考前练17 利用导数证明不等式&考前练18 利用导数研究函数零点问题-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

x(-,-1) -1(-1,3) 3 (3,+∞) f(x) 0 0 f(x) 10 .f(x)在区间[一1,3]上单调递增，在区间(-∞，一1)和(3， 十∞)上单调递减. 当=-1时，f)有极小值f(-1)=一号当x=3时， f(x)有极大值f(3)=10. (2)由(1)可知，f(x)在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,6]上 单调递减，.f(x)在区间[0,6]上的最大值为f(3)=10. 又f(0)=1,f(6)=-17,f(6)<f(0), .f(x)在区间[0,6]上的最小值为f(6)=一17. 2.解：(1)由已知得切点为(1,0)，且f(x)=3x2-a, 0将 b=2. (2)由(1)知f(x)=x3-3x十2，f(x)=3x2-3, 当1≤x≤2时，f(x)≥0，此时函数f(x)单调递增： 当-1≤x<1时，f(x)≤0，此时函数f(x)单调递减， ∴.f(x)n=f(1)=0. 又f(-1)=4,f(2)=4,∴.f(x)mx=4, ∴.函数f(x)在区间[一1,2]上的最大值与最小值之和为4. 3.解：(1).f(x)=x2十cos2x, ∴f(x)=2x-2 sin c0sx=2x-sin2x,可得f(5）=元， f(资)=年， “曲线y一)在点（受，（受）》处的切线方程为y一苦- π(x一受），即y=x一千，可得直线y=一平在x轴y轴 上的截距分别为子，一聋， “所求三角形的面积为号×受×等-影 (2)由(1)得f(x)=2x-2 sin xcos x=2x-sin2x.令u(x)= 2x-sin2x,则u(x)=2-2cos2x=2(1-cos2x)≥0， 函数f(x)为增函数. 又f(0)=0,当x∈[0，π]时，f(x)≥0，∴.函数f(x)在 [0,π]上单调递增， ∴.函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为f(π)=π十1，最小值 为f(0)=1. 考前练16利用导数求解不等式恒成立问题 1.解：(1).f(x)=xlnx+1,x>0,.f(x)=lnx+1, ∴当x(0,)时，f)<0,当x(是，+∞)时，f>0, ·函数∫(x)在区间(0，)上单调递减，在区间 (任，十o∞)上单调递增。 (2):当x>1时，f(x)>x恒成立，k<nx+子恒成立， 构造函数k()=nx十士，>1，求导可得皮()=士 -92 当x>1时，'(x)>0恒成立， .k(x)在(1，十∞)上单调递增，则k(x)>k(1)=1, ∴.≤1，即k的取值范围是（一∞，1]. 2.解：(1)a=2,f(x)=(x十1)e,.f0)=1, f(x)=(x+2)e,∴f(0)=2, .所求切线方程为2x一y十1=0. (2)令h(x)=f(x)-g(x), 由题意，得h(x)m≥0在x∈[0，十o∞)上恒成立. a)=(+a-1e-e-a, ∴.h'(x)=(x+a)(e-1). ①若a≥0，则当x∈[0，十oo)时，h(x)≥0，∴.函数h(x)在[0， 十∞)上单调递增， h(x)m=h(0)=a-1,则a-1≥0，得a>1. ②若a<0,则当x∈[0，-a)时，h'(x)≤0；当x∈(-a,十∞) 时，h'(x)>0, ∴.函数h(x)在[0，一a)上单调递减，在(-a,十∞)上单调递 增，∴.h(x)m=h(-a). 又.h(-a)<h(0)=a一1<0，∴.不合题意 综上，实数a的取值范围是[1，十o∞). 3.解：(1)f(x)=2z-l)(x-a) 当导函数f(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时，函数f(x) 在区间[1,2]上就不是单调函数， .a≤1或a≥2， .实数a的取值范围是(-∞，1]U[2,十∞). (2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，即 x2一2x+a(lnx-x)≥0在区间[1，e]上有解. 令a)=x-he1,e,则p)=1-是>0， ∴.p(x)=x一lnx在[l,e]上单调递增， p(x)≥g(1)=1,.x-lnx>0, <兰在区同1，间止有解 令h()=二2，则K(r)=-)at2-2n x-Inx (x-In x)2 x∈[1，e],∴.x+2>2≥2lnx,∴.h'(x)≥0，h(x)单调递增， 当c1g时h=Ao=e2a2. e-1 六实数4份取值范用是(-，©门 考前练17利用导数证明不等式 1.(1)解：由f(x)=xe-1-ax十1，得∫(x)=(x十1)e1-a. :曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线1的斜率为3e一2， .f(2)=3e-a=3e-2,解得a=2, ∴.f(2)=2e-4+1=2e-3,故切线l的方程为y一(2e一3)= (3e-2)(x-2),即(3e-2)x-y-4e十1=0. (2)证明：由(1)，可得f(x)=xe1-2x+1,f(x)=(x十1)· e1-2, ∴.当x∈(-∞，-1]时，f(x)<0. 令g(x)=(x+1)e-1-2(x>-1), 则g(x)=(x+2)e-1>0, ∴.当x∈（一1，十∞）时，g(x)单调递增，即f(x)单调递增。 又.f(1)=0,∴.当x∈(-1,1)时，f(x)<0, 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0, ∴.f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增， ..f(x)≥f(1)=0. 2证明：要证f(x)<e十。，只需证ex-h<e十女，即 er-e<nster 令h(x）=lnx+(x>0),则h'(x）=e二，易知h(x)在 ex e (0,。)上单调递减，在（日，+∞）上单调递增， 则A=A(日)=0nx+>0, 再令p(x)=ex-e,则p(x)=e-e,易知p(x)在(0,1)上单 调递增，在(1，十∞)上单调递减， 则p(x)mx=p(1)=0,.ex-e≤0. :h(a)与（不同时为0，er一c<hx十立 故原不等式成立 3a解：fa=子-a,由f3)=日-a=0,得a=日， f(1)=号11)=0，即切线方程为y=号x一号. (2②解：f)=士-a=12x>0 x 当a≤0时，f(x)>0,f(x)的增区间为(0，十∞) 当>0时，令fx)>0,得0<<： 令f(x)<0,得x>1 a 故增区间为(0，)，减区间为（日，十∞） (3)证明：令F(x)=g(x)一f(x)=xe-lnx一x-1(x>0), 则Fa)=e+e--1=史ae-1D. 令h(x)=xe-1,则h'(x)=(x十1)e2>0,h(0)<0, h(1)>0, .函数h(x)在(0，+∞)上单调递增，且存在唯一零点c∈(0， 1),使得h(c)=0, 且当x∈(0，c)时，h(x)<0;当x∈(c,十o∞)时，h(x)>0,即当 x∈(0，c)时，F(x)<0;当x∈(c,+o∞)时，F(x)>0, 函数F(x)在(0，c)上单调递减，在(c,十c∞)上单调递增， ..F(x)>F(c)=cef-In c-c-1, 而h(c)=ce-1=0,即ce=1, 两边取对数得lnc十c=0, .F(x)≥F(c)=0,故f(x)≤g(x)在(0，十∞)上恒成立. 考前练18利用导数研究函数零点问题 1.解：(1)当=1时，f(x)=e-x,f(x)=e2-1. 令f(x)>0,则x>0,f(x)单调递增； 令f(x)<0,则c<0,f(x)单调递减： 故f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，单调递减区间为（一∞，0）. (2)设P(x,y%)是函数y=e上一点. 由y=e得y'=e, y=e在点P处的切线方程是y一e=e(x-x). 令x=y=0,得x0=1, ∴过原点作y=e的切线方程是y=ex, 故当<0或=e时，函数f(x)有1个零点；当>e时，函数 f(x)有2个零点；当0≤k<e时，函数f(x)无零点. 2.解：(1)f()=1-ln工 x4 当x∈(0，e)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(e,十o∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减. ∴f)的极大值为f(®)=。，无极小值。 (2)要使y=f(x)-f(a)有且仅有两个零点，即y=f(x)与 y=血有两个交点， a (1),知当x∈(0，e)时，f)(-0,是），当xe(e,+∞) 时，)(0，日)0<0<日，则y=f)-fa)有且 仅有两个零点，又a>0且a≠1， ∴a∈(1，e或(e,+o∞)时，fa)∈(0，是）， .∴.a的取值范围为(1，e)U(e,十∞). 3.解：(1)当a=2时，f(x)=x2+2x-3,f(x)=2x十2， 则f(1)=4, g(x)=1血，g1)=,由题意可知k=4 (2)若F(r)存在零点，则F(r)=r十ax一3-4n工-=0， x 即a=h一士十3工有实数根. 令-血者+红-h-x计是 x2 x 则)=1红=gxhg-1-是-4仁8二3 x x 令p(x)=4-8lnx-x3-3x, 则p(x=-8-32-3<0恒成立，g(x)单调递减。 又(1)=0， .当x>1时，p(x)<0,当x∈(0,1)时，p(x)>0, ∴.当x>1时，h(x)<0,当x∈(0,1)时，h'(x)>0, 故h(x)在(1，+∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，即 h(x)mx=h(1)=2. 易知当x→十o∞时，h(x)→-o∞，当x0时，h(x)→-∞， ∴.a≤2，即实数a的取值范围为（一∞，2]. 考前练19同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.B解析：由sim(受+a）=cosa=-号，且a∈（受，），得 sina=号，sim(x-a)=sina-号 4 2B解折：由题高知ma号e0sa=号m(。一2g)- 2 3 sim(a-受）=-cosa=-号 3.C解析：sin2023°=sin223°=-sin43°<0，cos2023°= c0s223°=-cos43°<0. 4A解析：由已知得1叶2如6ma2血csa=号，∴ma叶 d。-+-a2-士-2 sin acos a 1 2 5.B解析：：cos(-80)=cos80°=k,.sin80°=√/1-cos80-= V1-及，tan100°=-tan80=-/E考前练17利用导数证明不等式 1.已知函数f(x)=xe1一ax+1,曲线y= 3.已知函数f(x)=lnx-ax十a,g(x)= f(x)在点（2，f(2)处的切线1的斜率 xe*-2x. 为3e-2. (1)若x=3是函数f(x)的极值点，求曲线 (1)求a的值及切线l的方程； y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)证明：f(x)≥0. (2)求函数y=f(x)的单调区间； (3)当a=1时，证明：f(x)≤g(x)在(0，十o∞) 上恒成立 2.已知函数f(x)=ex2-xlnx.求证：当x>0 时，fx)xe+日 -18- 考前练18利用导数研究函数零点问题 1.已知函数f(x)=ex一kx(k∈R) 3.已知函数f(x)=x2+ax-3,g(x)=nx,当 (1)当=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的零点个数， a=2时，f(x)与g(x)的图象在x=1处的切 线相同， (1)求k的值； (2)令F(x)=f(x)一g(x),若F(x)存在零 点，求实数a的取值范围. 2.已知函数f(x)=ln x (1)求f(x)的极值； (2)若a>0,且a≠1，函数y=f(x)一f(a)有 且仅有两个零点，求a的取值范围. -19-