专题20 抛物线-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题20 考向1抛物线的定义与方程 1.(2026·全国I卷，5分)已知抛物线C1:y2= 2p1x(p1>0)和C2:x2=2p2y(p2>0)均经过 点(4,8)，则C1的焦点与C2的焦点之间的距 离为 T A.12 B.4√5 C.6 D.65 2 2.(2025·全国卷Ⅱ，5分)设抛物线C:y2=2px (>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的 准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为 y=一2x十2，则|AF|= A.3 B.4 C.5 D.6 r 3.(2022·全国乙（理）T5)设F为抛物线C:y2= 4x的焦点，点A在C上，点B(3,0),若|AF|= |BF,则AB|= ( A.2 B.2√2 C.3 D.32 斯 4.(2023·全国乙卷·理，5分)已知点A(1,√5)在抛 物线C:y2=2x上，则A到C的准线的距离为 量 考向2抛物线的几何性质 弥 1.(多选)(2022·新高考I卷T11)已知O为坐标 原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2y(p>0) 上，过点B(0,一1)的直线交C于P,Q两点，则 棉 赵 A.C的准线为y=一1 B.直线AB与C相切 C.OP|·IOQ1>IOA2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 敏 2.(2024·北京卷，5分)抛物线y2=16x的焦点 坐标为 3.(2024·天津卷，5分)圆(x-1)2+y2=25的圆 尔 心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为 母 4.(2024·上海卷，5分)已知抛物线y2=4x上有 一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的 距离为 抛物线 考向3直线与抛物线的综合问题 1.(多选)(2026·全国Ⅱ卷，6分)已知抛物线E: y2=8x,斜率为k(k>0)的直线1经过点（一1， 0),等边三角形ABC的顶点A在E上，顶点 B,C均在I上.下列结论正确的有 A.E的准线方程为x=一2 B.若1与E没有公共点，则k>√2 C.若1与E的唯一公共点为B,则E的焦点在 直线AB上 D.若=2，则△ABC面积的最小值为S 15 2.(多选)(2025·全国卷I,6分)已知抛物线C: y2=6.x的焦点为F,过F的一条直线交C于 A,B两点，过A作直线1：x=一号的垂线，垂足 为D,过F且与直线AB垂直的直线交1于点 E,则 A.AD=AF B.AE=ABI C.AB|≥6 D.|AE·|BE1≥18 3.(2024·新课标Ⅱ卷，6分)抛物线C:y2=4x的 准线为l,P为C上动点.过P作⊙A:x2+(y 4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作1的垂 线，垂足为B.则 ( ) A.l与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，PQ|=√15 C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB的点P有且仅有2个 4.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷，5分)设O为坐标 原点，直线y=一√3(x-1)过抛物线C:y2= 2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，l为 C的准线，则 A.p=2 B.IMNI=8 Γ3 C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 5.(2026·天津卷，5分)在平面内，O为坐标原8.(2023·新课标I卷，12分)在直角坐标系xOy 点，抛物线y2=2x上有A,B,C,D四个点，A, 中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的 B,C,D的纵坐标分别为yA,yByC,yD.直线 AB、直线CD交x轴于点P,AC交x轴于点 距离，记动点P的轨迹为W M,BD交x轴于点N.以下说法正确的有： (1)求W的方程； (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明： ①若M与抛物线焦点重合，则y4yB=一2； 矩形ABCD的周长大于3√3. ②yAyB=CyD: ③|OMON|=2|OP|2; lyA-xclOPI=yB-pOMI: ⑤SA4c S△BDP TONL 6.(2023·天津卷，5分)过原点O的一条直线与圆 C:(x十2)2+y2=3相切，交曲线y2=2x(p>0) 于点P,若OP=8,则p的值为 7.(2023·全国甲卷·理，12分)已知直线x 2y十1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A, B两点，AB|=4√/15， (1)求p: 9.(2022·全国甲（理）T20)设抛物线C:y2=2px (2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，且FM· (p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交 FV=0,求△MFN面积的最小值， C于M,N两点.当直线MD⊥x轴时，|MF| =3. (1)求C的方程； (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为 A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为a,3.当 α一B取得最大值时，求直线AB的方程. 66B的坐标为（工Byg), 则了=(x1-2, 2k 2√5k A=3A 解得名一后及一后 同理可得B+5'8二一<的 k十√3 设AB的中点为C(z,yc), 剥=欢=4 2 2 因为MA=MB,所以，点M在AB的垂直平分线上，即点M在 直线y-e=-名(x一0)上. 3 2k2 6 将该直线方程与y=后x联立，解得w一二W一二3 ,即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上. 专题20抛物线 考向1抛物线的定义与方程 1.D[抛物线的方程、性质十两点间的距离公式 因为抛物线C1:y=2p1x(p1>0)和C2:x=2p2y(p2>0)均经过 点(4,8)，所以8=2×4p1,4=2×8p2,解得p1=8,p2=1,所以 C1:y=16.x,C:x2=2y,则抛物线C1的焦点坐标为(4,0)，抛物线 C的焦点坐标为(0，立)，所以C的焦点与C的焦点之间的距 高4-0m+(0)-,选n] 11 2.C[直线与抛物线的位置关系根据直线y=一2x十2得 F(1,0),所以C的准线方程为x=一1，C的方程为y2=4x,所以 B(-1,4),所以A(4,4),所以AF=AB=5.] 3.B[由题意得，F(1,0),则AF=BF=2, 即点A到准线x=一1的距离为2，所以点A的横坐标为一1十 2=1, 不妨设，点A在x轴上方，代入得，A(1,2), 所以AB=√(3-1)2+(0-2)产=2V2. 故选B.门 4.号[将点A的坐标代入抛物线方程，得5=2p,于是了=5，则 抛物线的准线方程为x=一号，所以A到准线的距离为1一 ()=号] 考向2抛物线的几何性质 山，BCD[将点A(1,1)的坐标代入2=2y(p>0),解得力=习，所 以抛物线C:=y,其准线方程为y=一子，所以A错送.由= x2,得y=2x.当x=1时，y=2,所以抛物线在点A(1,1)处的切线 方程为y=2.x-1.令x=0,得y=一1，即切线y=2x一1过点B,所 以B正确.设直线PQ:y=kx一1，P(x1,xi),Q(x,x).将PQ:y= k-1与C:x2=y联立，得x2-kx十1=0，所以△=k-4>0,x1十 =k,1x2=1,所以OP·OQ=√十·√十=x12 √1十x·√1十若=√2+x十>√2+2x1x2T=2|QA2,所 以C正确.因为BP引·BQ=√1十k1|·√1十E12=1+ k>5=|BA2,所以D正确.故选BCD] 2.(4,0)[抛物线的方程及性质（理性思维）由题意，知力=8，则 号=4，所以抛物线=16x的焦点坐标为(4,0).] 3.号[圆的几何性质十抛物线的定义十点到直线的距离（理性思 雏、数学探索)由题意知圆(x一1)2十y2=25的圆心坐标为(1， 0),则F(1,0),故号=1，p=2,由抛物线的定义得AF=xA十1- 5,得xA=4.由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y= 号(x一1)，即4红-3-4=0，所以原点到直线AF的距离是} 4,4√巨[抛物线的性质设P(x,%),因为点P到准线x=一1的 12 距离为9，所以x。十1=9，则x。=8,6=4x。=32,则%=土4√2， 即点P到x轴的距离为4√2.] 考向3直线与抛物线的综合问题 1.ABD[抛物线的几何性质十直线与抛物线的位置关系 A(/)因为抛物线E:y2=8x,所以其准线方程为x=一2，A正确： B(/)由题意可知直线1的方程为y=k(x十1)，与y=8.x联立并 化简，得kx2+(2k-8)x十k2=0,△=(2k2-8)2-4k=32(2 k2),若1与E没有公共点，则△<0，得k>√2，B正确； 错误项分析C(X)若与E有唯一公共，点B,则结合选项B可知 k=√2，此时B(1,2√E),若E的焦点F(2,0)在直线AB上，则直线 AB即直线BF,易知直线AB的一个方向向量m一(1，一2√2)，直 线BC的一个方向向量n=(1,√2)，设m,n的夹角为0，则cos0= 册日-号，因为△ABC为正三角形，所以∠ABC必为60，故 E的焦点不在直线AB上，C错误： D(√)当k=2时，l:y=2x十2，设A(81）,则A到直线1的距离 4=-+2 (t-2)2+ 4 √5 二≥5，结合题意可知△ABC的面积 S片成S一后得DE现长送An] 2.ACD[抛物线的定义十抛物线的几何性质 A(/)直线【为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知AD一 AF. 通解错误项分析B(X)当AB上x轴时，A(受，3) B(受，-3)E(-号0）AB=6,AE=3,E,此时AE≠ 3 AB. C(√)易知直线AB的斜率不为0，设直线AB:x=my十号，A(, 3 y1),B(x2,y2),由 =mv+立，得y-6my-9=0,则y十= (y=6x 6m,y2=-9,x1十x=m(y1十y)+3=6m2+3,AB=x1十x2 +3=6m2+6≥6. D(/)当n=0,即AB⊥x轴时，由B知，AE=BE=3W2,AE· BE=18当m≠0时，直线EF:x=-办y+,E(-是，3m） EF=√9+9m,SAAEB=2AE·BEn∠AEB=号AB· EF=号(6+6m)·√9+9m=9(1+m)>9,所以AE到· BE>n哪>1R茶上，AE·BE≥18.故连AD 光速解1分钟（二级结论） 错误项分析B(×)以焦点弦为直径的圆与准Dy 线相切，AB为直径，AE为弦，所以|AB|> AE. C(/)抛物线的焦点弦中通径最短，p=3,则 AB≥2p=6. D(/)由选项B可知AE⊥BE,如图，设∠AFx =A,由SaEm=之AE·BE=名AB· EF,可得AE·|BE=AB·EF=2史 sin'g cos(-） 二合>2沙=18故透AD】 3.ABD[直线与圆相切十直线与抛物线的位置关系（理性思维、数 学探索) 数形结合法对于A,易知1：x=-1,故1与⊙A相切，A正确； 对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A,B三点共线时，P(4,4), 所以PA=4,|PQ=√PA-7=√-1P=√5，故B 正确： 对于C,当PB=2时，P(1,2),B(一1,2)或P(1,-2),B(-1, 一-2)，易知PA与AB不垂直，故C错误： 对于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF,易知F(1,0),由抛！ 物线定义可知PF=PB,因为PA=PB,所以PA=PF, 所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y= 子+号即x-4y一受，代入y=4可得y-16y+30=0,解 得y=8士√34，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确，故· 选ABD.] 4.ACL由题意，易知直线y=一√3(x一1)过点(1,0).对于A,因为 直线经过抛物线C的焦点，所以易如焦点坐标为(1,0)，所以号= 1,即p=2,所以A选项正确.对于B,不妨设M(x1y),N(x2, ),x1<,联立方程得{一5(x一1D,消去y并整理得3r- y2=4x 10:+3=0,解得=号=8所以M号，2等 1,N(3,-23), 所以由两点间距高公式可得MN（3-）中(-2-2) =15,故B选项错误 3 对于C,由以上分析易知，l的方程为x=一1，以MN为直径的圆的 园心定标为（停一2）丰径=子MN=号=号+1，所以 以MN为直径的圆与1相切，故C远项正确. 对于D由两点间距离公式可得MN=号，OM=区ON= √2I,故D选项错误.综上，远AC.] 5.②④[直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质 因为A,B,C,D均在抛物线=2x上，所以A(学ya） B(受），C(艺）D(空0）小，当直线AB的斜率存在时， 直线AB的方程为y一一子（一兰）令y=0,得直线AB 与工轴交点的横坐标为工=一yAE,当直线AB的斜率不存在时上！ 2 式仍成立，同理可得直线CD与x轴交点的横坐标为工=一P, 所以VAVB一光yD,故②正确. 其他说法可以通过举反例或者计算验证对错： 取yA=1,yg=2,ye=-1,yo=一2，满足直线AB、直线CD交x 轴于一点，且M与抛物线的焦点重合，但yAyg=2≠一2，故①错 民光时二-宁西（兴）=店或同婚民 由上述分折可得=-学，w=-受y=-学a- 2 eyn,则OMON=OP2,故③错误；yA-OP=yA- 1n=V义-4Y=yy--w- 2 2 2 2 yDM=|y-ynOM,故④正确. 综上，正确的为②④.] 6.6[由题意得直线OP的斜率存在.设直线OP的方程为y-k.x,因1 为该直线与圆C相切，所以一2=5，解得k=3.将直线方程 /1+k2 y=k.x与曲线方程y2=2x(p>0)联立，得kx2-2px=0,因为 k=3,所以3-2px=0,解得x=0或号，设P(x1y),则1= 号又00,0)，所以0p=V1-F-0=2×华=8，解得 p=6.] 7.解(1)设A(x1,y1),B(x2y), 把x=2y-1代入y2=2px,得y2-4py+2p=0, 由4=160-8>0，得p> 由根与系数的关系，可得y十y2一4p,y1y2一2p, 所以AB=1+1 1 在·√/(y十)严-4y=√5·√16p-8p 15 =45,解得b=2或p=一是（含去）， 故p-2. (2)设M(xy),N(xy),由(1)知抛物线C:y=4x,则点F(1,0). 因为Fi.F成=0，所以∠MFN=90,则SaN=MFNF- 之(+10+1)=之(4+西++1)(. 当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称， 因为∠MFN=90°， 所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是一1. 不妨设直线MF的斜率为1，则MF:y=x一1， 由工1得x2-6x十1=0. {y2=4x, 得{5=3-22或=3+2， (x=3-221x4=3+2V2. 代入(*)式计算易得，当x=x=3一2V2时，△MFN的面积取得 最小值，为4(3一2√2). 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k,x十m, 由∫y=kx十m, {y2=4x, 得2x2-(4-2km)x+m2=0,△2=(4-2km)2-4m2k2>0, 4一2kn 十x=k2 则) m 为=（(kx,十m)(,十m）=xx,十m(x十x)十㎡- 又FM.F=(x3-1,为)·(4-1，y)=x4-（x十x)+1+ y为y=0, 所以g-1一2+1+-0，化简得++6n= k2k” 所以SapN=子(x,十西十x十1)=m+,2km+4= 1 2k2 ++2=(世)广+2（贤）十1 k2 令1=罗，则SAMFN=-f+2+1, 因为m2十k2十6km=4, 所以（兴）+6（是）+1=是>0， 即2+6t十1>0，得t>-3十2√2或<-3-2√2， 从而得SAMN=2+21+1>12-8V2=4(3-2V2). 故△MFN面积的最小值为4(3一2√2). 解1)设点P的坐标为x,m,依题意得y=十(y） 1 化简得x2=y一4， 所以W的方程为x=y一4 1 (2)设矩形ABCD的三个顶点A,B,C在W上， 则AB⊥BC,矩形ABCD的周长为2(AB+BC). 设B:,十寻），依题感知直线AB不与两坐标轴平行， 故可设直线AB的方程为y一(+）-A一，不坊设>0， 与产=y一子联立，得-r+-=0, 则△=k2一4(kt一2)=(k一21)2>0，所以k≠2. 设A(x1y1),所以1十x=k,所以x1=k一， 所以AB=√1+及1西-t=√1+及k-2=√1+121-k, c+()÷-2-F|÷+2 于E2+1,且2+1≠0， 2 所以2(AB1+BC)=21+E(2k21-k21+2k+1). k” D 1 「(-2k2-2k)1+2-1,≤- 2k 因为2kt-k+2k+1= 2k-2+0+1.<K，当 1 (2k+2k)1-发+1，>2 2k-2k≤0，即k≥1时，函数y=(-2k-2k)十k3-1在-∞， 一]上单调运浅，函套=(2必-2++1在（一立·]上 单调递减或是常函数（当k=1时是常函数），函数y=(2k十2k)1 :+1在（台十）上单调递增， 所以当1=空时，21一：十21+1取得最小值，且最小值为 +1,又2，所以2(AB+BC)>21中E(+1D-21+)立 2 令fk)=21+)立，k≥1. 2 则f(k)=21+)方(k十2)k-② 3 当1≤k<√2时，f(k)<0,当k>√2时，f(k)>0, 所以函数f(k)在[1，√2)上单调递减，在（√瓦，十∞）上单调递增， 所以f(k)≥f(W②)=3V3, 所以2(AB1+BC)≥21+)立≥35. k2 当2k-2>0,即0<k<1时，函数y=(-2k-2k)1+k-1在 (-,2k 上单调选减，函数y=(2k-2)1+发+1在（一2示 ]】上华湖延指，函数=(2-2-+1在（合十）上华 调递增，所以当=一23时，2kt一k十2k十1取得最小值，且 最小值为k3十k=k(1十k), 又2+1≠0，所以2(AB+BC)>2Eg+1)=21+)星 2 令gB-21+E)2,0<6<1. k 则g()=2(1+)立(2k:-1) 当0<号时，g<0,当91时g6>0. 所以画数g的)在(0，写)上单调说浅，在（受，）上单调递增。 所以g≥（号）=3。 所以2(AB1+BC)>21+)立3VE k 综上，矩形ABCD的周长大于3V. 9.解(1)抛物线的准线为x=一号，当MD与x轴垂直时，点M的 横坐标为， 此时MF=D十号=3，所以p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x; 2)授M(兰N(）A(兰)B(兰x）小直线 MN:x=my+1, 由m+1可得y-4my-4=0,4>0,y=-4, y2=4.x 由斜率公式可得=义点二 4 F巧y十边地= 44 44 直线D:=二2.y十2，代入抛物线方程可得y-4(一2四 y-8=0, 15 4>0,y1y=-8,所以y=22,同理可得y=2y, 所以kAB 4 为十y42(y1十2)2 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,B, 所以k地=tanB-公=an, 2 若要使aB最大，则e(0,受)小 设kN=2k出=2k>0,则an(a-B)三tan atan1中2农 1一 1 .2k 4 +2k2√友 当且仅当女-2张即质一号时，等号成立， 2 √2 所以当a一B最大时，kB=之，设直线AB:z一2y十， 代入抛物线方程可得y-4√2y-4n=0, △>0，y3y=-4n=4y1y2=-16,所以n=4, 所以直线AB:x=√2y十4. 专题21曲线与方程 1.ABD。[轨迹方程十求最值（理性思维、数学探索、数学应用） 定义法十逻辑推理法十放缩法因为坐标原点O在曲线C上，所 以2Xa=4,又a<0,所以a=一2，所以A正确， 因为，点(2√2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x=一2的距离之 积为(2√2-2)(2√2十2)=4，所以点(2√2,0)在曲线C上，所以B 正确， 设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点，则有 (x+2-（x-2),令x)= 16 √(x-2)2+y(x十2)=4，所以y= 16 32 +2-（x-2》,则f（0=一十2-2(x-2),因为f2)= 1,且∫(2)<0，所以函数f(x)在x=2附近单调递减，即必定存在 一小区间(2一E,2十e)使得f(x)单调递减，所以在区间(2一e,2)上 均有f(x)>1,所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C 错误 因为，点(x)在C上，所以x>一2且√/（x。一2)2十6(x十2)= 16 16 4,得6=十中2-(-2》≤十2，所以%≤%≤ 16 √（西十2）十2所以D正确. 4 综上，选ABD.] 2.A[动点的轨迹方程（理性思维、数学探索） 通解（代入法） 设M(x,必)，则P(x,2%),因为点P在曲线C 上.所以+2%户=16(6>0，即后+ =1(%>0),所以线 段PP的中点M的轨莲方程为后+苦=1(>0，故连八 优解（数形结合法）由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短 至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹，曲线C为半圆， 则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴 长为2，故远A.] 专题22排列组合、二项式定理 考向1排列组合 1.C[排列与组合 解法一（分类法）第一类：当甲、乙两人在A组时，有CC=8种 分组方案， 第二类：当甲、乙两人在B组时，有CC=8种分组方案， 由分类加法计算原理可得共有8十8=16种分组方案，故选C. 解法二（分步法）第一步：安排甲，乙，甲、乙必须在同一组，A,B 两组有区别，所以甲、乙可以选A组或B组，有C一2种远择，此时 所远的组已有2人，还需2人；另一组仍需4人 第二步：安排丙、丁，丙，丁不能同组，因此两人需分别进入两个不 同的组，有A号=2种分组方式，此时已有甲、乙和丙、丁中的1人在 同一组，该组已有3人，仅缺1人：另一组已有1人，缺3人 第三步：安排剩余4人，剩余4人中选1人补充到缺1人的组，剩下 3人自动归入另一组，有C=4种选法. 根据分步乘法计数原理可得分组方案种数为2×2×4=16.] 3