专题一 第2讲 复数-【艺术生文化课考前100天】2027年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第二讲 ◆知识清单 【基础梳理】 一、复数的概念 1.复数的分类 实数(b=0), 复数x=a十bi 纯虚数(a=0), (a,b∈R) 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0)， 2.复数的有关概念 (1)复数相等：a十bi=c十di→a=c且b=d(a, b,c,d∈R) (2)共轭复数：a十bi与c十di共轭→a=c且 b=-d(a,b,c,d∈R), (3)复数的模：向量O2的模叫做复数之=a+bi 的模，记作|x或a十bi,即|x=|a+bi= r=√a2+b(r≥0，a,b∈R). 3.复数的几何意义 复数之=a十bi与复平面内的点Z(a,b)及平面 向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应的 关系 二、复数的四则运算 1.复数的四则运算法则 设1=a十bi,z2=c十di(a,b,c,d∈R),则 (1)z1+x2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+ (b+d)i; (2)x1-x2=(a十bi)-(c+di)=(a-c)+ (b-d)i; (3)12=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+ bc)i; (4)atbi_(atbi)(c-di)_ z2 c+di (c+di)(c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i(c十di≠0. c2+d2 复数 精准记忆◆ 2.复数运算的几个重要结论 (1)十212+|ǎ一212=2(%|2+1212). (2)·=|x2=|乏|2 (3)若x为虚数，则z2≠2 (4)(1±i)2=±2i. 6i (6)im=1,n+1=i,in+2=一1，in+3=-i(n∈N0. 【自主检测】 题组一复数的概念 1.已知a∈R,若a-1十(a-2)i是实数，则a= () A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(2025·全国I卷)(1+5i)i的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.6 题组二复数的几何意义 1.复数之=一1一2i在复平面内对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知复数z=一1-i,则 |x=() A.0 B.1 C.√2 D.2 题组三复数的四则运算法则 1.(2026·全国Ⅱ卷)(1-3i)2=() A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i 2.(2024·北京卷)若复数之满足三=-1-i,则 之=() A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i ◆方法清单 考点一 复数的概念 【高考这样考】 E(2024·上海卷)已知虚数x,其实部为1，且之十 2=m(m∈R),则实数m的值为 【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意 事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以 转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚 部满足的方程（不等式）组即可· (2)解题时一定要先看复数是否为a十bi(a, b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 【备考这样练】 1.(2023·全国甲卷)若(a十i)(1-ai)=2,a∈ R,则a=( A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2025·北京高考)已知复数之满足i·之十2= 2i,则|x=( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.8 3.(2023·湖南雅礼中学模拟)已知复数之= 己，则下列结论正确的是() A之的虚部为i B.z=2 C.之的共轭复数z=一1十i D.z2为纯虚数 4.(2025·天津高考)已知i是虚数单位，则 3+i i 专题一基础考点 把控高考◆ 考点二 复数的几何意义 【高考这样考】 (2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1+3i)(3-i) 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【方法规律】复数几何意义问题的解题策略 (1)复数之、复平面上的点Z及向量OZ相互联 系，即x=a+bi(a,b∈R)台Z(a,b)台Oz, (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应 的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系 在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问 题的解决更加直观 【备考这样练】 1.(2023·江苏南京模拟)已知复数之满足iz= 1一3i,则复数乏在复平面内对应的点位 于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2024·全国甲卷文)设复数之=√2i,则之·乏 =( A.-2 B.√2 C.-√2 D.2 3.设复数之满足|之一i=1,之在复平面内对应 的点为(x,y),则( A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 艺术生文化课考前100天数学 4.(2023·江苏苏州中学模拟)在复平面内，满 足(z一2)i=1十i的复数之对应的点为Z,则 1Oz=() A.√2 B.5 C.2w2 D.√10 考点三 复数的四则运算 【高考这样考】 通（多选）(2026·全国I卷)设之=3+2i,则 () A.z=3-2i B.z|=5 C.z2=5+12i D,+3∈R 之i 【方法规律】复数的加法、减法、乘法运算可以 类比多项式运算，除法关键是分子、分母同乘 分母的共轭复数，注意要把ⅰ的幂写成最简 形式 【备考这样练】 1.(2025·全国卷)已知复数x=1+i,则2 () A.-i B.i C.-1 D.1 2.(2024·全国甲卷理)若复数之=5十i,则i(乏十 x)=() A.10i B.2i C.10 D.2 3.(2026·北京卷)已知1=3一2i,2=一1十 4i,则|x1+之2=() A.2√2 B.1 C.2 D.8 4.(2023·广东高三校联)已知复数之满足(1十 2i)2·之=5，则之=() A是- c-+ D-g- 5.(2026·天津卷)已知i是虚数单位，化简(3十 )2=答案及解析 “主书”答案及解析 专题一 基础考点 正确.a/∥b2x十2=x2台x2-2x一2=0x=1土5，故B,D错误. 3.C解析：由A二C,得CC二CuA,当BCCC时，BE CUA, 第一讲集合与常用逻辑用语 可得A∩B=☑；“A∩B=”能推出“存在集合C,使得A二C 【知识清单·精准记忆】 且BGCC” 【自主检测】 4.A解析：根据题意，因为存在常数M,使am≤M≤bn(n=1,2, 题组一 3,…), 1.C解折：因为A={如否ms受，m}={名，1， 即对任意n∈N“都成立，所以an≤bn,则充分性成立； 反之，取an=n,bn=n十1， B={-,-,1,所以AnB={-1 任意n∈N,满足an<bm,但不存在常数M,使an≤M≤bn (n=1,2,3,…)成立，必要性不成立， 2.C解析：由题意知U={1,2,3,4,5,6,7,8),A={1,3,5},故 故“存在常数M,使an≤M≤bn(n=1,2,3,…)”是“an≤bn(n CA={2,4,6,7,8},CA中有5个元素. 1,2,3,…)”的充分不必要条件. 3.C解析：图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，即 考向2 图中的阴影部分可以用A∩(CB)来表示. 1.一1解析：由题意，得：x≥-2，g:x≥>a一1.p是g的充要 4.5 条件，.a-1=-2,即a=-1. 题组二 2.3解析：由x2一x一6>0，解得x<一2或x>3.“x2 1.A解析：x2+3x>0→x(x+3)>0→x>0或x<-3, x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件，.{xx>a}军 ∴.x>0→x十3x>0,是充分条件；x2十3x>0推不出x>0,不 {x|x<一2或x>3},.a≥3，故a的最小值为3. 是必要条件， 第二讲复数 ∴.“x>0”是“x2十3x>0”的充分不必要条件. 【知识清单·精准记忆】 2.B解析：由{xx>5}{xx≤-1或x≥3}，可知p是q的 【自主检测】 必要不充分条件 题组一 3.A解析：由∫(x)mx=1知，∫(x)≤1且存在实数∈R,使 1.C解析：，a一1十(a-2)i是实数，.a一2=0，∴.a=2. 得f(xo)=1;而f(x)≤1恒成立，不能得到f(x)m=1. 2.C解析：(1+5i)i=-5+i,其虚部为1. 【方法清单·把控高考】 题组二 考点一 1.C解析：z=一1一2i在复平面内对应的点为（一1，一2），它位 【高考这样考】 于第三象限， D解析：U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1,3}, 2.C解析：z=|一1一i=√（一1）2+(-1)2=√2.故选C. ∴.CA={-2,2},.(CuA)UB={-2,0,1,2}. 题组三 【备考这样练】 1.B解析：(1-3i)2=1一6i+9=一8一6i. 考向1 2.C解析：由题意得，之=i(一1一D=1-i 1.C解析：A=B,∴.3a-2=a2,解得a=1或a=2.当a=1 【方法清单·把控高考】 时，集合A={0,1,1}不满足元素的互异性，故舍去；当a=2 考点一 时，集合A={0,1,4},集合B={1,0,4},符合题意..a=2. 【高考这样考】 2.B解析：当a一2=0时，解得a=2,此时A={0,一2}，B= 2解析：设x=1十bi,b∈R且b≠0， {1,0,2},不符合题意；当2a-2=0时，解得a=1,此时A {0,-1},B={1,-1,0},符合题意.综上，a=1. 则+21+i+子-()+(+)i=m 2 考向2 6+3 1.D解析：B={xx3=x}={0,一1,1}，故A∩B={0,1}. 1+b2 =m, 2.D解析：由题意可得B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4, m∈R, b-b 解得m=2. 9},则Ca(A∩B)={2,3,5}.故选D 1+b =0, 3.A解析：由U=AUB=(0,2],A∩(CuB)=(1,2],得B= 【备考这样练】 (0,1. 1.C解析：'(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, 考点二 【高考这样考】 六他7小解得。=1 A解析：若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在 ∈D,使得f()=|M+1, 2.B解析：由i·2+2=2i,可得之=二2+2=2+21，所以 取xo=,则|f(x)|=|M十1>M,充分性成立； z=√22+22=22」 取f(x)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在x2∈D,使得 2 2(1+i) f(x2)=|M+1, 3.D解析：“=二一ā十节=1+ix的虚部为1， 取x=x2,则|f(x)|=|M十1>M,但此时函数f(x)的值 |z=√2，=1-i,2=2i为纯虚数 域为(0，十∞)，必要性不成立 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x∈D, 4.√10 解析：先由题得3斗=-i(3十)=1一3，所以 使得|f(xo)>”的充分不必要条件， 3+i 【备考这样练】 =√/1+(-3)2=/10. i 考向1 考点二 1.A解析：由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0” 【高考这样考】 的充分条件； A解析：(1+3)(3-i)=3+8i-3=6+8i,∴.所求复数 又当x=π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0≠x=0, 对应的点为(6,8)，位于第一象限. 故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件. 【备考这样练】 综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件. 2.C解析：a⊥b台x2十x十2x=0台x=0或x=一3，.x=一3 1.B解析：由题得=131=13D-3=一3-i, 是aLb的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C .乏=一3十i,.复数乏在复平面内对应的，点为（一3,1）， 1 ∴，复数乏在复平面内对应的点在第二象限」 2.B解析：D范=3E式，E为线段DC 2.D解析：，x=√2i,∴.=一√2i,之·=2.故选D. 上靠近，点C的四等分点，如图. 3.C 解析：设z=x十yi(x,y∈R),,|z-i=1, ∴.x+(y-1)i川=1，.x2+(y-1)2=1. 显然△ABM△EDM,即能=能 4.D解析：(z-2)i=1+i, 专，∴A=号A恋=号办+D=号B =1生+2=3-i则z3,-1, ∴.1ōi1=√32+(-1)=√10. (市+)-号迹+动. 考点三 考向2 【高考这样考】 1.A解析：(a十3b)∥(a一b),.存在实数入，使得a一b= ACD解析：因为z=3+2i,所以之=3-2i,z=√32+2- a十36，X=6,3以=-1，解得=-合 √13，故A正确，B错误； 2.A解析：Bd=BC+Cd=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b.又 所以22=9一4+12i=5十12i,故C正确： AB=a十5b,.AB-Bd,则AB与BD共线.又AB与BD有公共 所以士3-6+21-6+23_18+2士6i-6i=2∈R,故 点B,A,B,D三，点共线 z-i3+i(3+i)(3-i) 9+1 3.一6解析：不妨设a十3b=入(b十c)=u(2a十c)→ D正确. 。-3 【备考这样练】 (a=(A-3)b+Xc, 1A解折：因为=1+，所以马中与}-亭=-i 1 1a=1-2p 入-3=12p解得k=一6. λ=1-2 2.A解析：，z=5十i,2=5-i,∴i(十z)=10i故选A 考点二 3.A解析：.1=3-2i,2=一1十4i,∴.1十2=2+2i, 【高考这样考】 .|名十2=√/22+2严=2√2 B解析：方法一：以{AB,AD}为基底向量，可知AB1= 4.D解析：(1十2i)2·z=5, 5 5(-3-4i) 3. 1A=2,A.AD=0,则武-E求+BC=2A$+Ad,d= 六x=ā千2=-3+4-3+4-3-4=-号 5.8+6i解析：(3+iD2=9+2+6i=9-1+6i=8+6i +办=-2峦+动，∴武.动=(2+D)· 第三讲平面向量 【知识清单·精准记忆】 (-2+a动)=-}a恋+ǜ=-1+4=3， 【自主检测】 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 题组 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), 1.A解析：因为2a十b=a-3b,所以(2-x)a=（-3一y)b. 可得E式=(1,2)，E市=(-1,2)， 因为a,b不共线，所以2一x= -3一y=0,所以x=2,y=一3. .E0·E5=-1+4=3. 2.D解析：D迹-D心+C成=本+(-AD)=迹-A 方法三：由题意可得ED=EC-5,CD=2. 在△CDE中，由余弦定理可得 B a-a cos∠DEC= ED +EC-CD 2ED·EC 3.B解析：.a与b共线，∴.存在∈R,使得a=b,即一31 5+5-4 3 e=(g一e).故h=一3，-=-1，解得入=一3： 2×√5X√5 5 4.15解析：a∥b,.2k=5×6,解得k=15. ∴Et.动=|Ed动cos∠DC-5X5×号=3. 题组二 【备考这样练】 1B解析：a·a十a·ba+60=1+号- 考向1 1.B解析：向量a,b满足a十b=(2,3),a-b=(-2,1), 2.B解析：由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=-2a·b=0.∴.b .∴.|a2-|b2=(a+b)·(a-b)=2X(-2)+3X1=-1. =2a·b.将a十2b|=2的两边同时平方，得a2+4a·b+4b 2.D解析：因为a十b|=1,a一b=√3，所以a2+2a·b+ =4,即1+26+4=1+6b12=4,解得b2=,b1 1,a2-2a·b+b=3, 装送日 两式相减，得4a·b=-2,解得a·b=- 2· 3.C解析：四边形ABCD为矩形，建系 8将 解析：.a=(2,2),b=(-8,6),.a·b=2X(一8)十 如图，A(0,0),M(6,3),N(4,4), 则Ai=(6,3),Ni=(2,-1), 2×6=-4,|a=√22+2=2√2,1b1=√(-8)2+62=10. .∴.AM.NM=6X2-3×1=9. :.cos(a.b)-alb2/2X10 a·b 9 解析：(a+b十c)2=d+十2十 A 10 4.-2 40解折±b在0方向上的投影向量为b1cms音1日-2X2a=a 2(a·b+b·c+c·a)=0→2(a·b+b·c+c·a)十9=0→a·b+ 9 【方法清单·把控高考】 bc叶c…a=- 考点一 考向2 【高考这样考】 1.D解析：.ab=(2,1)-（-2,4)=(4,-3),∴.a-b= B解析：：点D在边AB上，BD=2DA,B市=2DA, √4+(-3)=5. 即Cd-Ci=2(Ci-Cd),∴.Ci=3Cd-2Ci=3n-2m= 2.B解析：以AB,AD所在直线分别为x, -2m+3n. y轴建立如图所示的平面直角坐标系， D 【备考这样练】 AB=2,则A(0,0),B(2,0),M(2,1) 考向1 N(1,2),.AM=(2,1),BN=(-1,2), 1.A解析：D为△ABC的边AB的中点，C市=2(Ci十 .AM+BN=(1,3),.AM+Bi1= √12+32=√/10. C),.Ci=2C市-CA