指数、对数的运算 专项训练-2027届高三数学一轮复习

指数、对数的运算 专项练 2027届高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．已知，若且，则a＝（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． 4．若，，则的值是（    ） A．3 B． C． D．4 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 7．设，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 13．已知函数，则________． 14．已知正整数，，，满足：，，．则______． 四、解答题 15．计算： (1)； (2)已知，求的值． 16．（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 17．（1）解方程：． （2）若，求关于的函数表达式． （3）若二次函数是偶函数，且，求t的值． 18．（1）解方程：． （2）若，求函数的解析式． （3）若二次函数是偶函数，且，求的值． 19．（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D A A A A ACD ACD 题号 11 答案 BC 1．D 由左右同取对数可得，将代入计算即可得. 由，故，即，又， 故，即. 故选：D. 2．A 由可得， 则， 所以. 3．D 根据指数式化为对数式，再根据对数运算的性质即可求解． 设，则， 所以． 4．D 先根据指数对数转化得出，再根据对数运算律计算求值. 由，可得，因为， 则. 故选：D. 5．A ，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 由，得， 则. 故选：A. 6．A 由，知；由，知，代入可求结果；或由，得，所以，代入可求得结果. 由，知； 由，知. 所以. 方法二：由，知，所以. 所以. 故选：A. 7．A 根据对数换底公式和对数运算性质，结合作差法，变形计算即可. 则 ， ，即 ，所以， 则， 所以.即. 综上所得，. 故选：A. 8．A 将变形为，可判断，继而变形为，推出，即可求解. 因为，故，即， 因为，所以； 又，结合，可得， 而， 即得，即，则必有， 则，即选项A中不等式成立， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将变形为，继而变形为，即可求解. 9．ACD 根据指数、对数的关系及对数加法的运算法则判断A，由基本不等式判断BC，利用对数函数的单调性判断D. 因为，， 所以，故A正确； 由可得（，等号不成立），故B错误； 由可得（，等号不成立），故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10．ACD 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 11．BC 对A：使用换底公式化简可判断a的范围；对B：使用换底公式化简证明；对C：根据基本不等式证明；对D：根据函数在上的单调性判断. 选项A：，故A错误． 选项B：，故B正确． 选项C：，（，，所以，所以不能取等号）,故C正确． 选项D：易知函数在上单调递增，所以，故D错误． 故选：BC 12． 设，可得出，由反函数的性质可得出函数与图象的交点必在直线上，于是得出，，进而得出，，再利用对数的运算性质化简可得答案. 设，由得， 函数与互为反函数，且均单调递增， 因此函数与图象的交点必在直线上，即，所以，． 于是，，故． 因此． 13．2025 根据分段函数的定义及对数、指数的运算法则计算． 由已知， ，， 所以， 故答案为：2025． 14．179 先由对数式化为指数式，再根据正整数的条件分类讨论，联立方程组求出，，即可求出. 由，，则，， 因为，为正整数，所以，必为整数， 设，，，为正整数， 又，则，即， 因为65的正整数分解为，且，所以有两种情况， ①，解得，此时无整数解，不合题意； ②，解得，即，所以， 则，，所以. 15．(1) (2) 根据对数的运算法则进行计算. （1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 16．（1）；（2）；（3） （1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 17．（1）；（2）；（3）． （1）根据指数幂的运算性质结合对数的性质可求的值； （2）法1：分离常数后反解结合指对数转化可求关于的函数表达式；法2：去分母反解结合指对数转化可求关于的函数表达式； （3）利用待定系数法可求的值. （1）因为， 所以，则，所以． （2）法1：因为， 所以，即， 则，所以y关于x的函数表达式为． 法2：因为，所以， 即，则，所以， 则，所以y关于x的函数表达式为． （3）依题意设． 因为是偶函数，所以由，得， 所以， 所以，解得． 18．（1）；（2）；（3）． （1）利用指数与对数的运算即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）利用待定系数法即可求解. （1）因为， 所以，则， 所以． （2）令，则， 则，故． （3）依题意可设． 因为是偶函数，所以由，得， 所以， 所以，， 解得，，． 19．（1）；（2）；（3）． （1）分别计算负指数幂、零次幂，利用对数运算性质合并对数项，再把偶次根式加绝对值化简，最后合并所有项； （2）利用换底公式得到，再代入对数式化简计算得到结果； （3）先根据指数幂的运算变形已知等式，得到，再利用基本不等式求最值，最后结合对数运算求出的最小值． （1） ； （2）已知，，解得，， 则， 所以； （3）由得， ， 因为，由基本不等式得：， 当且仅当，即，时等号成立， 此时，即， 则， 所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $