专题05 代数式31大题型93题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题05 代数式 基础·固本强基 题型1 用字母表示数 题型2 代数式的概念与书写方法 题型3 代数式的实际意义 题型4 求代数式的值 题型5 单项式的相关概念 题型6 多项式的相关概念 题型7 多项式系数、指数中字母求值（重点） 题型8 将多项式按某个字母升幂、降幂排列（重点） 题型9 整式的相关概念 题型10 合并同类项 题型11 去括号与添括号 题型12 整式的加减运算（重点） 题型13 整式的加减中的化简求值（重点） 题型14 整式加减中的无关型问题（重点） 题型15 整式加减的应用（重点） 提升·进阶突破 题型16 代数式的求值问题（重点） 题型17 程序流程图与代数式求值 题型18 用代数式表示数、图形的规律 题型19 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型20 整式的相关概念 题型21 多项式的升降幂排列（重点） 题型22 整式的加减运算（重点） 题型23 整式加减中的化简求值（重点） 题型24 整式加减中的无关型问题（含几何）（重点） 题型25 整式加减的应用 拔高·压轴破难 题型26 数字类、图形类规律探究综合（难点） 题型27 整式的加减运算综合（难点） 题型28 整式加减无关型问题（几何类）（难点） 题型29 整式加减的应用综合（难点） 题型30 整式加减的新定义运算（难点） 题型31 整式加减与数轴、绝对值综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 用字母表示数（共3小题） 【易错】书写格式不规范，数字放字母后方；应用题漏单位，加减式子不加括号，正负数量关系表达出错。 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为______． 题型2 代数式的概念与书写方法（共3小题） 【易错】分不清代数式、等式；带分数未化成假分数，除号不用分数线，系数 1、-1 书写容易多写。 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列代数式符合书写规范的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏·期中）有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） 题型3 代数式的实际意义（共3小题） 【易错】描述语言不准确，混淆运算顺序；不能结合实际情境，把运算关系表述颠倒，理解片面。 7．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 9．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 题型4 求代数式的值（共3小题） 【易错】代入负数、分数忘记加括号；运算顺序混乱，乘方计算出错，替换字母时漏看系数符号 10．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．7 11．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，负数的绝对值为． (1)直接写出：________，________，________； (2)求的值． 12．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 题型5 单项式的相关概念（共3小题） 【易错】误把分母含字母的当作单项式；区分系数与次数，π 是常数，容易将 π 计入字母次数 13．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 15．（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 题型6 多项式的相关概念（共3小题） 【易错】混淆项数、次数；多项式次数是最高次项次数，常数项不含字母，容易漏掉负号 16．（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·云南昭通·期中）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 18．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 题型7 多项式系数、指数中字母求值（共3小题） 【易错】找错最高次项；忽略系数不能为 0 的限制条件，求出参数后代回原式检验步骤经常省略 19．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 20．（2025七年级上·山东聊城·专题练习）如果多项式是关于x的二次二项式，m，n为常数，则_______． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知是关于x的二次多项式，则_______． 题型8 将多项式按某个字母升幂、降幂排列（共3小题） 【易错】只看字母次数，忽略其他字母；移动项时不带前面符号，漏写常数项，排序方向搞反 22．（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·上海·期中）将整式按的降幂排列________． 24．（25-26七年级上·河南商丘·期中）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 题型9 整式的相关概念（共3小题） 【易错】整式分母不能含字母；混淆整式、分式，多项式的项容易丢掉前面的负号，概念判断出错 25．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 26．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 27．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列式子，，0，，中，整式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型10 合并同类项（共3小题） 【易错】不是同类项强行合并；只合并系数，字母和指数随意改动，符号处理失误 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 29．（25-26七年级上·山东淄博·期末）计算 (1) (2) 30．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 题型11 去括号与添括号（共3小题） 【易错】括号前是负号，里面各项忘记全部变号；系数乘括号时漏乘某一项，添括号符号易错 31．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级下·河北石家庄·期中）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 题型12 整式的加减运算（共3小题） 【易错】去括号变号出错；找错同类项，合并时系数运算粗心，漏项，运算顺序混乱 34．（25-26七年级下·北京昌平·期中）计算：． 35．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知，． (1)求； (2)当为时，求（1）中代数式的值． 36．（25-26七年级上·广东河源·期末）已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 题型13 整式的加减中的化简求值（共3小题） 【易错】化简时去括号符号出错；直接代入不化简增大计算量，负数代入缺少括号，计算失误 37．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中，． 38．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中，． 39．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型14 整式加减中的无关型问题（共3小题） 【易错】理解不清 “与字母无关” 含义；只看一项系数，忽略合并同类项，令对应系数等于 0 漏情况 40．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知． (1)求的结果； (2)若的值与x无关，求的值． 41．（25-26七年级上·安徽六安·期末）已知代数式． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 42．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 题型15 整式加减的应用（共3小题） 【易错】列式时数量关系写错；图形周长面积列式漏括号，单位处理不当，结果没有化简 43．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一根总长为（其中，）的铁丝，围成一个三边长分别为，，的三角形后，仍有剩余． (1)围成的三角形的周长为______（用含字母a，b的式子表示）； (2)若剩余的铁丝长度为，求围成的三角形的周长． 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式中含的项的系数（题中的“”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为3，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数．请直接写出被墨水污染的数字，并求出的值． 45．（25-26七年级上·江苏南通·期中）南通市是一座山水旅游城市，同时也是被誉为“中国近代第一城”的历史文化名城．由当地特色蓝印花布制成的手工制品深受游客青睐．某旅游公司销售这种手工制品，标价为40元/件．该公司推出两种销售方案： 方案一：当购买的手工制品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工制品超过5件时，超过的部分打八折． 方案二：购买的手工制品全部打九折． (1)当购买数量为（）件时，若按照方案一购买，需支付_______元；若按照方案二买，需支付_______元（用含的代数式表示）； (2)作为游客，若计划购买20件手工制品，试通过计算说明，选择哪种方案更合算？ 提升·进阶突破 题型16 代数式的求值问题（共3小题） 【易错】整体代入时符号出错；直接硬算不使用整体思想，代换时看错式子结构，计算出错 46．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知∶，． (1)求，的值． (2)当时，求的值． 47．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，是最大的负整数，则： (1)_____，_____，_____． (2)求的值． 48．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 题型17 程序流程图与代数式求值（共3小题） 【易错】看错流程分支条件；循环代入时算错中间结果，自变量取值漏限制，忘记多情况讨论 49．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为11的是（    ） A．， B．， C．， D．， 50．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为125，则第2020次输出的结果是________． 51．（25-26七年级上·吉林长春·期中）小明运用所学的知识设计了一个计算程序， 例如：小明输入，计算，因为，所以按照程序将6作为新的值代入，重新计算，因为，所以输出结果为30． ①若输入的值为，则永远无法输出结果； ②若输入的值为，则输出结果为30； ③若最后输出的结果是30，则共有两种取值； ④该计算程序能够输出的最小值为12． 上述四个结论中，正确的是_____．（填序号） 题型18 用代数式表示数、图形的规律（共3小题） 【易错】数图形重复漏数；只看特例，通项序号匹配错误，忽略奇偶分类，正负交替遗漏 52．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（     ）枚． A． B． C． D． 53．（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 54．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 题型19 已知同类项求指数中字母或代数式的值（共3小题） 【易错】同类项要求相同字母指数相等；列方程求解后，忽略隐含条件，不回代检验 55．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如果单项式与的差仍然是一个单项式，则________． 56．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知代数式与是同类项，则的值为（    ） A． B． C．或5 D．4或 57．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知与是关于的单项式，且它们是同类项． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 题型20 整式的相关概念（共3小题） 【易错】误将 π 当作字母；判断单项式多项式出错，项的符号容易忽略，分不清整式与分式 58．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．的次数为5 B．是三次二项式 C．是整式 D．的系数是3，次数是2 59．（25-26七年级上·重庆南岸·期中）下列说法中错误的有（    ） ① 多项式的常数项是1；② 单项式的次数是5； ③ 单项式和多项式统称为整式；④若与是同类项，那么 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）给出下列判断： ①与是同类项；②多项式中，常数项是1； ③，，都是整式；④几个数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定． 其中判断正确的是（　　） A．②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 题型21 多项式的升降幂排列（共3小题） 【易错】移动项不带前面符号；混淆升幂、降幂，只关注次数，忽略保留原式各项符号 61．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 62．（24-25七年级上·广东汕头·期中）已知下列代数式：①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧． (1)单项式有：__________；多项式有：__________（只填序号）； (2)将代数式按字母x的降幂重新排列． 63．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 题型22 整式的加减运算（共3小题） 【易错】去括号负号变号不全；合并同类项漏项，系数加减出错，多余改变字母指数 64．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）已知关于、的多项式，． (1)计算； (2)若，且，求的值． 65．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，老师用手捂住了一个多项式，记这个多项式为M． (1)计算M的结果； (2)当，时，求M的值． 66．（25-26七年级上·福建漳州·期末）【阅读材料】用分离系数法进行整式的加减运算 我们已经学过整式的加减，知道整式的加减可以归结为合并同类项．如果把两个整式的各同类项对齐，我们就可以像小学列竖式做加减法一样，来进行整式的加减运算． 只要将参与运算的整式按同一个字母进行降幂排列，凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐（即右对齐）即可，例如，计算，步骤如下： 1．降幂排列并补0：     2．列竖式计算（整式形式）： 我们发现按同一个字母降幂排列后，各项排列的位置对应该项字母的指数，所以只需写出系数，计算出结果后，再把字母和相应的指数补充上去，从而使演算过程简化．这种方法叫做分离系数法．按分离系数法，上一道题的演算过程可以简化为： 所以． 根据以上材料回答下列问题 (1)列竖式计算； (2)利用分离系数法解决问题：已知多项式的值为常数，求的值和这个常数． 题型23 整式加减中的化简求值（共3小题） 【易错】化简过程符号出错；不先化简直接代入计算，分数负数代入不添加括号，易算错 67．（25-26七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中． 68．（25-26七年级上·福建莆田·期末）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 69．（25-26七年级上·广东东莞·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了多项式，形式如下：= (1)求所捂住的多项式； (2)求当，时所捂住的多项式的值． 题型24 整式加减中的无关型问题（含几何）（共3小题） 【易错】合并同类项不彻底；几何背景下，忽略线段长度为正，只令系数为 0，缺少几何检验 70．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 71．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 72．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）如图1，有一长，宽的科幻空间站长方形实验舱，动点以每秒4个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点运动时间为秒，连接，.求： (1)________（用表示）； (2)求当为何值时，四边形的面积不会随运动时间的变化而改变； (3)如图2，若点每运动1秒实验舱的区显示结果就会自动加上3，同时区会自动将整个代数式乘以2且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是和（为正整数），若，请比较区、区显示结果哪个大． 题型25 整式加减的应用（共3小题） 【易错】审题找错等量关系；列式缺少括号，化简不彻底，几何图形容易漏算边长，忽略取值范围 73．（26-27七年级上·云南·期中）某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 74．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 75．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 拔高·压轴破难 题型26 数字类、图形类规律探究综合（共3小题）76．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的伴随数，如3的伴随数是，的伴随数是，已知，是的伴随数，是的伴随数，是的伴随数，…，以此类推，则等于（     ） A． B．4 C． D． 77．（26-27七年级上·江苏南京·期中）阅读探究：，，，， (1)根据上述规律，计算的值是_____； (2)用一个含有（为正整数）的等式表示这个规律； (3)根据规律计算：． 78．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 题型27 整式的加减运算综合（共3小题） 79．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 80．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 81．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 题型28 整式加减无关型问题（几何类）（共3小题） 82．（25-26七年级上·江苏南京·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”． 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ，a＝ ； （2）在图4所示的三阶幻方中，若，，，求D所表示的代数式； 【深入思考】 （3）在图5所示的三阶幻方中，若，，（k为常数），且幻方和与a的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 83．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 84．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 题型29 整式加减的应用综合（共3小题） 85．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 86．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 87．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 题型30 整式加减的新定义运算（共3小题） 88．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“好数”定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“好数”，因为，不能被整除则百位数字比十位数字大的所有“好数”是______． 89．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 90．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 题型31 整式加减与数轴、绝对值综合（共3小题） 91．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，有一根木条（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A，B两点之间的距离是8，当点N移动到与点B重合时，点M恰好对应数轴上的数为2；当点N移动到与点A之间的距离为1时，点M所对应的数为___________． 92．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离可记为．请根据上述结论，解答下列问题： (1)在数轴上表示2与的点之间的距离是______；在数轴上表示数与2的点之间的距离用含的代数式表示为_____． (2)已知，． ①若数轴上一点表示的数是，且满足，则的值为_____； ②若点，分别从点，，同时出发，沿数轴向左运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．同时点从表示数9的点出发，也沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度．在运动过程中，小明同学发现：的值是一个定值（QR表示以，为端点的线段，表示以，为端点的线段），请求出所有满足条件的的值． 93．（25-26七年级上·四川成都·期中）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 代数式 基础·固本强基 题型1 用字母表示数 题型2 代数式的概念与书写方法 题型3 代数式的实际意义 题型4 求代数式的值 题型5 单项式的相关概念 题型6 多项式的相关概念 题型7 多项式系数、指数中字母求值（重点） 题型8 将多项式按某个字母升幂、降幂排列（重点） 题型9 整式的相关概念 题型10 合并同类项 题型11 去括号与添括号 题型12 整式的加减运算（重点） 题型13 整式的加减中的化简求值（重点） 题型14 整式加减中的无关型问题（重点） 题型15 整式加减的应用（重点） 提升·进阶突破 题型16 代数式的求值问题（重点） 题型17 程序流程图与代数式求值 题型18 用代数式表示数、图形的规律 题型19 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型20 整式的相关概念 题型21 多项式的升降幂排列（重点） 题型22 整式的加减运算（重点） 题型23 整式加减中的化简求值（重点） 题型24 整式加减中的无关型问题（含几何）（重点） 题型25 整式加减的应用 拔高·压轴破难 题型26 数字类、图形类规律探究综合（难点） 题型27 整式的加减运算综合（难点） 题型28 整式加减无关型问题（几何类）（难点） 题型29 整式加减的应用综合（难点） 题型30 整式加减的新定义运算（难点） 题型31 整式加减与数轴、绝对值综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 用字母表示数（共3小题） 【易错】书写格式不规范，数字放字母后方；应用题漏单位，加减式子不加括号，正负数量关系表达出错。 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为，从而求解，掌握连续自然数的特征是解题的关键． 【详解】解：由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为， 故选：． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列代数式：参加书法人数参加绘画的人数，不要写成了．由题意可知书法小组人数=（参加绘画的人数，依此列出算式即可作出选择． 【详解】解：根据题意，书法小组的人数为， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 题型2 代数式的概念与书写方法（共3小题） 【易错】分不清代数式、等式；带分数未化成假分数，除号不用分数线，系数 1、-1 书写容易多写。 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列代数式符合书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规范，根据代数式的书写规则即可得出答案，掌握代数式的书写规范要求是解题的关键． 【详解】解：、应写成，原式子不符合书写规范，不符合题意； 、符合书写规范，符合题意； 、应写成，原式子不符合书写规范，不符合题意； 、应写成，原式子不符合书写规范，不符合题意； 故选：． 5．（25-26七年级上·江苏·期中）有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，关键是掌握代数式书写的核心规则：数字与字母相乘时数字需写在字母前面，带分数要化为假分数；除法运算需写成分数形式，不能用“÷”；系数为时可简化为“-字母”的形式． 【详解】解：对于①：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为或，故①不符合书写格式； 对于②：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式； 对于③：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故③不符合书写格式； 对于④：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为，故④不符合书写格式； 对于⑤：系数为时，可直接写为，符合代数式书写格式． 综上，不符合书写格式的有①③④，共3个． 故选：C． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了代数式书写方法，解题关键是掌握代数式书写方法． 根据代数式书写方法，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解∶中数字1与字母相乘时，应省略1直接写成y，故①不符合书写要求； 中带分数应化为假分数，故②不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号省略、数字写在字母前面，且无带分数，故③符合书写要求； 中字母与分数相乘时应将数字写在前面，即写成，故④不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号应省略，即写成，故⑤不符合书写要求． 因此，符合书写要求的只有③． 故答案为：③． 题型3 代数式的实际意义（共3小题） 【易错】描述语言不准确，混淆运算顺序；不能结合实际情境，把运算关系表述颠倒，理解片面。 7．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，核心是列代数式并分析数量关系．解题的关键是根据题意准确列出第二天的游客人数代数式，再通过计算比较两天人数的差值． 先根据题意表示出第二天预约的游客人数，再计算各选项对应的代数式，与“”对比得出答案． 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． 9．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【答案】第二天网络预约的人数 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． 题型4 求代数式的值（共3小题） 【易错】代入负数、分数忘记加括号；运算顺序混乱，乘方计算出错，替换字母时漏看系数符号 10．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．7 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求得a和b的值，再计算即可． 【详解】解：由非负性可得：， ， ， ， ． 11．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，负数的绝对值为． (1)直接写出：________，________，________； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）利用相反数、倒数、负数绝对值的定义，直接求出、、的值； （2）将求得的、、的值代入代数式，按照有理数运算法则计算代数式的值． 【详解】（1）解：、互为相反数， ； 、互为倒数， ； ，且为负数， ； （2）解：当，，时， ． 12．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 【答案】4 【分析】先将代数式进行提公因数，然后将代入即可求出答案． 【详解】解： ， 题型5 单项式的相关概念（共3小题） 【易错】误把分母含字母的当作单项式；区分系数与次数，π 是常数，容易将 π 计入字母次数 13．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式的定义、系数、次数，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数；如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．逐一分析选项判断正误，即可求解． 【详解】解：∵单项式是由数或字母的积组成的代数式， ∴是单项式，选项A说法正确； ∵单项式的系数是其数字因数， ∴的系数为，选项B说法正确； ∵单项式的次数是所有字母的指数和，的指数为2，的指数为1， ∴次数为，选项C说法错误； ∵同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项， ∴与是同类项，选项D说法正确． 故选：C． 15．（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键；根据单项式的定义，由数字与字母的乘积或单独的数字、字母组成的代数式是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式；然后问题可求解． 【详解】解：是数字与字母的乘积，是单项式；是数字与字母的乘积，是单项式；1是单独的数字，是单项式；是多项式，不是单项式；分母中含有字母，是分式，不是单项式． 故答案为3． 题型6 多项式的相关概念（共3小题） 【易错】混淆项数、次数；多项式次数是最高次项次数，常数项不含字母，容易漏掉负号 16．（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 17．（25-26七年级上·云南昭通·期中）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 18．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】解：① ，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③ 是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 综上，属于多项式的有①③． 题型7 多项式系数、指数中字母求值（共3小题） 【易错】找错最高次项；忽略系数不能为 0 的限制条件，求出参数后代回原式检验步骤经常省略 19．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查多项式， 根据多项式为四次三项式的条件，最高次数为4且项数为3，需满足第一项次数为4且第二项系数不为零即可． 【详解】解：多项式的三项分别为：第一项 ，次数为 ；第二项 ，次数为 ；第三项 ，次数为 ， 由于多项式是四次式，最高次数为4， 因此第一项次数 ，解得 ， 当 时，第二项系数 ，所有项均存在，且最高次数为4，符合四次三项式， 故答案为：2． 20．（2025七年级上·山东聊城·专题练习）如果多项式是关于x的二次二项式，m，n为常数，则_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查多项式的次数与项数，熟练掌握多项式的次数与项数是解题的关键；根据二次二项式的定义，多项式最高次数为2且只有两项，因此需使最高次项次数为2并消除多余项，然后问题可求解． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次二项式， ∴， ∴， ∴； 故答案为1． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知是关于x的二次多项式，则_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键；根据二次多项式的定义，最高次项为二次，因此三次项系数必须为零，且二次项系数不能为零，由此问题可求解． 【详解】解：由多项式是关于的二次多项式，故三次项系数，解得， 又二次项系数，当时，，符合要求；当时，，不符合要求； 故； 故答案为：2． 题型8 将多项式按某个字母升幂、降幂排列（共3小题） 【易错】只看字母次数，忽略其他字母；移动项时不带前面符号，漏写常数项，排序方向搞反 22．（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 23．（25-26七年级上·上海·期中）将整式按的降幂排列________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的降幂排列；因此此题可根据多项式的x的次数进行求解． 【详解】解：多项式按降幂排列为； 故答案为：． 24．（25-26七年级上·河南商丘·期中）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 题型9 整式的相关概念（共3小题） 【易错】整式分母不能含字母；混淆整式、分式，多项式的项容易丢掉前面的负号，概念判断出错 25．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义及相关性质，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：整式包括单项式和多项式，单独的字母m是单项式，属于整式，故A选项错误； 的系数是，次数是，故B选项错误； 单独的一个数是单项式，3是单独的数，是单项式，故C选项正确； ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是2， ∴该多项式的次数是3，故D选项错误． 26．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了整式、单项式和多项式的定义，根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． 27．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列式子，，0，，中，整式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的概念，解题关键是掌握整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式．根据整式需满足分母中不含字母逐一判断即可． 【详解】解：是多项式，无分母，是整式； 是多项式，无分母，是整式； 是常数，是整式； 分母含字母和，不是整式； 分母是常数，不是字母，是整式； 即整式有4个， 故选：C． 题型10 合并同类项（共3小题） 【易错】不是同类项强行合并；只合并系数，字母和指数随意改动，符号处理失误 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（25-26七年级上·山东淄博·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 30．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，去括号，合并同类项，正确计算是解题的关键． （1）根据加法交换律、加法结合律进行计算即可； （2）先去括号，然后根据加法交换律、加法结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 题型11 去括号与添括号（共3小题） 【易错】括号前是负号，里面各项忘记全部变号；系数乘括号时漏乘某一项，添括号符号易错 31．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 32．（25-26九年级下·河北石家庄·期中）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 33．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可． 【详解】解：①，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确； ④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个． 故答案为：3． 题型12 整式的加减运算（共3小题） 【易错】去括号变号出错；找错同类项，合并时系数运算粗心，漏项，运算顺序混乱 34．（25-26七年级下·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 35．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知，． (1)求； (2)当为时，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值． （1）利用多项式加法法则，合并同类项即可得到的结果. （2）将代入（1）中所得代数式，按照有理数的混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解： 已知， （2）解： 当时 ， 36．（25-26七年级上·广东河源·期末）已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减和整式加减中的化简求值． （1）根据整式的加法计算即可； （2）根据整式的加减法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 当时， ． 题型13 整式的加减中的化简求值（共3小题） 【易错】化简时去括号符号出错；直接代入不化简增大计算量，负数代入缺少括号，计算失误 37．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先化简，再把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 38．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 39．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】解： 当，时，原式． 题型14 整式加减中的无关型问题（共3小题） 【易错】理解不清 “与字母无关” 含义；只看一项系数，忽略合并同类项，令对应系数等于 0 漏情况 40．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知． (1)求的结果； (2)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，整式加减中的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据整式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据的值与x无关，可得合并同类项后，含x的项的系数为0，即可求出y的值，即可求解的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：由（1）得， 则， ∵的值与x无关， ∴， 解得， ∴． 41．（25-26七年级上·安徽六安·期末）已知代数式． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）根据题意将化简，然后令含y的项的系数为即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：∵， 又∵的值与y的取值无关， ∴， 解得：． 42．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则求解即可； （2）由结果与x值无关，得到，求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∵是常数，且的值与无关， ∴， ∴． 题型15 整式加减的应用（共3小题） 【易错】列式时数量关系写错；图形周长面积列式漏括号，单位处理不当，结果没有化简 43．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一根总长为（其中，）的铁丝，围成一个三边长分别为，，的三角形后，仍有剩余． (1)围成的三角形的周长为______（用含字母a，b的式子表示）； (2)若剩余的铁丝长度为，求围成的三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将三条边求和，然后合并同类项计算即可； （2）剩余铁丝的长度总长三角形的周长，然后求出剩余铁丝的长度是，因为剩余的铁丝长度为，求出，代入求出三角形的周长即可． 本题考查了整式的加减、列代数式，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 【详解】（1）解： 答：围成的三角形的周长为 故答案为： （2）解： ， 即， 所以， 答：围成的三角形的周长为 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式中含的项的系数（题中的“”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为3，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数．请直接写出被墨水污染的数字，并求出的值． 【答案】(1) (2)被污染的数字是6， 【分析】本题考查整式的加减： （1）根据整式加减法的运算法则计算即可； （2）根据整式加减法的运算法则可知被墨水污染的数字为6，进而计算即可． 【详解】（1）解：若被墨水污染的数字为3， 则； （2）解：设被污染的数字为，则 ， ， 因为 的值为常数， 所以的系数为0，即 ， 解得 所以被污染的数字是6， ． 45．（25-26七年级上·江苏南通·期中）南通市是一座山水旅游城市，同时也是被誉为“中国近代第一城”的历史文化名城．由当地特色蓝印花布制成的手工制品深受游客青睐．某旅游公司销售这种手工制品，标价为40元/件．该公司推出两种销售方案： 方案一：当购买的手工制品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工制品超过5件时，超过的部分打八折． 方案二：购买的手工制品全部打九折． (1)当购买数量为（）件时，若按照方案一购买，需支付_______元；若按照方案二买，需支付_______元（用含的代数式表示）； (2)作为游客，若计划购买20件手工制品，试通过计算说明，选择哪种方案更合算？ 【答案】(1) ； (2) 选择方案一更合算 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解决本题的关键根据题意列出两种方案下支付金额的代数式，并通过具体计算比较大小． （1）根据方案一和方案二的不同打折方式计算即可； （2）分别计算购买20件手工制品方案一和方案二的价格，判断大小即可． 【详解】（1）解：当时， 方案一：前5件支付（元），超过部分支付（元）， 总支付金额为（元）； 方案二：全部打九折，支付（元）； 故答案为：；； （2）解：当购买20件时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案一更合算． 答：选择方案一更合算． 提升·进阶突破 题型16 代数式的求值问题（共3小题） 【易错】整体代入时符号出错；直接硬算不使用整体思想，代换时看错式子结构，计算出错 46．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知∶，． (1)求，的值． (2)当时，求的值． 【答案】(1)；； (2)或． 【分析】（）首先依据绝对值的定义求得、的值； （）结合条件，进行分类计算即可； 【详解】（1）∵，， ∴；； （2）解：由（）得：；， ∵， ∴，，则； ，，则； ∴的值为或． 47．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，是最大的负整数，则： (1)_____，_____，_____． (2)求的值． 【答案】(1)0，1， (2)0 【分析】（1）根据相反数、倒数，有理数的定义求解即可； （2）将（1）中结果代入计算即可； 【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数，是最大的负整数， ∴，，． （2）解： 48．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 题型17 程序流程图与代数式求值（共3小题） 【易错】看错流程分支条件；循环代入时算错中间结果，自变量取值漏限制，忘记多情况讨论 49．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为11的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的求值．把每个选项的的值代入符合条件的代数式，进行计算，即可作答． 【详解】解：当，时，则，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，符合题意； 当，时，则有，不符合题意． 故选：C． 50．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为125，则第2020次输出的结果是________． 【答案】5 【分析】本题考查了程序图与有理数的规律求值，确定变化规律是解题的关键． 根据程序计算多次，寻找出其中的规律，从第三次开始，出现1，5循环，且奇数次为1，偶数次为5，据此判断即可． 【详解】解：当时， 第1次输出结果为， 第2次输出结果为， 第3次输出结果为， 第4次输出结果为， 第5次输出结果为， 第6次输出结果为， 从第三次开始，出现1，5循环，且奇数次为1，偶数次为5， ∴第2020次输出的结果是5， 故答案为：5． 51．（25-26七年级上·吉林长春·期中）小明运用所学的知识设计了一个计算程序， 例如：小明输入，计算，因为，所以按照程序将6作为新的值代入，重新计算，因为，所以输出结果为30． ①若输入的值为，则永远无法输出结果； ②若输入的值为，则输出结果为30； ③若最后输出的结果是30，则共有两种取值； ④该计算程序能够输出的最小值为12． 上述四个结论中，正确的是_____．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂程序流程图是解题关键．输入，则计算结果是0，再输入，则计算结果还是0，永远无法输出结果；结论①正确；输入，则计算结果是6，再输入，则计算结果是，输出结果为30，结论②正确；根据当输入、和时，输出结果都为30可得结论③错误；先判断出通过计算输出的结果也是整数，且大于10，再结合可得结论④正确． 【详解】解：输入，则， 输入，则，循环往复，计算结果都等于，则永远无法输出结果；结论①正确； 输入，则， 输入，则，则输出结果为30；结论②正确； 由上可知，当输入、和时，输出结果都为30， 所以若最后输出的结果是30，则不止两种取值；结论③错误； ∵为整数， ∴通过计算输出的结果也是整数，且大于10， 又∵， ∴该计算程序能够输出的最小值为12；结论④正确； 综上，四个结论中，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 题型18 用代数式表示数、图形的规律（共3小题） 【易错】数图形重复漏数；只看特例，通项序号匹配错误，忽略奇偶分类，正负交替遗漏 52．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（     ）枚． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】认真观察给出的第一个图，第二个图，第三个图，试猜想第个图，找到与点数的关系，再按照这个规律求出第个图所需棋子枚数． 【详解】解：第一个图，点数， 第二个图，点数， 第三个图，点数， 猜想第四个图，点数， 第五个图，点数， ． 第个图，点数， 第个图形需棋子：（枚）． 53．（2026·山东淄博·二模）如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 【答案】 【分析】通过观察前三个图形中三角形个数的具体数值，分析数值与图形序号之间的倍数关系，归纳出第个图形中三角形个数的通项公式，最后代入进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形一共有2个△，； 第2个图形一共有8个△，； 第3个图形一共有18个△，； ， 由此规律可得，第个图形中△的个数为； 当时，． 54．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 【答案】(1)； (2)①2500；②7500 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． （1）观察式子是连续的奇数相加可知是，观察图形的变化可得规律，根据发现的规律即可猜想的值； （2）①根据（1）中的规律即可求解；②每个数进行拆分，再根据①的结果，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵第1个图形中有（张）正方形； 第2个图形有（张）小正方形； 第3个图形有（张）小正方形； 第4个图形有（张）小正方形； …… 第n个图形有（张）小正方形； ∴． （2）解：， ∴． ． 题型19 已知同类项求指数中字母或代数式的值（共3小题） 【易错】同类项要求相同字母指数相等；列方程求解后，忽略隐含条件，不回代检验 55．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如果单项式与的差仍然是一个单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的差仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：由题意可知，单项式与是同类项. 故， 解得，. 将，代入得： . 56．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知代数式与是同类项，则的值为（    ） A． B． C．或5 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义和绝对值的运算，解题的关键是根据同类项“相同字母的指数相同”的性质列出方程，准确求解、的值并考虑绝对值的多解情况． 根据同类项定义，相同字母、的指数分别相等，得和；求解得，；分别计算的值，对应选项确定答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ 相同字母的指数相等，即，， 解得，或． 当时，； 当时，． ∴的值为或． 故选：． 57．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知与是关于的单项式，且它们是同类项． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同类项的定义求解即可； （2）利用合并同类项求出，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义和合并同类项是解题关键． 题型20 整式的相关概念（共3小题） 【易错】误将 π 当作字母；判断单项式多项式出错，项的符号容易忽略，分不清整式与分式 58．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．的次数为5 B．是三次二项式 C．是整式 D．的系数是3，次数是2 【答案】C 【分析】本题考查整式、单项式的次数和系数、多项式的次数的概念． 根据定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、的字母部分指数和为，次数为3，不是5，选项说法错误，不符合题意； B、的最高次项的次数为2，是二次二项式，不是三次二项式，选项说法错误，不符合题意； C、是多项式，是整式，选项说法正确，符合题意； D、的系数为，次数为2，系数不是3，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 59．（25-26七年级上·重庆南岸·期中）下列说法中错误的有（    ） ① 多项式的常数项是1；② 单项式的次数是5； ③ 单项式和多项式统称为整式；④若与是同类项，那么 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查多项式常数项、单项式次数、整式定义和同类项概念，掌握基本概念是解题关键．①根据常数项的概念即可得出；②把单项式中字母的次数进行相加计算即可；③根据整式的定义即可判断；④根据题意得，，求出，的值再求解即可． 【详解】解：①∵多项式的常数项是，∴说法错误； ②∵ 单项式的次数是字母指数和，∴说法错误； ③∵ 单项式和多项式统称为整式，∴说法正确； ④∵ 与是同类项， ∴ 且， 解得，， ∴，与说法一致，∴说法正确。 综上，错误的有①和②，共个． 故选：B． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）给出下列判断： ①与是同类项；②多项式中，常数项是1； ③，，都是整式；④几个数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定． 其中判断正确的是（　　） A．②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据同类项、整式、多项式的定义，结合选项进行判定． 【详解】①与，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本项正确； ②多项式中，常数项是，故本项错误； ③，，都是整式，故本项正确； ④几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，原说法错误，故本项错误； 正确的有①③． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类项、整式、多项式的定义，解题的关键是熟练掌握同类项、整式、多项式的定义． 题型21 多项式的升降幂排列（共3小题） 【易错】移动项不带前面符号；混淆升幂、降幂，只关注次数，忽略保留原式各项符号 61．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）先分别说出各项的次数，再得出多项式的次数； （2）将多项按的次数由高到低排列即可； （3）先利用绝对值的非负性求出、的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：，第1项为2次，第2项为3次，第3项为常数项， 故该多项式的次数是3， 故答案为：3； （2）按的降幂排列为：， 故答案为：； （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了多项式的项、项数或次数，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，已知字母的值求代数式的值，绝对值非负性等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 62．（24-25七年级上·广东汕头·期中）已知下列代数式：①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧． (1)单项式有：__________；多项式有：__________（只填序号）； (2)将代数式按字母x的降幂重新排列． 【答案】(1)①②④⑥；③⑤⑧ (2) 【分析】本题考查单项式，多项式，多项式的排列，熟练掌握相关定义，是解题的关键；　 （1）根据单项式的定义，数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可； （2）按要求将多项式重新排列即可． 【详解】（1）解：由题意，单项式有①②④⑥；多项式有③⑤⑧； （2）由题意，按字母x的降幂重新排列为． 63．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 【答案】(1)，不是； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的大小比较，有理数的混合运算，对新定义的正确理解是解答问题的关键． （1）用和谐多项式的定义即可判断； （2）按b的降幂排列后，由和谐多项式的定义可知，即可求得； （3）计算出后，分情况分别讨论，求得m的值，代入整式即可求得式子的值． 【详解】（1）解：按的降幂排列：， 因为，，所以， 所以多项式 不是“和谐多项式”． （2）解：把多项式 按的降幂排列为． 因为多项式 是的“和谐多项式”， 所以．因为为整数，所以． （3）解：． 因为，所以不是的和谐多项式． 把原多项式按的降幂排列为． 由题意，得，所以，． 而，所以．所以． 所以． 题型22 整式的加减运算（共3小题） 【易错】去括号负号变号不全；合并同类项漏项，系数加减出错，多余改变字母指数 64．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）已知关于、的多项式，． (1)计算； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）去括号，合并同类项即可； （2）由非负数的性质可求出x、y的值，代入即可求值． 【详解】（1）解： （2）解：∵，， ∴，， ∴，， 把，，，，代入， 得： 65．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，老师用手捂住了一个多项式，记这个多项式为M． (1)计算M的结果； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查整式加减运算的应用及已知字母的值求代数式的值． （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）把的值代入，再根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意， ； （2）解：当，时， 则． 66．（25-26七年级上·福建漳州·期末）【阅读材料】用分离系数法进行整式的加减运算 我们已经学过整式的加减，知道整式的加减可以归结为合并同类项．如果把两个整式的各同类项对齐，我们就可以像小学列竖式做加减法一样，来进行整式的加减运算． 只要将参与运算的整式按同一个字母进行降幂排列，凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐（即右对齐）即可，例如，计算，步骤如下： 1．降幂排列并补0：     2．列竖式计算（整式形式）： 我们发现按同一个字母降幂排列后，各项排列的位置对应该项字母的指数，所以只需写出系数，计算出结果后，再把字母和相应的指数补充上去，从而使演算过程简化．这种方法叫做分离系数法．按分离系数法，上一道题的演算过程可以简化为： 所以． 根据以上材料回答下列问题 (1)列竖式计算； (2)利用分离系数法解决问题：已知多项式的值为常数，求的值和这个常数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式加减运算，整式加减运算的无关型问题，理解题意，是解题的关键． （1）根据题干中提供的信息列出竖式进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息列出竖式进行计算得出,再结合多项式的值为常数，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：竖式： ∴； （2）解：依题意，分离系数法： ∴ ． ∵多项式的值为常数， ∴， 解得， 此时． 题型23 整式加减中的化简求值（共3小题） 【易错】化简过程符号出错；不先化简直接代入计算，分数负数代入不添加括号，易算错 67．（25-26七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 68．（25-26七年级上·福建莆田·期末）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 【答案】(1)三，去括号时未正确变号 (2)，10 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据解题过程，找出出错的步骤，并依次去括号法则说明错因； （2）先正确化简，再代入求值． 【详解】（1）解：这位同学从第三步开始出现错误，在去后面的括号时，去括号后，应该是，错误的原因是去括号时未正确变号， 故答案为：三，去括号时未正确变号； （2）解： 当，时， 原式 ． 69．（25-26七年级上·广东东莞·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了多项式，形式如下：= (1)求所捂住的多项式； (2)求当，时所捂住的多项式的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接把、的值代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，所捂住的多项式为： ； （2）解：当，时， 原式 ． 题型24 整式加减中的无关型问题（含几何）（共3小题） 【易错】合并同类项不彻底；几何背景下，忽略线段长度为正，只令系数为 0，缺少几何检验 70．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 71．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 72．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）如图1，有一长，宽的科幻空间站长方形实验舱，动点以每秒4个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点运动时间为秒，连接，.求： (1)________（用表示）； (2)求当为何值时，四边形的面积不会随运动时间的变化而改变； (3)如图2，若点每运动1秒实验舱的区显示结果就会自动加上3，同时区会自动将整个代数式乘以2且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是和（为正整数），若，请比较区、区显示结果哪个大． 【答案】(1) (2) (3)N区显示的结果大 【分析】（1）依题意得，再根据可得出的长； （2）依题意得，，，，则，进而得，，长方形的面积，则四边形的面积，再根据四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变得，由此可得a的值； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ∵， ∴； （2）解：∵是长方形，， ∴，， 依题意得：，， ∴， ∴，， ∵长方形的面积， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变， ∴， 解得：， ∴当时，四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变； （3）解：N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大． 题型25 整式加减的应用（共3小题） 【易错】审题找错等量关系；列式缺少括号，化简不彻底，几何图形容易漏算边长，忽略取值范围 73．（26-27七年级上·云南·期中）某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 【答案】(1)270元 (2)当时，实际付款为元；当时，实际付款为元；当时，实际付款为元 (3)①元；②元 【分析】（1）先判断300元在200元元之间，所以全部享受九折优惠，代入即可求出； （2）将分三种情况讨论，即，和，然后根据题目中的优惠方式，分别用含有的式子表示出实际付款金额即可； （3）① 根据优惠前第一次购买物品的价格为元可知，第二次购买物品的价格为元，则 ，然后再根据两次的购买价格选择优惠方式进行计算求出实际付款金额并用含有的式子表示，最后两次相加即可；② 当元时，先代入① 中已求的代数式中求出分两次付款的付款金额，再根据购买价格合计为550元选择相应的优惠方式求出合计一次性付款的付款金额，最后两者相减即可． 【详解】（1）解： ， 实际付款金额为（元）， 王老师实际付款了270元； （2）解：由题意得，当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； （3）解：①， 第一次实际付款金额为元， 两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元， 第二次购买物品的价格（优惠前）为元，则， 第二次实际付款金额为元， 两次购物实际付款为元； ② 由① 得，分两次付款的付款金额用含有的式子表示为元， 当元时，分两次付款的付款金额为 （元）， ， 两次购物合计一次性付款的付款金额为（元）， 节省了（元）， 两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了元． 74．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 【答案】32（平方厘米） 【分析】解：设正方形和正方形的边长分别是厘米、厘米，根据三个阴影长方形的周长相等，得，进而得出（厘米），再求出、，即可求解． 【详解】设正方形和正方形的边长分别是厘米、厘米， 则厘米， 厘米， 厘米， 厘米， 所以厘米， 厘米， 又因为三个阴影长方形的周长相等， 所以， 即， 化简得（厘米）， 则（厘米）， （厘米）， 所以长方形的面积（平方厘米）． 75．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 【答案】(1)270 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键． （1）300元处于中间档次，按九折计算即可； （2）处于第三档，根据对应的优惠办法列代数式计算； （3）分析出第二次购物的货款不超过400元，第一次购物的钱数高于400元，再分两段求出二次购物的钱数，再相加即可． 【详解】（1）解：由题得，， ∴她实际付款270元； 故答案为：270； （2）解：由题得，， ∴她实际付款元； （3）解：∵第一次购物的货款为元， ∴第二次购物的货款为元，，享受9折优惠， ∴王老师两次购物实际付款元． 拔高·压轴破难 题型26 数字类、图形类规律探究综合（共3小题） 76．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的伴随数，如3的伴随数是，的伴随数是，已知，是的伴随数，是的伴随数，是的伴随数，…，以此类推，则等于（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目给出的伴随数定义，依次算出前几项的值，找到循环周期，再用2026除以周期，根据余数确定的值． 【详解】解：∵a的伴随数是，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由此可得，这列数每4个数为一个循环，依次为． ∵， ∴． 77．（26-27七年级上·江苏南京·期中）阅读探究：，，，， (1)根据上述规律，计算的值是_____； (2)用一个含有（为正整数）的等式表示这个规律； (3)根据规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【详解】（1）解：观察可知，； （2）解：观察可知，（为正整数）； （3）解：； ； 两式相减可得． 78．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 题型27 整式的加减运算综合（共3小题） 79．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，规律探究，先依次计算每次操作后整式串的各项之和，找出和的循环周期，再根据周期计算第2026次操作后的和即可． 【详解】∵ 第1次操作后整式串各项之和：， 第2次操作后整式串各项之和：， 第3次操作新增项为，各项之和：， 第4次操作新增项为，各项之和：， 第5次操作新增项为，各项之和：， 第6次操作新增项为，各项之和：， 第7次操作新增项为，各项之和：， ∴各项之和以为周期循环，周期为6， ∵，余数为4 ∴第2026次操作后整式串各项之和与第4次操作后的和相同，即为0； 故选D． 80．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算的理解与计算，整式加减运算，说法①通过直接计算3次f变化验证；说法②通过计算3次g变化验证；说法③通过枚举所有3次变化序列，得到一般形式下的不同结果数量；说法④通过计算变化后的表达式，利用恒等式条件求解参数． 【详解】解：f变化：，g变化：． ① 对进行3次f变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：，故此说法正确； ② 对进行3次g变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：， 但说法为，故此说法错误； ③ 序列：； 序列：先进行两次f变化为，再进行1次g变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 实际不同结果为：，，，，，共6种，故此说法正确； ④ 先g变化：， 再f变化：， 即, ， ， ∵代数式的值恒等于0， ∴， 代入, ， 得， 即， ∴且， 解得：, ， 但说法为, ，故此说法错误． 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B． 81．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 【答案】(1) (2)①6；；②1③④的值为或8 【分析】本题考查列代数式、整式的加减以及解一元一次方程，正确理解“伴生多项式”是解答本题的关键． （1）根据“伴生多项式”的定义解答即可； （2）①先求出，再代入，求出，即可； ②先求出，再求得，根据差不含有二次项得； ③求出，根据与多项式的值相等列方程，求出，代入方程，求解方程得m的值； ④分别求出，代入，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据定义得：， 故答案为：； （2）解：①， 当时， ； ； 故答案为：6；； ②∵， ∴ ∴ ∵差不含有二次项，即二次项系数为0， ∴， 解得， 故答案为：1； ③∵， ∴， 又与多项式的值相等， ∴， 解得， 把代入方程得：， 解得： ④∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， 综上，的值为或8． 故答案为：或8． 题型28 整式加减无关型问题（几何类）（共3小题） 82．（25-26七年级上·江苏南京·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”． 【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ，a＝ ； （2）在图4所示的三阶幻方中，若，，，求D所表示的代数式； 【深入思考】 （3）在图5所示的三阶幻方中，若，，（k为常数），且幻方和与a的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【答案】（1），；（2）；（3），幻方和为 【分析】本题考查幻方，解题的关键是根据幻方的特点，找到等式． （1）根据幻方和是中心数的3倍，即可求解； （2）根据，，，先求出幻方和，再利用幻方和是中心数的3倍，求出中心数，从而求出右下角的数，最后通过最后一行即可求解； （3）设幻方和为，则中心数为，如图所示，设、，由，，表示出，由，，表示出，又利用，可得 ，由题意，幻方和与a的取值无关，即可求出k的值及幻方和． 【详解】解：（1）根据题意，幻方和是中心数的3倍，即幻方和为， ， ， 故答案为：，； （2）幻方和为， 中心数为， 如图所示，设右下角的数为， ，即 ， ； （3）设幻方和为，则中心数为， 如图所示，设、， ，， 根据题意，， ，， 根据题意，， 又， ，即， ， 幻方和与a的取值无关， ； ， 解得， 则k的值为，该幻方和． 83．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 84．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，符合题意． 综上，设点C对应数为或． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 题型29 整式加减的应用综合（共3小题） 85．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 86．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 87．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 【答案】(1)12；28 (2) (3)①元；②可打造的长廊的最大长度为16米 【分析】本题考查了图形规律，整式的加减运算的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，观察图形规律，再结合长廊长8米进行列式计算，即可作答． （2）结合长廊长米（m为正整数），得出是奇数，然后列式化简，即可作答． （3）①先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，以及当n为奇数时，分别算出彩色地砖以及普通地砖的数量，再根据商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块进行列式计算，即可作答． ②先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，当n为奇数时，列式计算分析，得可打造的长廊的最大长度为16米． 【详解】（1）解：依题意，（块）， ∴当长廊长8米，则需彩色地砖12块， ∵长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖 ∴（块）， ∴当长廊长8米，则普通地砖28块； （2）解：∵长廊长米（m为正整数）， ∴是奇数， 则（块）， ∴当长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖块； （3）解：①当n为偶数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）， 此时，所需钱数为（元）， 当n为奇数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）．   此时，所需钱数为（元）； ②当n为偶数时，，，此时最大偶数为16， 则剩余钱数为（元）， 不足再铺1米，故长廊长度为16米， 当n为奇数时，，，此时最大奇数为15， 剩余钱数为（元）， 可再铺1米，故长廊长度为16米， 因此，可打造的长廊的最大长度为16米． 题型30 整式加减的新定义运算（共3小题） 88．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“好数”定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“好数”，因为，不能被整除则百位数字比十位数字大的所有“好数”是______． 【答案】，，， 【分析】首先设百位数字为，十位数字为，个位数字为，设为正整数，再根据题意可得出为正整数，，据此可得，据此可求出，，，的值，进而可得出答案． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 这个三位数为正整数， 由题意得：为正整数，， ， 又为奇数， ，同时为奇数． 当时，，，则，，或，，或，， 此时“好数”有个，分别是，，； 当时，，，则，， 此时“好数”有个：． 综上所述：百位数字比十位数字大的所有“好数”是：，，，． 故答案为：，，，． 【点睛】此题主要考查了列代数式，整式的加减运算，理解题意，列出相关的代数式是解答此题的关键． 89．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3) 不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 90．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，通过计算前若干项的值，归纳出数列的循环规律，再利用规律计算的值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得， 数列从开始，每个数为一个循环，依次为， ，即是的整数倍， ． 题型31 整式加减与数轴、绝对值综合（共3小题） 91．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，有一根木条（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A，B两点之间的距离是8，当点N移动到与点B重合时，点M恰好对应数轴上的数为2；当点N移动到与点A之间的距离为1时，点M所对应的数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，整式加减运算，理解的移动方向和距离相同是解题的关键．设数轴上 A、B 对应的数分别为 a、b，则，根据当N与B重合时，N对应的数是b，M对应的数是2，得出木条的长度为，分两种情况：当N在点A右侧1个单位处时，当N在点A左侧1个单位处时，分别求出点M表示的数即可． 【详解】解：设数轴上 A、B 对应的数分别为 a、b，则， 当N与B重合时，N对应的数是b，M对应的数是2，因此木条的长度为， 当N在点A右侧1个单位处时，N对应的数是，木条长度不变，则对应的数是： ； 当N在点A左侧1个单位处时，N对应的数是，木条长度不变，则对应的数是： ； 综上，点M表示的数为或． 故答案为：或． 92．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离可记为．请根据上述结论，解答下列问题： (1)在数轴上表示2与的点之间的距离是______；在数轴上表示数与2的点之间的距离用含的代数式表示为_____． (2)已知，． ①若数轴上一点表示的数是，且满足，则的值为_____； ②若点，分别从点，，同时出发，沿数轴向左运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．同时点从表示数9的点出发，也沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度．在运动过程中，小明同学发现：的值是一个定值（QR表示以，为端点的线段，表示以，为端点的线段），请求出所有满足条件的的值． 【答案】(1)7； (2)①的值为或；②的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，整式加减的应用． （1）利用两点间的距离公式即可； （2）①分当和时，两种情况讨论，即可求解； ②求得秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示2与的点之间的距离是； 在数轴上表示数与2的点之间的距离用含的代数式表示为． 故答案为：7；； （2）解：①由题意得， ∵， ∴或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 综上，的值为或； ②由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点在点右侧时， ∴ ， 当即时，的值是一个定值； 当点在点左侧时， ， 当即时，的值是一个定值； 综上，的值为． 93．（25-26七年级上·四川成都·期中）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)，3； (2)①5；②8； (3)当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义和带绝对值的化简计算，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的计算是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，据此填空即可； （2）①表示在数轴上x对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，分别讨论x在的左侧、3的右侧或者和3中间时，距离之和的大小即可； ②表示在数轴上x对应的点分别到、、所对应的点之间的距离之和，据此求解即可； （3）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为，然后根据题目条件用表示总成本，由（2）可得实验室建在A、B之间（包含A、B）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【详解】（1）解：表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3； （2）解：①可理解为在数轴上对应的点分别到3和所对应的点的距离之和，3和之间的距离为， 当时，的最小， 则的最小值是5； 故答案为：5； ②表示在数轴上x对应的点分别与、、在数轴上所对应的点之间的距离之和， 当时，最小，在这个范围内，当时，最小，此时最小， ∴的最小值是8； 故答案为：8； （3）解：以市民广场O为原点，A、B、C分别为、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， ∴总运输和包装成本为， 由（2）知当时，总成本能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，最小，即当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $