专题06 直线与圆的位置关系全章27大题型复习（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题06 直线与圆的位置关系 题型1 判断直线和圆的位置关系（常考点） 题型15圆外切四边形模型（难点） 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值（常考点） 题型16 过圆外一点作圆的切线(尺规作图)（重点） 题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离（常考点） 题型17 圆的综合题---圆内知识的综合（难点） 题型4求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离（常考点） 题型18 圆的综合题---圆与三角形的综合（难点） 题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离（常考点） 题型19 圆的综合题---圆与四边形的综合（难点） 题型6有关切线的概念辨析 （常考点） 题型20 三角形内心有关的应用（重点） 题型7 判断或补全使直线为切线的条件（常考点） 题型21一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系（常考点） 题型8 证明圆的切线----有交点（重点） 题型22三角形内切圆与外接圆的综合（重点） 题型9 证明圆的切线---无交点（重点） 题型23求正多边形的中心角（常考点） 题型10 切线的性质（重点） 题型24正多边形与圆中求周长或面积（常考点） 题型11切线的性质与判定的综合（难点） 题型25 已知正多边形的中心角求边数（常考点） 题型12 应用切线长定理求解（重点） 题型26 正多边形与圆中求边心距、边长（常考点） 题型13 应用切线长定理证明（重点） 题型27正多边形与圆的综合应用（重点） 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系（重点） 题型1 判断直线和圆的位置关系（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 2．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 3．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，再根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：由可得 解得， 即的半径是3或4 当的半径是3时，，即，直线与圆相切， 当的半径是4时，，即，直线与圆相交， 故答案为：相交或相切 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系． 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值（共3小题） 4．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离（共3小题） 7．已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答． 【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点， ∴点到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键． 8．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是． 【详解】解：设切点为，连接，则 圆的半径，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数 所以x的取值范围是 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围． 9．如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ． 【答案】 7 【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）如图1，∵l⊥PA， ∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大， 最大值为AO+AP＝5+2＝7； （2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时， 线段MN是⊙O的直径， ∵l⊥PA， ∴∠APO＝90°， ∵AP＝2，OA＝5， ∴OP＝＝， 故答案为7, 【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题. 题型4求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离（共3小题） 10．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 11．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 12．（24-25 九年级上·山东济宁·期中）如图，平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为，若将向上平移，则与x轴相切时点 P坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当P移到点时，与x轴相切，过P作直径与D，连接，      由垂径定理得：， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴的坐标是， 故选A． 【分析】本题考查垂径定理，切线的性质，勾股定理，能理解题意画出图形和正确作出辅助线是解题的关键． 题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离（共3小题） 13．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 14．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 15．如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 题型6有关切线的概念辨析（共3小题） 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 17．下列四个选项中的表述，一定正确的是（    ） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线， 故A，B，D选项不正确，C选项正确， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 18．如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 【答案】D 【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径． 【详解】解：连接OD，OC． ∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴DE是圆的切线．故A正确； ∴DE2=CE?AE 即：36=2AE ∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确； ∵AB是圆的直径． ∴∠ACB=90°， ∵DE垂直于AC的延长线于E． D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴四边形CFDE是矩形． ∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm． 在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确； 在直角△ABC中，AC=16，AB=20， 则∠ABC≠30°， 而D是弧BC的中点． ∴弧AC≠弧CD． 故D错误． 故选D． 题型7 判断或补全使直线为切线的条件（共3小题） 19．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，在中，，D是BC边上一点，连接AD，以AD为直径作．下列条件不能判定BC为切线的是（    ） A．点D是BC的中点 B．AD平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握以上知识点． 逐一分析是否能够证明即可． 【详解】解：A、∵，点是的中点， ∴， ∴为切线．故A选项不符合题意； B、∵，平分， ∴， ∴为切线．故B选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴为切线．故C选项不符合题意； D、无法证明， 不能判定为切线，故D选项符合题意． 故选：D． 20．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点． 【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 试题解析：（1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切， 故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切． 题型8 证明圆的切线----有交点（共3小题） 22．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，AB为的直径，AC、DC为弦，，P为AB延长线上的点，．求证：DP是的切线． 【答案】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵OD是的半径， ∴DP是的切线． 【分析】首先根据圆周角定理得到，然后根据三角形外角的性质得到，即可证明出DP是的切线． 【详解】略． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，切线的判定，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，三角形外角的性质． 23．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，．请说明是的切线．    【答案】 证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，结合条件可得，进而证明是的切线. 【详解】略. 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，掌握切线的判定方法是解本题的关键. 24．（2026·江苏徐州·二模）如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由菱形性质得且，进而推出，结合已知，用证明全等； （2）连接，由全等得，再结合菱形四边相等且，推出，得为等腰三角形，利用三线合一证，从而得为切线． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 在和中： ． （2）证明：连接， 由（1）， ， 四边形是菱形，且、为的半径， ， ， 在中，，， ， 点在上，为半径， 是的切线． 题型9 证明圆的切线---无交点（共3小题） 25．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． 求证：CD与⊙O相切． 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 【详解】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键． 26．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与线段交于点D．求证：为的切线； 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过O作于H，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论 【详解】证明：过O作于H， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， 即为的半径， ∵， ∴为的切线； 27．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC． 【详解】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键． 题型10 切线的性质（共3小题） 28．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，再根据切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 29．如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于点，，则等于(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据切线的性质可得，结合已知可得，进而根据圆周角定理求得，是的直径，可得，进而求得． 【详解】解：连接，， 是的切线， ， ， ， ， ∵是的直径， ∴ ． 30．如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设半径为r，结合可知，所以，，因为是的切线，所以，结合是等腰直角三角形，可得，因此是等腰直角三角形，得到与的关系．结合第一步得到的与r的关系，代入的长度列方程求解r．最后根据勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， 设的半径为， 因为是直径，为圆心， 所以， ， ． 是等腰直角三角形，，， 到圆心的距离为：． 是的切线， ，， 为等腰直角三角形， ． ， 解得． ，． ． 题型11切线的性质与判定的综合（共3小题） 31．（2026·湖北·模拟预测）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【详解】（1）略 （2）解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 32．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，弦于点，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线相交于点，直线交的延长线于G． (1)求证：与相切； (2)求证：四边形是平行四边形； 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 即是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 与相切； (2) 证明：是的切线， ， 弦于点， ， 又， 四边形是平行四边形； 【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明即可完成求证． （2）利用切线的性质得到，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，涉及到了平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是构造等边三角形，掌握相应的性质定理以及方法． 33．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在中，以为直径的交于点D，E是的中点，交于点F，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， 是的中点， ∴，， ， ， 是直径， ， ， ， ，即， 与相切． (2) 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定与性质、等角对等边、勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，即可得出，根据是直径得出，根据角的和差关系得出，即可得结论； （2）根据角的和差关系得出，即可证明，设，在中，利用勾股定理求出，，利用等积法求出，进而利用勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， 解得：，即，， ∵， ， ， ． 题型12 应用切线长定理求解（共3小题） 34．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，，是的切线，切点分别为，，点在上，如果，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在优弧上取点，连接、，利用圆内接四边形对角互补，由求出，再根据圆周角定理求出，接着根据切线的性质及余角性质得出，证明平分，最后通过角平分线的性质即可得出的大小． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵，是的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴，即平分， ∴． 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 36．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 题型13 应用切线长定理证明（共3小题） 37．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】 证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】略 38．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． 又∵， ∴ ∴； (2) 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理的应用； （1）证明，得出，进而根据切线长定理可得，即可得证； （2）根据（1）可得，切线长定理可得，进而根据勾股定理求出，，进而求得的长． 【详解】（1）略． （2）解：根据（1）可得 ， ， ； ∴， ，与相切，， ． 在中，， ∴ ∴， ， 在中，． 39．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 【答案】(1) 解：如下图，连接， 与相切于点E， ， ， ， ， 是的半径，， 与相切于点C， ， 在和中，， ， ， ， ； (2)、 【分析】（1）连接，由切线得性质得：，再证明与相切于点C，则，再证，得，则，即可得答案； （2）先求出的值，由，求出，再证明垂直平分，则，求出的长，即可得答案． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ，且， ， 解得：， ， ， 点O、点A都在线段的垂直平分线上， 垂直平分， ， ， ， ， 线段，的长分别是1、． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系（共3小题） 40．（22-23九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 41．两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点M，求出，根据面积法求出，进而得出，在求出，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点M， 设，， ∴， ∵的内心是三角形角平分线的交点O，外心是斜边的中点M， ∴， 根据三角形的面积可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴内心与外心的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键． 42．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 题型15圆外切四边形模型（共3小题） 43．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．    【答案】 证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 【分析】根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解 ． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理得出，，，，是解答本题的关键． 44．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 45．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系． 题型16 过圆外一点作圆的切线(尺规作图)（共3小题） 46．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得经过点C，并且与边都相切；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为 ． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 【分析】此题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的作图和性质等知识，准确作图是关键． （1）作角平分线交于点，过点作于点D，根据角平分线的性质得到，以点为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）设的半径为，根据求出，证明，根据等积法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵在中，．，， ∴， ∵，．角平分线交于点， ∴， ∴ , ∴， 解得 即的半径为． 47．如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1) 如图，点O即为的内切圆圆心， (2) (3)2 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 48．如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作图，作圆，作垂直平分线，矩形的性质，切线的性质等知识，作出垂直平分线是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点P，以点P为圆心，为半径画圆即可． （2）按照要求作图即可． 【详解】（1）解：即为所求， ∵四边形是矩形， ∴ 由作图得出且为的半径， ∴都是的切线 故与边、分别相切于点、； （2）解：①作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点； ②作线段的垂直平分线交于点Q； ③以Q为圆心，长为半径作， 如下：即为所求． ∵经过、两点， ∴点在的垂直平分线上， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 则点为切点，故在圆上， ∴是圆的弦， ∴作出弦的垂直平分线，与上述的垂直平分线交于一点即为点（圆心是两条不重合的弦的垂直平分线的交点） 题型17 圆的综合题---圆内知识的综合（共3小题） 49．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，以为直径作交于点，作交于点．    (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于点，若，，求半径的长． 【答案】(1) 证明：连接， ， ，     ， ， ， ，     ，      ， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定、等腰三角形，等边三角形性质等知识；解题的关键是通过连接得到平行关系，利用“垂直+半径”证切线；在求半径时，利用勾股定理建立方程；易错点是切线判定条件的完整推导， （1）连接，证明，结合推出，从而得证是切线； （2）通过证 相等，得到为等边三角形，利用获得边长关系，再用勾股定理建立方程，求得半径． 【详解】（1）略 （2） ， ，     是的直径， ， ， ， ， ， ，     在中，，， ， ， 半径的长为2. 50．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图1，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，，过点作交于点，连接，． (1)证明：． (2)如图2，过点作的切线交的延长线于点，若，且，求的长． 【答案】(1)证明：设交于G， ∵为的直径， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到 ，由平行线的性质得到，证明，得到，再证明，即可证明； （2）如图所示，连接，先求出，则，进而得到，由平行线的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，可得，则；是的切线，再证明，得到，则． 【详解】（1）略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．在锐角中，，． （1）如图1，求外接圆的直径； （2）如图2，点I为的内心，AI的延长线交外接圆于D， ①求证； ②若，求内切圆的半径（不需化简）． 【答案】（1）； （2）①如图2，连接BI， ∵I为的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI, ∵ ∴∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAD， ∴∠ABI+∠BAD =∠CBI+ DBC， 即∠BID=∠DBI， ∴； ②． 【分析】（1）作直径CE，连接BE，证明△BEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）①连接BI，根据I为的内心，得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI,进而证明∠DBC=∠BAD，得到∠BID=∠DBI，问题得证； ②连接CI，作BH⊥AC与H，IM⊥BC于M，IF⊥AC于F，IN⊥AB，先求出BH、AC长，在利用面积法构造非常即可求解． 【详解】解：（1）如图1，作直径CE，连接BE， ∵CE为直径， ∴∠CBE=90°， ∵∠A=45°， ∴∠BEC=45°， ∴∠BCE=45°， ∴BC=BE=， ∴△BEC是等腰直角三角形， ∴CE=， 外接圆的直径为； （2）①略． ②如图3，连接CI，作BH⊥AC与H，IM⊥BC于M，IF⊥AC于F，IN⊥AB， ∵BH⊥AC，∠BAC=45°， ∴∠BAC=∠ABH=45°， ∴AH=BH=， ∴CH=， ∴AC=AH+CH=， ∵I为的内心， ∴设IN=HM=IF=x， ∴， 即， ∴， ∴， ∴内切圆的半径为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与内切圆知识，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形判定等知识，综合性较强，熟知相关定理，根据题意添加适当辅助线是解题关键． 题型18 圆的综合题---圆与三角形的综合（共3小题） 52．（2026·四川雅安·二模）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径和的长度． 【答案】(1)见详解 (2)； 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质等知识点． （1）连接，通过圆周角定理，平行线的性质，得到，继而得证结论． （2）作于点，设的半径为，根据勾股定理可得，利用三角形不同边上的高计算面积相等，得到，继而根据勾股定理得到及的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 又， ， ， 是的切线； （2）解: 如图，作于点， 设的半径为，则， ， 在中，， , 解得， ， ， ， ， ， 在中，， ． 53．（25-26九年级下·江苏无锡·月考）已知△中，，为的弦，直线与相切于点． (1)如图1，连接，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图2，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据切线性质得出于点，即，根据平行线的性质得出，求出，根据垂径定理得出，，求出，得出，根据圆周角定理得出； （2）连接，求出，根据含度角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，即可得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵为的切线，且为直径， ∴于点，即， ∵， ∴， ∴， 即于点， ∵于点，且为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， 由（1）可知，且， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴由勾股定理， 即， 解得，负值舍去， 即线段的长为． 54．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，点为斜边上的一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求阴影部分的面积(结果保留)． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、扇形面积、等腰三角形的性质． （1）连接，利用切线的性质得到垂直于，结合直角三角形垂直于，证得平行于，再利用等腰三角形等边对等角的性质，通过等量代换证得，从而证明平分C． （2）连接、，先根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，证得为等边三角形，得到，再利用圆周角定理得到，结合角平分线的性质得到，证得平行于，利用等底等高的三角形面积相等，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，最后根据扇形面积公式计算得到结果． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵是的切线，为切点， ∴． 又∵是直角三角形，，即， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：如图，连接，，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 题型19 圆的综合题---圆与四边形的综合（共3小题） 55．如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查切线的性质和判定，求弧长，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明为等边三角形，进而得到，再利用弧长公式进行计算即可； （2）连接，作于点，切线的性质得到，角平分线的性质，得到，即可得证； （3）设的半径为，则，在中利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：连接，作于点， ∵与相切于点M， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切； （3）解：设的半径为，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ∴设的半径为3． 56．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，点在的延长线上，且平分． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得，由圆内接四边形对角互补可得，即可得，由平分得由三角形内角和定理即可求出； （2）过点作，垂足为，由垂径定理得，利用勾股定理得，由平分得，由得，即可得，进而得，由是的切线得，即可得，可证四边形是矩形，得，，即可得，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，垂足为， ∴， 在中， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线 ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角为直角、圆内接四边形的性质、垂径定理、切线的性质定理、角平分线的定义、矩形的判定与性质以及勾股定理，利用角平分线与等腰三角形得平行关系，结合垂径定理与矩形判定计算线段长度是解题的关键． 57．如图，是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，．    (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）由切线的性质得出，求出，得出，由圆周角定理可得． （2）证出，由垂径定理得出，证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出，，求出，即可得出即可； （3）根据（1）（2）得到的相关结论证明、，然后根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵，， ∴ ∵是等边三角形， ∴,即, ∵， ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握圆周角定理、垂径定理和等边三角形的相关知识是解题的关键． 题型20 三角形内心有关的应用（共3小题） 58．如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内心的性质得，分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点O是的内心，， ，， ， ， 点O是的外心， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键． 59．如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由三角形内切圆的圆心为三条角平分线的交点，可知，，利用三角形外角的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，进而可证，推出，则． 【详解】解：点为的内切圆的圆心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、三角形外角的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，难度一般，解题的关键是通过导角证明． 60．如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 【答案】 115 80 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据、分别平分、，得出，，根据求出结果即可； （2）根据角平分线的性质求出，根据当时，，得出此时，求出． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴ ； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴此时， ∴． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点． 题型21一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系（共3小题） 61．如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 62．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 63．如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 题型22三角形内切圆与外接圆的综合（共3小题） 64．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE， (1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数； (2)求证：DE=DB． 【答案】(1)124° (2) 证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC ∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD ∴∠DEB=∠DBE ∴DE=DB ． 【分析】（1）根据圆周角定理求出，根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出∠EBC； （2）根据内心的性质，三角形的外角定理证明． 【详解】（1）解：∵∠CBD=34° ∴∠CAD=34° ∵点E是△ABC的内心 ∴∠BAC=2∠CAD=68° ∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56° ∴∠BEC=180°-56°=124° （2）略． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心的概念，三角形的外角的性质是解题的关键． 65．已知一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为． (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． (2)用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于三角形是等腰三角形，过作于，那么根据勾股定理得到，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在上，分别连接、、，然后利用三角形的面积公式即可求解； （2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆即是这个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设这块三角形钢板为，且腰为 ，底为 ，如图，过作于．根据题意可知该三角形内切圆即为这块钢板上截得的最大圆． ， ， 根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得： ， ． 是的内切圆， ． ，即． 设的半径为． ， 解得：． 故由这块钢板上截得的最大圆的半径为． （2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆即是这个三角形的外接圆．设覆盖圆的半径为，圆心为．如图，连接． 根据（）可知 ， ． 在中，，即． 解得：． 故这个圆的最小半径为． 【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性． 66．如图，是等腰的外接圆，，为上一点，为的内心．    (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵是直径， ∴． ∵为的内心， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴． ∴； (2)4 【分析】（1）由圆周角定理及等腰三角形性质可知，，由为的内心，可知，进而可得； （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，在上截取，使，连接，．根据等腰直角三角形的性质易证可得，，进而求得，由是的内心，可知，，都是切点，根据切线长定理可知，，．由可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，在上截取，使，连接，．    ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴． ∴，． ∴． ∴， ∵是的内心，，，都是切点， ∴，，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线长定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内心，熟练掌握相关性质及定理是解决问题的关键． 题型23求正多边形的中心角（共3小题） 67．下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（　　） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查旋转对称图形．熟练掌握正多边形的中心角等于，以及旋转对称图形的定义，是解题的关键． 68．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】根据正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，由已知边长与半径相等，可知一边所对的圆心角为，即得答案． 【详解】解：如图所示的正多边形中， ， 为等边三角形， ， 这个正多边形的中心角为． 故选B． 【点睛】此题主要考查正多边形的中心角概念，正确理解题意与中心角概念相结合是解此题的关键． 69．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】连接，先求出的度数，然后利用正多边形外角和等于，即可求出答案． 【详解】解：连接，如图： 根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O， ∴，， ∴； ∵是某正n边形的一个中心角， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出的度数． 题型24 已知正多边形的中心角求边数（共3小题） 70．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 71．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 72．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为__________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 题型25 正多边形与圆中求周长或面积（共3小题） 73．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【答案】D 【分析】连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长，即可得到周长． 【详解】解：连接、，如图：    的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， ∴正六边形的周长为18， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形． 74．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积 为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C． 【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，根据三角形内角和定理可得∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，所以∠FEG＝90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题． 【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形， ∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°， ∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°， ∴∠FEG＝90°， ∵EF＝4， ∴EGEF， ∴△GEF的面积EF•GE4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质． 75．如图，正方形的剪去四个角后成为一个正八边形． （1）若正八边形的边长为2，则剪去四个角的面积和为 　 　； （2）若正方形的边长为2，求正八边形边长． 【答案】（1）4； （2）2． 【分析】（1）设剪去三角形的直角边长x，利用正八边形的边长为2，根据勾股定理可得，三角形的直角边长，进而求出剪去四个角的直角三角形面积和； （2）利用求线段和的方式可得原正方形的边长． 【详解】解：（1）∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， 设剪去△ABC边长AC＝BC＝x，可得： x2+x2＝4， 解得：x， ∴四个直角三角形面积和4＝4； 故答案为：4； （2）设正八边形的边长为y，，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为y， ∵正方形的边长为2， ∴2， 解得y＝2， ∴正八边形的边长为2． 【点睛】本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题． 题型26 正多边形与圆中求边心距、边长（共3小题） 76．生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 【答案】B． 【分析】根据正六边形的性质，边长等于半径R，可得R＝4cm，连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 【详解】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm， 连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD＝CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC120°， ∴∠ABD60°， ∴∠BAD＝30°，AD＝42， ∴a＝2AD＝4cm． 故选：B． 【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 77．如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 78．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝5，求⊙O的半径． 【答案】5． 【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接OB、OD、OC，如图所示： ∵等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边， ∴∠AOC360°＝120°，∠AOD360°＝30°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC＝ODCD5， 即⊙O的半径为5． 【点睛】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键． 题型27 正多边形与圆的综合应用（共3小题） 79．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 【答案】证明见解析 【详解】试题分析：要求证五边形AEBCF是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可． 试题解析： 连接BF，CE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°． 又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F， ∴AF=CF，AE=BE， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°， ∴ ， ∴AE=AF=BE=BC=FC， ∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA． ∴五边形AEBCF为正五边形． 80．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C． ​（1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 　　 ． 【分析】（1）连接AC，证明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后证明AB＝CB，即可解决问题； （2）根据勾股定理求出OC＝2，进而可以求出正方形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴AC是⊙O的直径， ∵EF与⊙O相切于点C， ∴AC⊥EF， ∵OE＝OF， ∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC， ∴∠AOF＝∠AOE， ∵OA＝OA， ∴△AOF≌△AOE（SAS）， ∴AF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAE＝90°， ∴ACEF＝CF＝CE， ∴∠CAE＝45°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∴AB＝CB， ∴矩形ABCD是正方形； （2）解：∵OCAC，AC＝CF， ∴CF＝2OC， ∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2， ∴102＝OC2+4OC2， ∴OC＝2， ∴ABOC， ∴AB2＝10， ∴正方形ABCD的面积是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 81．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC． 下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法． 证明：在AP上截取AE=CP，连接BE ∵△ABC是正三角形 ∴AB=CB ∵∠1和∠2的同弧圆周角 ∴∠1=∠2 ∴△ABE≌△CBP （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB． （3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PA=PC+PB 【分析】（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA＝BE＝PB＋PC； （2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得PA＝PC＋PB；（3）在AP上截取AQ＝PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ＝BP．又因为∠APB＝30°．所以PQ＝PB，PA＝PQ＋AQ＝PB＋PC. 【详解】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC， 连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°， ∴∠CPE＝60°， ∴△PCE是等边三角形， ∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°； 又∵∠EBC＝∠PAC， ∴△BEC≌△APC， ∴PA＝BE＝PB＋PC． （2）过点B作BE⊥PB交PA于E． ∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3， 又∵∠APB＝45°， ∴BP＝BE，∴； 又∵AB＝BC， ∴△ABE≌△CBP， ∴PC＝AE． ∴． （3）答：； 证明：在AP上截取AQ＝PC， 连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC， ∴△ABQ≌△CBP， ∴BQ＝BP． 又∵∠APB＝30°， ∴PB ∴PB+PC 【点睛】本题考查了正多边形和圆、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 题型1 判断直线和圆的位置关系（常考点） 题型15圆外切四边形模型（难点） 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值（常考点） 题型16 过圆外一点作圆的切线(尺规作图)（重点） 题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离（常考点） 题型17 圆的综合题---圆内知识的综合（难点） 题型4求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离（常考点） 题型18 圆的综合题---圆与三角形的综合（难点） 题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离（常考点） 题型19 圆的综合题---圆与四边形的综合（难点） 题型6有关切线的概念辨析 （常考点） 题型20 三角形内心有关的应用（重点） 题型7 判断或补全使直线为切线的条件（常考点） 题型21一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系（常考点） 题型8 证明圆的切线----有交点（重点） 题型22三角形内切圆与外接圆的综合（重点） 题型9 证明圆的切线---无交点（重点） 题型23求正多边形的中心角（常考点） 题型10 切线的性质（重点） 题型24正多边形与圆中求周长或面积（常考点） 题型11切线的性质与判定的综合（难点） 题型25 已知正多边形的中心角求边数（常考点） 题型12 应用切线长定理求解（重点） 题型26 正多边形与圆中求边心距、边长（常考点） 题型13 应用切线长定理证明（重点） 题型27正多边形与圆的综合应用（重点） 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系（重点） 题型1 判断直线和圆的位置关系（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 3．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值（共3小题） 4．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离（共3小题） 7．已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ． 题型4求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离（共3小题） 10．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 11．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 12．（24-25 九年级上·山东济宁·期中）如图，平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为，若将向上平移，则与x轴相切时点 P坐标为（    ）      A． B． C． D． 题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离（共3小题） 13．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 14．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 15．如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 题型6有关切线的概念辨析（共3小题） 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 17．下列四个选项中的表述，一定正确的是（    ） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 18．如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 题型7 判断或补全使直线为切线的条件（共3小题） 19．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，在中，，D是BC边上一点，连接AD，以AD为直径作．下列条件不能判定BC为切线的是（    ） A．点D是BC的中点 B．AD平分 C． D． 20．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 题型8 证明圆的切线----有交点（共3小题） 22．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，AB为的直径，AC、DC为弦，，P为AB延长线上的点，．求证：DP是的切线． 23．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，．请说明是的切线．    24．（2026·江苏徐州·二模）如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 题型9 证明圆的切线---无交点（共3小题） 25．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． 求证：CD与⊙O相切． 26．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与线段交于点D．求证：为的切线； 27．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 题型10 切线的性质（共3小题） 28．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于点，，则等于(     ) A． B． C． D． 30．如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型11切线的性质与判定的综合（共3小题） 31．（2026·湖北·模拟预测）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 32．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，弦于点，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线相交于点，直线交的延长线于G． (1)求证：与相切； (2)求证：四边形是平行四边形； 33．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在中，以为直径的交于点D，E是的中点，交于点F，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 题型12 应用切线长定理求解（共3小题） 34．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，，是的切线，切点分别为，，点在上，如果，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 36．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 题型13 应用切线长定理证明（共3小题） 37．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 38．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 39．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系（共3小题） 40．（22-23九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 41．两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（    ） A．2 B． C． D． 42．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 题型15圆外切四边形模型（共3小题） 43．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．    44．（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 45．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 题型16 过圆外一点作圆的切线(尺规作图)（共3小题） 46．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得经过点C，并且与边都相切；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为 ． 47．如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 48．如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 题型17 圆的综合题---圆内知识的综合（共3小题） 49．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，以为直径作交于点，作交于点．    (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于点，若，，求半径的长． 50．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图1，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，，过点作交于点，连接，． (1)证明：． (2)如图2，过点作的切线交的延长线于点，若，且，求的长． 51．在锐角中，，． （1）如图1，求外接圆的直径； （2）如图2，点I为的内心，AI的延长线交外接圆于D， ①求证； ②若，求内切圆的半径（不需化简）． 题型18 圆的综合题---圆与三角形的综合（共3小题） 52．（2026·四川雅安·二模）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径和的长度． 53．（25-26九年级下·江苏无锡·月考）已知△中，，为的弦，直线与相切于点． (1)如图1，连接，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图2，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 54．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，点为斜边上的一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求阴影部分的面积(结果保留)． 题型19 圆的综合题---圆与四边形的综合（共3小题） 55．如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 56．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，点在的延长线上，且平分． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若的半径为，，求的长． 57．如图，是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，．    (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 题型20 三角形内心有关的应用（共3小题） 58．如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 59．如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 60．如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 题型21一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系（共3小题） 61．如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 62．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 63．如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 题型22三角形内切圆与外接圆的综合（共3小题） 64．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE， (1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数； (2)求证：DE=DB． 65．已知一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为． (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． (2)用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ 66．如图，是等腰的外接圆，，为上一点，为的内心．    (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，求的值． 题型23求正多边形的中心角（共3小题） 67．下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（　　） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 68．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．120° 69．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 题型24 已知正多边形的中心角求边数（共3小题） 70．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 71．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为____． 72．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为__________． 题型25 正多边形与圆中求周长或面积（共3小题） 73．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 74．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积 为（　　） A．2 B．3 C． D． 75．如图，正方形的剪去四个角后成为一个正八边形． （1）若正八边形的边长为2，则剪去四个角的面积和为 　 　； （2）若正方形的边长为2，求正八边形边长． 题型26 正多边形与圆中求边心距、边长（共3小题） 76．生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 77．如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 78．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝5，求⊙O的半径． 题型27 正多边形与圆的综合应用（共3小题） 79．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 80．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C． ​（1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 　　 ． 81．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC． 下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法． 证明：在AP上截取AE=CP，连接BE ∵△ABC是正三角形 ∴AB=CB ∵∠1和∠2的同弧圆周角 ∴∠1=∠2 ∴△ABE≌△CBP （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB． （3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $