专题三 第3讲 正弦定理、余弦定理的简单应用-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

考点二 【高考这样考】 29解折：由氮知m十0=增时是1一及- 3 =-2/2,即sin(a十B)=-2√2cos(a十B),又sin2(a十B)+ Gos2(a+)=1,可得sin(a+9)=±3.由2kx<a<2kx中 受，k∈Z,2mm+x<<2mm+,m∈Z,得2(k+m)x+< a+B2(k十m)r十2元，k+m∈Z.又tan(a十B)<0,∴a十B是 第四象限角，放sin(a十)=-2巨. 3 【备考这样练】 1.D解析：设a=0-歪，则0=a十变sina=号，从而sim(20时 ）=sin[2(e+)+5]=sn(2a+受）-os2a=1 2sina子. 1+os(2z-晋) 2.B解析：os(x-吾）+os(x+吾）=2 1+cos(2x+5） 1+7s2x+号n2z 2 2 1+1 2 -1+2os2z=1+3×(-3） 5 6 sin(2a-〉 3.C解析： 1-2os(8-若） g。》-gm。）-号 cos2(。-吾） 4.2解析：由题意知f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x-),当 x∈[0，]时，x- ∈[-晋]， ∴sm(e-晋)e[-号，1小，于是fx)[-5,2],故 f(x)在[0，π]上的最大值为2. 第三讲正弦定理、余弦定理的简单应用 【知识清单·精谁记忆】 【自主检测】 题组一 1.A 解析：由题意可得cosA=AB十AC-BC 2AB·AC (6)2+(1+3)2-2√2 2×√6×(1+√3) 2 又0°<A<180°，所以A=45° 2.B解析：G=ac,c=2a,∴B=2a2,cosB=2+- 2ac a2+4a2-2a2=3 2aX2a 41 3C解析：由正孩定理已加条件得气动品0则血B .2 √3>1，∴.此三角形无解」 47解析：△ABC的外接圆直径为2R=2,÷sAsB 2R-2…+品B+品c-2+1+4=7 b 题组二 1.D解析：由题意可得∠ACB=(90°-25)+85°=150°.又AC= 2,BC=√5，由余弦定理可得AB=AC十BC-2AC· BCc0s150°=13，.AB=√/13. 210厄解析：设坡底需加长xm,由正孩定里得品0 sin45,解得x=100√2. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 315 16 解析：设a=BC=4,b=AC=3,c=AB, 因为60sA=-号， 由余狡定理可得c0sA=一}-B+_9技10，解得 2bc 2X3c c=2, 由题意可得如A=平，则血B=A 3X5 4 a 4 =315 16 【备考这样练】 l.C解析：由正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sinC,即 sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-+B)=sin Acos B++sin Bcos A, 理可得sin Bcos A=0.,B∈(0，π)，.sinB>0,.cosA=0, -=3π “A=受，B=-A-Cx乞-5-16 2.B解析：，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),∴.由正 弦定理得(a十c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-,则a2+ 》-=咖sc-t兰-骆-合 2ab 又0<C<m,.C=3 元 3.2解析：记AB=c,AC=b,BC=a. 方法一：由余弦定理可得22+b一2X2×b×c0s60°=6，解得 b=1+√3.由SAc=SAAm+S△Ao可得2X2 XbXsin60°= 号×2 xADXsin30+号×ADX6Xsm30,AD-=6- 1+6 231+3)=2. 3+√3 方法二：由余弦定理可得22+b一2×2XbXc0s60°=6，解得 61+3,由正孩定里可得=品B品c解得m月 62血C-竖1+>6>2， 4 ∴.C=45°，B=180°-60°-45°=75° 又∠BAD=30°，∴.∠ADB=75°，∴.AD=AB=2. 4.解：(1D因为asin B=-5 s A,由正弦定理A一sB: 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得anA=3,又0<A<x,故A=号 (2)由1)知c0sA=号，且c=26+1,a=万， 由余弦定理a2=b十c2-2 bccos A, 得7=+(2b+1)2-2×2b(2b+1)=3张+36+1， 解得b=1(b=-2舍去)， 故c=3. （3》由正弦定理A品B且6=1a一7，smA=-。 得血B4-积，且心6，则B为能角 a 放cosB=/7,故sin2B=2 2sin Beos B=55 14 且a2B=1-2B=1-2x(径-品 放sn(A+2B)=ino2B+Asin2B-号×贵+号× 5W3_4w3 14 7 考点二 【高考这样考】 (1)证明：因为cos2(A十C)+-sin Asin C=1,且cos(A+C)= cOs(x一B)=一cosB, 所以cos2B+-sin Asin C=1. 因为asB=子所以血AnC-1sB=1一是-后 因为cosB=-cos(A+C)=sin Asin C--cos Acos C, 所以Acos C=血AnC-osB=6是-=一是<0， 所以cosA与cosC一个为正，一个为负，即A和C中有一个 为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. (②)解：因为osB=子，且B∈(0，x),所以smB 因为△ABC的面积为只，所以号a血B-气，所以a=2 由正弦定理品A品BC-2R,其中R为△ABC的外 。b 接圆半径， 又因为s如AsnC=6所以(2R=snA8mC兰-号， ac 232 16 所以2R=4,所以6=2 Rsin B=4×F-2. 7 7 由余弦定理得=a2+c2-2 accos B=(a+c)2-2ac 2acx是， 所以a+o9=6+2ac+号ac=2+2X2+是×2=9， 即a+c=3, 所以△ABC的周长为a十b十c=3十√2. 【备考这样练】 1.C解析：S=合esin A,+d2-d=2cosA,S=(+ c-a),号csnA=2ceosA,tanA=10<A< 180°，.A=45° 2.C解析：b=1,C=T,△ABC的面积S=2,S= 合absin至=2，解得a=4厄.由余孩定理得2=d2+ 2abc0s不=25，解得c=5,△ABC的外接圆的直径为2R= sin C=5/2. 3.63解析：由余弦定理得=a2十c2一2 accos B.又b=6, a=2c,B=5,∴36=4d2+2-2×22×7,即2=12，c= 25,a=45Saw=csin B=号×45x25×号 63. 考点三 【高考这样考】 B解析：如图，分别过C,B两点作CE∥CB,BF∥A'B',分别交 BB,AA'于E,F两，点.易知BE=100,BF⊥AA',且∠ABF= 45°，∴.AF=BF=A'B′，要求AA'与 CC的高度差，即求AF十BE,即求BE 十AB.在ABCE中，器=an∠BCE F =tan15°=tan（45°-30)= 1+tan45tan30=2-√3，解得CE= tan45°-tan30° C -A' 100(2+3),即B'C'=100(2+3).在C △A'B'C中，∠A'C'B'=45,∠AB'C'=60°，∠CA'B'= AB' B'C' 75°.由正弦定理，得 in∠A'C'B sin∠CA'B,A'B'= sin∠A'c'B' sin∠CA'B·B'C' sin(45T30·B'C'=100(W3+1)≈ sin45° 273,.AA'-CC=BE+A'B'≈100+273=373. 【备考这样练】 1.B解析：设该扇形的半径为r,连接CO,如图所示.由题意，得 CD=150m,OD=100m,∠CDO=60°，在△CDO中，由余弦定 理，得CD+OD2-2CD·ODcos60°=OC,即150+1002-2× 150X100X2=7,解得，=50/7m 120 0 第1题图 第2题图 2.D解析：选①②③⑤，如图所示， ∠AB0=60°，∠AC0=45°.设OA=x,则OA=OC=x, 0B=后在△B0C中，利月余弦定理，得BC=12=2十 ()°-2x·看×号整理得x=125,即04=12m √3 3.7.8°解析：设∠BCA=0,∠ACD=90°-0， CA 在△DCA中，由正弦定理得sin ADCsin/CAD' CD CA CD 即sin180°-(90°-0+37.0-sin37.0’ CA CD 即sin(90-9+37.0sin37.0①. 在△BCA中，由正弦定理得sin ABC sin/CAB, CA CB CA CB CA 即sim180-9+16.5刀=sn16.5,即sin(0i6.5y= CB sin16.5②， cD-CB,8得如209站2-盘0， sin(0+16.5) sin 16.5 利用计算器即可得≈7.8°. 第四讲 解三角形 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 解：A+B=3C,xC=3C,即C=于 2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), ..2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, .'sin Acos C=3cos Asin C, sinA=3cosA,即tanA=3,0<A<受， ∴sinA=3=3V10 10 10 (2)由(1)知，c0sA=第三讲」 正弦定理 ◆◆知识清单 【基础梳理】 1.正弦定理及其常见变形 sin A sin Bsin C=2R. a 变形：（1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c= 2Rsin C. (2)a:6:c=sin A:sin B:sin C. (3)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C= csin A. 2.余弦定理及其推论 a2=62+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+62-2abcos C. 推论：(1)cosA=+c2-a2 2bc (2)cos B=a2+c2-62 2ac (3)cos C=a2+62-c2 2ab 3.三角形的面积公式 (1)S-2ak(.表示a边上的高). (2-alsin C-acsin B-besinA. 常用结论：在△ABC中， (1)∠A+∠B+∠C=π. (2)大边对大角，大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; n(A计B)--anGm4梦里-csS, 2 wAB=如S 2 (5)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB· tan C. 专题三三角函数与解三角形 余弦定理的简单应用 精准记忆◆◆ (6)A>B台a>b台sinA>sinB台cosA< cos B. 【自主检测】 题组一正弦定理、余弦定理的简单应用 1.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2,AC= 1+√3，AB=√6，则A=() A.45 B.60° C.120° D.135° 2.在△ABC中，已知b=ac且c=2a,则cosB等 于( A是 B c唱 号 3.在△ABC中，b=4V3,c=2,C=30°，那么此三 角形() A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 4.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC的三边 长分别为a,6,则A十B十品C b 题组二正弦定理、余弦定理的实际应用 1.已知船A在灯塔C的北偏东85°且到C的距离 为2km,船B在灯塔C的西偏北25°且到C的 距离为√3km,则A,B两船的距离为() A2√3km B.3√2km C.√15km D.√13km 2.如图，某工程中要将一长为100m,倾斜角为 75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持 坡高不变，则坡底需加长 m 30 艺术生文化课考前100天数学 ◆方法清单 考点一 正弦定理、余弦定理的简单应用 【高考这样考】 (2026·天津卷)在△ABC中，BC=4,AC=3, sA=一}则5如B= 【方法规律】1.解三角形时，如果式子中含有角 的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如 果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑 用正弦定理；以上特征都不明显时，要考虑两 个定理都有可能用到 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内 角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性 质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用， 同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、 统一结构”. 【备考这样练】 1.(2023·全国乙卷文)在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c.若acos B-bcos A=c,且 C=F,则B=( ) A器 B等 c D. 2.(2023·北京卷)在△ABC中，(a+c)(sinA sin C)=6(sin A-sin B),C=() A吾 B. c . 3.(2023·全国甲卷理)在△ABC中，∠BAC= 60°，AB=2,BC=√6，AD为∠BAC的平分 线，则AD= 4.(2025·天津高考)在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3bcos 把控高考◆◆ A,c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 考点二 与三角形面积有关的问题 【高考这样考】 题(2026·全国Ⅱ卷)在△ABC中，已知cosB= 4cos (A+C)+sin Asin C=1. 3 (1)证明：△ABC为钝角三角形； (②)若△ABC的面积为，求△ABC的周长。 【方法规律】与面积有关的问题，一般要用到 正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【备考这样练】 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 6c,S为△ABC的面积，若S=子(8+2- a2),则A=() A.90° B.60°C.45°D.30° 2.(2023·江苏高邮模拟)已知△ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=1,C= 至，△ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆 的直径为() A.45B.5 C.5√2 D.6√2 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若b=6,a=2c,B-于，则△ABC的面积 为 考点三正弦定理、余弦定理的实际应用 【高考这样考】 题(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和 尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86(单位：m),三角高程测量法是珠峰 高程测量的方法之一.如图是三角高程测量 法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B, C在同一水平面上的投影A',B,C满足 ∠A'CB'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得 B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由 B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到 水平面A'B'C的高度差AA'一CC约为(W3≈ 1.732)() A.346 B.373 C.446 D.473 【方法规律】应用三角知识解决实际问题的 模型 建模 分析题意，理解有关问题的题意和应用背景， 画出示意图，并将已知条件在图形中标出 解模 将所求问题归结到一个或几个三角形中，利 用正弦定理、余弦定理等知识求解 下结论 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果 进行取舍，得出正确答案 —3 专题三三角函数与解三角形 【备考这样练】 1.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120° 的扇形AOB,C是该小区的一个出入口，且小 区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人 从O沿OD走到D用了2min,从D沿着DC 走到C用了3min.若此人步行的速度为 50m/min,则该扇形的半径的长度为() 120 A.50√5m B.50√7m C.50√/11m D.50√19m 2.(2023·四川毕节模拟)小华想测出操场上旗 杆OA的高度，在操场上选取了一条基线 BC,请从测得的数据①BC=12m,②B处的 仰角60°，③C处的仰角45°，④cos∠BAC= 86,⑤∠B0C=30中选取合适的数据，计算 出旗杆的高度为( A.103 m B.12m C.12√2m D.123 m 3.(2024·上海卷)如图，已知点B在点C的正 北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD, 存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°， 则∠BCA= (精确到0.1度)