单元综合复习(二) 锐角的正弦、余弦、正切&综合与实践 坡度-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

9是13￥ 11.8312.5-2 第2课时与坡度、坡角有关的应用问题 基础在线 13.(1)原式=1.(2)原式=3十√3. 1.D2.503.1330°4.46 14.(1).在Rt△ABD中， 5.在Rt△DCE中，由DE=10,i=1W5,得DC=5=AB. cosB=BD 5 AB13,AB-13, 在Rt△ABF中，由AB=5,i2=1:4,得BF=4AB=20, ,∴.AF=/AB2+BF2=5W17≈20.62(m)」 BD-13X最-5，CD=BC-BD- 6.(1),山坡②的坡度i=1:1, 21-5=16. tan∠BCN=8-1,∠BCN=45 ,AD=√AB2-BD=√/132-5=12 ∠ACM=30°，∴.∠ACB=180°-45°-30°=105°. .在Rt△ACD中， (2),∠BCN=45°，CN=√2千米，∴.BC=2千米. AC=WAD+CD=√122+162=20. ∠ACM=30°，AM=0.6千米， (2)过点C作CH⊥AB于点H, :△ABC的面积=合AB·CH=合BC·AD, ·sin∠ACM=AM_L AC=2, ∴.AC=1.2千米，AC+BC=1.2+2=3.2(千米) 13CH=21X12,CH=252 ∴.该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米 13 能力在线 252 7.C8.20√3 ∴sin∠BAC=CH_13_63 9.(1)如图，作CD⊥AM于点D,作BEI AC2065 CD于点E,作BF⊥AM于点F, 15.AD b·sinC .'斜坡BC的长为200√2米，坡度是1：1， .BE=CE=200米. 在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°， ∴.∠A=180°-45°-75°=60°， ,A点的海拔为121米，C点的海拔为721米， ∴△ABC是锐角三角形. .CD=600米，.BF=DE=CD-CE=400(米). 根据正弦定理，得 :121+400=521(米)，.B点的海拔是521米. 2 (2),在Rt△ABF中，斜坡AB的长为200/13米，BF=400米， sinAsinC,sin60-sin45, ∴.AF=√(200√13)2-4002=600（米）， ∴BF:AF=400:600=2:3,即斜坡AB的坡度是2：3. c=2sin45° 2X 2=2y6.AB=2 (3)连接AC,.CD=600米，AD=AF十FD=AF十BE= sin60° E 3 3 600+200=800(米)，.AC=√/6002+8002=1000（米）， 即钢缆AC的长度是1000米， 2.4解直角三角形的应用 拓展在线 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 10.(1)在Rt△EFH中，：∠EHF=90°， 基础在线 .tanZEFH=1:0.75=-0 1.D2.A3.246m4.4sina5.B 6.(1)53≤a≤72°， 设EH=4xm,则FH=3xm, 当a=72时，AO取最大值， ∴.EF=√EH+FH=5.x=15m, 在Rt△AOB中，sin∠ABO=A0, ∴.x=3,∴.EH=4x=12m,FH=3x=9m. AB 即山坡EF的水平宽度FH为9m. ∴.AO=4sin72≈3.8(m), (2),L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13, '.梯子顶端A与地面距离的最大值为3.8m, H1=AB+EH=22.5+12=34.5,H2=0.9, BO CF+13 (2)在Rt△AOB中，cos∠ABO= AB' L:(H,-H)=34,5=0.9=33.6>1.25 cos∠AB0=1.64÷4=0.41,.∠AB0≈66， ∴.CF≥29. ,53°≤∠ABO72°，∴.此时人能安全使用这架梯子 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F 能力在线 处至少29m远 7.538.56.8 第3课时 与方位角有关的应用问题 9.延长DC交AB于点E,依题意，得 基础在线 AB⊥DE,∠ACE=60°，∠BCE=40°，∠D 1.B2.A3.B =30°， 4.如图，过点C作CD⊥AB于点D, ∴∠CAD=∠D=30° 由题意，得AE∥CD,BF∥CD, E .'.AC=CD=80 m. ∴.∠ACD=∠CAE=60°，∠BCD= 在Rt△ACE中，AE=ACX sin60°=40W3(m), ∠CBF=45 60 CE=ACX cos60°=40(m). 在Rt△ACD中，AC=60√2， ..在Rt△BCE中，BE=CEX tan40°≈33.6(m), ∠CAD=30°， .∴.AB=AE+BE=40√5+33.6≈103(m), CD-AC-30/Z ∴.桥墩AB的高度为103m. 拓展在线 在Rt△CDB中，CD=3OW2, 10.此车已超速.理由如下： ..BC=2CD=60,. 过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则 0-1.2(小时)， 6 AD=500m, .从B到达C需要1.2小时. '∠ABD=45°，∠ADB=90°， 5.依题意，得△ACD是直角三角形， ,∴.BD=AD=500m. .∠BCD=90°-37°=53°，∠A=90°-∠BCD=37°， 又∠ACD=30°，∴∠CAD=60° .90 tan60°-CD-BC+5O 在R△AcD中已AAC- smA≈0.60=150c米). AD 500 ,'.BC=500w3-500≈366m. ∠BDC=90°-53°=37°， 车速为5=12.2m/8 ∴.∠BCD+∠BDC=53°+37°=90°， ∴.∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形 ,40km/h≈11.1m/s, 又12.2>11.1，.此车已超速 ÷8S-=sin∠BDC,BC=90x0.60-54(米)， 一探究在线·九年 .AB=AC-BC=150-54=96(米). 5.6√2 答：A,B两点间的距离为96米. 6.如图，过点D作DE⊥AB于点E.由题 能力在线 意，得四边形BCDE是矩形 6.B7.号海里/分 ADE AED-30 8.(1)由题意，得∠CAB=30°， ∠CBM=60°， BC-DE-aS82≈152.5C米)， ∴.∠ACB=∠CBM-∠CAB=30° ∴.AE=DE=152.5米， (2)无触礁危险.理由如下： 60 .AB=AE+BE=152.5+61≈214（米） 作CD⊥AB于点D, DM东 7.设B处距离码头O有xkm,由题意，得CO=AO· ,∠ACB=∠CAB,.BC=AB=24X tan∠CAO=(28×0.2+x)tan26.5°≈2.8+0.5x, DO=BO·tan∠DBO=xtan49°≈1.15x, 之=12（海里）， .DC=D0-C0,.1.15x-(2.8+0.5x)=6.4, 在Rt△CBD中，CD=BCX sin∠CBD=6√3≈10.392>9， 解得x≈14.2. 继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。 答：渔船在B处时距离码头O有14.2km. 拓展在线 单元综合复习（二）锐角的正弦、余弦、正切 9.(1)过点M作MD⊥NC于点D, 城际铁路线L 热门考点突破 cosa= DMDM V13 ∠道路线 ,解得 道路线1， 1.A2.B3.-1+5 2 4.C5.D MN2√/13 13 DM=2 km 道路线， 6.(1)原式=1-4X号+22×号-1. 2 ∴.l2和l3之间的距离为2km (2)依题意，得∠BAM=30°，BM=√3千米， (2)原式=5×-2×() 2 +1=1. tan30°= 器-瓷-号解得AB=3m, 7.D8.109.A10.17 11.如图，过点D作DE⊥AB于点E, ∴.AC=3+2=5(km) 根据题意，得∠BAC=∠ABC=45°， 又DN=√(2√/13)2-22=4√3(km), ∠BAD=60°， 则NC=DN+BM=5√3(km), AD=10 n mile,BC=8v2 n mile. ∴.AN=√AC+CN=√52+(53)2=10(km), 在Rt△ABC中，AC=BC=8√2 n mile, ∴.AB=√2BC=16(n mile), 10÷150=1亏（小时） 在Rt△ADE中，AD=10 n mile,∠EAD=60°， 市民小强乘坐城际列车从站点A到站点N需要5小时. DE=AD·sin60°=10x5=55(n mile), 2 微专题5构造基本图形解直角三角形的实际应用 AE-7AD-5(n mile), 1.71.8 2.如图，过点C作CE⊥AB于点E,由题 .BE=AB-AE=16-5=11(n mile), 意知，∠CAE=∠CAD+∠DAB=65°， ∴.BD=√DE+BE=√(5√3)2+112=14(n mile). .CE=AC·sin∠CAE≈2X0.91 答：B,D间的距离为14 n mile. 1.82(米). 核心素养提升 :∠CEB=90°，AB与支撑顶杆BC的夹 12.C 角为45°， 综合与实践 坡度 ..BC=√2CE≈2.6（米）」 图② 1.122.B 3.(1)过点D作DH∥AB,交EF于点H,则 E 3.(1)0.78:15.6=(0.78÷0.78):(15.6÷0.78)=1:20, DH EF. “105D 1:20=1:20, ,DH∥AB,.∠CDH=∠DCB=75. 答：这条坡道符合坡度是1：20的轮椅坡道的设计要求， ,'.∠EDH=105°-75°=30° (2)设这条轮椅坡道的垂直高度最高可以设计成x米， 答：台灯灯管DE与水平线的夹角为30°. x:6=1:12 A F CG (2)如图，作DG⊥AB于点G, 12x=1×6 由题意可得，四边形DHFG是矩形，∴.DG=HF. x=0.5 答：这条轮椅坡道的垂直高度最高可以设计成0.5米. 在Rt△DCG中，：sin∠DCG=DC, CD' 4.(1)7.4 .DG≈50X0.97=48.5(cm),∴.HF=DG=48.5cm (2)过点D作DM⊥BC于点M, ,∠BCD=135°， 在Rt△EDH中，'sin∠EDH=F, DE ·∠DCM=45 在Rt△CMD中，∠CMD= ∴.EH=DE·sin30°=40X =20(cm), 90°，CD=6米， 2 ∴.EF=EH+HF=20+48.5=68.5(cm). DM=CM=CD=3VE米， 答：灯管顶端E到写字台AB的距离为68.5cm. 4.延长AB交CD于点H,则CH=EF=2.8m, '在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3√2， 在Rt△ADH中， ∴.EM=√3DM=3√6米， ,∠DAH=∠ADH=45°， .EC=EM-CM=(3√6-3√2)米， ..AH=DH, .BE=BC-EC=8-(36-3W2)=8+3W2-3√6≈4.9（米）. 在Rt△DBH中，∠DBH=53°，∠BHDEA 答：BE的长为4.9米. =90°， BH-.DH ≈DH, 第3章 一元二次方程 3.1一元二次方程的概念 ÷AB=AH-BH=DH-DH=8m, 基础在线 1.D2.A3.34.B '.DH=32m, 5.(1)一般形式为3x2+3x一1=0， .城市岛的高度CD=DH十CH=32十2.8=34.8≈35(m). 二次项系数是3，一次项系数是3，常数项是一1. 答：城市岛的高度约为35m. (2)一般形式为5x2十2=0， 二次项系数是5，一次项系数是0，常数项是2. 级数学（上）·XJ一 17单元综合复习（二】 ■■■热门考点突破■■● 考点1锐角三角函数的概念 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5, 那么下列各式中正确的是 A.tam B.tanB=-是 C.sin D.cosA=是 2.(中考·绵阳)如图，在正方形ABCD中，点E 在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接 EF并延长交AD于点G,连接BF,BG,AB= 4CE=4,则tan∠FBG= A D A.5 C.2⑤ D.2 5 5 3.(中考·扬州)在△ABC中，∠C=90°，a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C的对边，若b2=ac,则 sinA的值为 考点2特殊角的三角函数值 4.(中考·武汉)由4个形状相同、大小相等的菱 形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格 点，点A,B,C都在格点上，∠O=60°，则 tan∠ABC= () A 1 B.2 C.3 3 D③ 2 角的正弦、呆弦、正切 5.若菱形的周长为8√2，高为2，则菱形两邻角 的度数比为 () A.6:1 B.5:1 C.4:1 D.3:1 6.计算： (1)(中考·常德)3°- (2) sin30°+√8cos45°； (2)√3sin60°-2cos230°+tan45°. 考点3解直角三角形 7.(中考·陕西)如图，AD是△ABC的高，若BD =2CD=6,tanC=2,则边AB的长为() A.3√2 B.35 C.3√7 D.6√2 第2章60 8.(中考·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90,AD平分∠CAB,已知c0∠CAD=号， AB=26,则，点B到AD的距离为 考点4解直角三角形的应用 9.(中考·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵 垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水 平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 BC长为m,则大树AB的高为 A.m(cosa-sina) B.m(sina-cosa) C.m(cosa-tana) D.mm sina cosa 245 a.A 水苹地面 B 第9题图 第10题图 10.（中考·赤峰)如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组根据光的 反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具， 按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然 后观测者沿着水平直线BO后退到点D,这 时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A,此时测 得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼 睛与地面距离CD=1.7m,BD=11m,则旗 杆AB的高度约为m.(结果取整数， √3≈1.7) 11.(中考·泸州)如图，海中有两小岛C,D,某渔 船在海中的A处测得小岛C位于东北方向， 小岛D位于南偏东30°方向，且A,D相距 10 n mile.该渔船自西向东航行一段时间后 61探究在线九年级数学（上）·灯 到达点B,此时测得小岛C位于西北方向且 与点B相距8√2 n mile.求B,D间的距离 (计算过程中的数据不取近似值). N 309 ■■●核心素养提升■●● 12.规定：sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, cos(x十y)=cosxcosy-sinzsiny.给出以下 四个结论： ①sin(-30)=2； ②cos2x=cos2x-sin2x; 3cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny; ④cos15°=6-2 4 其中正确结论的个数为 () A.1个B.2个C.3个 D.4个 ©综合与实践坡度 1.如图，公路桥离地面的高度AC为6米，引桥 条轮椅坡道的垂直高度最高可以设计成多少米？ AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现 决定将引桥坡面改为AD,使其坡度为1：6，则 BD的长为 米. 1:6 2.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的 铅垂高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根 长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长 1m处的D点离地面的高度DE=0.6m,又 量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的 4.为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通 坡度为 道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面 AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为 8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的长为 D 6米，通道斜面AB的坡度i=1:√2.（精确到 0.1m,√2≈1.41，w√6≈2.45) A B.3 c D.4 3.无障碍设施的建设，体现了城市“以人为本”的 B 建设理念.无障碍出入口设计的轮椅坡道应有 (1)通道斜面AB的长为 米； 不同的要求.（注：坡度指每条坡道的垂直高度 (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中 与水平长度的比) 的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜 垂 坡度 直 面DE的坡角为30°，求此时BE的长. 水平长度 (1)如图是一条坡道的示意图，这条坡道是否 符合坡度是1：20的轮椅坡道的设计要求？写 出判断理由； 出入口 坡道 0.78m 15.6m (2)如果要设计一条轮椅坡道的坡度是1：12， 而建筑物前只有6米水平长度的空地，那么这 综合与实践62