 3 3 600+200=800(米)，.AC=√/6002+8002=1000（米）， 即钢缆AC的长度是1000米， 2.4解直角三角形的应用 拓展在线 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 10.(1)在Rt△EFH中，：∠EHF=90°， 基础在线 .tanZEFH=1:0.75=-0 1.D2.A3.246m4.4sina5.B 6.(1)53≤a≤72°， 设EH=4xm,则FH=3xm, 当a=72时，AO取最大值， ∴.EF=√EH+FH=5.x=15m, 在Rt△AOB中，sin∠ABO=A0, ∴.x=3,∴.EH=4x=12m,FH=3x=9m. AB 即山坡EF的水平宽度FH为9m. ∴.AO=4sin72≈3.8(m), (2),L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13, '.梯子顶端A与地面距离的最大值为3.8m, H1=AB+EH=22.5+12=34.5,H2=0.9, BO CF+13 (2)在Rt△AOB中，cos∠ABO= AB' L:(H,-H)=34,5=0.9=33.6>1.25 cos∠AB0=1.64÷4=0.41,.∠AB0≈66， ∴.CF≥29. ,53°≤∠ABO72°，∴.此时人能安全使用这架梯子 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F 能力在线 处至少29m远 7.538.56.8 第3课时 与方位角有关的应用问题 9.延长DC交AB于点E,依题意，得 基础在线 AB⊥DE,∠ACE=60°，∠BCE=40°，∠D 1.B2.A3.B =30°， 4.如图，过点C作CD⊥AB于点D, ∴∠CAD=∠D=30° 由题意，得AE∥CD,BF∥CD, E .'.AC=CD=80 m. ∴.∠ACD=∠CAE=60°，∠BCD= 在Rt△ACE中，AE=ACX sin60°=40W3(m), ∠CBF=45 60 CE=ACX cos60°=40(m). 在Rt△ACD中，AC=60√2， ..在Rt△BCE中，BE=CEX tan40°≈33.6(m), ∠CAD=30°， .∴.AB=AE+BE=40√5+33.6≈103(m), CD-AC-30/Z ∴.桥墩AB的高度为103m. 拓展在线 在Rt△CDB中，CD=3OW2, 10.此车已超速.理由如下： ..BC=2CD=60,. 过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则 0-1.2(小时)， 6 AD=500m, .从B到达C需要1.2小时. '∠ABD=45°，∠ADB=90°， 5.依题意，得△ACD是直角三角形， ,∴.BD=AD=500m. .∠BCD=90°-37°=53°，∠A=90°-∠BCD=37°， 又∠ACD=30°，∴∠CAD=60° .90 tan60°-CD-BC+5O 在R△AcD中已AAC- smA≈0.60=150c米). AD 500 ,'.BC=500w3-500≈366m. ∠BDC=90°-53°=37°， 车速为5=12.2m/8 ∴.∠BCD+∠BDC=53°+37°=90°， ∴.∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形 ,40km/h≈11.1m/s, 又12.2>11.1，.此车已超速 ÷8S-=sin∠BDC,BC=90x0.60-54(米)， 一探究在线·九年 .AB=AC-BC=150-54=96(米). 5.6√2 答：A,B两点间的距离为96米. 6.如图，过点D作DE⊥AB于点E.由题 能力在线 意，得四边形BCDE是矩形 6.B7.号海里/分 ADE AED-30 8.(1)由题意，得∠CAB=30°， ∠CBM=60°， BC-DE-aS82≈152.5C米)， ∴.∠ACB=∠CBM-∠CAB=30° ∴.AE=DE=152.5米， (2)无触礁危险.理由如下： 60 .AB=AE+BE=152.5+61≈214（米） 作CD⊥AB于点D, DM东 7.设B处距离码头O有xkm,由题意，得CO=AO· ,∠ACB=∠CAB,.BC=AB=24X tan∠CAO=(28×0.2+x)tan26.5°≈2.8+0.5x, DO=BO·tan∠DBO=xtan49°≈1.15x, 之=12（海里）， .DC=D0-C0,.1.15x-(2.8+0.5x)=6.4, 在Rt△CBD中，CD=BCX sin∠CBD=6√3≈10.392>9， 解得x≈14.2. 继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。 答：渔船在B处时距离码头O有14.2km. 拓展在线 单元综合复习（二）锐角的正弦、余弦、正切 9.(1)过点M作MD⊥NC于点D, 城际铁路线L 热门考点突破 cosa= DMDM V13 ∠道路线 ,解得 道路线1， 1.A2.B3.-1+5 2 4.C5.D MN2√/13 13 DM=2 km 道路线， 6.(1)原式=1-4X号+22×号-1. 2 ∴.l2和l3之间的距离为2km (2)依题意，得∠BAM=30°，BM=√3千米， (2)原式=5×-2×() 2 +1=1. tan30°= 器-瓷-号解得AB=3m, 7.D8.109.A10.17 11.如图，过点D作DE⊥AB于点E, ∴.AC=3+2=5(km) 根据题意，得∠BAC=∠ABC=45°， 又DN=√(2√/13)2-22=4√3(km), ∠BAD=60°， 则NC=DN+BM=5√3(km), AD=10 n mile,BC=8v2 n mile. ∴.AN=√AC+CN=√52+(53)2=10(km), 在Rt△ABC中，AC=BC=8√2 n mile, ∴.AB=√2BC=16(n mile), 10÷150=1亏（小时） 在Rt△ADE中，AD=10 n mile,∠EAD=60°， 市民小强乘坐城际列车从站点A到站点N需要5小时. DE=AD·sin60°=10x5=55(n mile), 2 微专题5构造基本图形解直角三角形的实际应用 AE-7AD-5(n mile), 1.71.8 2.如图，过点C作CE⊥AB于点E,由题 .BE=AB-AE=16-5=11(n mile), 意知，∠CAE=∠CAD+∠DAB=65°， ∴.BD=√DE+BE=√(5√3)2+112=14(n mile). .CE=AC·sin∠CAE≈2X0.91 答：B,D间的距离为14 n mile. 1.82(米). 核心素养提升 :∠CEB=90°，AB与支撑顶杆BC的夹 12.C 角为45°， 综合与实践 坡度 ..BC=√2CE≈2.6（米）」 图② 1.122.B 3.(1)过点D作DH∥AB,交EF于点H,则 E 3.(1)0.78:15.6=(0.78÷0.78):(15.6÷0.78)=1:20, DH EF. “105D 1:20=1:20, ,DH∥AB,.∠CDH=∠DCB=75. 答：这条坡道符合坡度是1：20的轮椅坡道的设计要求， ,'.∠EDH=105°-75°=30° (2)设这条轮椅坡道的垂直高度最高可以设计成x米， 答：台灯灯管DE与水平线的夹角为30°. x:6=1:12 A F CG (2)如图，作DG⊥AB于点G, 12x=1×6 由题意可得，四边形DHFG是矩形，∴.DG=HF. x=0.5 答：这条轮椅坡道的垂直高度最高可以设计成0.5米. 在Rt△DCG中，：sin∠DCG=DC, CD' 4.(1)7.4 .DG≈50X0.97=48.5(cm),∴.HF=DG=48.5cm (2)过点D作DM⊥BC于点M, ,∠BCD=135°， 在Rt△EDH中，'sin∠EDH=F, DE ·∠DCM=45 在Rt△CMD中，∠CMD= ∴.EH=DE·sin30°=40X =20(cm), 90°，CD=6米， 2 ∴.EF=EH+HF=20+48.5=68.5(cm). DM=CM=CD=3VE米， 答：灯管顶端E到写字台AB的距离为68.5cm. 4.延长AB交CD于点H,则CH=EF=2.8m, '在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3√2， 在Rt△ADH中， ∴.EM=√3DM=3√6米， ,∠DAH=∠ADH=45°， .EC=EM-CM=(3√6-3√2)米， ..AH=DH, .BE=BC-EC=8-(36-3W2)=8+3W2-3√6≈4.9（米）. 在Rt△DBH中，∠DBH=53°，∠BHDEA 答：BE的长为4.9米. =90°， BH-.DH ≈DH, 第3章 一元二次方程 3.1一元二次方程的概念 ÷AB=AH-BH=DH-DH=8m, 基础在线 1.D2.A3.34.B '.DH=32m, 5.(1)一般形式为3x2+3x一1=0， .城市岛的高度CD=DH十CH=32十2.8=34.8≈35(m). 二次项系数是3，一次项系数是3，常数项是一1. 答：城市岛的高度约为35m. (2)一般形式为5x2十2=0， 二次项系数是5，一次项系数是0，常数项是2. 级数学（上）·XJ一 17阶段测评3 （时间：40分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,BC=9, 则sinB= () A号 R号 C.3 D.5 4 2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=a,AC=3, 那么AB的长为 A.3sina B.3cosa C.3 D.、3 sing cOSa 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1,AC √3，则下列结论正确的是 A.sinA=3 2 B.tand= C.cosB=3 D.tanB=√3 A F 第3题图 第5题图 4.等式：①sin30°+sin30°=sin60°；②sin25°=cos65°； ③cos45°=sin45°；④cos62°=sin18°.其中正确 的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在四边形ABCD中，点E,F分别是 AB,AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则 tanC等于 A B告 c D. 6.(中考·威海)由12个有公共顶点O的直角三 角形拼成如图所示的图形，∠AOB=∠BOC= ∠COD=…=∠LOM=30°.若S△0B=1,则图 中与△AOB位似的三角形的面积为() 2.12.3) 满分：100分) A()B()c.()°D.() 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.已知∠A为锐角，且c0sA=号，那么∠A等于 8.sin62°18≈ .(精确到0.0001) 9.在△ABC中，∠C=90°，若sinA-号，则tanM 10.(邵阳期末)如图，小正方形的边长均为1，点 A,B,C都在格点上，那么cos∠ABC的值是 B O 第10题图 第11题图 11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的 顶点A,B,C在坐标轴上，若点A的坐标为 (0,3),tan∠ABO=√3，则菱形ABCD的周 长为 12.(中考·绥化)定义一种运算：sin(a+B)= sinacos8++cosasinB,sin(a-B)=sinacosB- cosasin8.例如：当a=45°，3=30°时， 如58-号×9+号x分5片2 则sinl5°的值为 第2章50 三、解答题（共40分） 13.(12分)计算： (1)2cos30°·sin60°-tan45°·sin30°； (2)cos45°+tan60°.cos30 √2sin45°-tan30° 14.(14分)如图，已知在△ABC中，∠B为锐角， AD是BC边上的高，e0sB=3,AB=13,BC =21. (1)求AC的长； (2)求sin∠BAC的值. D 51探究在线九年级数学（上）·X灯 15.(14分)如图，在锐角三角形ABC中，BC=a, AC=b,AB=c,AD⊥BC于点D.在Rt△ABD 中，snB=D,则AD=c·snB, 在Rt△ACD中，sinC= ,则AD= 所以c·sinB=b·sinC,即b。 C sinB sinC' 进一步得正弦定理： sinA simBsinc(此定理适合任意锐角三 b 角形). 参照利用正弦定理解答下列问题： 在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=2,求 AB的长. D a