第五章 一元一次方程 单元小测 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

浙教版七年级上册 · 第5章 一元一次方程 · 单元小测 浙教版七年级上册 第5章《一元一次方程》单元小测 （知识点梳理 + 单元测试卷 + 参考答案及解析） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 第一部分 知识点梳理 本章知识结构 知识模块 主要内容 学习要求 一元一次方程 方程、一元一次方程、方程的解的概念 理解 等式的基本性质 等式的基本性质 1、2 及其应用 理解、会用 解一元一次方程 移项、去括号、去分母、系数化为 1 熟练掌握 一元一次方程的应用 行程、工程、销售、分段计费、配套、积分等问题 会列方程解决 知识点1 方程与一元一次方程 核心概念 (1) 含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件：①是等式；②含有未知数。 (2) 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。一般形式为 ax+b=0（a≠0）。 (3) 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。 判断一元一次方程的三个条件：①只含一个未知数；②未知数的次数是 1；③等号两边都是整式（分母中不含未知数）。例如 2x-1=3 是一元一次方程，而 x2=4，x+y=1， 都不是。 【例1】检验 x=3 是否是方程 2x-1=x+2 的解。 解：把 x=3 代入，左边=2×3-1=5，右边=3+2=5，左边=右边，所以 x=3 是方程的解。 知识点2 等式的基本性质 两条基本性质 性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或式子，所得结果仍是等式。即若 a=b，则 a±c=b±c。 性质2：等式两边都乘同一个数，或都除以同一个不等于 0 的数，所得结果仍是等式。即若 a=b，则 ac=bc；若 a=b 且 c≠0，则 。 注意：①等式两边必须同时进行同样的变形；②除以一个数时，这个数不能为 0。例如由 ac=bc 不能直接得到 a=b，因为 c 可能为 0；而由 可以得到 a=b，因为此时隐含 c≠0。 知识点3 解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤如下表： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 方程两边都乘各分母的最小公倍数 等式性质2 不含分母的项也要乘；分子是多项式要加括号 去括号 先去小括号，再去中括号 去括号法则、分配律 括号前是“-”号，括号内各项都要变号 移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 等式性质1 移项要变号 合并同类项 把方程化为 ax=b（a≠0）的形式 合并同类项法则 系数相加，字母不变 系数化为1 方程两边都除以 a，得 等式性质2 分子、分母不要颠倒 【例2】解方程：。 解：去分母，得 3(x+1)-6=2(2x-1)；去括号，得 3x+3-6=4x-2；移项，得 3x-4x=-2-3+6；合并同类项，得 -x=1；系数化为 1，得 x=-1。 知识点4 用一元一次方程解决实际问题 列方程解应用题的一般步骤 (1) 审：审清题意，找出已知量、未知量和等量关系； (2) 设：设未知数（直接设或间接设）； (3) 列：根据等量关系列出方程； (4) 解：解方程，求出未知数的值； (5) 验、答：检验解是否符合实际意义，写出答案。 常见问题中的等量关系： 问题类型 基本等量关系 行程问题 路程=速度×时间；相遇问题：甲路程+乙路程=总路程；追及问题：快者路程-慢者路程=相距路程 工程问题 工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总工作量（常把总工作量看作 1） 销售问题 利润=售价-进价；利润率；售价=标价×折扣 分段计费 总费用=各段费用之和，先判断属于哪一段 配套问题 按配套比例列方程，如 1 个螺栓配 2 个螺母，则螺母数=2×螺栓数 比赛积分 总积分=各种结果的得分之和 图5-1 相遇问题线段图 图5-2 追及问题线段图 方法：行程问题常借助线段图分析，把题中的数量关系“画”出来，等量关系便一目了然。 本章易错点提醒 ① 移项要变号，没有移动的项不变号。 ② 去分母时，方程两边每一项都要乘最小公倍数，不含分母的项不能漏乘。 ③ 去分母后，分子是多项式的要添括号，如 。 ④ 系数化为 1 时，是两边同时除以未知数的系数，注意符号。 ⑤ 解应用题时，单位要统一，答案要符合实际意义（如人数为正整数）。 第二部分 单元小测 （考试时间：45 分钟 满分：100 分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. x+2y=5 B. x2-1=0 C. D. 3x-1=2x+5 2. 方程 2x-1=5 的解是（ ） A. x=2 B. x=3 C. x=-3 D. x=4 3. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若 a=b，则 a+c=b-c B. 若 a=b，则 C. 若 ，则 a=b D. 若 ac=bc，则 a=b 4. 若 x=2 是关于 x 的方程 ax-3=5 的解，则 a 的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. 2 5. 解方程 时，去分母正确的是（ ） A. 3(x-1)-2(2x+1)=1 B. 3(x-1)-2(2x+1)=6 C. 3x-1-4x+1=6 D. 2(x-1)-3(2x+1)=6 6. 将方程 3x+5=2x-1 移项，正确的是（ ） A. 3x-2x=-1-5 B. 3x+2x=-1+5 C. 3x-2x=-1+5 D. 3x-2x=1-5 7. 某件商品的标价为 200 元，按标价的八折出售，仍可获利 25%，则该商品的进价是（ ） A. 120 元 B. 128 元 C. 130 元 D. 140 元 8. 甲、乙两地相距 360 千米，一辆快车从甲地出发，速度为 90 千米/时，同时一辆慢车从乙地出发，速度为 60 千米/时，两车相向而行。设经过 x 小时两车相遇，则所列方程正确的是（ ） A. 90x-60x=360 B. (90-60)x=360 C. 90x=60x+360 D. 90x+60x=360 9. 若关于 x 的方程 2x+a=0 与方程 3x-1=2 的解相同，则 a 的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 10. 某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 12 个或螺母 18 个，1 个螺栓需要配 2 个螺母。为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排 x 名工人生产螺栓，则所列方程正确的是（ ） A. 12x=2×18(28-x) B. 12x=18(28-x) C. 2×12x=18(28-x) D. 12x+18(28-x)=28 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11. 若 (m-2)x|m|-1+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 m=__________。 12. 方程 的解是__________。 13. 若 2a+1 与 a-4 互为相反数，则 a=__________。 14. 当 x=__________时，代数式 3x-2 的值等于 7。 15. 一个数的 3 倍比它的一半大 10，这个数是__________。 16. 某班有学生 45 人，男生比女生多 3 人，则女生有__________人。 17. 一项工作，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作__________天可以完成。 18. 定义新运算：a※b=2a-b。若 (x+1)※3=7，则 x=__________。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 46 分） 19.（16 分）解下列方程： (1) 4x-3=2x+7； (2) 3(x-2)=2-(x+4)； ； 。 20.（8 分）甲、乙两人分别从相距 18 千米的 A，B 两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇。已知甲每小时比乙多走 1 千米。 第20题图 (1) 求甲、乙两人的速度； (2) 相遇后两人继续按原速度前进，当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有多远？ 21.（8 分）某商店同时卖出两件衣服，每件售价都是 120 元。按成本计算，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%。在这次买卖中，商店是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 22.（8 分）为鼓励节约用水，某市对居民用水实行阶梯收费：每户每月用水不超过 15 立方米时，每立方米收费 3 元；超过 15 立方米时，超过部分每立方米收费 5 元。 (1) 若某户某月用水 20 立方米，则应交水费多少元？ (2) 若某户某月交水费 85 元，则该户这个月用水多少立方米？ 23.（6 分）在某次足球联赛中，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。某队共比赛了 14 场，其中负了 5 场，共得 19 分。该队胜了多少场？ 第三部分 参考答案及解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A B A B D B C 1. 【答案】D 【解析】A 项含两个未知数；B 项未知数的次数是 2；C 项分母中含未知数，不是整式方程；D 项符合一元一次方程的定义。 2. 【答案】B 【解析】移项得 2x=6，系数化为 1 得 x=3。 3. 【答案】C 【解析】A 项两边一边加 c 一边减 c，错误；B 项没有说明 c≠0，错误；C 项中 c 是分母，隐含 c≠0，两边乘 c 得 a=b，正确；D 项若 c=0，则 a 不一定等于 b，错误。 4. 【答案】A 【解析】把 x=2 代入方程，得 2a-3=5，所以 2a=8，a=4。 【方法】方程的解能使方程左右两边相等，已知解时可将其代入求参数。 5. 【答案】B 【解析】分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，两边都乘 6：左边 ，，右边 1×6=6，得 3(x-1)-2(2x+1)=6。 【易错】A 项右边的 1 漏乘了 6；C 项去括号时符号错误。 6. 【答案】A 【解析】把 2x 从右边移到左边变为 -2x，把 5 从左边移到右边变为 -5，得 3x-2x=-1-5。 【易错】移项必须变号。 7. 【答案】B 【解析】设进价为 x 元，则售价为 200×0.8=160（元），利润为 25%x 元。依题意得 160-x=0.25x，解得 x=128。 检验：128×(1+25%)=160，符合题意。 8. 【答案】D 【解析】相向而行，相遇时两车行驶的路程之和等于两地距离，所以 90x+60x=360。 9. 【答案】B 【解析】解 3x-1=2 得 x=1。把 x=1 代入 2x+a=0，得 2+a=0，所以 a=-2。 10. 【答案】C 【解析】x 名工人生产螺栓，每天生产螺栓 12x 个；(28-x) 名工人生产螺母，每天生产螺母 18(28-x) 个。1 个螺栓配 2 个螺母，所以螺母数是螺栓数的 2 倍，即 2×12x=18(28-x)。 解得 x=12，即 12 人生产螺栓，16 人生产螺母。 【易错】“2 倍”要乘在螺栓数上，不能乘在螺母数上。 二、填空题 11. 【答案】-2 【解析】由一元一次方程的定义得 |m|-1=1 且 m-2≠0。由 |m|=2 得 m=2 或 m=-2，又 m≠2，所以 m=-2。 【易错】不能忽略未知数的系数不为 0 这一条件。 12. 【答案】x=6 【解析】两边都乘 6，得 3x-6=2x，移项得 x=6。 13. 【答案】1 【解析】互为相反数的两个数和为 0，所以 (2a+1)+(a-4)=0，即 3a-3=0，a=1。 14. 【答案】3 【解析】依题意 3x-2=7，所以 3x=9，x=3。 15. 【答案】4 【解析】设这个数为 x，则 ，即 ，所以 x=4。 16. 【答案】21 【解析】设女生有 x 人，则男生有 (x+3) 人，x+(x+3)=45，解得 x=21。 17. 【答案】6 【解析】把总工作量看作 1，甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 。设两人合作 x 天完成，则 ，即 ，解得 x=6。 18. 【答案】4 【解析】由定义得 (x+1)※3=2(x+1)-3，所以 2(x+1)-3=7，即 2x+2-3=7，2x=8，x=4。 三、解答题 19. 【答案】(1) x=5；(2) x=1；； 【解析】(1) 移项，得 4x-2x=7+3；合并同类项，得 2x=10；系数化为 1，得 x=5。（4 分） (2) 去括号，得 3x-6=2-x-4；移项，得 3x+x=2-4+6；合并同类项，得 4x=4；系数化为 1，得 x=1。（4 分） (3) 去分母（两边乘 12），得 4(2x-1)=3(x+2)-12；去括号，得 8x-4=3x+6-12；移项，得 8x-3x=6-12+4；合并同类项，得 5x=-2；系数化为 1，得 。（4 分） (4) 去分母（两边乘 6），得 3(x+1)-(2-3x)=6；去括号，得 3x+3-2+3x=6；移项、合并同类项，得 6x=5；系数化为 1，得 。（4 分） 【易错】第 (3) 题右边的 -1 也要乘 12；第 (4) 题去分母后 (2-3x) 要带括号，去括号时两项都要变号。 20. 【答案】(1) 甲 5 千米/时，乙 4 千米/时；(2) 3.6 千米 【解析】(1) 设乙的速度为 x 千米/时，则甲的速度为 (x+1) 千米/时。依题意得 2x+2(x+1)=18，解得 x=4，x+1=5。 答：甲的速度为 5 千米/时，乙的速度为 4 千米/时。（4 分） (2) 相遇时甲走了 2×5=10（千米），乙走了 2×4=8（千米）。甲到达 B 地还需走 8 千米，用时 8÷5=1.6（小时）。 此时乙又走了 4×1.6=6.4（千米），乙离 A 地还有 10-6.4=3.6（千米）。（4 分） 21. 【答案】亏损 10 元 【解析】设盈利 20% 的衣服成本为 x 元，则 (1+20%)x=120，解得 x=100； 设亏损 20% 的衣服成本为 y 元，则 (1-20%)y=120，解得 y=150。（4 分） 两件衣服的总成本为 100+150=250（元），总售价为 120×2=240（元），240-250=-10（元）。 答：在这次买卖中，商店亏损 10 元。（4 分） 【易错】盈利与亏损的百分率相同，但成本不同，所以不能认为“不赚不亏”。 22. 【答案】(1) 70 元；(2) 23 立方米 【解析】(1) 15×3+(20-15)×5=45+25=70（元）。（3 分） (2) 用水 15 立方米时交费 15×3=45（元），因为 85>45，所以该户用水超过 15 立方米。 设该户用水 x 立方米，则 45+5(x-15)=85，解得 x=23。 答：该户这个月用水 23 立方米。（5 分） 【方法】分段计费问题要先判断所在的“段”，再列方程。 23. 【答案】胜 5 场 【解析】设该队胜了 x 场，则平了 (14-5-x) 场，即 (9-x) 场。依题意得 3x+(9-x)=19，解得 x=5。 检验：胜 5 场、平 4 场、负 5 场，得分 3×5+4=19，符合题意。 答：该队胜了 5 场。（6 分） 附一：双向细目表 题号 题型 考查知识点 分值 难度 1 选择题 一元一次方程的概念 3 易 2 选择题 解简单方程 3 易 3 选择题 等式的基本性质 3 中 4 选择题 方程的解的应用 3 易 5 选择题 去分母 3 中 6 选择题 移项 3 易 7 选择题 销售问题 3 中 8 选择题 行程问题（相遇） 3 易 9 选择题 同解方程 3 中 10 选择题 配套问题 3 中 11 填空题 一元一次方程的定义 3 中 12 填空题 含分母的方程 3 易 13 填空题 相反数与方程 3 易 14 填空题 代数式的值与方程 3 易 15 填空题 数字问题 3 易 16 填空题 和差问题 3 易 17 填空题 工程问题 3 中 18 填空题 新定义与方程 3 中 19 解答题 解一元一次方程 16 中 20 解答题 行程问题 8 中 21 解答题 销售盈亏问题 8 中 22 解答题 分段计费问题 8 中 23 解答题 比赛积分问题 6 中 附二：错题反思表 错题题号 涉及知识点 错误原因 正确思路 附三：本章学习建议 本章是用方程解决实际问题的起点，学习时要注意以下几点： 1. 运用等式的性质时，等式两边要同时进行同样的变形；两边同除以一个数时，这个数不能为 0。 2. 移项要变号，没有移动的项不变号。 3. 去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，不含分母的项也不能漏乘；分子是多项式时要加括号。 4. 去括号时，要用括号外的数乘括号内的每一项，括号前是“-”号时各项都要变号。 5. 列方程解应用题的关键是找准等量关系，常见的有：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、销售问题（利润=售价-进价）等。 6. 解出方程后要检验解是否符合实际意义，最后写出答语。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $