专题01 直线与圆（八大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 直线与圆（八大题型) 考点归纳 考点01直线的参数问题 考点02直线中的最值问题 考点03圆中的参数问题 考点04圆中的最值问题 考点05圆的几何性质 考点06轨迹问题 考点07直线与圆的位置关系 考点08圆与圆的位置关系 考点专练 考点01直线的参数问题 一、单选题 1.在直角坐标平面内，过定点P的直线l:ar+y-2=0与过定点的直线m:x-a四y+2=0相交于点M, 则点M到点(，1)的距离的最大值为() A.√2+1 B.V2+2 c.V2-1 D.22 2.己知点A(2,0),B(6,0),若直线x-y+2=0上存在点P,使得PA⊥PB,则实数t的取值范围为( A .o 3.设直线1的方程为x-sin0+2=0(8eR),则直线1的倾斜角a的取值范围是() ππ A.[0, B.42 c[ o[5] 二、多选题 4.已知直线4：4x+3y-4=0,4:mr+y-1-2m=0(m∈R),则下列说法正确的有() 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若1∥1，则直线1，，之间的距离为5 B.原点到直线2的最大距离为V⑤ C若直线L不过第四象限，则)≤m<0 D。若直线马在两坐标轴的发距相等，则m=1或m= 5.已知直线1：(a+2)x+y-2=0与：(a-2)x+3y-6=0,下列选项正确的是() A.若l/n,则a=6或a=-1 B.若l⊥n,则a=1 C.直线1恒过点（凸，-1） D.若直线”在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为y=一3-2 6.已知直线4：ax+y+a-2=0,12:x-y-1=0,:x+y-1=0,且直线，1，围成三角形的面 积为S,则() A.直线马恒过定点A(-1,2) B.3a∈R,使得l川 C.S的最大值为2 D.如果S=1,则实数a有4个不同取值 三、填空题 7.对任意实数m,始终不在直线-m)x+2my-2W3m-2=0上的点构成的集合为 四、解答题 8.直线1：(m+2)x+(1-2m)y+4m+3=0,其中m为实数. (1)求证：无论m取何值，直线恒过定点P,并求出点P的坐标： (2)设M(L,7),若直线4过点P,且点M到直线马的距离等于3，求直线的方程： (3)若直线2过点P,且与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，试求△AOB面积的最小值及此时 直线2的方程. 9.已知直线1：(1+m)x+(2-m)y+5-m=0 (1)证明：不论m为何实数，直线恒过一定点M: (2)若直线不经过第四象限，求实数m的取值范围； (3)若直线！与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程. 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.己知4：mx-y+m=0,☑：x+my-m(m+l)=0,:(m+1)x-y+(m+l)=0,i记4A=A, 42∩l3=B.4∩l=C (1)当m=2时，求原点关于的对称点坐标： (2)在△ABC中，求BC边上中线长的最小值； (3)求△ABC面积的取值范围. 考点02直线中的最值问题 一、单选题 1.设点A(-1,),B(2,5),C(4,3),D(0,-5),E(3,-4),F(⑧，-6)，若直线1分别与△ABC、ADEF各恰 有一个交点，则直线的斜率的最小值为() 9 A.4 B.5 C.6 D.-7 2.设m∈R,动直线：x+my-1=0过定点A,动直线：x-y-2m+V5=0过定点B,若直线马与 相交于点P(异于点A,B),则△PAB周长的最大值为() A.2V2+2 B.3V2+2 C.2W2+3 D.3V2+3 3.己知直线(k+1)x+-k=0(k∈R)恒过定点A,圆O:x2+y2=4上的两点P(:,片)，Q(x,)满足 PA=40eR),则k+2y+7+k+2+7的最小值为() A.32-V5 B.16-5 c,16+V5 D.32+25 4.点A(4,6)到直线1：(5-1)x-(27元-1)y+221=0的最大距离是() A.4 B.5 C.6 D.V34 b+2 5.已知直线1，：mx+y-2=0与直线1，：x-my+2=0交于点M,设点M(a,b),则a的取值范围是 () A.[-7,] B.（-o,-7八[1，+∞) c.[-1,7] D.（-o,-1J[7,+∞) 二、多选题 6.如图，△ABC是等腰三角形，A(O,5),B(-V5,-),C(5,-),D是BC的中点，坐标原点E在线段 AD上，过点E的直线与线段AB,AC分别交于F,G两点，则() 3/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A G B D C √53 A.直线，的斜率的取值范围为[-3,3 B.点G的纵坐标的最大值为 c. 3 iras v3 19 1 24 D.257 三、填空题 7.f(x)=Vx2+4x+29+Vx2+2x+10的最小值为一. 8.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=6,P是边4B上异于A、B的点，光线从点P出发， 经BC、CA反射后又回到点P,若AR=1,则AP= 9.在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边，然 后按照光线反射的方向弹出.如图，现有一目标球从点A(一2,3)无旋转射出，经过直线y=1(桌边)上的 点P反弹后，恰好能从M(2,7),N(4,4)两球的中间穿过去（与M,N球不能相撞），则直线AP的斜率 的取值范围为 ·(球的大小忽略不计) 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A P 0 四、解答题 10.已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1, (1)求证：直线过定点： (2)若P(2,-)到直线1的距离为V5,求1的方程： (3)若直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点， (i)当△AOB面积最小时，求a的值： (i)已知(1,2)，求AgQB的最小值. 考点03圆中的参数问题 一、单选题 4v5 1.若圆2+0+1=2（，>0）上到直线y=2x-2的距离为5的点有且仅有2个，则半径，的取值范 围是() 256√5 A. 2 55 65 D. 2.已知A(-1,0),B(1,0),直线y=k(x-4)上存在点P,使得PAPB=3,则k的取值范围为() 「53 A.33 c. D.[-2,2] 3.己知点，l)在圆x2+y2-ar+ .2-2=0外，则实数。的取值范围为（） A.0u(信+j】 8.(20u传2 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.(-2,2) 4.已知圆C:x-12+0+22=1,AB为圆C的一条弦，且4B=V5,若圆 C2:x-4)2+0-2)2=r2(>0)上存在点P,使得直线PA,PB与圆C相切，则r的取值范围是() A.[2,+∞) B.[2,6] c.[3,+oo) D.[3,7] 二、填空题 5.在平面直角坐标系x0y中，己知圆0：x2+y2=1,圆0：(x-4)+y2=4,动点P在直线1： x-2W2y+b=0上(b>0),过P分别作圆O,圆O的切线，切点分别为A,B,若满足PB=2P4的点P 有且只有一个，则实数b的值为 6.若圆x2+(0y-2=r2(>0)上到直线y=V3x-2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 7.己知直线y=k(x+1)与圆C:(x-)+y2=4相交于点A'B' ∠ACB=2π =3,则k= 8.已知A(-1,2),B(-1,4),C(2,-I)三点，点P在圆x2+y2=4上运动，设PA+PB+PC的最大值 为m,最小值为n,则m+n= 9.已知圆M:(x-)+(y-)=2,直线1为x+y-m=0(m>0),已知直线1与圆M相离，若在直线 1I上存在点A,在圆上存在两点B、C,使得∠BAC=60°，则实数m的取值范围是 10.己知圆A:(x+2}+y=1,圆B:(-2)+y2=2,直线3x+4y+1=0上存在点P,过点P向圆A引两 条切线PC和PD,切点是C和D,再过点P向圆B引两条切线PE和PF,切点是E和F,若 ∠CPD=∠EPF,则实数t的取值范围为 考点04圆中的最值问题 一、单选题 1.已知点N(6,2),点M在圆C:(x-2)}+(y+)=9上，若Q是直线x-y+5=0上的点，则QM+QN的 最小值为() A.7 B.10 C.13 D.16 6/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆的圆心为 ，半径， C C(2,-1) r=3 2.已知点P在直线x-y+2=0上，过点P作圆(x-4+y=2的切线，则切线的长的最小值为() A.2 B.23 C.4 D.43 二、多选题 3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后 人称为三角形的“欧拉线”若△ABC满足AC=BC,顶点A(1,0),B(-1,2),且其“欧拉线”与圆M: (x-1)2+y2=2相切，则下列结论正确的是() A.圆M上的点到原点的最大距离为l+√2 B.圆M上存在三个点到直线x-y-1=0的距离为V2 C.若点(x,y)在圆M上，则x+的最小值是-1 D.若圆M与圆x2+0-a)2=2有公共点，则a∈（√万，V7) 4.己知直线1：(x-1)cos0+ysin0-2=0与圆C:(x-2)+(y-1=16相交于A,B两点，则下列结论正确 的有() A.直线1与圆x2+y2-2x-3=0相切 B.点C到的最大距离为2-V2 C.直线过一定点 D.△ABC的面积最大值为8 5.已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y-2x-3=0,则下列选项正确的是() A.x2+y2的最大值是9 8.上+2 12 x+2的最大值是 C.x+y的最大值是2W2+1 D.k-y+3到的最小值是2W2-5 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.已知圆M:(c-2+y=1,点P是直线1：x-y=0上的动点，过点P作圆M的切线PA,PB,切点 分别为A,B,下列说法正确的是() A.切线PA长的最小值为I B.四边形AMBP面积的最小值为I C间以上拾有-个点到直线，的年窝为号 DPn与B文点。则Qw的是大值为号 7.己知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-4y+12=0上运动，则下列结论正确的是() A士的最大位为4酒 B.x-y的最小值为V2-1 C,若过点P且斜率为V5的直线与y轴交于点)，则线段P9长度的取值范围为[4,8] D.若A(-1,0),B(1,0),则PA+PB的最小值为30-413 AI对B选项，设 ，即 ，即直线 与圆有公共点， y=kx t=x-y x-y-t=0 x-y-1=0 C 所国心c6到到线-10雨克d.B后g-l,即-465： 解得1-V2≤1≤1+V2,所以x-y的最小值为1-√2，不是V2-1,故B错误： C. AI对C选项，过 斜率为 的直线为 0 少0八右 P(xo,yo) 5 y-%=5(x-) 令x=0得(0，-3x),Pg=-0+[%-(%-V5x订=4=2， 因为P(%)在圆上，所以∈[2,4，因此PO∈[4,8]，故c正确： 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对D选项，设P(xy),A(-1,0),B(1,0), 所以PA+PB=(x+1)+y2+(x-12+y2=2(x2+y2)+2=2OP+2, 因为l0P=x2+y2,0C=V32+22=3,所以oPln=-l,oPl=3+1 (x+y）=(3-=14-2, 所以（PA+P8)=24-213)+2=30-43,故D正确 三、填空题 8.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转 x+V3y-1 化为几何问题加以解决.如：若实数、满足 y +y2-8x+13=0'则 x2+y2-2x+1 的最大值为 四、解答题 9.已知圆c过A(2,25)、B3,⑤)，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线I过点(6,10)，且被圆C截得的弦长为45，求直线1的方程： (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M、N,O为坐标原点，直线OM、ON分别与直线x=8 S 相交于pQ,记△OMN的面积为S,△OPQ的面积为S,求S的最大值. 10.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2+(0y+2=r(r>0)关于直线x+y+2=0对称. (1)求圆C的方程： (2)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B, ①若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最大值： ②若直线PA和直线PB与x轴交于点G、H且∠PGH=∠PHG,O为坐标原点，试判断直线OP和AB是 否平行？请说明理由. 考点05圆的几何性质 一、单选题 1.已知曲线C:x+y2可x+y川，给出下列四个结论： ①曲线C有4条对称轴： ②曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2 ④曲线c所围成的图形的面积为2+2 其中所有正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知a,6,e是平面向量，其中是单位向量，a1,且d=2W2,向量6满足-6.6+5=0， 则E+ā+b的取值范围为() A.[25-2,23+2 B.[26-2,26+2 c.[32-2,3W2+2 D.[2W7-2,27+2] 3.若动点P(,y)在方程-x2×√-少=y所表示曲线C上，则以下结论正确的是() ①曲线C关于原点成中心对称图形： ②曲线C与两坐标轴围成的面积为2： ③曲线C总长为π： 号的数包国[2-[司引 @业*2 A.①② B.①②③ C.③④ D.①②④ 二、多选题 4.已知圆C:(x-2+(0y+1)=9,直线1：-y+3-2k=0,则下列说法正确的是() A.直线1恒过定点(2,3) B.圆C被x轴截得的弦长为4V2 c.圆C与圆+=2相交 D.圆C上的点到直线1的最大距离为13 5.记圆A:-)2+y2=1,圆B:x2+y2-2x+4y+k=0,则() A.点B的坐标为，-2) B.当k>4时，圆B的面积大于圆A的面积 C.当k=4时，圆A与圆B相切 D.当k=-11时，点A到圆B上一点距离的最大值为5 6.在平面直角坐标系x0中，圆C与y轴切于点O(0,0),圆心在直线x+2y+4=0上，则下列说法正确的 10/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是() A.圆C的方程为(x+4)+y2=16 B.若A(x,)为圆C上的动点，则x+y的最大值为4v2-4 C,当圆c上恰有三个不同的点到直线)=：+1keR)的距离为3时，太=谷 15 D.若B(4,0),则在圆c上不存在点M,N,使得∠MBN= 12 7.己知圆C:(x+22+y2=4,直线：(m+1)x+2y-1+m=0(meR),则() A.直线l恒过定点(-山，) B.圆C与圆x2+y2-2x+8y+8=0有四条公切线 C.当m=0时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D.当m=2时，P(x,)为圆C上任意一点，则3x+2y+1的最大值为5+2√3 三、填空题 8.已知实数，x,片，2满足+=4，号+片=4，+少2=0，则代数式 x+y-+5+y2-1的最大值是一 四、解答题 9.己知圆A与圆C:x2+y2-6x+5=0关于点B(1,)对称， (1)求圆A的方程： (2)过点P(O,-1)的直线1与圆A相交于M,N两点，当MN=2N3时，求直线1的方程； (3)已知实数x,y满足圆A的方程，求(x-2+y的取值范围. 10.在平面中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.已知x,y满 足方程x2+y=16,记其构成的平面图形为2，A(0,),B(4,0),C(0,-2)为平面图形Q上不同的三点， 点D(1,0)在平面图形2的内部. (1)求t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求△ACD的最小覆盖圆的方程： (3)求平面图形2的最小覆盖圆的半径. 考点06轨迹问题 一、单选题 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,P为△BCD内部及边界上的动点， AP=2√2，则点P的轨迹长度为() A.π B.2π C.3π D.4π 2.已知点P为圆0：x2+y2=1上的动点，点卫为圆C:+(y-4=4上的动点，则线段PQ的中点M 的轨迹围成图形的面积为() π π A. B.4 C.2元 D.4 3.己知三棱锥A-BCD的所有棱长均为V2,E为BD的中点，空间中的动点P满足PA⊥PE,PC⊥AB, 则动点P的轨迹长度为() 11π A.4 V11元 √22π B 2 4 D.3n 二、多选题 4.己知A(-2,0)、B(2,0),则下列命题中正确的是() A.平面内满足PAHPB的动点P的轨迹为一条直线 B.平面内满足PA+PBF4的动点P的轨迹为椭圆 C.平面内满足PAF2PB的动点P的轨迹为圆 D.直线M、By相交于点：，且它们的斜率之积是}，则M的轨迹是精圆《除去A,B两点) 三、填空题 5.设meR,点A(2,0)是平面上的定点，动直线x+my+1=0和动直线mx-y+2-m=0交于点P(x,y), 则PA的最大值为 6.己知过点A(-1,0)的直线与圆C:x2+y2-2x=0交于M,N两点，弦MW的中点为P,则点P的轨迹 长度为 四、解答题 7.在平面直角坐标系xO中，两点A(-1,0),B(9,0),点P满足PA+PB=82, (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若直线1：xcos0+ysin0-4cos0-4=0,8∈[0,2π)，判断曲线C与直线1的位置关系： (3)过点A作直线MN交曲线C于M,N两点，D(S,O),求△DMN面积的最大值. 8.在平面直角坐标系中，已知A(-2,0),B(2,0),动点P满足PAPB=5 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求动点P的轨迹曲线C方程： (2)若曲线C与圆(x-a-1+(0-3a+2)=4有公共点，求a的取值范围. 9.已知圆C的圆心为点C,其在直线x-2y+4=0上，且与x轴交于两点A(-5,0),B(1,0) (1)求圆C的标准方程： (2)已知Q(2,),点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程. 10.己知点A(6,0),动点P在圆x2+y2=24上运动设线段4P的中点的轨迹为曲线E: (1)求曲线E的方程： (2)设点T为直线I:y=-x-1上的一动点过点T作曲线E的两条切线，切点为Q,R,若△TRO的面积为 4V6 ,求点，的坐标： |MW+4 3)点M是曲线e上任意一点，点NL,0)是否存在定点g'使得MS恒为定值？若存在，求出定点 M E S的坐标：若不存在，说明理由· 考点07直线与圆的位置关系 一、单选题 1.一条光线从点(4，-4)射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆(x+2)+(y-3=1相切，则反射 光线所在直线的斜率为() 4 A.3 B.不存在 4 4 C.3或不存在 D.-3或0 2.已知圆C:(x-2)+(y-1)=9,直线：(1-3m)x+(m+2)y+1+4m=0与C交于A,B两点，则数量积 AC,AB的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.16 二、多选题 3.己知直线1：x-y-4=0和曲线0：x2+y=4,点A是直线1上的一个动点，点D是曲线0上的一个 动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B,C,则下列说法正确的是（) A.AB的最小值为2 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.曲线0上存在2个点到直线1的距离等于2√2-2 C.若曲线0上总存在点D,使得∠0AD=30°，则A的横坐标的取值范围是[0,4] D.直线BC过定点(L,-1) 4.在平面直角坐标系中，下列说法正确的是() A.若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为-1 B卫知亿4小8)：若直碳：+y-2=0与线段他有公关点，则[号引 C.过点(1,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线1的方程为x-y+1=0 D.若圆x2+y+4x-4y-1=0上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为1，则m的取值范围为 [-22,22] 5.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证 和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C: 2+y=川+以就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是() A.曲线C所围成图形的周长是2√2元 B.直线(m+I)x+(1-m)y-2=0与曲线C一定有两个交点 b-1 1 C.点P(a,b)在曲线c上，a-2的最小值是7 D.曲线D:以=1，则存在4条直线与曲线C,D同时相切 三、填空题 6.已知f(x)=aosx+2a,g(x)=bsinx--b+1,若曲线y=f(x)和y=g(x)有公共点，则a+b的最小值 为： 四、解答题 7.已知圆C经过点A(5,0),圆心C在直线4：x+y-5=0上，圆C被直线：x+y-3=0截得的弦长为 2√6， (1)若0为直线2上一动点 (i)求C的最小值； (i)求圆C的标准方程： (2)若圆心C在第一象限，且圆C与圆C'关于直线：x+y-1=0对称，过原点O的直线m交圆C'于M,N 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点，求弦MN中点Q的轨迹方程. 8.己知直线：(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R)恒过定点P,圆C经过点A(4,0)和点P,且圆心在直线 x-2y+1=0上 (1)求圆C的方程； (2)过M(10,0)的直线马被圆截得的弦长为8，求直线马方程. 3)过点(12,10)引圆的切线，求切线方程。 9.已知圆C:x2+y2-2x-8=0,过点P(2,2)作直线1交圆C于A,B两点. (1)当直线1的倾斜角为45时，求弦AB的长： (2)若直线1被圆C截得的弦长AB=4,求以线段AB为直径的圆的方程 10.已知圆C与圆C:(x+1)+(y-5}=4关于直线y=x+1对称. (1)求圆C的标准方程。 (2)过点D(3,0)且与x轴不重合的直线与圆C交于A,B两点. (i)过点D作与4垂直的直线，乙2与圆C交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最大值. (iⅱ)设圆C与x轴交于M,N两点，直线MA,NB相交于点P,试判断点P是否在定直线上.若是， 求出该直线的方程：若不是，请说明理由. 考点08圆与圆的位置关系 一、单选题 1.己知圆C:c+2}+0-5}=16与圆C,:x2+0y-2=1交于M,N两点，则MN=() V39 B. V39 A. 26 13 c. 2v39 D. 4W39 13 13 2.一个半径为r的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两 个圆也互相外切此时，可表示为Va+Vb+c的形式，其中a、b、c均为整数.问a+b+c是多少？() 15/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.5 C.7 D.9 二、多选题 3.已知圆C:c-3)2+0y+32=18,C,:(x-4)2+0y-4}2=32,圆C与圆C2相交于点M(,y), N(x,乃2)，x<x2,下列结论正确的是（) A.=y=0 B.直线MN的方程是x+7y=0 C.公共弦长W=122 5 D.四边形MCNC,的面积是24 4.已知圆C:2+y2-2kx-4y+5k-2=0,点P(o,)在圆C上，则() A,k=0时，圆C的半径为V6 B.若点A在圆C上，点B在圆C上，则IAB的最大值为3+V2 C.不存在直线与圆C4,C都相切 D.对满足 2y% ≥12-2V34 <2k-5s3 的任意实数，都有2，- 三、填空题 5.已知圆C:x2+y2=4和圆C:(x-1+(y-1)=4相交，若点F(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共 1,4 弦所在直线上，则。+的最小值为 6.己知圆C:x2+y2-6x-8y+24=0与圆C,:x2+y+2x-2y-1=0外离，则实数t的取值范围为 7.用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆Q的圆心为(0，-3)且过原点0，圆心都在x轴上且半径都 为2的圆L、圆S均与圆2外切.若过点O的直线I截圆L、圆S、圆2所得弦长均为4，则=一. 16/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知a,6,c,d∈R,(a-2+b-2=l,(c+3+(d+32=100,则a+c+b+d的 最小值为 四、解答题 9.己知圆0：(x-1+(y-2=4与圆02：x2+y2=r2(>0). (1)若两圆相交，求半径r的范围： (2)若”=3，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度. 10.在直角坐标系x0y中，动圆M与圆0：(+1+y2=4外切，同时与圆O,:x2+y2-2x-15=0内切. (1)求动圆圆心M的轨迹方程； (2)若由(1)所得点M的轨迹曲线上有一点P,当△POO的面积最大时，求∠OPO的正切值. 17/17 专题01 直线与圆（八大题型） 考点01 直线的参数问题 考点02 直线中的最值问题 考点03 圆中的参数问题 考点04 圆中的最值问题 考点05 圆的几何性质 考点06 轨迹问题 考点07 直线与圆的位置关系 考点08 圆与圆的位置关系 考点01 直线的参数问题 一、单选题 1．在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 2．已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得直线方程为，设， 则， 当时，，即， 化简得，当时方程有解， 即，解得. 3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先讨论的情况，写出直线方程即可得倾斜角，再讨论的情况，将直线方程化为斜截式，根据斜率和倾斜角的关系用表示出，根据的范围即可求得的范围，两种情况的的范围取并集即可. 【详解】直线的方程为， 当()时，， 直线的方程为，此时直线的倾斜角为. 当()时，， 直线的方程可化为， 若倾斜角为，则斜率， 因为，所以， 所以， 又因为倾斜角， 所以， 综上所述，. 二、多选题 4．已知直线：，：，则下列说法正确的有（     ） A．若，则直线，之间的距离为 B．原点到直线的最大距离为 C．若直线不过第四象限，则 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】ABD 【分析】对A利用平行求出参数再结合两平行线距离公式求解，对B先将直线：，整理为，恒过定点， 再求原点到动直线最大距离，对C转化为斜率与纵截距范围判断直线经过的象限，对D分截距为和不为两类讨论截距相等的情况，逐一判断选项正误． 【详解】选项A，若，则斜率相等，斜率为，斜率为，故，即， 此时方程为，两平行线距离，A正确； 选项B，将变形为，可知恒过定点， 原点到的最大距离为原点到定点的距离（当时取等），，B正确； 选项C， 将写为斜截式，不过第四象限需满足斜率且纵截距， 解得，C错误； 选项D，截距相等分两种：①截距均为，得，符合； ②截距均不为，令得纵截距，令得横截距， ，解得，符合； 故或，D正确． 5．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线l恒过点 D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【分析】利用两直线平行、垂直的判定条件分析A、B项，通过分离参数求解直线恒过定点判断C项，结合x轴截距的定义求直线斜截式判断D项。 【详解】选项A：若，根据两直线平行的判定条件，得，解得或， 检验可知两值对应的直线均不重合，满足平行要求. 选项B：若，根据两直线垂直的判定条件，得，整理为， 解得或，并非只有 选项C：将直线的方程变形为，令，解得，即直线恒过点. 选项D：若直线在轴上的截距为6，即过点， 代入方程得，解得， 此时的方程为，斜截式为，与选项中表达式不符. 6．已知直线：，：，：，且直线，，围成三角形的面积为，则（     ） A．直线恒过定点 B．，使得 C．的最大值为2 D．如果，则实数有4个不同取值 【答案】ACD 【分析】对于A，将的方程整理为关于a的项和常数项分离的形式，联立系数为0的方程求解即可得到定点坐标；对于B，根据两直线平行的条件即可判断；对于C，首先判断三条直线能围成三角形的条件，继而判断，表示出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可判断；对于D，求出，的交点坐标，即可求出交点到直线的距离，由此可得三角形面积的表达式，结合求解，即可判断. 【详解】对于A，直线：，即：， 由于，故令，则，可得，即直线恒过定点，A正确； 对于B，若，则且， 解得，即不存在，使得，B错误； 对于C，当时，：，与重合，不符合题意； 当时，：，与重合，不符合题意； 由此可知； 联立，解得，即的交点为，即为A， 联立，解得，即的交点为，设为B， 由于直线：，：，满足， 故，设的交点为P，则直线，，围成三角形即为， 且， 则，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2，C正确； 对于D，联立，解得 ，即, 则到：的距离为， 故， 若，则，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 综合可知实数有4个不同取值，D正确. 三、填空题 7．对任意实数，始终不在直线上的点构成的集合为________． 【答案】 【分析】将方程整理为，知方程无根；当时，利用可得所求区域；当时，知满足题意，验证可知该点符合要求；综合两种情况可得结果. 【详解】将直线方程转化为：， 不在题目所述直线上的点构成的集合表示不在直线上的点构成的集合， 方程无实数根； ①当时，，整理得：， 即满足条件的点在以为圆心，为半径的圆的内部. ②当点的横坐标时，代入直线方程得，令，解得：， 当时，必有取值，则当时，只有不在直线上. 所以不在直线上的点构成的集合为. 四、解答题 8．直线：，其中为实数． (1)求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点的坐标； (2)设，若直线过点，且点到直线的距离等于3，求直线的方程； (3)若直线过点，且与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点，试求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)直线：的方程可化为： ，因为该等式对任意实数成立， 所以，解得， 即无论取何值，直线恒过定点. (2)或. (3)，. 【分析】（1）先将直线的形式转化为，再求定点坐标； （2）分两种情况，斜率存在和斜率不存在，结合点到直线的距离即可求解； （3）先求出，两点的坐标，再利用三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】（1）略. （2）由题可知，直线过点， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于，满足题意； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 此时点到直线的距离为， 即，即，即， 解得：，此时直线的方程为，即. 所以直线的方程为或. （3）由题可知，直线过点， 易知直线的斜率存在，且大于0，则设直线的方程为， 因为直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点， 令得，即，故， 令得，即，故， 所以的面积为， 当且仅当，即时等号成立， 此时直线的方程为，即. 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为. 9．已知直线：． (1)证明：不论为何实数，直线恒过一定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】(1)将直线的方程整理为， 由，解得，所以不论为何实数，直线恒过定点； (2) (3) 【分析】（1）将直线方程化为，联立求定点，即可证； （2）讨论、，结合直线过第四象限的特征列不等式求参数范围； （3）根据已知及截距式得，应用基本不等式、三角形面积公式得面积并确定等号成立条件，联立前提求得，，即可得直线方程. 【详解】（1）略 （2）当时，直线：，不经过第四象限，符合题意；     当时，直线：， 由不经过第四象限可知，解得， 综上，的取值范围为； （3）设直线与轴负半轴交于，与轴负半轴交于，，， 直线的截距式方程为，即， 因为直线恒过，代入得，即， 三角形面积，由，所以，， 当且仅当时等号成立，即， 代入，得，所以，， 此时直线过点，，方程为，化简得， 该直线对应参数，所以直线的方程为. 10．已知：，：，：，记，，． (1)当时，求原点关于的对称点坐标； (2)在中，求边上中线长的最小值； (3)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，直线：，设原点关于的对称点为，利用斜率关系与中点坐标公式列方程求解即可； （2）先证明，则中线长为斜边一半，再利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果； （3）利用条件得到三角形面积为，再利用基本不等式可得范围. 【详解】（1）当时，：， 设原点关于的对称点坐标为， 则， 所以原点关于的对称点坐标为. （2）由题可知，：过定点， ：过定点. 又因为，所以，所以. 联立和方程， 所以由直角三角形中线长为斜边一半可得 边上中线长为 当时，边上中线长有最小值. （3）联立和方程， 点到距离为， 所以面积为， 因为对任意实数，所以， 于是，所以面积范围为 考点02 直线中的最值问题 一、单选题 1．设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与三角形恰有一个交点时，该直线是三角形的支撑线，且交点只能是顶点，因此必经过的一个顶点和的一个顶点．枚举两个三角形顶点之间连线的斜率，先排除会穿过三角形内部的直线，再比较可行斜率即可． 【详解】若直线与一个三角形恰有一个交点，则交点只能是顶点． 若交点在某条边的内部而直线不与该边重合，直线会穿过三角形内部，与三角形的交集是一条线段； 若与该边重合，则交点也不止一个． 因此必经过的一个顶点和的一个顶点． 九条顶点连线的斜率分别为： 从出发，，，； 从出发，，，； 从出发，，，． 其中最小的候选斜率为，对应直线． 直线的方程为． 代入、，分别得到、，异号，所以点位于直线的两侧，直线穿过的内部，不符合题意． 再看斜率，对应直线，其方程为． 代入，所得值依次为，均为正数． 因此与直线只有交点，与直线只有交点，故斜率可以取得． 由于候选斜率中比更小的只有，且已被排除，所以直线的斜率最小值为． 2．设，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点（异于点，），则周长的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到与始终垂直，即，则，由基本不等式，得到求解. 【详解】直线：过定点，直线：过定点， 因为，所以与始终垂直， 又是两条直线的交点，∴， ∴. 由，可得， 则， 即有，当且仅当时，上式取得等号， ∴周长的最大值为. 3．已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，由得到三点共线，设弦的中点为，得到，利用，得到E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，利用点到直线的距离求出E到l的最小距离，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形是直角梯形，且R是的中点，则是直角梯形的中位线，即，计算得解. 【详解】， ，解得，则， ,三点共线， 设弦的中点为，连接，则，即， ∴，，， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则到的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形是直角梯形，且R是的中点， 则是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为． 4．点到直线的最大距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理含参直线方程得到其恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到该定点的距离求解． 【详解】首先将直线的方程整理为：， 由于等式对任意均成立，因此联立方程组，解得， 即直线过定点． 当直线绕点旋转时，点到直线的距离的最大值为点到定点的距离（此时）． 由两点间距离公式得：， 此时，且，则，解得，符合题意， 故点到直线的最大距离是． 5．已知直线：与直线：交于点，设点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程可解出交点 （用 表示），再把 化为关于 的函数，用换元与基本不等式求其取值范围. 【详解】由 得 ，代入 得 . 因 ，得 ，回代得 . 所以 ，故 . 由 得 ，令 （），则 . 于是 . 当 时，由基本不等式 ，等号在 时成立，此时 . 当 时，，等号在 时成立，此时 . 所以 的取值范围是 . 二、多选题 6．如图，是等腰三角形，，，，是的中点，坐标原点在线段上，过点的直线与线段，分别交于，两点，则（   ） A．直线的斜率的取值范围为 B．点的纵坐标的最大值为 C． D． 【答案】AC 【分析】求出直线斜率的最小值、最大值判断A；由方程组求出点纵坐标最大值判断B；求出点的坐标，利用两点间距离公式建立函数，进而求出指定式的最值判断CD. 【详解】对于A，当点与点重合时，直线的斜率， 点从点开始沿移动，直线绕点逆时针旋转到与点重合， 直线的斜率，因此直线的斜率的取值范围为，A正确； 对于B，由选项知，当直线过点时，点的纵坐标最大，直线， 直线，联立直线与直线的方程得， 即点的纵坐标的最大值为，B错误； 对于C，设直线的方程为， 而直线的方程分别为， 由，得点， 由，得点， 则， 而，令， 在上单调递增， 当时，，当时，，C正确； 对于D，由选项C，得，， 则， 当时，，当时，，D错误. 三、填空题 7．的最小值为______． 【答案】 【详解】因为， 所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和， 即，如下图所示： 由图可知，当点、、三点共线时，取最小值， 且. 故答案为：. 8．如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，求出点关于直线、轴的对称点、的坐标，根据、、三点共线以及斜率关系可求出的值，即可得出的值. 【详解】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 9．在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向弹出．如图，现有一目标球从点无旋转射出，经过直线（桌边）上的点反弹后，恰好能从，两球的中间穿过去（与，球不能相撞），则直线的斜率的取值范围为__________．（球的大小忽略不计） 【答案】 【分析】利用点线之间的对称关系，结合将军饮马问题求出满足条件的直线所在区域，再由斜率公式算出答案. 【详解】如图所示； 设点，使得点与点关于直线对称，点的坐标为，结合对称性可得，，点的坐标为， 设直线与直线分别相交于点与点，直线与直线关于对称，直线与直线关于对称， ， 由题知满足条件的直线在图中阴影部分区域， ，， 直线的斜率的取值范围为. 四、解答题 10．已知直线：． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离为，求的方程； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3)（i）；（ii） 【分析】(1)将含参数a的直线方程整理为“参数×表达式+另一表达式=0”的直线系形式，令两个表达式同时为0，解方程组得到定点坐标，即可证明直线恒过定点；(2)问：先将直线化为一般式，代入点到直线的距离公式建立关于a的方程，解方程求出参数a，回代即可得到直线方程；(3)(i)先求直线在两坐标轴的截距，根据正半轴条件确定参数范围，写出三角形面积关于a的函数，结合二次函数的单调性/最值性质求解；(ii)设直线截距式方程，利用定点在直线上得到截距的约束关系，将线段长度乘积转化为截距的线性表达式，再用基本不等式求最小值. 【详解】（1）略 （2）直线化为一般式， 故 得，所以的方程为 （3）（i）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积最小； （ii）设直线的截距式方程为（，），由（1）知点在上，所以， 此时，，由于这三点共线，且在、之间，所以 有 而，当且仅当时取等号 所以的最小值为 考点03 圆中的参数问题 一、单选题 1．若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求圆心到直线的距离，结合题意分析可知，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 则，即，解得， 所以半径的取值范围是. 2．已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，根据向量数量积的运算得到点的轨迹为圆，再根据直线与圆有公共点时圆心到直线的距离不大于半径，及点到直线的距离公式即可求出的取值范围． 【详解】设，由，， 则，， 则，即， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线上存在点，即该直线与圆有公共点， 即圆心到该直线的距离，即，即，解得， 所以的取值范围为． 3．已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 4．已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算弦的弦心距，推导到的距离，结合两圆位置关系求的取值范围. 【详解】 圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，， 弦心距， ，与圆相切，所以，， ，， 所以，， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ， ， 解得. 二、填空题 5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，圆：，动点P在直线l：上（），过P分别作圆O，圆的切线，切点分别为A，B，若满足的点P有且只有一个，则实数b的值为_________． 【答案】 【分析】根据切线长可得，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，进而可知圆与直线l相切，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆O：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径； 因为，则，则， 即，可得， 设，则，整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 又因为点P在直线l：上（），且点P有且只有一个， 则圆与直线l相切，则，解得或（舍去）， 所以实数b的值为. 6．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 【答案】 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线即的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即的取值范围是． 7．已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 【答案】 【详解】由得，圆心，半径.如图， 因为，所以圆心到直线即的距离为. 所以，所以. 8．已知，，三点，点在圆上运动，设的最大值为，最小值为，则__________． 【答案】 【分析】设圆上点的坐标，利用两点间距离公式表示出三个距离平方的和，再结合圆上点纵坐标的取值范围求最值，进而计算即可. 【详解】设点，由在圆上，可得，且, 根据两点间距离公式： ，，， 令，将上述三式相加得： ， 因为， 所以，当时，取得最大值； 当时，取得最小值， 所以，. 9．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 10．已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，结合图形转化为，利用两点间距离公式，求得点的轨迹方程，结合直线与圆有交点，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，可得， 由圆表示以为圆心，半径为的圆， 圆表示以为圆心，半径为的圆， 可得且， 所以，可得， 不妨设，因为，可得 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又因为在直线上，所以圆有交点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 考点04 圆中的最值问题 一、单选题 1．已知点，点M在圆C：上，若Q是直线上的点，则的最小值为（     ） A．7 B．10 C．13 D．16 【答案】B 【分析】通过作点关于直线的对称点将转化为到对称点的距离，结合圆上点到定点的最小距离公式求解最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由对称点性质，直线与垂直， 故，整理得，解得，即. 由对称性可知对直线上任意点，有，故. 圆的圆心为，半径， 对圆上任意点，（当且仅当为线段与圆的交点时取等号）， 因此 ， 又（当且仅当为线段与的交点时取等号）. ， 所以（当且仅当为线段与圆的交点， 为线段与的交点时取等号）， 所以的最小值为10. 2．已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 二、多选题 3．瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 【答案】AC 【分析】由题意求出的垂直平分线可得的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围判断D． 【详解】 对于A，由题意，的欧拉线即的垂直平分线， ，，的中点坐标为， 且直线的斜率， 则的垂直平分线方程为，即， 由“欧拉线”与圆：相切， 到直线的距离， 则圆的方程为，圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的最大距离为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为， 所以圆心在直线上，且圆的半径为， 所以圆上存在两个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得，所以的最小值是，故C正确； 对于D，圆的圆心坐标，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点， 则圆心距的范围为，即，解得，故D错误． 4．已知直线与圆相交于，两点，则下列结论正确的有（   ） A．直线与圆相切 B．点到的最大距离为 C．直线过一定点 D．的面积最大值为8 【答案】AD 【分析】对于A，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合距离与圆的半径大小关系，即可判断；对于B，先判断圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合三角函数值域分析，即可求解；对于C，利用对赋值进行判断；对于D，利用B中求得的圆心到直线的距离表示面积，再利用换元法，结合范围，即可求解． 【详解】对于A，圆，即，圆心为，半径． 因为该圆的圆心到直线的距离 ， 所以直线l与圆相切，A正确； 对于B，圆的圆心为，半径． 因为圆心C到直线的距离 ， 又有，， 所以，即点C到l的最大距离为，B错误； 对于C，将直线方程变形为． 解法一：假设直线l过定点，则对任意恒成立， 当时，得，解得；当时，得， 将代入方程，得，即，此式不恒成立， 故假设不成立，直线l不过定点，C错误； 解法二：当，时，直线l为， 当，时，直线l为， 因为直线，没有交点，所以直线l不过定点，C错误； 对于D，因为， 所以的面积． 令，由B选项，可得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以的面积最大值为8，D正确． 5．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】对于ABC，根据各自的几何意义找到几何背景，由几何直观得到最值即可；对于D，利用三角换元，求得最值即可. 【详解】由，可得, 即曲线为圆心为，半径为2的圆. 对于A，几何意义为曲线到原点距离平方最大值， 所以当时，曲线到原点距离平方最大，最大值为9，A正确. 对于B，几何意义为曲线上的点与连线的斜率的最大值， 如下图所示，当过的直线与圆相切时，斜率有最大值， 设直线方程为， 则，即，解得或， 由图可知，的最大值是. 对于C，几何意义为曲线上与直线有交点时，直线截距的最大值， 如图，当直线与圆相切时，直线截距有最大值. 此时有，解得或（舍去）， 所以的最大值是，C正确. 对于D，设， 则可化为 因为，所以， 故的最小值是，D错误. 6．已知圆：，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．圆上恰有一个点到直线的距离为 D．与交于点，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】可知圆的圆心为，半径为，如图所示， 对于选项A，可知为直角三角形，所以， 点到直线：的距离为，即的最小值为，所以的最小值为1，所以选项A正确； 对于选项B，四边形面积为，可知， 所以四边形面积的最小值为，所以选项B正确； 对于选项C，圆上一点到直线的最小距离为，所以圆上恰有两个点到直线的距离为，所以选项C错误； 对于选项D，可知，所以， ， 当取得最小值1时，取得最小值，此时取得最大值，所以选项D正确. 7．已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故最大值为，A正确. AI对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得， 所以的最小值为，不是，故B错误； AI对C选项，过斜率为的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. AI 三、填空题 8．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】变形得到式子的几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】由配方得,则圆心为，半径为, 因可以看作圆上的点 到直线的距离与它到点的距离比值的2倍， 而圆心到的距离为，则直线与圆相交， 且圆心在直线上方， 过点作于点，则，即， 由图知，当过点的直线与圆相切于点，且点在第一象限时，取得最大值， 此时取到最大值， 设直线的方程为， 将其与联立得， 由得，结合图形应取， 将代入，得，解得， 再将代入中得，则切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 四、解答题 9．已知圆过、，且圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用圆心在轴设圆的标准方程，代入两点，列方程组求出圆心、半径； （2）利用弦长公式求出圆心到直线距离，分斜率存在、不存在两类讨论求直线方程； （3）由直径性质得，设斜率求出坐标，写出面积比值表达式，利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由圆心在轴上，设圆的标准方程为， 因为圆过、， 所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）    因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或； （3） 因为原点在圆：上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， 所以，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 由题意可知，、， 所以，， 所以， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 10．已知圆过点，且与圆：关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作两条相异直线分别与圆相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴交于点、且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ， 由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，， ， 所以，直线和一定平行． 【分析】（1）根据对称关系求出圆方程即可； （2）①令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，由垂直关系可得四边形是矩形，即，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到，进而由基本不等式，得到的最值，从而求得结果； ②由已知直线和直线与轴分别交于点、，且，可得直线与斜率都存在，且互为相反数，可设，，求出，坐标后，代入斜率公式，判断直线和的斜率是否相等，即可得到答案. 【详解】（1）由题可得圆圆心为， 设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 （2）①令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，， 由圆的性质可知： ， 所以，即，化简得 从而， 时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为； ②略. 考点05 圆的几何性质 一、单选题 1．已知曲线：，给出下列四个结论： ①曲线有4条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ④曲线所围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用绝对值的对称性分析曲线的对称轴与象限特征，通过配方转化为圆的方程，结合枚举法、基本不等式、割补法分别验证整点个数、距离最值与图形面积，逐一判断命题正误. 【详解】当，方程为， 即，圆心，半径 ，取第一象限圆弧， 当，方程为，即， 圆心，半径，取第二象限圆弧， 当，方程为，即， 圆心，半径，取第三象限圆弧， 当，方程为，即， 圆心，半径 ，取第四象限圆弧，整体图形由四段圆弧拼接而成，如图所示， ①由图可知，曲线共有 轴、 轴、、 这 4 条对称轴，①正确； ②由图可知，整点为，，，，，，，，，共 9个，②错误； ③当，方程为， 方程化为，对应圆心、半径为 的半圆， 圆心到原点的距离为， 所以在第一象限曲线上的点到原点的最大距离为， 由对称性，曲线上任意一点到原点距离不超过，③正确； ④由对称性，计算的面积再乘以 4， 此时方程化为 ，对应圆心、半径为 的半圆， 第一象限区域面积=半圆面积+直角三角形面积， 圆 在第一象限的部分，半圆面积为， 直角三角形面积为，所以第一象限总面积为， 总面积，并非 ，④错误. 2．已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，不妨设，，可知，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，，， 因为，即， 可得，即， 又因为，，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆.    又因为，且，不妨设， 则， 设，则，，可得， 可得，即， 所以的取值范围为. 3．若动点在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（     ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】化简，得动点的轨迹方程，由此得动点的轨迹，判断A，B ，C，根据的几何意义，可求得其取值范围，判断D. 【详解】由方程，得， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在第一、三象限的部分. 所以曲线C关于原点成中心对称图形，所以①正确； 所以曲线C与两坐标轴围成的面积为，所以②正确； 所以曲线C总长为，所以③正确； 令，则为点与点连线的斜率， 直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以. 又， 所以的取值范围是， 所以④错误． 二、多选题 4．已知圆，直线，则下列说法正确的是（     ） A．直线l恒过定点 B．圆C被x轴截得的弦长为 C．圆C与圆相交 D．圆C上的点到直线l的最大距离为13 【答案】AB 【详解】对于A，对直线的方程整理得， ，得，故直线恒过定点，A选项正确； 对于B，令，得，得或， 故圆被轴所截得的弦长为，B选项正确； 对于C，圆的圆心坐标，半径， 圆的圆心坐标，半径， 两圆圆心距，两圆内含，C选项错误； 对于D，直线恒过定点， 圆心C到直线l的最大距离为线段， 故圆C上的点到直线l的最大距离为，D选项错误. 5．记圆，圆，则（    ） A．点的坐标为 B．当时，圆的面积大于圆的面积 C．当时，圆与圆相切 D．当时，点到圆上一点距离的最大值为5 【答案】AC 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到其圆心与半径，然后逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】对于A选项，显然圆可化为， 可得点坐标为，故A正确； 对于B选项，圆的面积为，圆的面积为， 当时，显然圆的面积小于圆的面积，故B错误； 对于C选项，时，圆的半径为3，此时， 二者内切，故C正确； 对于D选项，此时圆的半径为4，可得点到圆上一点距离的最大值，故D错误. 6．在平面直角坐标系中，圆与轴切于点，圆心在直线上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．若为圆上的动点，则的最大值为 C．当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时， D．若，则在圆上不存在点，使得 【答案】ABD 【分析】确定圆心和半径，可得圆的方程，可判断A的真假；设，利用圆心到直线的距离不大于圆的半径，可求的取值范围，判断B的真假；利用圆心到直线的距离等于1，可求的值，判断C的真假；过点作圆的切线，根据两切线的夹角，可得的最大值，即可判断D的真假. 【详解】因为圆与轴切于点，所以圆心在轴上， 又直线与轴的交点为， 所以圆心到的距离为，是圆的半径. 对A，可得圆的标准方程为：，故A正确； 对B，设，即， 因为直线与圆有公共点，所以， 所以的最大值为，故B正确； 对C，当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为. 所以或，故C错误； 对D，过点作圆的切线，可知切线必存在斜率. 设切线方程为，即， 由或，所以两切线的倾斜角分别为和， 所以两切线的夹角为. 所以. 因为，所以在圆上不存在点，使得.故D正确. 7．已知圆，直线，则（     ） A．直线恒过定点 B．圆与圆有四条公切线 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．当时，为圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于选项A，由化简得，当时，，解得，所以A正确； 对于选项B，圆圆心为，半径为，圆变形为，可得圆心为，半径为， 则两圆心距离为，半径和为5，所以两圆外切，则有3条公切线，所以B错误； 对于选项C，当时，直线，则圆心，到直线的距离为，则， 所以圆上恰有两个点到直线的距离等于1，选项C正确； 对于选项D，当时，直线， 到直线的距离为，圆心，到直线的距离为， 所以圆上一点到直线的最远距离为，即的最大值为， 所以的最大值为，所以D正确. 三、填空题 8．已知实数，，，满足，，，则代数式的最大值是______. 【答案】6 【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值. 【详解】因为， 可设，且 ， 可得在圆上，且， 又因为 ， 且 为到直线的距离， 所以所求最大值可看作是到直线的距离的和的最大值， 可知在直线的下方， 如图所示，取的中点， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 过向线段和直线分别作垂线段，垂足分别为， 则为梯形的中位线，， 又因为，则. 且到直线的距离为. 因为， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以， 故的最大值为. 四、解答题 9．已知圆A与圆关于点对称， (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先由中点坐标公式，求得点A的坐标，进而得到圆A的标准方程； （2）设直线的方程为，即，根据几何法，结合点到直线的距离公式求得，从而得到直线的方程； （3）根据的几何意义，将转化为圆A上的点到定点的距离的平方即可得其取值范围. 【详解】（1）由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则，解得， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，其方程为， 圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不合题意； 所以直线的斜率不为. 设直线的方程为，即. 设圆心到直线的距离为， 则，化简得， 解得或. 所以直线l的方程为或， 即或. （3）设圆A上任意一点，， 点在圆A外部，，， 则， 即， 所以， 所以的取值范围是. 10．在平面中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．已知，满足方程，记其构成的平面图形为，，，为平面图形上不同的三点，点在平面图形的内部． (1)求的值及的最小覆盖圆的方程； (2)求的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形的最小覆盖圆的半径． 【答案】(1)，（或写成） (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，利用锐角三角形的最小覆盖圆为外接圆即可求解； （2）利用钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆即可求解； （3）根据题意可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为点在曲线：上，所以，解得． 又与是不同的点，所以，即．     , 因为，， 所以，故为锐角，而, 所以为锐角三角形，则其最小覆盖圆为的外接圆 当以的外心为圆心时，由的斜率为，可得的方程为， 易知的中垂线方程为，由得即， 此时外接圆的半径为．     所以的最小覆盖圆的方程为（或写成）． （2）在中，． ， 所以为钝角三角形，其最小覆盖圆是以为直径. 则以为圆心， 所以的最小覆盖圆的方程为． （3）设是平面图形上一点， 则（）．     当，即时，．     因为平面图形关于原点中心对称，所以平面图形的最小覆盖圆的半径为． 考点06 轨迹问题 一、单选题 1．三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度. 【详解】 如图所示， 由，， 可知三棱锥为正三棱锥， 设中点为， 则，，， 设点在底面上的射影为， 则平面，， 又为内部及边界上的动点，， 所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示， ， ， 即，， 所以点的轨迹长度为. 2．已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，则线段的中点的轨迹围成图形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆和圆的方程在平面直角坐标系作出图形，然后由点和点是圆上动点，线段的中点为点，确定点轨迹的几何特征，从而得出轨迹围成的图形，即可求解． 【详解】解法一：如图所示，取的中点，的中点， 则在中，，则点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，则点在以为圆心，1为半径的圆上， 故点的轨迹为圆心在圆上的动圆，因为，所以覆盖的区域为圆环， 如下图： 则其面积为． 解法二：基于解法一，可知，，则， 即，所以点的轨迹为圆环， 则其面积为． 3．已知三棱锥的所有棱长均为，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建系，求出相关点的坐标，由，推得动点的轨迹为球被平面截得的圆，利用点到平面的距离公式与垂径定理计算即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，取， 则三棱锥的棱长均为，符合题意. 因点为的中点，则，设点. 因，则点在以为直径的球的球面上， 故球心为，球的半径为. 又因，则， 即点又在平面上，故点的轨迹为球被平面截得的圆. 因球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为， 故动点的轨迹为截面圆的周长，即. 二、多选题 4．已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 【答案】ACD 【分析】结合线段垂直平分线、椭圆、圆的定义及轨迹方程求解方法逐一验证选项即可. 【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确； 选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误； 选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确； 选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确. 三、填空题 5．设，点是平面上的定点，动直线和动直线交于点P，则的最大值为______________． 【答案】 【分析】利用两动直线各过一定点且互相垂直可得 交点轨迹为以两定点为直径端点的圆，再用“圆外一点到圆上点的最大距离 = 点到圆心距离 + 半径”求解. 【详解】设 ，. 对于 ，令 得 ，故 恒过定点 . 对于 ，整理为 ，令 得 ，故 恒过定点 . 当 时， 的斜率 ， 的斜率 ，，故 ；当 时， 与 仍垂直. 因此点 P 对 M、N 的张角恒为直角，P 的轨迹是以 MN 为直径的圆. 圆心为 MN 的中点 ， 半径 . 点 到圆心 C 的距离为 . 故 |PA|的最大值为 . 【点睛】两动直线垂直且各过一定点时，交点轨迹是以两定点为直径端点的圆；圆外一点到圆上点的最大距离 = 点到圆心距离 + 半径. 6．已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点满足的几何关系，求出点的轨迹方程，再联立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度. 【详解】将圆的方程化为标准形式：， 得圆心，半径， 设弦中点， 由垂径定理可知：，又点在直线上， 故，即， ，，于是， ， ， 因为点是圆内的弦中点， 所以的轨迹是圆在圆：内部的一段圆弧， 两式相减：， 代入，得， 即两圆交点为，， 在圆中，圆心为原点，半径， 向量，， 设， ， ，， 由弧长公式， . 四、解答题 7．在平面直角坐标系中，两点，，点满足， (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线：，，判断曲线与直线的位置关系； (3)过点作直线交曲线于，两点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)相切 (3) 【分析】（1）设，利用两点距离公式表示，整理即得轨迹方程； （2）通过圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断； （3）设直线，将直线方程与圆方程联立消元，根据得到的一元二次方程得到韦达定理， 利用弦长公式表示三角形的底，利用点到直线距离公式表示出三角形的高，表示出三角形面积后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设，由可得，化简可得. 所以点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相切. （3）设直线方程为， 联立 消去并整理可得 ， ， 设，则 由弦长公式可得 ， 又到直线的距离， 所以 令，则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 8．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足 (1)求动点的轨迹曲线方程； (2)若曲线与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，，， 因为， 即， 即， 动点的轨迹曲线方程为. （2）由(1)可知曲线是圆，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为曲线与圆有公共点， 所以， ， 即， 即， 解得. 9．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． (1)求圆的标准方程； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得出点的横坐标，将代入直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）设、，由中点坐标公式化简得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为圆与轴交于两点、，则线段的中点为， 由垂径定理可知轴，则点的横坐标为， 将代入，得，解得，得圆心， 圆的半径为， 圆C的标准方程为． （2）设、，由中点坐标公式得，即． 将点的坐标代入圆C的方程得， 即，即， 化简得， 线段中点的轨迹方程为． 10．已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； (3)点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）设线段的中点为，得出，代入方程中即可； （2）设，，得出，再令，解一元三次方程即可； （3）设，，，根据条件列关系式，再根据任意性即可列方程组求出. 【详解】（1）设线段的中点为，则， 代入中得，即， 故曲线的方程为； （2）设，， 则，则，， 则， 令，则，即， 得，则， 设，则，得或， 则或； （3）存在，或， 设，，， 因为，所以 ， 则， 因为点是曲线上任意一点，所以， 得或，即或 考点07 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，点关于轴的对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴的对称点的坐标为，由题意，点在反射光线所在直线上， 设反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 当时，反射光线为，与轴无交点，不符合反射要求，所以. 2．已知圆，直线与交于两点，则数量积的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】先按参数分离求出直线恒过的定点并判断它在圆内，再把化成，从而把问题转化为求弦长的最小值，由"弦最短等价于圆心到直线的距离最大"求得结果. 【详解】把直线的方程按整理得， 令，解得、，所以直线恒过定点. 圆的圆心为，半径为，而， 所以点在圆内，直线与圆恒有两个交点. 设（）. 因为，所以， 又. 设圆心到直线的距离为，则， 由垂线段最短得（当时取等号）， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以的最小值为. 二、多选题 3．已知直线l：和曲线O：，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．曲线O上存在2个点到直线l的距离等于 C．若曲线O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．直线过定点 【答案】ACD 【分析】A选项利用切线长公式，转化为求原点到直线上动点距离的最小值；B选项先求圆心到直线距离，结合圆半径，判断圆上到直线距离等于定值的点的个数；C选项利用最大角模型，结合三角函数建立不等式，求解点A横坐标范围；D选项利用切点弦方程（两圆公共弦），将含参直线整理为过定点形式，求出直线所过定点． 【详解】选项A：由切线长公式得， 因点A是直线l上的一个动点，则当时，最小，即最小值为， 此时，的最小值为，A正确； 选项B：因到直线的距离为，圆半径为2，圆上点到的最小距离为， 则圆上仅有1个点（过作的垂线与圆靠近的交点）到直线的距离等于，B错误； 选项C：设，要存在使，则切线与的夹角， 又是锐角，在中，，得， 即，解得，即横坐标取值范围是，C正确； 选项D：因，则切点弦的方程为，即， 令，解得，即直线过定点，D正确． 4．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（     ） A．若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B．已知，，若直线：与线段有公共点，则 C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D．若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为 【答案】BD 【详解】对A，直线与垂直，但直线的斜率不存在，直线的斜率为0，不能说这两条直线的斜率之积为，故A错误； 对B，直线：，过定点，斜率为. 如图， ，， 因为直线：与线段有公共点，所以.故B正确； 对C，过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为或，故C错误； 对D，，所以圆心为，半径为. 因为该圆上至少有3个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离不大于2， 所以.故D正确. 5．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（     ） A．曲线所围成图形的周长是 B．直线与曲线一定有两个交点 C．点在曲线上，的最小值是 D．曲线：，则存在条直线与曲线,同时相切 【答案】ACD 【分析】分象限去绝对值、再配方，把还原成四段相接的半圆弧.选项 A 用弧长公式求解，选项B 抓直线系所过定点并检验相切，选项C 把分式看成定点与动点连线的斜率，选项D 作出曲线的图像，按照象限分析. 【详解】当时，，圆心为，与轴分别交于，直线刚好过圆心，则在第一象限的图像为半圆. 同理可知曲线：的图像由四个半圆组成. 选项A，曲线所围成图形的周长为. 选项B，直线方程化简为，恒过定点. 当直线过点，且与第一象限的半圆相切时，与整个图像仅有一个交点，B错误. 选项C，点在曲线上，理解为过点 的直线斜率. 由图像可知，当直线与相切时，取得最小值. 设直线方程为，则，化简解得（1舍去）. 选项D，由图像可知，曲线：也分为四部分. 考虑第一象限，，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 由曲线关于直线对称可知，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 当时，曲线与曲线有公切线. 同理可知，曲线与曲线在每个象限仅有一个公切点，共有4条公切线. 三、填空题 6．已知，，若曲线和有公共点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由曲线有公共点，整理得到关于的直线方程，为原点到点距离的平方，利用点到直线距离不等式放缩，化简分母并用辅助角公式求其最值，从而得到的最小值. 【详解】与有公共点， 可知存在实数，使得， 整理得， 将上式看作关于变量的直线方程， 表示坐标原点到点的距离的平方，点在上述直线上， 根据点到直线的距离公式，原点到该直线的距离：， ，即， ， ，其中， 又，故， 所以， 要使最小，则分母取最大值， 所以， 故的最小值为, 四、解答题 7．已知圆经过点，圆心C在直线 上，圆被直线截得的弦长为 (1)若Q为直线上一动点 （i）求的最小值; （ii）求圆C的标准方程； (2)若圆心C在第一象限，且圆C与圆关于直线对称，过原点O的直线m交圆于两点，求弦中点Q的轨迹方程． 【答案】(1)（i）（ii） (2) 【分析】(i)利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的垂线段长度，该值即为直线上的动点到的距离最小值. (ii)先设出满足直线方程的圆心坐标，结合弦长公式推导的半径与弦心距的勾股关系、圆过点的条件联立求解圆心坐标，进而算出半径得到圆的标准方程。 (2)先根据对称点求解规则求出圆关于对称的圆的圆心，再利用垂径定理得，通过向量点积为或斜率乘积为的关系，推导弦中点的轨迹方程. 【详解】（1）i）设圆心，圆心C到的最小距离为， ii）由题意易知半径为． 因为圆C经过点， 所以，解得或，即或， 则圆C的标准方程为． （2）因为圆心在第一象限，故圆心．设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点O的直线m交圆于M，N两点，弦MN中点为Q， 当点Q与点O，'都不重合时，，则Q在以为直径的圆上， 显然点O，在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为，则Q轨迹方程为，即． 8．已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【详解】（1） 如图所示，将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求； 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 （3）当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，与圆显然相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ，即， 由圆心到切线距离等于半径得，整理得 ，解得，代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 9．已知圆C：，过点作直线l交圆C于A，B两点. (1)当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长； (2)若直线l被圆C截得的弦长，求以线段AB为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解． （2）先确定点P与AB间的关系，再求出半径长，即可求解． 【详解】（1）圆C的方程可化为，圆心为，半径为 因为直线l的倾斜角为且过， 所以直线的方程为，即 圆心到直线的距离， 所以弦 （2）， 而弦心距， 所以，所以P是AB的中点， 则以线段AB为直径的圆圆心是，半径为 故以线段AB为直径的圆的方程为 10．已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）点在定直线上 【分析】（1）设圆心关于直线对称的圆心，即，解出即可求解； （2）（i）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：，利用几何法求，再由面积公式和基本不等式即可求解；（ii）当直线的斜率不存在时，求出直线和交点，当斜率存在时，设的方程为：，设，与圆方程联立消元，利用韦达定理得，求直线和的方程，进而求交点即可求解. 【详解】（1）设圆心关于直线对称的圆心， 由题意有，解得， 所以圆； （2）（i）当直线的斜率不存在时，，则， 所以，解出， 所以,, 所以，解得或， 所以，， 所以四边形的面积：； 当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：， 所以圆心到直线的距离为：， 所以， 同理得， 所以四边形的面积：， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立， 由，可得，即时，四边形面积的最大值为； （ii）点在定直线上， 由题意有，理由如下： 当直线的斜率不存在时，由（i）有， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 所以，解得，所以； 当斜率存在时，设的方程为：，设， 所以，消元得， 所以， 所以， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消去,可得： ， 所以，即点在直线上. 考点08 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．已知圆与圆交于，两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到交线的方程，利用点到直线的距离求出到的距离，再根据勾股定理求出，扩大两倍即可求出的值. 【详解】联立圆的方程和圆的方程，得， 两式相减得交线的方程为， 圆的圆心坐标为，半径为，设到交线的距离为， 而，则. 2．一个半径为的圆，周围环绕着个半径为的圆，如图所示，这个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切.此时可表示为的形式，其中、、均为整数.问是多少？（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】利用圆与圆外切的性质构建直角三角形，结合两角差的正弦公式求解半径，进而确定、、的值. 【详解】设中心圆的圆心为，半径为， 在环绕的个小圆中，任取相邻的两个小圆，两个小圆的切点为， 其中一个小圆的圆心为点，两圆半径均为， 连接、、，因为小圆与中心圆外切，所以， 由两小圆外切，结合对称性可得， 在直角中，， 即， 又 ， 所以，解得， 所以或，所以. 二、多选题 3．已知圆，，圆与圆相交于点，，，下列结论正确的是（     ） A． B．直线的方程是 C．公共弦长 D．四边形的面积是24 【答案】ABD 【分析】化简圆的方程为一般式方程，两方程相减，求得的方程，可判定B正确；联立方程组，求得方程组的解，可判定A正确，利用圆的弦长公式，求得的值，可判定C错误；由四边形的对角线和互相垂直，结合，可判定D正确. 【详解】由圆，即， 圆，即， 且圆心，，半径，， 联立方程组，两式相减，可得，即， 即直线的方程是，所以B正确； 联立方程组，解得或， 因为，所以，所以A正确； 由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得，所以C错误； 由圆的性质得，四边形的对角线和互相垂直， 且，， 所以四边形的面积为，所以D正确. 4．已知圆，点在圆上，则（    ） A．时，圆的半径为 B．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为 C．不存在直线与圆，都相切 D．对满足的任意实数，都有 【答案】ACD 【分析】需要先将圆的方程化为标准方程，再根据圆的性质逐一分析选项. 【详解】对于A，当时，圆，化为标准方程为，故半径为，A正确； 对于B，圆，化为标准方程为， 可知圆心为，半径， 圆，化为标准方程为， 可知圆心为，半径， 两圆心距，故的最大值为，故B错误； 对于C，圆，化为标准方程为，可知圆心为，半径， 故圆与圆两圆圆心距， ，故圆与圆内含，则不存在直线与两圆都相切，故C正确； 对于D，圆， 圆心，半径， 表示与点连线的斜率. 圆心到直线的距离为. 由解得或. 因为，关于对称，与关于对称，所以可只分析的情况. 当时，单调递增.所以当时，圆的半径最大. 圆心在直线上运动，所以如图所示当时，直线与切线重合时，斜率取得最小值.    此时，圆，设切线：，即. 所以圆心到切线的距离，化简得：. 所以，结合图形知，即成立，. 故D正确. 三、填空题 5．已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，据此可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】，则两圆公共弦方程为. 因在上，则，从而， 当且仅当，即时取等号. 6．已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 7．用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 【答案】/ 【分析】分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为， 则，解得， 即点，同理可得点， 若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与圆、圆都相离，不合题意， 因此可设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为， 所以直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为， 则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，． 8．已知，，，，，，则的最小值为______． 【答案】25 【分析】将所求问题转换成与的距离问题，再结合两圆位置关系即可求解. 【详解】    设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， ， 它表示点与点的距离的平方， 因为，两点关于原点对称， 所以的轨迹是以为圆心、半径仍为的圆， ， 又，说明小圆完全内含于大圆， 内含两圆上点的最小距离为， 因此的最小值为. 四、解答题 9．已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 【答案】(1) 的取值范围为 (2) 公共弦所在直线方程为，公共弦长度为 【分析】（1）根据两圆相交，求出； （2）先求公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，从而求出公共弦长. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 故，又因为两圆相交， 所以有，解得：. 所以半径的范围为. （2）圆：的一般式方程为  ①， 当时，圆的方程为：，一般式方程为 ②， ②-①得公共弦所在直线方程为： ，即. 圆心到直线的距离， 公共弦的长度为. 故公共弦所在直线方程为：，公共弦的长度为4. 10．在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将两定圆化为标准方程得圆心与半径，结合动圆与两定圆的切接关系得动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆的定义求解轨迹方程. （2）由底边长固定，面积最大对应点纵坐标绝对值最大，得点坐标后解三角形求角的正切值. 【详解】（1）如图所示； 由题知，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为， 动圆与圆外切，同时与圆内切． ，，. 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，. ，，， 动圆圆心的轨迹方程为. （2）如图所示； 由题知，当的面积最大时，点为椭圆短轴端点，不妨设点的坐标为， 此时为等腰三角形，为直角三角形，设, 又，. 的正切值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $