第37讲 椭圆及其性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

第37讲 椭圆及其性质 内 容 导 航 知识点1 椭圆的定义 知识点2 椭圆的简单几何性质 知识点3 椭圆的标准方程 知识点4 椭圆中的焦点三角形 知识点5 椭圆的离心率及范围 知识点6 与椭圆有关的范围(最值) 题型1 椭圆的标准方程 题型2 求椭圆的焦点和焦距 题型3 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 题型4 椭圆上的点与焦点的距离 题型5 椭圆的范围 题型6 椭圆的顶点 题型7 椭圆的长短轴 题型8 椭圆的对称性 题型9 求椭圆的离心率 题型10 由椭圆的离心率求解方程或参数 题型11 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 题型12 椭圆相关动点轨迹 题型13 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 题型14 椭圆的弦及弦长 题型15 椭圆的焦点弦及焦半径 题型16 椭圆的焦点三角形 题型17 椭圆的中点弦 题型18 椭圆与平面向量 题型19 椭圆的定点及定值问题 知 识 点 通 关 知识点1 椭圆的定义 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 知识点2 椭圆的简单几何性质 1..椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝ (0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 必记结论 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 （1）b≤｜OP｜≤a； （2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝｜PF1｜，r2＝｜PF2｜，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1（a＞b＞0）中： （1）r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； （2）S＝b2tan ＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 知识点3 椭圆的标准方程 方法技巧 椭圆标准方程的求法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 知识点4 椭圆中的焦点三角形 方法技巧 椭圆焦点三角形中的结论应用 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 知识点5 椭圆的离心率及范围 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解椭圆离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用椭圆的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 知识点6 与椭圆有关的范围(最值) 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解椭圆中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题，常用以下三大技巧： 代数函数法：通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和判别式（Δ≥0）构造不等关系。将目标量（如弦长、面积）表示为斜率或截距的函数，借助二次函数性质、导数或均值不等式求最值与范围。 三角参数法：利用椭圆的参数方程，将椭圆上的动点设为 (acosθ,bsinθ) 。把目标代数式转化为于θ 的三角函数，再利用三角函数的有界性及辅助角公式求解。 几何定义法：充分挖掘椭圆的几何性质（如焦点三角形、点到焦点的距离范围等），结合平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 考 点 演 练 题型1 椭圆的标准方程 【典例1】已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【变式1】已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆C． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点N（0，3），过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点A，B，证明：kNA+kNB＝0． 题型2 求椭圆的焦点和焦距 【典例1】已知椭圆的右顶点为A，右焦点为B，则点A，B到直线y＝x+1的距离之积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】若双曲线C：x2﹣λy2＝15与椭圆的焦点相同，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．4 题型3 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 【典例1】设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则m的值等于（　　） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 【变式1】若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线y2＝2px的焦点，则（　　） A． B． C．2 D． 题型4 椭圆上的点与焦点的距离 【典例1】已知点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆C：上的动点，则（　　） A．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为 B．使△F1PF2为直角三角形的点P有6个 C．|PF1|﹣2|PF2|的最大值为 D．若，则|PF1|+|PM|的最大、最小值分别为和 【变式1】已知F1（﹣2，0），F2（2，0），动点P满足|PF1|+|PF2|＝6，若A（1，1），则|PA|+|PF1|的范围为 　 　 ． 题型5 椭圆的范围 【典例1】若点P（1，﹣a）在椭圆的内部，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣2，+∞） B． C．（﹣2，0） D． 【变式1】椭圆上的动点M与点Q（3，0）的距离的最小值为，则a的值可以是（　　） A． B． C． D． 题型6 椭圆的顶点 【典例1】记椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B（0，1），直线BA1，BA2的斜率满足•． （1）求椭圆C的方程； （2）已知椭圆上点（x0，y0）处的切线方程是．若点P为直线l：x上的动点，过点P作椭圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，求△PMN面积的最小值． 【变式1】已知椭圆，直线过C的左顶点与上顶点，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为1． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点，A，B（异于点P）是椭圆C上不同的两点，且PA⊥PB，过P作AB的垂线，垂足为M，求M到直线l的距离的最大值． 题型7 椭圆的长短轴 【典例1】“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子•离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得|F1P|＝3cm，|F1Q|＝1cm，其中F1为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（　　） A．2cm B．4cm C． D． 【变式1】已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（　　） A． B．2 C． D．4 题型8 椭圆的对称性 【典例1】已知椭圆C：的两个焦点分别为F1（0，﹣c），F2（0，c）（其中c＞0），点P在椭圆C上，点Q是圆E：x2+（y﹣4）2＝1上任意一点，|PQ|+|PF2|的最小值为2，则下列说法正确的是（　　） A．椭圆C的焦距为2 B．过F2作圆E切线的斜率为 C．若A、B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为 D．|PQ|﹣|PF2|的最小值为 【变式1】已知椭圆的焦距为，直线与E在第一象限的交点P的横坐标为3． （1）求E的方程； （2）设直线l2：y＝kx+m与椭圆E相交于两点M，N，试探究直线PM与直线PN能否关于直线l1对称．若能对称，求此时直线l2的斜率；若不能对称，请说明理由． 题型9 求椭圆的离心率 【典例1】若椭圆C的长轴长是短轴长的倍，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，P为C所在平面内一点，且∠F1F2P＝60°，若△PF1F2与△PF1A均为等腰三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 题型10 由椭圆的离心率求解方程或参数 【典例1】方程表示的圆锥曲线的离心率e＝（　　） A． B． C． D．5 【变式1】已知焦点在x轴上的椭圆的离心率，则b＝（　　） A．4 B． C．2 D． 题型11 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 【典例1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：x2+y2＝a2+6于M，N两点，下列结论正确的是（　　） A．实数a越大，椭圆C越圆 B．若PF1⊥PF2，且|OP|＝|PM|，则 C．当a＝2时，过F1的直线l1交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则l1的斜率 D．若|PF1|•|PF2|＝6，则|PM|•|PN|＝9 【变式1】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（　　） A．轨道的焦距为d2+d1 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越扁 题型12 椭圆相关动点轨迹 【典例1】已知动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|+|PF2|＝8，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹是椭圆 C．当1＜k＜4时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 题型13 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 【典例1】设椭圆C：，点A（2，0）和B（0，1）均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上．若MN∥AB，则四边形ABMN面积的最大值为（　　） A． B．4 C． D．2 【变式1】设椭圆，点A（2，0）和B（0，1）均为椭圆C的顶点，直线与椭圆C交于M，N两点．当四边形ABMN面积取最大值时，实数m的值为（　　） A．0 B． C． D．﹣1 题型14 椭圆的弦及弦长 【典例1】已知椭圆，点M（1，2），过点M的直线交椭圆于A，B两点，AB的中点为Q，定点，则|HQ|的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知P为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为A，B，C，D，且|PA|+|PB|+|PC|+|PD|＝12，则（　　） A．点P必在椭圆上 B．点P必在椭圆上 C．点P必在椭圆上 D．点P必在椭圆上 题型15 椭圆的焦点弦及焦半径 【典例1】设O为坐标原点，F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则|OP|＝（　　） A． B．5 C． D． 【变式1】已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且|MF1|•|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 题型16 椭圆的焦点三角形 【典例1】椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点且满足，则△PF1F2的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1且斜率为的直线l与C交于A、B两点（A在B上方），F2在l上的射影点恰为AF1的中点，则C的离心率为：（　　） A． B． C． D． 题型17 椭圆的中点弦 【典例1】已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5|FM|＝|OF|（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的左焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若4|FM|＝|OF|（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为 　 　 ． 题型18 椭圆与平面向量 【典例1】已知点P为椭圆C：1上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则•的取值范围是（　　） A．[3，35] B．（3，35] C．[2，6] D．（2，6] 【变式1】若椭圆C1和C2的方程分别为1（a＞b＞0）和λ（a＞b＞0，λ＞0且λ≠1），则称C1和C2为相似椭圆．已知椭圆C1：1，C2：λ（0＜λ＜1），过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且，则△MON的面积最大时，λ的值为（　　） A． B． C． D． 题型19 椭圆的定点及定值问题 【典例1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，下顶点为B，点P（x0，y0）为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（　　） A．坐标原点O到直线AB的距离为 B．若，则x0的取值范围为 C．△PAB的面积最大值为 D．四边形ABNM的面积为定值2 【变式1】如图，已知椭圆过点P（3，1），焦距为，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直． （1）求椭圆C的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值． 过 关 验 收 1．设N为正整数，在平面直角坐标系Oxy中，若，且m，n∈Z）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为（　　） A．12 B．8 C．7 D．5 2．“0＜m＜4”是“曲线为椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知椭圆的焦距为，则a＝（　　） A．2 B． C． D． 4．双曲线的焦点坐标为（　　） A． B．（±2，0） C． D．（0，±2） 5．已知O为坐标原点，椭圆C1：1（a＞b＞0）与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）有共同的焦点F，且在第一象限相交于点A，若OF⊥AF，则　 　 ． 6．已知椭圆的左焦点为F（﹣1，0），离心率为． （1）求C的方程； （2）设点，过点F且不与坐标轴垂直的直线交C于P、Q两点，且|BP|＝|BQ|，求|PQ|． 7．已知点P（x0，y0）是椭圆C：上的动点，若A（1，0），则|PA|的最小值为 　 　 ． 8．已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率是，A1、A2分别为椭圆E的左、右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2．直线l过点D（1，0）且与椭圆E交于P，Q两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）求△OPQ面积的最大值； （3）设直线A1P与直线QA2交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程． 9．已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 10．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上下顶点分别为B1，B2，左顶点为A1，P，Q是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（　　） A．P，Q，F1，F2 B．P，Q，B1，B2 C．P，Q，F1，B1 D．P，Q，A1，B1 11．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1和直线PF2分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 12．已知曲线C1：（a＞1），曲线C2：的离心率分别为e1，e2，且，则a＝（　　） A． B． C． D． 13．已知椭圆上有两个动点A，B满足|AB|＝3，P（x0，y0）为线段AB的中点，则x0的最大值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 14．已知F为椭圆的一个焦点，P为椭圆C上一点，Q为圆M：（x﹣4）2+y2＝1上一点，则|PF|﹣|PQ|的最大值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 15．如图，已知圆O：x2+y2＝3的直径与椭圆E：的短轴长相等，A1，A2分别为椭圆E的左、右顶点，B1，B2分别为圆O与x轴的交点，F为椭圆E的右焦点，． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，与圆O交于C，D两点，证明：为定值． 16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2（c，0）的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|+|BF1|＝5c，则椭圆C离心率的范围为（　　） A． B． C． D． 17．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且|F1F2|＝2．直线l过点F2且与C相交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若△AF1F2的面积为，求； （3）若，求cos∠AF1B． 18．记椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E在第一象限内交于点P，且PF1⊥PF2，|PF1|+|PF2|＝4，△PF1F2的面积为1． （1）求E的标准方程； （2）求l的斜率． 19．已知椭圆的左焦点为F1，上、下顶点分别为A，B，且，点在Γ上． （1）求椭圆Γ的方程； （2）过左焦点F1的直线交椭圆Γ于M，N两点，交直线x＝﹣2于点P，设，，证明：λ+μ为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲 椭圆及其性质 内 容 导 航 知识点1 椭圆的定义 知识点2 椭圆的简单几何性质 知识点3 椭圆的标准方程 知识点4 椭圆中的焦点三角形 知识点5 椭圆的离心率及范围 知识点6 与椭圆有关的范围(最值) 题型1 椭圆的标准方程 题型2 求椭圆的焦点和焦距 题型3 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 题型4 椭圆上的点与焦点的距离 题型5 椭圆的范围 题型6 椭圆的顶点 题型7 椭圆的长短轴 题型8 椭圆的对称性 题型9 求椭圆的离心率 题型10 由椭圆的离心率求解方程或参数 题型11 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 题型12 椭圆相关动点轨迹 题型13 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 题型14 椭圆的弦及弦长 题型15 椭圆的焦点弦及焦半径 题型16 椭圆的焦点三角形 题型17 椭圆的中点弦 题型18 椭圆与平面向量 题型19 椭圆的定点及定值问题 知 识 点 通 关 知识点1 椭圆的定义 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 知识点2 椭圆的简单几何性质 1..椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝ (0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 必记结论 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 （1）b≤｜OP｜≤a； （2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝｜PF1｜，r2＝｜PF2｜，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1（a＞b＞0）中： （1）r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； （2）S＝b2tan ＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 知识点3 椭圆的标准方程 方法技巧 椭圆标准方程的求法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 知识点4 椭圆中的焦点三角形 方法技巧 椭圆焦点三角形中的结论应用 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 知识点5 椭圆的离心率及范围 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解椭圆离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用椭圆的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 知识点6 与椭圆有关的范围(最值) 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解椭圆中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题，常用以下三大技巧： 代数函数法：通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和判别式（Δ≥0）构造不等关系。将目标量（如弦长、面积）表示为斜率或截距的函数，借助二次函数性质、导数或均值不等式求最值与范围。 三角参数法：利用椭圆的参数方程，将椭圆上的动点设为 (acosθ,bsinθ) 。把目标代数式转化为于θ 的三角函数，再利用三角函数的有界性及辅助角公式求解。 几何定义法：充分挖掘椭圆的几何性质（如焦点三角形、点到焦点的距离范围等），结合平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 考 点 演 练 题型1 椭圆的标准方程 【典例1】已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可知，2a＝4，a＝2， 又，且a2＝b2+c2，解得，b＝1， 则椭圆C的方程为． （2）法一：①当直线l斜率不存在时，，不符合题意． ②设直线l方程为y＝k（x﹣1）， 联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，Δ＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 由，得， 即，解得k＝±1． 故直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1． 法二：①当直线l斜率为0时，|AB|＝2a＝4，不符合题意． ②当直线l斜率不为0时，设直线l方程为x＝ty+1， 联立，得（t2+4）y2+2ty﹣3＝0，Δ＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则． 由题意，， 即，解得t＝±1． 故直线l的方程为：x＝y+1或x＝﹣y+1． 【变式1】已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆C． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点N（0，3），过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点A，B，证明：kNA+kNB＝0． 【答案】（1）； （2）证明：当直线l斜率不存在时，直线为x＝0，从而可得，， 但此时kNA，kNB无意义，故直线l斜率存在， 设直线l方程为y＝kx+1， 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以，， 所以 ， 所以kNA+kNB＝0． 故证：kNA+kNB＝0． 【解答】解：（1）由椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍， 可得a+c＝3（a﹣c），解得a＝2c， 又因点在椭圆C上，即，解得， 所以椭圆C的方程为． （2）证明：当直线l斜率不存在时，直线为x＝0，从而可得，， 但此时kNA，kNB无意义，故直线l斜率存在， 设直线l方程为y＝kx+1， 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以，， 所以 ， 所以kNA+kNB＝0． 故证：kNA+kNB＝0． 题型2 求椭圆的焦点和焦距 【典例1】已知椭圆的右顶点为A，右焦点为B，则点A，B到直线y＝x+1的距离之积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由题意知，A（2，0），B（1，0）， 所以点A到直线y＝x+1的距离为， 点B到直线y＝x+1的距离为， 所以d1d2＝3． 故选：C． 【变式1】若双曲线C：x2﹣λy2＝15与椭圆的焦点相同，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：由题可得：椭圆中的c4，焦点在x轴上， 又双曲线C：x2﹣λy2＝15， 即1，可得1542＝16，解得λ＝15， 双曲线方程为：y2＝1， 故双曲线C的离心率为：． 故选：C． 题型3 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 【典例1】设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则m的值等于（　　） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 【答案】B 【解答】解：已知椭圆的标准方程为，若焦距为2， 所以c＝1． 当焦点在x轴上，此时m＞6，且m﹣6＝12，解得m＝7； 当焦点在y轴上，此时0＜m＜6，且6﹣m＝12，解得m＝5． 综上，m的值为7或5． 故选：B． 【变式1】若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线y2＝2px的焦点，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的倍， 即， 所以， 抛物线y2＝2px的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点， 所以， 所以， 即． 故选：A． 题型4 椭圆上的点与焦点的距离 【典例1】已知点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆C：上的动点，则（　　） A．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为 B．使△F1PF2为直角三角形的点P有6个 C．|PF1|﹣2|PF2|的最大值为 D．若，则|PF1|+|PM|的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解答】解：点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆C：上的动点， A选项：由椭圆方程，所以a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2﹣b2＝4， 所以△F1PF2的面积为4，故A错误； B选项：当PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2时，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有4个， 设椭圆的上下顶点分别为S，T，则|F1F2|＝4，|OS|＝2，故，同理， 知∠F1SF2＝∠F1TF2＝90°，所以当P位于椭圆的上、下顶点时△F1PF2也为直角三角形， 其他位置不满足，满足△F1PF2为直角三角形的点P，故B正确； C选项：由于， 所以当|PF2|最小即时，|PF1|﹣2|PF2|取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又，则|PF1|+|PM|的最大、最小值分别为和， 当点P位于直线MF2与椭圆的交点时取等号，故D正确． 故选：BCD． 【变式1】已知F1（﹣2，0），F2（2，0），动点P满足|PF1|+|PF2|＝6，若A（1，1），则|PA|+|PF1|的范围为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为F1（﹣2，0），F2（2，0），动点P满足|PF1|+|PF2|＝6， 所以P的轨迹是以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆，a＝3， 故b2＝a2﹣c2＝5， 因为﹣|AF2|≤|PA|﹣|PF2|≤|AF2|，|AF2|， 则|PA|+|PF1|＝|PA|+6﹣|PF2|∈． 故答案为：． 题型5 椭圆的范围 【典例1】若点P（1，﹣a）在椭圆的内部，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣2，+∞） B． C．（﹣2，0） D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，由点P（1，﹣a）在椭圆的内部， 可得：，且2a＜0，2a≠﹣1， 解得：或， 所以实数a的取值范围为． 故选：B． 【变式1】椭圆上的动点M与点Q（3，0）的距离的最小值为，则a的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解答】解：设M（x0，y0），则， 所以， 设函数，是开口向上，对称轴为的二次函数， 问题转化为f（x）在[﹣a，a]上的最小值为， 而， 所以原条件等价于或， 解得或． 故选：BD． 题型6 椭圆的顶点 【典例1】记椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B（0，1），直线BA1，BA2的斜率满足•． （1）求椭圆C的方程； （2）已知椭圆上点（x0，y0）处的切线方程是．若点P为直线l：x上的动点，过点P作椭圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，求△PMN面积的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为椭圆C的上顶点为B（0，1）， 所以b＝1， 又椭圆C的左、右顶点为A1（﹣a，0），A2（a，0）， 所以， 解得a＝2， 则椭圆C的方程为； （2）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），， 易知过M，N的切线分别为，， 因为点P在两切线上， 所以，， 则直线MN的方程为， 即， 联立，消去x并整理得（3t2+4）y2﹣6ty﹣1＝0， 此时Δ＝48t2+16＞0， 由韦达定理得，， 则， 又点P到直线MN的距离， 则△PMN的面积S， 不妨令m，m≥1， 此时， 易知函数y在[1，+∞）上单调递减， 所以函数y在[1，+∞）上单调递增， 当且仅当t＝0时，函数取得最小值，最小值为． 故△PMN的面积的最小值为． 【变式1】已知椭圆，直线过C的左顶点与上顶点，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为1． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点，A，B（异于点P）是椭圆C上不同的两点，且PA⊥PB，过P作AB的垂线，垂足为M，求M到直线l的距离的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）在直线上， 令x＝0， 解得y＝t， 令y＝0， 解得x＝﹣2t， 因为直线l过C的左顶点与上顶点， 所以a＝2b， 因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为1， 所以， 解得b＝1， 则a＝2， 故椭圆C的标准方程为； （2）当直线AB的斜率存在时， 不妨设直线AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0， 此时Δ＝（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0， 解得m2＜4k2+1， 由韦达定理得，， 所以， ． 因为PA⊥PB， 所以， 即， 整理得， 即， 解得或． 当时，直线AB的方程为y＝k（x）， 则直线AB经过点P，不符合题意； 若时，直线AB的方程为， 则直线AB过定点． 当直线AB的斜率不存在时， 不妨设该直线方程为， 不妨令， 因为PA⊥PB， 所以， 即 ， 解得或， 当是，直线经过点P，不符合题意， 所以直线AB的方程为， 此时直线AB也过点， 因为PM⊥AB， 所以点M在以PQ为直径的圆上， 则该圆的圆心为PQ的中点，半径r， 所以点M在圆上， 故M到直线l的距离的最大值为． 题型7 椭圆的长短轴 【典例1】“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子•离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得|F1P|＝3cm，|F1Q|＝1cm，其中F1为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（　　） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得2a＝3+1＝4，4c2＝9+1，可得c，b．椭圆的短轴长为． 故选：D． 【变式1】已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解答】解：已知椭圆， 则b2＝1，即b＝1， 离心率， 即4（a2﹣1）＝3a2， 解得a2＝4， 因为a＞1， 所以a＝2， 故长轴长为2a＝4． 故选：D． 题型8 椭圆的对称性 【典例1】已知椭圆C：的两个焦点分别为F1（0，﹣c），F2（0，c）（其中c＞0），点P在椭圆C上，点Q是圆E：x2+（y﹣4）2＝1上任意一点，|PQ|+|PF2|的最小值为2，则下列说法正确的是（　　） A．椭圆C的焦距为2 B．过F2作圆E切线的斜率为 C．若A、B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为 D．|PQ|﹣|PF2|的最小值为 【答案】ABD 【解答】解：圆E：x2+（y﹣4）2＝1的圆心E（0，4），半径r＝1， 显然圆E与椭圆C相离，而点P在椭圆C上，点Q在圆E上， 于是|PQ|+|PF2|≥|PE|﹣r+|PF2|≥|EF2|﹣1＝4﹣c﹣1＝3﹣c， 当且仅当P，Q分别是线段EF2与椭圆C、圆E的交点时取等号， 因此3﹣c＝2，解得c＝1， 则椭圆C的焦距为2，且椭圆C的方程为，A正确； 显然过F2（0，1）的圆E切线的斜率存在， 设此切线方程为y＝kx+1，于是，解得，B正确； 设P（x0，y0），A（x1，y1），有B（﹣x1，﹣y1）， 且，即， 直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB， 因此，C错误； ， 当且仅当P，Q分别是线段EF1与椭圆C、圆E的交点时取等号，D正确． 故选：ABD． 【变式1】已知椭圆的焦距为，直线与E在第一象限的交点P的横坐标为3． （1）求E的方程； （2）设直线l2：y＝kx+m与椭圆E相交于两点M，N，试探究直线PM与直线PN能否关于直线l1对称．若能对称，求此时直线l2的斜率；若不能对称，请说明理由． 【答案】（1）； （2）直线PM与直线PN能够关于直线l1对称，此时直线l2的斜率为1． 【解答】解：（1）由已知，，所以． 而在E上，所以． 于是，a2＝12．则b2＝a2﹣c2＝4， 故椭圆E的方程为． （2）可知P（3，1），将y＝kx+m代入， 得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣12＝0． 由Δ＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣12）＞0，有m2﹣12k2﹣4＜0． 设M（x1，y1），N（x2，y2），易知x1≠x2． 则． 因为直线PM与直线PN关于直线l1对称， 则直线PM与PN存在斜率，且斜率互为相反数． 所以， 即（y1﹣1）（x2﹣3）+（y2﹣1）（x1﹣3）＝0， 即x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣3（y1+y2）+6＝0， 所以2kx1x2+（m﹣1﹣3k）（x1+x2）+6﹣6m＝0， 则， 即3k2+（m﹣4）k﹣m+1＝0，所以k＝1或m＝1﹣3k． 当m＝1﹣3k时，MN的方程为y＝k（x﹣3）+1，经过P点，与题意不符，故舍去． 故直线PM与直线PN能够关于直线l1对称，此时直线l2的斜率为k＝1， 同时应有m∈（﹣4，4）． 题型9 求椭圆的离心率 【典例1】若椭圆C的长轴长是短轴长的倍，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：若椭圆C的长轴长是短轴长的倍， 则，即， 从而a2＝5b2，即， 由a2﹣c2＝b2，可得，即， 所以可得椭圆C的离心率． 故选：C． 【变式1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，P为C所在平面内一点，且∠F1F2P＝60°，若△PF1F2与△PF1A均为等腰三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意椭圆C：，其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 左顶点A（﹣a，0），其中c2＝a2﹣b2， 因为∠F1F2P＝60°，且△PF1F2为等腰三角形，所以△PF1F2是等边三角形， 则|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2c， 又因为△PF1A为等腰三角形，且|PF1|＝2c，AF1＝a﹣c， 所以有|PF1|＝|AF1|， 即2c＝a﹣c，即3c＝a， 所以椭圆的离心率． 故选：D． 题型10 由椭圆的离心率求解方程或参数 【典例1】方程表示的圆锥曲线的离心率e＝（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【解答】解：因为， 所以， 所以25[（x﹣4）2+y2]＝252﹣200x+16x2， 化简得， 又25＞9＞0， 即方程表示的圆锥曲线是焦点在x轴上的椭圆． 故a＝5，c＝4， 所以离心率为． 故选：B． 【变式1】已知焦点在x轴上的椭圆的离心率，则b＝（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解答】解：由题知椭圆焦点在x轴上，所以a2＝8，且a＞b， 因为，所以， 解得b2＝4，所以b＝2． 故选：C． 题型11 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 【典例1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：x2+y2＝a2+6于M，N两点，下列结论正确的是（　　） A．实数a越大，椭圆C越圆 B．若PF1⊥PF2，且|OP|＝|PM|，则 C．当a＝2时，过F1的直线l1交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则l1的斜率 D．若|PF1|•|PF2|＝6，则|PM|•|PN|＝9 【答案】BD 【解答】解：A选项，因为a≥2，所以a2≥4，此时， 故椭圆离心率为， a越大，则离心率e越大，故椭圆C越扁，A错误； B选项，因为PF1⊥PF2，则， 又|OP|＝|PM|，则|OM|＝2c，故， 又c2＝a2﹣3，解得a2＝6，c2＝3， 故，B正确； C选项，当a＝2时，椭圆，且F1（﹣1，0）， 当过F1的直线l1斜率为0时，此时A在x轴上，不合要求，舍去， 设过F1的直线l1的方程为x＝my﹣1， 因为点A在x轴的上方，且，所以直线l1的斜率大于0， 联立，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 因为直线所过定点F1在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， 因为，所以y1＝﹣2y2， 故，所以， 解得，负值舍去， 所以直线l1的方程的斜率错误； D选项，设P（x0，y0），则，所以， 则 ，同理可得|PF2|＝a﹣ex0， 由|PF1|•|PF2|＝6，得， 故，则， 又|PM|＝|OM|﹣|OP|，|PN|＝|OM|﹣|OP|， 故 ＝a2+3﹣（a2﹣6）＝9，D正确． 故选：BD． 【变式1】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（　　） A．轨道的焦距为d2+d1 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越扁 【答案】BC 【解答】解：由题意可得a+c＝d2，a﹣c＝d1，可得2a＝d1+d2，2c＝d2﹣d1， A中，焦距为d2﹣d1，所以A不正确； B中，离心率e，所以B正确； C中，短轴长2b＝222，所以C正确； D中，当越大时，d2越接近d1，即c越小，则b越大，则椭圆越圆，所以D不正确． 故选：BC． 题型12 椭圆相关动点轨迹 【典例1】已知动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由已知，动点M（x，y）到（﹣3，0）与（3，0）两点的距离之和为10， 且10＞3+3＝6，则动点M（x，y）的轨迹是以（﹣3，0）和（3，0）为焦点的椭圆， 且a＝5，c＝3，，故方程为． 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|+|PF2|＝8，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹是椭圆 C．当1＜k＜4时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【解答】解：对于A，若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|+|PF2|＝8＝|F1F2|， 则动点P的轨迹为以F1，F2为端点的线段，故A错误； 对于B，若定点F1，F2满足|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|+|MF2|＝10＞|F1F2|， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，故B正确； 对于C，当4﹣k＝k﹣1，即时，方程表示圆，故C错误； 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在x轴上． 其中a2＝4，b2＝2，可得，所以焦点坐标为，故D正确． 故选：BD． 题型13 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 【典例1】设椭圆C：，点A（2，0）和B（0，1）均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上．若MN∥AB，则四边形ABMN面积的最大值为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解答】解：由A（2，0）和B（0，1）可得a＝2，b＝1， 所以椭圆方程为， 因直线AB的斜率为， 可得其方程为， 又因MN∥AB，故可设直线MN的方程为， 联立， 消去y，可得x2﹣2mx+2m2﹣2＝0， 由Δ＝4m2﹣4（2m2﹣2）＞0， 解得， 由韦达定理得， 所以， 由MN∥AB可知四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即x+2y﹣2m＝0， 则梯形ABMN的高也即点B到直线MN的距离为， 故梯形ABMN的面积为， 由图知面积最大值不在m＞1时（此时MN在AB上方）取得， 故只需考虑， 令，则，则， 则， 再令， 则，2sinαcosα＝1﹣t2， 故， 故当时，S取得最大值为． 故选：B． 【变式1】设椭圆，点A（2，0）和B（0，1）均为椭圆C的顶点，直线与椭圆C交于M，N两点．当四边形ABMN面积取最大值时，实数m的值为（　　） A．0 B． C． D．﹣1 【答案】D 【解答】解：由A（2，0）和B（0，1）可得a＝2，b＝1， 因直线AB的斜率为，可得其方程为， 又因为直线，将其与联立消去y，可得x2﹣2mx+2m2﹣2＝0， 由Δ＝4m2﹣4（2m2﹣2）＞0解得， 由韦达定理得， 因此， 因为MN∥AB，因此四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即x+2y﹣2m＝0， 因此梯形ABMN的高也即点B到直线MN的距离为， 因此梯形ABMN的面积为， 由图知面积最大值不在m＞1时（此时MN在AB上方）取得，因此只需考虑， 令，因此，因此， 因此， 再令，因此，2sinαcosα＝1﹣t2， 因此， 因此当时，S取得最大值为． 此时，因此m＝﹣1，因此当四边形ABMN面积取最大值时，此时m的值为﹣1． 故选：D． 题型14 椭圆的弦及弦长 【典例1】已知椭圆，点M（1，2），过点M的直线交椭圆于A，B两点，AB的中点为Q，定点，则|HQ|的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当直线AB的斜率不存在时，Q（1，0），； 当直线AB的斜率k存在时，设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，两式相减整理得，又， 化简得点Q的轨迹方程为， 则． 由，得，所以． 而， 当时，|HQ|2可取到最大值为.又，故|HQ|的最大值为． 故选：C． 【变式1】已知P为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为A，B，C，D，且|PA|+|PB|+|PC|+|PD|＝12，则（　　） A．点P必在椭圆上 B．点P必在椭圆上 C．点P必在椭圆上 D．点P必在椭圆上 【答案】A 【解答】解：因为椭圆N的四个顶点为A，B，C，D， 设A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣1），D（0，1）， 因为椭圆M的焦点为（﹣2，0），（2，0）， 所以A，B为M的两个焦点， 此时， 所以|PC|+|PD|＝12﹣6＝6＞|CD|， 所以点P在以C，D为焦点，长轴长为6的椭圆上． 设该椭圆的方程为， 此时2a＝6，2c＝2， 解得a＝3，c＝1， 所以， 则点P必在椭圆上． 故选：A． 题型15 椭圆的焦点弦及焦半径 【典例1】设O为坐标原点，F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则|OP|＝（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【解答】解：根据已知那么可得b2＝9，a2＝36，c2＝a2﹣b2＝27，因此， 根据椭圆的定义有|PF1|+|PF2|＝2a＝12，， 在三角形F1PF2中，由于，因此， 那么可得， ， 所以，那么可得|PF1||PF2|＝10． 又因为PO是三角形F1PF2的中线，因此，如图： 因此 ， 所以，所以． 故选：D． 【变式1】已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且|MF1|•|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝2a， ∴|MF1|•|MF2|＝|MF1|（2a﹣|MF1|） ， ∴当|MF1|＝a时，|MF1|•|MF2|取得最大值a2， ∵|MF1|∈[a﹣c，a+c]，∴|MF1|•|MF2|的最小值为﹣c2+a2＝b2， ∵|MF1|•|MF2|的最大值是它的最小值的2倍， ∴a2＝2b2， ∴c2＝a2﹣b2＝b2，∴， ∴椭圆的离心率为． 故选：A． 题型16 椭圆的焦点三角形 【典例1】椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点且满足，则△PF1F2的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：因为椭圆方程为， 所以a＝5，b＝3，c＝4， 所以|PF1|+|PF2|＝2a＝10， 所以①， 因为，所以PF1⊥PF2， 所以②， 将②代入①中得64+2|PF1||PF2|＝100，解得|PF1||PF2|＝18， 所以． 故选：C． 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1且斜率为的直线l与C交于A、B两点（A在B上方），F2在l上的射影点恰为AF1的中点，则C的离心率为：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，连接F2A，如图， 则由中垂线的性质：AF2＝F1F2，又，所以△AF1F2为等边三角形，由椭圆的对称性，A为其上顶点，所以． 故选：C． 题型17 椭圆的中点弦 【典例1】已知椭圆E：1（a＞b＞0）的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5|FM|＝|OF|（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：先证明椭圆的倾斜角的焦半径公式： 设A到左准线x的距离为d，直线AB的倾斜角为θ， 则，∴， 解得，同理可得， ∴根据题意及椭圆的倾斜角的焦半径公式可得： ，， ∴|FM|c， ∴，∴，∴， 解得，∴e． 故选：B． 【变式1】已知椭圆的左焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若4|FM|＝|OF|（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为4|FM|＝|OF|，∠AFO＝60°，过M作MN⊥x轴交于N， 则，F（﹣c，0）， 所以N的横坐标为，即M的横坐标为，且， 即， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点，， 即，， 所以，又，所以， 将A，B的坐标代入椭圆的方程可得， 作差整理可得， 即， 所以，则． 故答案为：． 题型18 椭圆与平面向量 【典例1】已知点P为椭圆C：1上任意一点，直线l过⊙M：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则•的取值范围是（　　） A．[3，35] B．（3，35] C．[2，6] D．（2，6] 【答案】A 【解答】解：由椭圆C的方程可知a＝4，b＝2， 可得c2， 易知圆M：（x﹣2）2+y2＝1的圆心M（2，0），半径为1， 因为，所以 ， 可知M恰为椭圆C的右焦点，所以2， 所以． 故选：A． 【变式1】若椭圆C1和C2的方程分别为1（a＞b＞0）和λ（a＞b＞0，λ＞0且λ≠1），则称C1和C2为相似椭圆．已知椭圆C1：1，C2：λ（0＜λ＜1），过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且，则△MON的面积最大时，λ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：当直线MN的斜率不存在时， 设直线MN的方程为：， 联立可得， 所以， 所以△MON的面积为， 由，可得点P为线段MN的中点， 所以点p的坐标为（x0，0）， 因为点p在椭圆C2上，所以， 所以， 当直线MN的斜率存在时，如图， 设直线MN的方程为y＝sx+t， 联立，消去y得：（4s2+3）x2+8stx+4t2﹣12＝0， 方程（4s2+3）x2+8stx+4t2﹣12＝0的判别式 Δ＝64s2t2﹣4（4s2+3）（4t2﹣12）＞0， 设M（x3，y3），N（x4，y4）， 则， 所以， ， 所以点P的坐标为， 因为点P在椭圆C2上， 所以代入C2：λ，化即可得：t2＝4λs2+3λ， 联立联立，化简可得（4s2+3）x2+8stx+4t2﹣12λ＝0， 所以Δ＝64s2t2﹣4（4s2+3）（4t2﹣12λ）＝48（4λs2﹣t2+3λ）＝0， 故直线MN和椭圆C2相切， 因为原点O到直线MN的趾离为， ， 所以△MON的面积为2， 综上2，当且仅当时取等号． 故选：B． 题型19 椭圆的定点及定值问题 【典例1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，下顶点为B，点P（x0，y0）为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（　　） A．坐标原点O到直线AB的距离为 B．若，则x0的取值范围为 C．△PAB的面积最大值为 D．四边形ABNM的面积为定值2 【答案】ACD 【解答】解：因为椭圆， 所以， 此时， 因为P（x0，y0）第一象限椭圆上， 所以， 即， 对于选项A：直线AB过A（﹣2，0），B（0，﹣1）， 所以直线AB的方程为， 即x+2y+2＝0， 原点O到AB的距离，故选项A正确； 对于选项B：， 因为， 所以， 即，故选项B错误； 对于选项C：，P到直线AB的距离， 所以， 令， 此时，，最大值为， 则，故选项C正确； 对于选项D：直线PA方程：， 令x＝0， 可得， 此时， 直线PB方程为， 令y＝0， 可得， 则， ， 又， 所以， 则四边形ABNM的面积等于，故选项D正确． 故选：ACD． 【变式1】如图，已知椭圆过点P（3，1），焦距为，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直． （1）求椭圆C的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得，解得， 故椭圆C的方程为． （2）设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y得4x2﹣6mx+9m2﹣36＝0， 由Δ＝（6m）2﹣144（m2﹣4）＞0，得， 则． ， 解得m＝2或m＝﹣2， 当m＝﹣2时，直线l的方程为； 当m＝2时，直线经过点P（3，1），不符合题意，舍去． 所以当时，MN的方程为． （3）证明：直线PM，PN均不与x轴垂直，所以x1≠3，x2≠3，则m≠0且m≠2， 所以 ， 所以k1k2为定值． 过 关 验 收 1．设N为正整数，在平面直角坐标系Oxy中，若，且m，n∈Z）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为（　　） A．12 B．8 C．7 D．5 【答案】C 【解答】解：由知， 当N为奇数时，，均有个不同的取值， 故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为，令，解得N＝7， 当N为偶数时，，均有个不同的取值， 由方程是椭圆的方程知，， 故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为， 令，解得N＝6， 综上所述，N＝6或7． 故选：C． 2．“0＜m＜4”是“曲线为椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：若为椭圆方程， 则， 所以“0＜m＜4”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知椭圆的焦距为，则a＝（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为椭圆， 所以椭圆的焦点在x轴上，所以b2＝7，， 因为a2＝b2+c2， 所以a2＝8，所以． 故选：C． 4．双曲线的焦点坐标为（　　） A． B．（±2，0） C． D．（0，±2） 【答案】C 【解答】解：∵方程表示双曲线，∴m（m+2）＜0，解得﹣2＜m＜0， ∴曲线为，双曲线焦点在y轴上， 其中a2＝m+2，b2＝﹣m，则c2＝a2+b2＝（m+2）+（﹣m）＝2，∴， ∴焦点坐标为． 故选：C． 5．已知O为坐标原点，椭圆C1：1（a＞b＞0）与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）有共同的焦点F，且在第一象限相交于点A，若OF⊥AF，则　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，椭圆C1的右焦点为F（c，0）（其中c2＝a2﹣b2）， 抛物线C2的焦点为， 因两曲线共焦点，故，即p＝2c， 由OF⊥AF，可知AF垂直于x轴，故A的横坐标为c， 将x＝c代入抛物线方程y2＝2px，得y2＝4c2， 因A在第一象限，故y＝2c，即A（c，2c）， 设椭圆另一焦点为F'（﹣c，0），由椭圆定义，|AF|+|AF'|＝2a， 又， ， 故，化简得， 由p＝2c，得． 故答案为：． 6．已知椭圆的左焦点为F（﹣1，0），离心率为． （1）求C的方程； （2）设点，过点F且不与坐标轴垂直的直线交C于P、Q两点，且|BP|＝|BQ|，求|PQ|． 【答案】（1）； （2）或． 【解答】解：（1）由C的焦点为F（﹣1，0），可知C的半焦距c＝1， 因为C的离心率为，所以，则． 又a2＝b2+c2，所以b2＝1， 故C的方程为． （2）由已知，设直线PQ的方程为y＝k（x+1）（k≠0）， 设点P（x1，y1）、Q（x2，y2）． 联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0， Δ＝16k4﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0， 由韦达定理可得，， 所以． 故线段PQ的中点坐标为， 则线段PQ的垂直平分线的方程为． 若|BP|＝|BQ|，则线段PQ的垂直平分线过点， 所以， 化简整理得2k2﹣3k+1＝0，解得或k＝1． 当时，因为，x1x2＝﹣1， 所以； 当k＝1时，因为，x1x2＝0， 所以． 综上，|PQ|的值为或． 7．已知点P（x0，y0）是椭圆C：上的动点，若A（1，0），则|PA|的最小值为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由已知，|PA|，x0， 由y的单调性及对称性可知，当x0时，|PA|有最小值，为． 故答案为：． 8．已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率是，A1、A2分别为椭圆E的左、右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2．直线l过点D（1，0）且与椭圆E交于P，Q两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）求△OPQ面积的最大值； （3）设直线A1P与直线QA2交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意知e， ∴，即a＝2b， ∵△A1BA2的面积为2， ∴ab＝2， 解得a＝2，b＝1， ∴椭圆E的标准方程为y2＝1， （2）PQ斜率不存在时，易知P（1，），Q（1，），此时S△OPQ， 当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 将y＝k（x﹣1）代入y2＝1，整理可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0， ∴x1+x2，x1x2， ∴|x1﹣x2|， ∴S△OPQ1×|y1﹣y2|•|x1﹣x2|， 令1+4k2＝t，t＞1， ∴S△OPQ， 故△OPQ面积的最大值 证明（3）PQ斜率不存在时，易知N（4，）， 当直线PQ的斜率存在时，直线A1P的方程为y（x+2），直线A2Q的方程为y（x﹣2）， ∴（x+2）（x﹣2）， ∴， 解得x＝4，即N点的横坐标为4， 综上所述，点N在定直线x＝4上． 9．已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【解答】解：因为离心率为，所以，即a＝2c，ca， 再由△F1PF2的内切圆的面积为3π，设内切圆的半径为r，则πr2＝3π，所以r， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由椭圆的定义可知m+n＝2a， 在△F1PF2中，，由余弦定理|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos∠F1PF2＝|F1F2|2， 即（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|﹣2|PF1|•|PF2|•|F1F2|2，即3|PF1|•|PF2|＝3mn＝4a2﹣4c2＝3a2可得mn＝a2， 所以S|PF1|•|PF2|sinmnsinmna2， 而S（2a+2c）r•3a•， 所以可得a2a，解得a＝6， 所以长轴长为2a＝12， 故选：D． 10．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上下顶点分别为B1，B2，左顶点为A1，P，Q是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（　　） A．P，Q，F1，F2 B．P，Q，B1，B2 C．P，Q，F1，B1 D．P，Q，A1，B1 【答案】ACD 【解答】解：由椭圆，可得a＝2，b＝1，则， 对于A，由c＞b，则以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点，所以A正确； 对于B，以B1，B2为直径的圆与椭圆仅有两个交点，所以B错误； 对于C，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 将代入得，解得， 则圆的方程为， 设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0）， 则， 两式相加，可得，两式相减，可得， 联立方程组，可得， 又因为，联立可得，则， 将其代入，可得， 即，此时方程有解，所以C正确； 对于D，设直线PQ的斜率为k，则直线PQ的方程为y＝kx， 因为P，Q关于原点对称，则PQ中垂线的方程为， 因为A1（﹣2，0），B1（0，1），可得线段A1B1中垂线的方程为， 联立方程组，可得，可得， 因为P，Q关于原点对称，不等式，则， 联立方程组，可得，即圆心 若O′B＝O′P，即， 可得，即， 即，即，所以4k2+2k＝0，解得， 所以当PQ的斜率为，可得， 此时P，Q，A1，B1四点共圆，所以D正确． 故选：ACD． 11．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1和直线PF2分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题设，令∠PF1F2＝θ，故得|PF1|＝2ccosθ，|PF2|＝2csinθ，所以|PF1|+|PF2|＝2c（cosθ+sinθ）＝2a，故e（sinθ+cosθ）＝1①， 由，令|F1A|＝2m，|F2B|＝3m则|F2A|＝2a﹣2m，|F1B|＝2a﹣3m， 由，则（2ccosθ+2m）2+（2csinθ）2＝（2a﹣2m）2，整理得2m（ccosθ+a）＝a2﹣c2， 由，则（2csinθ+3m）2+（2ccosθ）2＝（2a﹣3m）2，整理得3m（csinθ+a）＝a2﹣c2， 所以2m（ccosθ+a）＝3m（csinθ+a），整理得2ecosθ﹣3esinθ＝1②， 联立①②，得ecosθ，esinθ，故tanθ ，即sinθ， 所以e． 故选：D． 12．已知曲线C1：（a＞1），曲线C2：的离心率分别为e1，e2，且，则a＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：曲线C1的长半轴长为a，短半轴长为1，所以焦距为． 曲线C2的实半轴长为2，虚半轴长为1，所以焦距为． 即，， 由． 故选：A． 13．已知椭圆上有两个动点A，B满足|AB|＝3，P（x0，y0）为线段AB的中点，则x0的最大值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：已知椭圆， 则椭圆的长半轴长a＝2，短半轴长，半焦距c＝1， 又两个动点A，B为椭圆C上的点， 设A（x1，y1），B（x2，y2），F为椭圆的右焦点， 则， 同理可得，， 而3＝|AB|≤|AF|+|BF|4﹣x0， 即3≤4﹣x0，解得x0≤1， 则x0的最大值为1． 故选：D． 14．已知F为椭圆的一个焦点，P为椭圆C上一点，Q为圆M：（x﹣4）2+y2＝1上一点，则|PF|﹣|PQ|的最大值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解答】解：由圆M：（x﹣4）2+y2＝1，可得圆心M（4，0），半径为r＝1， 又椭圆C的上焦点为F（0，2），下焦点为E（0，﹣2）， 则|PF|﹣|PQ|＝2a﹣|PE|﹣|PQ|＝6﹣（|PE|+|PQ|）， 要使得|PF|﹣|PQ|的最大值，即求|PQ|+|PE|的最小值， 因为|PQ|≥|PM|﹣1，可得， 所以． 故选：B． 15．如图，已知圆O：x2+y2＝3的直径与椭圆E：的短轴长相等，A1，A2分别为椭圆E的左、右顶点，B1，B2分别为圆O与x轴的交点，F为椭圆E的右焦点，． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，与圆O交于C，D两点，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）证明过程见解析． 【解答】解：（1）因为圆O：x2+y2＝3的直径与椭圆C的短轴长相等， 所以， 因为， 所以， 解得a＝2， 则椭圆E的标准方程为； （2）证明：当直线l与x轴重合时，|AB|＝4，， 所以； 当直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0， 此时Δ＝36m2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0， 由韦达定理得，， 则， 易知圆心O到直线l的距离， 所以， 则． 综上得，为定值，定值为24． 16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2（c，0）的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|+|BF1|＝5c，则椭圆C离心率的范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：已知，由过F2（c，0）的直线l与C交于A，B两点，得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a， 所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a，即|AF1|+|BF1|+|AB|＝4a， 又|AF1|+|BF1|＝5c，所以|AB|＝4a﹣5c， 又，所以，所以， 所以，所以， 由，得﹣2c2﹣2a2≤﹣5ac，所以2c2+2a2﹣5ac≥0， 所以2e2﹣5e+2≥0，即（2e﹣1）（e﹣2）≥0，所以或e≥2； 由﹣5c≤﹣2a，得，即，所以， 所以椭圆C的离心率的范围为． 故选：A． 17．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且|F1F2|＝2．直线l过点F2且与C相交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若△AF1F2的面积为，求； （3）若，求cos∠AF1B． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）由题意可得|F1F2|＝2c＝2，所以c＝1． 因为，所以a＝2，则b2＝a2﹣c2＝3， 所以C的方程是． （2）设A（x1，y1），则，所以． 因为，所以， 而F1（﹣1，0），F2（1，0），则，， 所以． （3）方法一：因为，可设|F2A|＝5x，|F2B|＝3x， 则|F1A|＝4﹣5x，|F1B|＝4﹣3x． 在△BF1F2中，， △AF1F2中，， 因为∠AF2F1+∠BF2F1＝π，所以cos∠AF2F1＝﹣cos∠BF2F1， 所以，解得． 所以|F2A|＝|F1A|＝2，，，则， 在△ABF1中，． 方法二：若直线l与x轴重合时，|F2A|＝a+c＝3，|F2B|＝a﹣c＝1，不满足； 设直线l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0， 所以，． 因为，所以，所以， 由，解得． 由对称性不妨设m＞0，则，即，又， 解得，即，， 而F1（﹣1，0），则，， 所以，则． 18．记椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E在第一象限内交于点P，且PF1⊥PF2，|PF1|+|PF2|＝4，△PF1F2的面积为1． （1）求E的标准方程； （2）求l的斜率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为|PF1|+|PF2|＝4， 所以2a＝4， 解得a＝2， 因为△PF1F2的面积为1， 所以， 即|PF1||PF2|＝2， 由勾股定理得， 即42﹣2×2＝4c2， 解得c2＝3， 则b2＝a2﹣c2＝1， 故椭圆E的标准方程为； （2）设P（x，y），x＞0，y＞0， 易知， 此时，， 因为PF1⊥PF2， 所以， 即， 整理得x2+y2＝3． 联立， 解得，， 即． 则直线l的斜率． 19．已知椭圆的左焦点为F1，上、下顶点分别为A，B，且，点在Γ上． （1）求椭圆Γ的方程； （2）过左焦点F1的直线交椭圆Γ于M，N两点，交直线x＝﹣2于点P，设，，证明：λ+μ为定值． 【答案】（1）． （2）证明过程见解答． 【解答】解：（1）根据题意可知，，所以， 由于点在Γ上，因此， 即2b2＝2， 解得b＝1，所以， 因此椭圆Γ的方程为． （2）根据已知得直线MN的斜率必存在，所以设直线MN的方程为y＝k（x+1）， 代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，Δ＞0， 设N（x2，y2），M（x1，y1）， 所以， 又因为F1（﹣1，0），P（﹣2，﹣k），则根据， 可得，， 因此， 又由于， 因此λ+μ＝0为定值．证明完毕． 学科网（北京）股份有限公司 $