专题四 第3讲 球的切、接问题-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

第1题图 第2题图 2.D解析：如图，连接BC,PC,PB.AD∥BC,∠PBC (或其补角)为直线PB与AD1所成的角， BB⊥平面ABCD,BB⊥PC.又PC⊥BP,BB∩ B1P=B1,BB1,B1PC平面PBB1,.PC⊥平面PBB1, .PC⊥PB.设正方体的棱长为2，则BC=2√2，PC= 2D.B)=2:sin/PBC-BCPBC 考向2 Dy 1.ABD解析：如图，连接BC,BC. DA1∥B1C,∴.直线BC与BC所成 的角即为直线BC1与DA1所成的角， .四边形BBCC为正方形， BC⊥BC,故直线BC与DA所成的 角为90°，故A正确.连接AC.,AB ⊥平面BB1CC,BCC平面BBCC,.AB⊥BC.,B1CI BC,A1B1∩BC=B,∴.BC⊥平面ABC.又ACC平面 A1BC,.BC⊥CA1,故B正确.连接AC.设AC∩B1D= O,连接BO.BB⊥平面ABCD,COC平面ABCD ∴.COLBB.CO⊥BD,B1D∩BB=B,.CO⊥平面 BBDD,∴，∠CBO为直线BC与平面BBDD所成的角.设 正方体的棱长为1，则C0=写，BC=2,m∠CB0-S0 2 BC 合直线BC与平面BD,D所成的角为30，故C错误。 CC⊥平面ABCD,∴.∠CBC为直线BC1与平面ABCD所 成的角，易得∠CBC=45°，故D正确. 2.D解析：如图，不妨设AB=a,AD=b, D AA1=c,依题意及长方体的结构特征可 知，B1D与平面ABCD所成的角为 ∠BDB,BD与平面AABB所成的角 为∠DBA,si血30°=BD=BD,即 b=c,B1D=2c=√a+形十c2,解得a= A √2c.对于A,AB=a,AD=b,AB=√2AD,故A错误.对于B, 过点B作BE⊥AB于点E,易知BE⊥平面ABC1D,.AB 与平面AB,CD所成角为∠BAE.:tan∠BAE=S= 2 .∠BAE≠30°，故B错误.对于C,AC=√a2+b=√3c, CB1=√十c2=√2c,AC≠CB1,故C错误.对于D,BD与平 面B,CC所成的角为∠DB,Csm∠DBC=品=是 号而0<∠DB,C<90,∠DBC=45,放D正确， 3.解：(1)如图，连接PO,因为PO⊥圆锥底 面，所以∠PAO为直线PA与圆锥底面所 成的角，所以∠PA0-子. 因为AB=2,所以AO=1,PA=2,所以圆 锥的侧面积S=πXAOXPA=2π. (2)连接AC,因为弧AC的长为，所以 ∠COA=,则△OAC是等边三角形， 连接BD,可得四边形ACDB为等腰梯形，CD=1,所以 CD=OB. 又CD∥OB,所以四边形CDBO是平行四边形，所以CO∥ DB,又CO￠平面PBD,DBC平面PBD,所以CO∥平面 PBD.连接OQ,因为Q是PA的中点，O是AB的中点，所以 OQ∥PB,又OQ在平面PBD,PBC平面PBD,所以OQ∥平 面PBD.因为conoQ=O,所以平面COQ∥平面PBD, 又QMC平面COQ,所以QM∥平面PBD. 考向3 1.30°解析：如图，连接AC交BD于点O,连接CO.CD= CB,O为BD的中点，∴.CO⊥BD.AC⊥BD,.∠COC是 二面角C1-BD-C的平面角.在Rt△CCO中，CC=√2，CO= AC6,则C0-2∠C0C-8合由图可知， 二面角C-BD-C为锐二面角，，∠COC=30° D .-0 H B 第1题图 第2题图 2.60°解析：如图，作VO⊥平面ABCD,垂足为O,则VO⊥AB 取AB的中点H,连接VH,OH,则VH⊥AB.VH∩VO=V, .AB⊥平面VHO,.AB⊥OH,.VHO为二面角VABC的 平面角.易求VH=A2-A=4,.VH=2.而OH= 号BC=1,∴∠VH0=60故二面角VAB-C的大小为60. 第三讲 球的切、接问题 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1B解析：说球的半径为R,由已知得专R-,解得R=2, 故球的表面积S=4πR2=16π. 22解析：设大球的半径为R,则专R=2×专元×1，则 4 R=2,R=2. 3.100元解析：设该铁球的半径为r,则由题意得号xXP=元× 102×号，则r=5,r=5,“这个铁球的表面积S=4π× 52=100π(cm). 题组二 1.2.5解析：如图，圆柱的底面半径为4cm,设 铁球的半径为r,且4，由圆柱与球的性质知 AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,即4r2 B. 68r+145=(2x-5)(2r-29)=0,.r<4, ∴.r=2.5. 2.A解析：由题意可知，该长方体的体对角线即 为球的直径，其长度为2√3，从而球的半径为√3，则球的表面 积为12π. 3.C解析：依题意，作出圆锥与球的轴截 面，如图，设球的半径为，易知轴截面三 角形边AB上的高为22，因此2区-r- 3 子，解得=2 ,∴.圆锥内切球的表面积 为4x×(号) =2π 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 12解析：不妨设正方体的棱长为2，EF的中点为O,取AB: BB1的中，点G,M,侧面BB1C1C的中心为N,连接FG,EG, OM,ON,MN,如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF =√FG+EG=√22+22=2√2，即R D =√2，则球心O到BB1的距离为OM= A √ON+MN=√/1+1=√2，∴.球O 与棱BB相切，球面与棱BB1只有1个 交点.同理，根据正方体的对称性知，其 余各棱和球面也只有1个交点，.以EF G 为直径的球面与该正方体每条棱的交点总数为12. 【备考这样练】 1.B解析：由AB⊥BC,AB=6,BC=8,得AC=10,要使球的体 积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相 切，设底面△ABC的内切圆的半径为r,则号×6X8=号× (6十8十10)·r,解得r=2,此时2r=4>3,不合题意.因此当 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R=3, 得R=是.故球的最大体积V=专R=要 2.√2一1解析：如图，过点P作PD⊥平 面ABC于点D,连接AD并延长交BC 于点E,连接PE.△ABC是正三角形， .AE是BC边上的高和中线，D为 A △ABC的中心.AB=2W3,.S△ABc= B 35,DE=1,PE=2,∴S=3×2×2 V3X2+3W3=3W6+3V3.PD=1,∴三棱锥的体积V=) ×3√3×1=√3， ∴336+3)-5， 1 =√2-1， 2+1 3号解析：周锥内辛径最大的球即为圈 锥的内切球，设其半径为.如图，作出圆 锥的轴截面△PAB,则△PAB的内切圆为 圆锥的内切球的大圆.在△PAB中， PA=PB=3,D为AB的中点，AB=2,E 为切点，则PD=2√2，△PEOp△PDB, 故品器中2=1解得-号 3 2 故其内切球的体叔为音✉（号）》- 3π 考点二 【高考这样考】 55解析：由球的体积公式可得专R=43,可得球的半 4 径R=√3. 因为DA=DB=DC=√2，所以点D在底面ABC上的投影是 △ABC的中心O' 设球心为O,则O,O,D三点共线，且OD=R=√3 设△ABC的外接圆半径为r,OO=h,则OD=√DC-7 =√2-r2. 又OO=|N3-√/2-r2|,且OC=r,OC=R=√3， 在Rt△O0A中，2+=3，解得= √3 设等边△ABC的边长为a,由外接国丰径r=号a,可得a V5,所以Sc-Y5a=5V3 49 4 【备考这样练】 1.D解析：如图，O为CD的中点，根据 题意，△BCD和△ACD都是直角三角 形，且OA=OB=OC=OD=√2，∴.O D 是三棱锥外接球的球心，且外接球的 B 半径R=OA=√2，.外接球的表面积为S=4πR2=8π. 2.B解析：，在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形， PA=PB=PC=3,.△PAB≌△PBC≌△PAC..PA⊥PB, ∴.PA⊥PC,PC⊥PB.如图，以PA,PB,PC为过同一顶点的 三条棱作正方体，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC 的外接球，：正方体的体对角线长为√32+3+32=33， “其外接球半径R=3,因此三校维PABC的外接球的体 积V-×(3y3)-273 2 π. 2 C:-.---- 第2题图 第3题图 3.C解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的 中点M,又AM=BC=号，OM=AA,=6,∴球0的半径 R=0A-√(2）+6-号 4.2解析：如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SMN ABC,设△ABC的外接圆圆心为O1,半径为r,则2r= AB sin/ACB 3 =是=23，解得r=3.设三棱维S-ABC的外接 球球心为0，连接0A,00,则0A=2,00=号SA.:A= OA+00,4=3+SA,解得SA=2. M 01 第四讲 空间位置关系的证明与空间角问题 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组 1.AB解析：M,N在直线1上，M衣=(1,1,3)，故向量(1， 1,3),(2,2,6)都是直线1的一个方向向量 2.D解析：AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).设平面ABC的 生向注为1=，则有8取上一1则 -1,之=-1.故平面ABC的一个法向量是(-1，一1，-1). 题组二 1.A解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)， B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),.Bd=(-2,-2,3),AC= （-2,2,0),os(BD,At=Bd·AC 1B宽11A衣=0. D 第1题图 第2题图第三讲 球 ◆◆知识清单 。 【基础梳理】 1.球的表面积与体积公式 S=4,V=青 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球，则2R=√3a; ②若球为正方体的内切球，则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切，则2R=√2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a, b,c,外接球的半径为R,则2R=√a2++c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比 为3：1. 3.解决与球的切、接问题的思维流程 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截 面，将空间几何问题转化为平面几何问题求 解，其解题的思维流程如图. 如果是内切球，那么球心到切点的距离相 定球心 等且为半径；如果是外接球，那么球心到 接点的距离相等且为半径 选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽 可能多的包含球、几何体的各种元素以及 作截面 体现这些元素间的关系)，达到空间问题 平面化的目的 求半径 根据作出截面中的几何元素，建立关于 下结论 球的半径的方程，并求解 ◆方法清单 考点一 “相切”问题 【高考这样考】 (2023·全国甲卷理)在正方体ABCD- A1BCD1中，E,F分别为CD,A1B1的中点， 45 专题四空间向量与立体几何 内切、接问题 精准记忆◆ 【自主检测】 题组一球的表面积、体积公式的简单运用 1球的体积是3，则此球的表面积是( ) A.12π B.16π c D. 2.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球， 这个大球的半径是 3.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实 心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球， 测得容器的水面下降了号m,则这个铁球的 表面积为 cm2. 题组二球的切、接问题 1.(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4cm,高 为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略 不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径 的最大值为 cm. 2.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是√3， √3，w√6，这个长方体的八个顶点都在同一个球 面上，这个球的表面积是() A.12π B.18π C.36π D.6π 3.一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆 锥的内切球的表面积为() A.元 B C.2π D.3π 把控高考◆ 则以EF为直径的球面与该正方体每条棱的 交点总数为 【方法规律】处理与球有关内切问题的策略 解答此类问题时首先要找准切点，通过作截 艺术生文化课考前100天数学 面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时 主要抓住多面体过球心的对角面来作 【备考这样练】 1.在封闭的直三棱柱ABCA1BC1其内部有一 个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC= 8,AA1=3,则V的最大值是( A.4π &贸 C.6π 野 2.已知正三棱锥的高为1，底面边长为2√3，其 内部有一个球与四个面都相切，则棱锥的内 切球的半径为 3.(全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 考点“相接”问题 【高考这样考】 题(2026·全国Ⅱ卷)已知球O的体积为4√3π， A,B,C,D四点均在球O的球面上，△ABC 为等边三角形.若DA=DB=DC=√2，则 △ABC的面积为 【方法规律】处理与球有关相接问题的策略 (1)一个多面体的顶点都在球面上即为球的 外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接 球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等 于球的半径. (2)当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂 -4 直的三棱锥、共顶点的三个侧面两两垂直的 三棱锥或三组对棱互相垂直的三棱锥时，常 构造长方体或正方体以确定球的直径. 【备考这样练】 1.(2023·福建龙岩模拟)在三棱锥A-BCD中， CD=2√2，BC=AC=BD=AD=2,则此几何 体外接球的表面积为() A B.2π C.82x 3 D.8元 2.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形， PA=PB=PC=3,PA⊥PB,则三棱锥 PABC的外接球的体积为() A.2 7 B276 2π C.27V3π D.27π 3.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在 球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC, AA1=12,则球O的半径为() A.317 B.2√/10 2 c号 D.3W10 4.(2023·全国乙卷文)已知点S,A,B,C均在半 径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三 角形，SA⊥平面ABC,则SA=