第五章 一元一次方程（单元自测·培优卷）数学新教材人教版七年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 5．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 7．有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（     ） A． B． C． D． 8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 9．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 10．多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 11．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 12．爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若与互为相反数，则a的值为______________． 14．2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 15．纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与2的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是___________． 16．有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 17．某学生将某数乘以时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25，则正确结果是_______． 18．如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（6分）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 21．（8分）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 22．（8分）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 23．（8分）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 24．（8分）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 25．（10分）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 26．（12分）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 5．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 7．有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（     ） A． B． C． D． 8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 9．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 10．多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 11．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 12．爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若与互为相反数，则a的值为______________． 14．2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 15．纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与2的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是___________． 16．有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 17．某学生将某数乘以时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25，则正确结果是_______． 18．如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（6分）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 21．（8分）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 22．（8分）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 23．（8分）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 24．（8分）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 25．（10分）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 26．（12分）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·培优卷（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D D A B D B D C B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 14. 15. 16. 17. 18. 4或 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，；(3分) （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，．(6分) 20.【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等．(3分) （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9．(6分) 21.【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴，(2分) ∵方程的解为 ∴， 则， 解得．(4分) （2）解：由（1）得， ∴，(5分) 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得．(8分) 22.【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴，(2分) 解得：，(3分) ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟；(4分) （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴，(6分) 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇．(8分) 23.【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ “3，2.5”不是“等效数对”；(2分) （2）解：∵ “”是“等效数对”， ∴， ， ， 解得；(4分) （3）解：∵“”为“等效数对”， ∴， (5分) ∴ ．(8分) 24.【详解】（1）解：由题意得；(1分) （2）解：①由题意得， ， ， 或， 或；(3分) ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或；(5分) （3）解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或，(7分) ，， 点P表示的数为或．(8分) 25.【详解】（1）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 叶老师送完乙同学后返回所需时间为， 叶老师再将甲同学送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为．(2分) （2）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 此时叶老师与甲同学之间的距离为， 则叶老师返程接甲所需时间为， 叶老师接到甲时，甲距离学校，距离车站， 故叶老师从相遇点将甲送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为．(6分) （3）解：当叶老师将学生乙送到路上某一处时，叶老师与甲同学的距离为， 叶老师返回接甲所需的时间为， 甲同学在叶老师返程过程中又前进了， 此时甲同学距离车站， 则叶老师从相遇点送甲同学到车站的时间为， 由叶老师骑摩托车一共行驶， 可得，(9分) 解得．(10分) 26.【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以(2分) （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，，(4分) 因为此方程有无数个解， 所以(5分) （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或(7分) 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或；(10分) 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或(12分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项． 【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意； B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意． 2．若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】因为方程的解满足方程，所以将代入原方程，得到关于的一元一次方程．求解得到的关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】解：∵ 方程的解是 ∴ 代入得 ∴ . 3．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 4．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 5．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“售价=成本+利润”，依次表示出标价和实际售价，即可列出方程． 【详解】解：设这种商品每件的成本是元， ∵商品按成本价提高后标价， ∴标价为元， ∵又按标价的打折卖出， ∴实际售价为元， ∵获利85元，根据“售价=成本+利润”， ∴列方程得． 6．若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同解方程的定义，先求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵ 方程与的解相同， ∴把代入，得， 解得． 7．有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设纸条宽为，根据纸条总长求出，再求周长即可． 【详解】解：如图，设纸条宽为， 则9快图形的长依次为， ， 解得， 大正方形的周长为． 8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 9．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 10．多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键根据表格确定出方程的解即可． 【详解】解：观察表格可知当时，，， ∴， ∴当时， 则关于x的方程的解是， 故选C． 11．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 12．爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【分析】横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，可得：，即可求出，所以、、可能是、、， 分情况讨论即可得到结果． 【详解】解：如下图所示，设两个空白位置的数分别为、， 根据题意可得：， 解得：， 、、可能是、、， 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 综上所述，，或， Ⅰ对Ⅱ不对． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若与互为相反数，则a的值为______________． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数之和为列方程，求解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 14．2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 【答案】 【分析】设标价为元，根据售价等于标价乘以折扣率，同时售价也等于进价乘以加利润率，建立一元一次方程求解． 【详解】解：设这款手工生肖马窗花的标价为元．根据题意，得： 解得：， 故这款手工生肖马窗花的标价为元． 15．纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与2的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是___________． 【答案】 【分析】先根据重合的和求出对折的对称中心点，再利用重合两点到对称中心的距离相等，计算所求点表示的数 【详解】解：∵对折后表示与的两个点重合， ∴对折的对称中心所表示的数为， 设与表示的点重合的点所表示的数为， ∵互相重合的两个点到对称中心的距离相等， ∴， 整理得， 解得 16．有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 【答案】85 【分析】设方框里最大的数是，根据方框分别表示出其他五个数，再根据6个数的和列方程求解即可． 【详解】解：设方框里最大的数是，则其他五个数分别为，，，，， 由题意得，， 解得：， 即框里最大的数应该是85． 17．某学生将某数乘以时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25，则正确结果是_______． 【答案】 【分析】设某数为a，先根据所得结果比正确结果小0.25列出方程求出a，再乘以计算即可得解． 【详解】解：设某数为a， 根据题意，得：， 解得， 所以，正确结果为． 18．如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 【答案】4或 【分析】分三种情况：当点P在边上，当点P在边上时，当点P在边上时，解答即可． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当点P在边上，，则，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：（不符合题意）； 综上所述，x的值为4或． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 20．（6分）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 21．（8分）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 22．（8分）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． 23．（8分）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 【答案】(1)“3，2.5”不是“等效数对” (2) (3) 【分析】（1）计算3与2.5的和与积，对比是否相等，结合“等效数对”定义判断； （2）根据“等效数对”定义列一元一次方程，求解得x的值； （3）将代数式变形为含与的结构，代入整体计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ “3，2.5”不是“等效数对”； （2）解：∵ “”是“等效数对”， ∴， ， ， 解得； （3）解：∵“”为“等效数对”， ∴， ∴ ． 24．（8分）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【答案】(1) (2)①或②或 (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式，代入两点对应的数，求出绝对值即可得到两点之间的距离； （2）①先利用数轴上两点距离公式得出，列出绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号求解即可；②由距离比列出含绝对值的比例等式，利用比例的基本性质化简，分两种情况去掉绝对值解方程得到结果； （3）设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度，则点P、点Q对应的数分别为、；根据题意列出绝对值方程，解出，再回代即可求出点P表示的数． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：①由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； （3）解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 25．（10分）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接原地未动的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）叶老师送乙到车站时甲同步步行，之后返程与甲相向而行后相遇，再载甲去车站，将送乙、返程相遇、送甲三段时间求和即可； （3）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 叶老师送完乙同学后返回所需时间为， 叶老师再将甲同学送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （2）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 此时叶老师与甲同学之间的距离为， 则叶老师返程接甲所需时间为， 叶老师接到甲时，甲距离学校，距离车站， 故叶老师从相遇点将甲送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （3）解：当叶老师将学生乙送到路上某一处时，叶老师与甲同学的距离为， 叶老师返回接甲所需的时间为， 甲同学在叶老师返程过程中又前进了， 此时甲同学距离车站， 则叶老师从相遇点送甲同学到车站的时间为， 由叶老师骑摩托车一共行驶， 可得， 解得． 26．（12分）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $