不等式证明专题训练-2027届高三数学一轮复习

不等式证明专题 一、单选题 1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（    ） A．36 B．4 C．16 D．9 3．设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 5．已知，则的最小值是（    ） A．14 B． C．8 D． 6．已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、多选题 7．下列关于基本不等式的说法错误的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，，，则的最小值为 D．若正数，满足，则的最小值是3 8．已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 9．已知为正实数，且，则（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为18 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题 10．设，那么的最小值是________. 11．已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是________. 四、解答题 12．三元均值不等式：“当a、b、c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题： (1)当时，求最小值； (2)当时，求最大值； (3)且，证明：. 13．已知a，b，c都是正数，且，证明： (1)； (2)； 14．（1）已知，且，证明：； （2）已知，且，证明： 15．已知均为正实数，且.求的最大值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《不等式证明专题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D B A A C BCD ACD ABC 1．B 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 2．D 【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 3．B 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4. 故选：B 4．A 【分析】由基本不等式得，结合条件求解. 【详解】由，，得， 又，即， 令，上式为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当时，等号成立， 所以得最小值为1. 故选：A. 5．A 【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答. 【详解】因为，则， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以当时，取最小值14. 故选：A 6．C 【分析】将原式变形，换元设，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由题得，设， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为6． 故选：C． 7．BCD 【分析】根据基本不等式求出最值即可依次判断选项. 【详解】对A，若，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即等号成立，故函数最小值为3，故B错误； 对C，因为， 所以， 当且仅当，即等号成立，故的最小值为2，故C错误； 对D，由可得，因为，可得， 则，当且仅当，即等号成立， 所以的最小值是4，故D错误. 故选：BCD. 8．ACD 【分析】对于A，根据基本不等式，可得其正误；对于B，利用基本不等式“1”的妙用，可得其正误；对于C，利用多项式乘法以及配方法，可得其正误；对于D，利用放缩，再根据完全平方公式以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D选项，由，则， ， 设，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 9．ABC 【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，为正实数，且， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 则，即， 解得，即，故当时，取最大值4，所以A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值18，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时取等号， 可得，即， 解得，即当时，取最小值4，所以C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以D错误． 故选：ABC． 10．32 【分析】由基本不等式求的最大值，然后由不等式的性质转化，再由基本不等式求最小值即可得． 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 又，所以，时，取得最小值32. 故答案为：32. 11． 【分析】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，因为不等式有解， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 12．(1)3 (2) (3) 因为， 所以，当且仅当即时取等号. 所以， 同理，. 所以. 又，所以， 所以，当且仅当时取等号. 【分析】（1）将函数化成，再利用三元均值不等式求和的最小值. （2）将函数化成，再利用三元均值不等式求积的最大值. （3）先利用得到，同理得到类似的式子，各式相加，再利用三元均值不等式求解即可. 【详解】（1）因为，三元均值不等式即可证明. 当且仅当即时取等号. （2）当时，， 当且仅当即时取等号. （3）略 13．(1) 因为，，，则，，， 所以， 即，所以，当且仅当，即时取等号． (2) 因为，，， 所以，，， 所以，， 当且仅当时取等号． 【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明； （2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）结合代入所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】证明：（1） ， 当时等号成立. （2）因为， 又因为，所以，，， . 当时等号成立，即原式不等式成立. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想 15． 【分析】根据柯西不等式的结论，由等号成立条件即可求解. 【详解】由柯西不等式得，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $