专题21 曲线与方程&专题22 排列组合、二项式定理-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题21 曲线与方程 1.(2024·新课标I卷，6分)设计一条美丽的丝 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 带，其造型力可以看作图中的曲线C的一部分. D当点o)在C上时o≤千2 已知C过坐标原点O,且C上的点满足：横坐标 2.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知曲线C:x2十y2 大于一2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a =16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线 (a<0)的距离之积为4，则 段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨 迹方程为 ( A6+号-10≥0 4 c+号-1≥0) A.a=-2 B.点(2√2,0)在C上 16+8=1(y>0) 67 专题22 排列组合、二项式定理 考向1排列组合 这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修 1.(2026·全国Ⅱ卷，5分)把甲、乙、丙、丁等8位 课至少选修1门，则不同的选课方案共有 员工分为A,B两个技术攻关组，要求每组4 种（用数字作答）. 人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案：考向2二项式定理 共有 ( ）:1.(2026·北京卷，4分)已知(a-()?的展开式 A.10种 B.12种C.16种 D.24种 中的x2的系数是280，则a= () 2.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)某学校为了解学生 A.2 B.-2 C.1 D.-1 参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机2.(2024·北京卷，4分)在(x一√元)4的展开式 抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两： 中，x3的系数为 () 层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部 A.6 B.-6 C.12 D.-12 分别有400名和200名学生，则不同的抽样结3.(2022·北京卷T8)若(2x-1)4=a4x4十a3x 果共有 十a2x2十a1x十a0,则a0十a2十a4= A.C48o·C28种 B.C8o·C8种 A.40 B.41 C.-40 D.-41 C.C80·C38种 D.C480·C28种 4.(2026·天津卷，5分)(x+2y)4的展开式中 3.(2023·全国甲卷·理，5分)现有5名志愿者 x3y的系数为 报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期5.(2026·上海卷，4分)在(x2十x)5的展开式中， 日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活 x?项的系数为 动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方6.(2025·天津卷，5分)在(x一1)6的展开式中， 式共有 ( x3项的系数为 A.120种B.60种C.30种 D.20种7.(2025·上海卷，4分)在(2x-1)5的展开式中， 4.(2023·全国乙卷·理，5分)甲、乙两位同学从 x3的系数为 6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读 8.(2024·全国甲卷·理，5分)(3十)的展开 的课外读物中恰有1种相同的选法共有( A.30种B.60种 C.120种D.240种 式中，各项系数中的最大值为 5.(2025:上海卷，5分)4个家长和2个儿童去爬9.(2024·天津卷，5分)在（子+）9 的展开式 山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和 中，常数项为 尾均是家长，则不同的排列种数为 10.(2024·上海卷，4分)在(x+1)”的展开式中， 6.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)在如图的4×4的方 若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为 格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一 个方格被选中，则共有 种选法，在所有 符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数 11.(2023·天津卷，5分)在(2x3-)° 的展开式 之和的最大值是 中，x2的系数是 11 21 31 40 12.(2022·浙江卷T12)已知多项式(x十2)(x-1)4 12 22 33 42 =a0+a1x+a2.x2十a3x3十a4x4+a5x5,则a2= 13 22 33 43 ,a1十a2十a3十a4十a5= 15 24 34 44 7.(2023·新课标I卷，5分)某学校开设了4门13.(202·新高考卷T13)(1-)）x+)8的展开 体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从 式中x2y5的系数为 (用数字作答)： 681 「(-2k2-2k)1+2-1,≤- 2k 因为2kt-k+2k+1= 2k-2+0+1.<K，当 1 (2k+2k)1-发+1，>2 2k-2k≤0，即k≥1时，函数y=(-2k-2k)十k3-1在-∞， 一]上单调运浅，函套=(2必-2++1在（一立·]上 单调递减或是常函数（当k=1时是常函数），函数y=(2k十2k)1 :+1在（台十）上单调递增， 所以当1=空时，21一：十21+1取得最小值，且最小值为 +1,又2，所以2(AB+BC)>21中E(+1D-21+)立 2 令fk)=21+)立，k≥1. 2 则f(k)=21+)方(k十2)k-② 3 当1≤k<√2时，f(k)<0,当k>√2时，f(k)>0, 所以函数f(k)在[1，√2)上单调递减，在（√瓦，十∞）上单调递增， 所以f(k)≥f(W②)=3V3, 所以2(AB1+BC)≥21+)立≥35. k2 当2k-2>0,即0<k<1时，函数y=(-2k-2k)1+k-1在 (-,2k 上单调选减，函数y=(2k-2)1+发+1在（一2示 ]】上华湖延指，函数=(2-2-+1在（合十）上华 调递增，所以当=一23时，2kt一k十2k十1取得最小值，且 最小值为k3十k=k(1十k), 又2+1≠0，所以2(AB+BC)>2Eg+1)=21+)星 2 令gB-21+E)2,0<6<1. k 则g()=2(1+)立(2k:-1) 当0<号时，g<0,当91时g6>0. 所以画数g的)在(0，写)上单调说浅，在（受，）上单调递增。 所以g≥（号）=3。 所以2(AB1+BC)>21+)立3VE k 综上，矩形ABCD的周长大于3V. 9.解(1)抛物线的准线为x=一号，当MD与x轴垂直时，点M的 横坐标为， 此时MF=D十号=3，所以p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x; 2)授M(兰N(）A(兰)B(兰x）小直线 MN:x=my+1, 由m+1可得y-4my-4=0,4>0,y=-4, y2=4.x 由斜率公式可得=义点二 4 F巧y十边地= 44 44 直线D:=二2.y十2，代入抛物线方程可得y-4(一2四 y-8=0, 15 4>0,y1y=-8,所以y=22,同理可得y=2y, 所以kAB 4 为十y42(y1十2)2 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,B, 所以k地=tanB-公=an, 2 若要使aB最大，则e(0,受)小 设kN=2k出=2k>0,则an(a-B)三tan atan1中2农 1一 1 .2k 4 +2k2√友 当且仅当女-2张即质一号时，等号成立， 2 √2 所以当a一B最大时，kB=之，设直线AB:z一2y十， 代入抛物线方程可得y-4√2y-4n=0, △>0，y3y=-4n=4y1y2=-16,所以n=4, 所以直线AB:x=√2y十4. 专题21曲线与方程 1.ABD。[轨迹方程十求最值（理性思维、数学探索、数学应用） 定义法十逻辑推理法十放缩法因为坐标原点O在曲线C上，所 以2Xa=4,又a<0,所以a=一2，所以A正确， 因为，点(2√2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x=一2的距离之 积为(2√2-2)(2√2十2)=4，所以点(2√2,0)在曲线C上，所以B 正确， 设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点，则有 (x+2-（x-2),令x)= 16 √(x-2)2+y(x十2)=4，所以y= 16 32 +2-（x-2》,则f（0=一十2-2(x-2),因为f2)= 1,且∫(2)<0，所以函数f(x)在x=2附近单调递减，即必定存在 一小区间(2一E,2十e)使得f(x)单调递减，所以在区间(2一e,2)上 均有f(x)>1,所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C 错误 因为，点(x)在C上，所以x>一2且√/（x。一2)2十6(x十2)= 16 16 4,得6=十中2-(-2》≤十2，所以%≤%≤ 16 √（西十2）十2所以D正确. 4 综上，选ABD.] 2.A[动点的轨迹方程（理性思维、数学探索） 通解（代入法） 设M(x,必)，则P(x,2%),因为点P在曲线C 上.所以+2%户=16(6>0，即后+ =1(%>0),所以线 段PP的中点M的轨莲方程为后+苦=1(>0，故连八 优解（数形结合法）由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短 至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹，曲线C为半圆， 则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴 长为2，故远A.] 专题22排列组合、二项式定理 考向1排列组合 1.C[排列与组合 解法一（分类法）第一类：当甲、乙两人在A组时，有CC=8种 分组方案， 第二类：当甲、乙两人在B组时，有CC=8种分组方案， 由分类加法计算原理可得共有8十8=16种分组方案，故选C. 解法二（分步法）第一步：安排甲，乙，甲、乙必须在同一组，A,B 两组有区别，所以甲、乙可以选A组或B组，有C一2种远择，此时 所远的组已有2人，还需2人；另一组仍需4人 第二步：安排丙、丁，丙，丁不能同组，因此两人需分别进入两个不 同的组，有A号=2种分组方式，此时已有甲、乙和丙、丁中的1人在 同一组，该组已有3人，仅缺1人：另一组已有1人，缺3人 第三步：安排剩余4人，剩余4人中选1人补充到缺1人的组，剩下 3人自动归入另一组，有C=4种选法. 根据分步乘法计数原理可得分组方案种数为2×2×4=16.] 3 2.D[由题喜，初中年和高中年学生人最之北为器-子，所以抽取的 60名学生中初中年意有60×号-=40（人），高中都应有60X号= 20(人)，所以不同的抽样结果共有C9·(C种，故选D.] 3.B[先从5人中选择1人两天均参加公盏活动，有C种方式：再 从余下的4人中远2人分别安排到星期六、星期日，有A:种安排 方式.所以不同的安排方式共有C·A=60(种).故远B.] 4,C[甲，乙二人先选1种相同的课外读物，有C=6(种)情况，再从 剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC一20（种） 情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20=120（种）选法，故 选C.] 5.288[排列问题先排队列的头和尾，有P=12(注意：非上海考 卷这里为A:=12)(种)排法，再排中间的4人，有P一24（注意：非 上海考卷这里为A=24)(种)排法，则不同的排法有12×24=288 (种). 6.24112[分步乘法计算原理十逻辑推理第一步，从第一行任 远一个数，共有4种不同的远法；第二步，从第二行选一个与第一 个数不同列的数，共有3种不同的选法：第三步，从第三行选一个 与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法：第四步，从第 四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种远法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2X1一24. 先按列分析，每列必远出一个数，故所选4个数的十位上的数字分 别为1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大 值分别为1,3,3,5，故从第一行选21，从第二行远33，从第三行选 43,从第4行远15，此时个位上的数字之和最大，故选中方格中的4 个数之和的最大值为21十33十43十15=112.] 7.64[由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各 远修1门，有CC种方案：第二类，在体育类远修课中远修1门，在 艺术类远修课中远修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修 深中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案.综 上，不同的选深方案共有CC+CC号+CC=64(种).] 考向2二项式定理 1.A[二项式定理 (通项公式法)(a-√)？的展开式的通项T,+1=Ca2-r· (-√E)r,r=0,1,2,…,7.令r=4,得T=Ca3x2,所以Ca3= 280,解得a=2.故远A.] 2.A[二项式定理（理性思维）解法一（公式法）(x一√)的展 开式的通项T+1=Cx-(-√)'=(-1)Cx-(r=0,1,2,3, 4).由4-乞=3，得r=2,所以(x-回的展开式中x的系数为 (-1)2C号=6. 解法二（组合数法）(x一√无)的展开式中含x3的项是由(x √x)(x一√)(x一√)(x一√x)中任意取2个括号内的x与剩余的 2个括号内的（一√）相乘得到的，所以(x一√x)'的展开式中含x 的项为Cx2·C号(-√)=6x3,所以(x一√)的展开式中x3的 系数为6.] 考教衔接本题是以人教A版选择性必修第三册第30页例2的 第(2)问为题源，通过适当改编而命制的，旨在考查二项式定理的 应用及运算求解能力， 3.B[当x=1时，1=a十ag十a2十a1十a①；当x=-1时，81= a,-a,十a,-a十a,@:D,②得原式=41.] 2 4.8[二项式定理(x十2y)展开式的通项T+1=Cx-「(2yy= 2Cx-y,r=0,1,2,3,4,令r=1,可得展开式中xy的系数为 2C=8.] 5.10[求二项展开式特定项的系数(x2十x)°的通项T,+1= C(x2)i-"x=Cx10-",r=0,1,2,…,5,令10-r=7,得r=3,所 以x2项的系数为C=10.] 6.一20[二项式定理的应用(x一1)展开式的通项公式为T+1= Cxi一k(-1)=(一1)Cx5-,令6-k=3,得k=3,所以x3项的 系数为(-1)3C=-20.] 7.80[二项式定理(2x-1)的通项为T,+1=C(2x)i-(-1)', 令5-r=3,得r=2,所以展开式中x3的系数为CX2X(一1) =80.1 1、 8.5[二项式定理（理性思维、数学探索） (十的展开式的 通预公式为T+1=CG（3)】 x‘,则各项的系数分别为 c(号）c(）c(号).c()c(号) c().c(号)（号）c(号)，（号） C$(写)，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数 式递增，分别计算C(号)CG(号），（号），c(号) C(行），c(号），此较可得，c(行）=5最大.门 9.20二项式定理的应周（数学探索）T+1=C(停)（兮）广= C酷·3i-2·xt-1“.令6k一18=0，则k=3,所以常数项为T: C·30·x°=20.] 10.10[二项式定理由题意得2”=32，所以n=5,则(x十1)的通 项T,+1=Cx-1',令5-r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数 为C=10.] .60=项式(2x-) 展开式的通项公式Tk+1=C(2x)- (-)）=(-102-tC2,令18-4=2，解得=4，所以 x2的系数为(-1)×2×C=60.] 12.8-2[含x2的项为：x·C·x·(-1)3十2·C·x2·（-1) =-4x2+12x2=8.x2,故a2=8;令x=0,即2=ao,令x-1,即0 =a0十a1十ag十ag十a:十a,∴.a1十a2十ag十a:十a=-2,故答案 为：8：一2.] 13.-28[原式等于(x十y)一义(x十y)8,由二项式定理，其展开 式中xy的系数为C一(C=一28.] 专题23统计与统计案例 考向1统计图表 1.B[由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分 别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对 于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%， 70%,75%,80%,85%,90%,95%,因此这10个数据的中位数是第 5个与第6个数的平均数，为70%，75%=72.5%>70%，A错误. 对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正 确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%， 100%,所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为 10X(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+ 85%十100%)=89.5%>85%，B正确.对于C项，讲座后这10位 社区居民问卷答题的正确率的方差后=。×[(90%-89.5%) +(85%-89.5%)2+…十(85%-89.5%)2+(100%-89.5%)2] =铝器所以标准差n=6%.讲座前这10位社区居民问卷公 题的正确率的平均数为0×(60%+60%+65%十65%+70%十 75%+80%十85%十90%十95%)=74.5%，所以讲座前这10位社 区居民问卷答题的正确率的方差为品=。×[(60%-74.5%)2十 (60%-74.5%)2+十(90%-74.5%)2+(95%一74.5%)2]= 需所以标准差心1.93%.所以>，C错误，对于D项 讲座前问卷答题的正确率的极差为95%一60%一35%，讲座后问卷答 题的正确率的极差为100%一80%=20%，D错误.故选B.] 2.解(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%， 所以95c100, 设X为患病者的该指标， 则p(c)=P(Xc)=(c-95)×0.002=0.5%, 解得c=97.5.