考前练15 导数与函数的最值&考前练16 利用导数求解不等式恒成立问题-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

考前练15 导数与函数的最值 1.已知函数f)=-3x+2+3x+1. 3.设函数f(x)=x2十cos2x. (1)求f(x)的单调区间和极值； (1)求曲线)y=fx)在点（受，f()处的切线 (2)求f(x)在区间[0,6们上的最值. 与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)求函数f(x)在区间[0，π]上的最大值和最 小值 2.已知函数f(x)=x3一ax十b在x=1处的切 线方程为y=0. (1)求实数a,b的值； (2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值与 最小值之和. -16 考前练16利用导数求解不等式恒成立问题 1.(2022·江苏苏州模拟)已知函数f(x)= 3.已知函数f(x)=x2一(2a+1)x+alnx(a∈R). xln x+1. (1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数，求实 (1)求函数f(x)的单调区间： 数a的取值范围； (2)若x>1时，函数f(x)>kx恒成立，求实 (2)函数g(x)=(1-a)x,若]x∈[1，e]使得 数的取值范围. f(xo)≥g(xo)成立，求实数a的取值范围. 2.已知函数f(x)=(x十a-1)e,g()=2x2+ a.x,其中a为常数. (1)当a=2时，求函数f(x)在点(0，f(0)处 的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，+∞)，不等式f(x)≥ g(x)恒成立，求实数a的取值范围. -17a2=(2e2+a)(e-a). ①若a=0,则f(x)=e2r,在（一∞，十o∞）上单调递增， ②若a>0,则由f(x)=0,得x=lna, ∴.当x∈(-oo,lna)时，f(x)<0;当x∈(lna,十o∞)时， f(x)>0, ,f(x)在（一∞，lna)上单调递减，在(lna,十o∞）上单调 递增。 ③若a<0,则由f(x)=0,得x=lh(-号) ∴当xe（-∞，ln(-g)时，f(x)<0,当xe(n(-), 十∞)时，f(x)>0, ∴f(x)在(-∞，ln(-号)）上单调递减，在(1n(-号)， 十∞)上单调递增. 综上，当a=0时，f(x)在（一o,十o)上单调递增；当a>0 时，f(x)在(-oo,lna)上单调递减，在(lna,十o∞)上单调递 增；当a<0时，f(x)在（-o∞，ln(-号)上单调递减，在 (1n(-号)，十∞）上单调递增。 2.解：f)=x一二在(0，+∞)上单调递增， “f(x)=e+a-≥0在(0，+o)上恒成立，记g(x)= er e十ax一a, 则p(x)≥0在(0，十∞)上恒成立，p(x)=e+a. 当a≥-1时，o'(x)=e+a>1+a≥0，即o(x)在(0，十∞)上 单调递增， ∴.o(x)>p(0)=1-a≥0，∴.-1≤a≤1. 当a<-1时，令p'(x)=e十a=0,解得x=ln(-a), 当0<xln(-a)时，o(x)<0,p(x)在(0，ln(-一a))上单调递 减；当x>ln(-a)时，p(x)>0,p(x)在(ln(-a),+∞)上单 调递增， ∴.o(x)≥o(ln(-a))=-2a十aln(-a)≥0，解得-e2≤a< -1. 综上，-e2≤a≤1，即实数a的取值范围是[-e2,l] 3.解：(1)f(x)=e-ax-1,.f(x)=e-a. 若a≤0，则f(x)=e一a>0,即f(x)在R上单调递增； 若a>0,令e-a≥0，解得x≥lna,即f(x)在lna,十∞)上 单调递增。 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R;当a>0时，f(x) 的单调递增区间为[lna,+oo). (2)存在实数a满足条件， ,f(x)=e-a≤0在(-2,3)上恒成立， ∴.a≥e在(-2,3)上恒成立. -2<x<3,∴.e2<e<e,只需a≥e3 当a=e3时，在(-2,3)上，f(x)=e-e3<0,即f(x)在(-2， 3)上单调递减，∴.a≥e3. 故存在实数a∈[e,十∞)，使f(x)在(-2,3)上单调递减. 考前练14导数与函数的极值 1.解：(1)当a=1时，f(x)=(x-1)e-x2,f(x)=x(e-2), 令f(x)>0,解得x<0或x>ln2; 91 令f(x)<0,解得0<xln2, .f(x)在（一∞，0）和(ln2,+∞)上单调递增，在(0，ln2)上单 调递减. (2)f(x)=x(e-2a), 当a≤0时，e-2a>0,故f(x)>0→x>0,∴.f(x)在(-∞， 0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，x=0为极小值点，不 合题意. 当a>0时，由f(x)=0,得x=0或x=ln2a. “z=0是极大值点，ln2a>0,即a>2, 故a的取值范围是（分，十o∞）， 2.解：(1)当a=号时，f(x)=nx-2x,函数的定义域为(0， 姐fm-立- 令f(x)=0,得x=2,于是当x变化时，f(x),f(x)的变化情 况如下表. x(0,2)2 (2,+∞) f(x)+ 0 fx)刀n2-1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln2-1,无 极小值 (2)由(1)知，函数的定义域为(0，十∞，了(x)=子-a= 1-a证(x>0). 当a≤0时，f(x)>0在(0，十∞)上恒成立，即函数在(0， 十∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当>0时，若x∈(0，)，则f(>0,若x∈（日，+∞）， 则了)<0，故函数在x=处有极大值 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数f(x) 有1个极大值点. 3.解：(1).'f(x)=x3+ax2+bx+2,∴.f(x)=3x2+2ax+b. .函数f(x)在x=一1与x=3处均取得极值， 8以x。0仁 1b=-9, 此时f(x)=3x2一6x-9=3(x-3)(x+1), 由f(x)>0,得x<-1或x>3,由f(x)<0,得-1<x<3, .f(x)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1,3）上单调递减，在 (3,十∞)上单调递增， 因此f(x)在x=一1处取得极大值，在x=3处取得极小值， 符合题设，即所求实数a,b的值分别是一3，一9. (2)由(1)知，f(x)在(-∞，一1)上单调递增，在(-1,3)上单 调递减，在(3，十∞)上单调递增， 若函数f(x)在区间(m,2m一1)上单调递减， 则一1≤m<2m一1≤3，.1<m≤2，即所求实数m的取值范 围是(1,2]. 考前练15导数与函数的最值 1.解：(1)函数f(x)的定义域为R, f(x)=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1). 令f(x)=0,得x=-1或x=3. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情祝况如下表所示. x(-,-1) -1(-1,3) 3 (3,+∞) f(x) 0 0 f(x) 10 .f(x)在区间[一1,3]上单调递增，在区间(-∞，一1)和(3， 十∞)上单调递减. 当=-1时，f)有极小值f(-1)=一号当x=3时， f(x)有极大值f(3)=10. (2)由(1)可知，f(x)在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,6]上 单调递减，.f(x)在区间[0,6]上的最大值为f(3)=10. 又f(0)=1,f(6)=-17,f(6)<f(0), .f(x)在区间[0,6]上的最小值为f(6)=一17. 2.解：(1)由已知得切点为(1,0)，且f(x)=3x2-a, 0将 b=2. (2)由(1)知f(x)=x3-3x十2，f(x)=3x2-3, 当1≤x≤2时，f(x)≥0，此时函数f(x)单调递增： 当-1≤x<1时，f(x)≤0，此时函数f(x)单调递减， ∴.f(x)n=f(1)=0. 又f(-1)=4,f(2)=4,∴.f(x)mx=4, ∴.函数f(x)在区间[一1,2]上的最大值与最小值之和为4. 3.解：(1).f(x)=x2十cos2x, ∴f(x)=2x-2 sin c0sx=2x-sin2x,可得f(5）=元， f(资)=年， “曲线y一)在点（受，（受）》处的切线方程为y一苦- π(x一受），即y=x一千，可得直线y=一平在x轴y轴 上的截距分别为子，一聋， “所求三角形的面积为号×受×等-影 (2)由(1)得f(x)=2x-2 sin xcos x=2x-sin2x.令u(x)= 2x-sin2x,则u(x)=2-2cos2x=2(1-cos2x)≥0， 函数f(x)为增函数. 又f(0)=0,当x∈[0，π]时，f(x)≥0，∴.函数f(x)在 [0,π]上单调递增， ∴.函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为f(π)=π十1，最小值 为f(0)=1. 考前练16利用导数求解不等式恒成立问题 1.解：(1).f(x)=xlnx+1,x>0,.f(x)=lnx+1, ∴当x(0,)时，f)<0,当x(是，+∞)时，f>0, ·函数∫(x)在区间(0，)上单调递减，在区间 (任，十o∞)上单调递增。 (2):当x>1时，f(x)>x恒成立，k<nx+子恒成立， 构造函数k()=nx十士，>1，求导可得皮()=士 -92 当x>1时，'(x)>0恒成立， .k(x)在(1，十∞)上单调递增，则k(x)>k(1)=1, ∴.≤1，即k的取值范围是（一∞，1]. 2.解：(1)a=2,f(x)=(x十1)e,.f0)=1, f(x)=(x+2)e,∴f(0)=2, .所求切线方程为2x一y十1=0. (2)令h(x)=f(x)-g(x), 由题意，得h(x)m≥0在x∈[0，十o∞)上恒成立. a)=(+a-1e-e-a, ∴.h'(x)=(x+a)(e-1). ①若a≥0，则当x∈[0，十oo)时，h(x)≥0，∴.函数h(x)在[0， 十∞)上单调递增， h(x)m=h(0)=a-1,则a-1≥0，得a>1. ②若a<0,则当x∈[0，-a)时，h'(x)≤0；当x∈(-a,十∞) 时，h'(x)>0, ∴.函数h(x)在[0，一a)上单调递减，在(-a,十∞)上单调递 增，∴.h(x)m=h(-a). 又.h(-a)<h(0)=a一1<0，∴.不合题意 综上，实数a的取值范围是[1，十o∞). 3.解：(1)f(x)=2z-l)(x-a) 当导函数f(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时，函数f(x) 在区间[1,2]上就不是单调函数， .a≤1或a≥2， .实数a的取值范围是(-∞，1]U[2,十∞). (2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，即 x2一2x+a(lnx-x)≥0在区间[1，e]上有解. 令a)=x-he1,e,则p)=1-是>0， ∴.p(x)=x一lnx在[l,e]上单调递增， p(x)≥g(1)=1,.x-lnx>0, <兰在区同1，间止有解 令h()=二2，则K(r)=-)at2-2n x-Inx (x-In x)2 x∈[1，e],∴.x+2>2≥2lnx,∴.h'(x)≥0，h(x)单调递增， 当c1g时h=Ao=e2a2. e-1 六实数4份取值范用是(-，©门 考前练17利用导数证明不等式 1.(1)解：由f(x)=xe-1-ax十1，得∫(x)=(x十1)e1-a. :曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线1的斜率为3e一2， .f(2)=3e-a=3e-2,解得a=2, ∴.f(2)=2e-4+1=2e-3,故切线l的方程为y一(2e一3)= (3e-2)(x-2),即(3e-2)x-y-4e十1=0. (2)证明：由(1)，可得f(x)=xe1-2x+1,f(x)=(x十1)· e1-2, ∴.当x∈(-∞，-1]时，f(x)<0. 令g(x)=(x+1)e-1-2(x>-1), 则g(x)=(x+2)e-1>0, ∴.当x∈（一1，十∞）时，g(x)单调递增，即f(x)单调递增。 又.f(1)=0,∴.当x∈(-1,1)时，f(x)<0, 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,