专题04 有理数的运算（含巧算、规律计算）18大题型82题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题04 有理数的运算（含巧算、规律计算） 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算 题型2 有理数简便运算 题型3 拆项法 题型4 倒数法 题型5 绝对值方程 题型6 含乘方的有理数计算 题型7 裂项相消法 题型8 错位相减法 题型9 数字规律 题型10 等式规律 题型11 表格规律 题型12 图形规律 题型13 数阵规律 题型14 天干地支计算 题型15 二进制计算 题型16 新定义运算 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算（共4小题） 【易错】运算顺序易混乱，先乘方再乘除后加减；符号最容易出错，去括号变号失误，同级运算从左往右不可跳步 1．（26-27七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）； (5)； (6)． 4．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型2 有理数简便运算（共4小题） 【易错】乱用运算律，分配律漏乘项；正负符号处理不当，凑整分组出错，拆分数字改变原式大小。 5．（26-27七年级上·江苏南通·期中）简便计算． (1) (2) 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）简便计算： (1)； (2) 7．（24-25七年级上·江苏·期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 8．（2.5.1 有理数的乘法与除法：乘法、乘法运算律（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024））用简便方法计算： (1)； (2)． 题型3 拆项法（共4小题） 【易错】拆分式子变形错误，忽略系数；拆分后正负号搞错，合并化简时抵消判断失误，计算漏项 9．（24-25七年级上·山东济南·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 10．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 11．（25-26七年级上·河南周口·期中）阅读下面文字： 对于可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 依照上面的方法，请你计算：． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 题型4 倒数法（共4小题） 【易错】误直接对原式取倒数；求出倒数结果后忘记还原，括号内各项取倒数时常漏符号，步骤缺失。 13．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 15．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 16．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 题型5 绝对值方程（共4小题） 【易错】去掉绝对值不分类讨论；漏掉负的情况，解完不检验，容易产生增根，忽略绝对值非负性。 17．（2025七年级上·全国·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 19．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 20．（25-26七年级上·江苏南京·期中）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 题型6 含乘方的有理数计算（共4小题） 21．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 22．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)． 23．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 24．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 题型7 裂项相消法（共4小题） 【易错】裂项系数配错，直接套用公式不看原式；中间抵消找错项，首尾剩余部分判断不全，漏正负 25．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 26．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 27．（25-26七年级上·江西南昌·期中）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 28．（24-25七年级上·江苏南京·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 题型8 错位相减法（共4小题） 【易错】乘公比后对齐项相减；相减时符号出错，项数判断不准，最后化简不彻底，常数项遗漏 29．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 30．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算时发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，①    则，② 得，则． 请你尝试用上面的方法计算． 31．（25-26七年级上·山东青岛·期中）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 32．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 题型9 数字规律（共4小题） 【易错】只看局部数值，忽略奇偶分类；周期找错，通项表达式写错，代入验证环节省略 33．（2023·河南南阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 35．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）观察下列算式： ，… 用你所发现的规律写出的个位数是 _____，的个位数字是 _____． 36．（25-26七年级上·浙江温州·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是____． 题型10 等式规律（共4小题） 【易错】归纳规律以特殊代替一般；分不清变化量与不变量，写通项时序号代换出错，缺少检验 37．（24-25七年级下·全国·期末）观察下列等式：，，，，……，按以上规律写出了，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）观察下列等式找出规律①；②；③；④；…则的值是（    ） A．14400 B． C．14300 D． 40．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）观察下列等式（式子中的“”是一种数学运算符号）：，，．．．计算：__________． 题型11 表格规律（共4小题） 【易错】行列对应关系看错；只观察单行数据，忽略行列共同变化，周期与序号匹配出现偏差 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 42．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 43．（24-25七年级上·新疆和田·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是___________． 题型12 图形规律（共4小题） 【易错】数图形个数重复或漏数；不能把图形转化数字，奇偶情况不分类，通项公式推导出错 45．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… (1)根据以上规律，可得 ； ； (2)计算： 46．（25-26七年级上·云南昆明·期末）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程． 解：设① 两边同乘以2得： ② 由②-①得： (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：； (3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果． 如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分． ①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？ ②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？ 47．（25-26七年级上·江苏常州·期中）观察下列树枝分权的规律图，若第n个图树枝数用表示，则的值是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字应标在（    ）    A．第9个正方形右下角 B．第9个正方形左下角 C．第8个正方形右下角 D．第8个正方形左下角 题型13 数阵规律（共4小题） 【易错】分不清每行首尾数字、每行个数；找错行列序号，正负交替规律遗漏，周期判断错误 49．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角数阵”，它是承载着丰富思想内涵的数学符号．数阵是由整数的倒数组成的，每行两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第5行第3个数（从左往右数）为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为______． 51．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 52．（25-26七年级上·河北保定·期末）将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为________； (2)十字框内五个数的最小和是________； (3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和； (4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由． 题型14 天干地支计算（共4小题） 【易错】天干 10 个、地支 12 个周期记混；余数对应序号容易偏移，起始基准选错导致结果全错 53．（25-26七年级上·北京海淀·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是_______年． 55．（25-26七年级上·广西玉林·期中）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数；若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年． 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律，推断年为农历（    ） A．乙巳年 B．戊申年 C．乙申年 D．丙午年 56．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为 A．农历乙巳年 B．农历己巳年 C．农历己酉年 D．农历乙亥年 题型15 二进制计算（共4小题） 【易错】二进制进位规则混淆，逢二进一记错；二进制转十进制幂次搞错，加法进位容易漏记 57．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 58．（25-26七年级上·山东滨州·期中）我们平常生活中用的是进制进行计算，如，在进行计算时两数最右边对齐，，满后留在最右边，向左进一，从而结果为；在计算减法时，最右边一位对齐，向左借位，借一得十，结果为17．在古代，有个部落采用的是五进制，满五进一．即当数字为时，记做，那么类比十进制的加减法，在计算时，它的结果为____________（答案也记录为五进制）． 59．（24-25七年级上·福建厦门·期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：（规定当时，）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：．根据以上介绍，回答下列问题： ①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：__________； ②若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是__________． 60．（25-26七年级上·福建福州·期中）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数 10010转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是____________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 题型16 新定义运算（共4小题） 【易错】套用旧运算法则，不严格按题干定义；运算顺序搞错，代入数值符号出错，不验证结果 61．（26-27七年级上·江苏南京·期中）对于有理数、，定义运算：， (1)计算的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 62．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）已知表示不超过x的最大整数，如：，．现定义：，如，则_________． 63．（25-26七年级上·江苏扬州·期中） “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 64．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练（共10小题） 65．（26-27七年级上·江苏南通·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 66．（26-27七年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 67．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______； ②______． (2)用合理的方法计算： ． (3)用简便方法计算： ． 68．（25-26七年级上·四川达州·期末）观察下列计算 ，，，…… 从计算结果中找规律，利用规律计算：． 69．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 70．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… (1)根据以上规律写出第⑩条算式：________； (2)计算：； (3)计算：． 71．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中），，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 72．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 73．（25-26七年级上·福建厦门·期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 74．（25-26七年级上·河北保定·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ________； _______． (2)根据规律计算： ． 75．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 76．（25-26七年级上·山东日照·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练（共8小题） 77．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 78．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 79．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）阅读探究：，，，… (1)根据上述规律，小亮发现，求出___________． (2)小聪继续又发现： ，求出___________． (3)若，请运用小聪的方法求和的值 80．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）阅读理解题． 我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ；           观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想出 （用表示）． (2)依规律，直接求的值为 ． (3)依规律，的值． (4)依规律，求的值． 81．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 82．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的运算（含巧算、规律计算） 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算 题型2 有理数简便运算 题型3 拆项法 题型4 倒数法 题型5 绝对值方程 题型6 含乘方的有理数计算 题型7 裂项相消法 题型8 错位相减法 题型9 数字规律 题型10 等式规律 题型11 表格规律 题型12 图形规律 题型13 数阵规律 题型14 天干地支计算 题型15 二进制计算 题型16 新定义运算 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算（共4小题） 【易错】运算顺序易混乱，先乘方再乘除后加减；符号最容易出错，去括号变号失误，同级运算从左往右不可跳步 1．（26-27七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先化为省略加号的形式，再进行有理数的加减混合运算即可； （2）根据加法的交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再进行多个有理数相乘的计算即可； （4）先将除法转化为乘法，再进行多个有理数相乘的计算即可； （5）先将除法转化为乘法，再进行多个有理数相乘的计算即可； （6）根据乘法分配律的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 2．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 3．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)8 (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 4．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型2 有理数简便运算（共4小题） 【易错】乱用运算律，分配律漏乘项；正负符号处理不当，凑整分组出错，拆分数字改变原式大小。 5．（26-27七年级上·江苏南通·期中）简便计算． (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先将带分数进行拆分，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算及乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律将括号内的每个数分别与相乘，再进行计算即可； （2）首先需要将带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后观察到各项都含有这个因数，可利用乘法分配律的逆运算来简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25七年级上·江苏·期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的简便计算，熟练掌握加法交换律和乘法分配律可简化计算是解题的关键； （1）用加法交换律将和先算，再进行加减计算即可； （2）用乘法分配律将原式变为，再进行计算即可； （3）利用乘法交换律，先算，即可求解； （4）用乘法分配律将原式变为子，再进行计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 8．（2.5.1 有理数的乘法与除法：乘法、乘法运算律（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024））用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是有理数的乘法及乘法分配律，掌握乘法分配律和有理数的各个运算法则是解决此题的关键． （1）利用乘法分配律和有理数的各个运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律和有理数的各个运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型3 拆项法（共4小题） 【易错】拆分式子变形错误，忽略系数；拆分后正负号搞错，合并化简时抵消判断失误，计算漏项 9．（24-25七年级上·山东济南·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 11．（25-26七年级上·河南周口·期中）阅读下面文字： 对于可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 依照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 题型4 倒数法（共4小题） 【易错】误直接对原式取倒数；求出倒数结果后忘记还原，括号内各项取倒数时常漏符号，步骤缺失。 13．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)一 (2)原式 【分析】此题考查了有理数的除法．熟练掌握除法法则，取倒数计算除法，乘法分配律，是解本题的关键． （1）解法一是错误的．根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．（2）被除数是一个数，除数是一个复杂算式，计算其倒数值，计算的倒数值，即得的值． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）解：∵ ， ∴． 15．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 16．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）根据有理数的运算法则以及运算顺序观察，由于除法没有分配律，即可求解； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律； 故答案为：①． （2）原式的倒数为 ， ∴原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． 题型5 绝对值方程（共4小题） 【易错】去掉绝对值不分类讨论；漏掉负的情况，解完不检验，容易产生增根，忽略绝对值非负性。 17．（2025七年级上·全国·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，分别令，，解得：，，用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解即可得解，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分别令，，解得：，， 用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，可化为，解得：，符合题意； 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 综上，原方程的解为． 19．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：当时，，则原方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、解绝对值方程等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 20．（25-26七年级上·江苏南京·期中）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 题型6 含乘方的有理数计算（共4小题） 21．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 22．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 题型7 裂项相消法（共4小题） 【易错】裂项系数配错，直接套用公式不看原式；中间抵消找错项，首尾剩余部分判断不全，漏正负 25．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】解：（1）； （2） （3） 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的四则混合运算，关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法灵活应用． 26．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则和数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）先对式子提一个，再运用所得规律即可求解； （3）①根据题意即可得出结果；②先将原式变为，再提一个4，最后运用所得规律求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 27．（25-26七年级上·江西南昌·期中）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 28．（24-25七年级上·江苏南京·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型8 错位相减法（共4小题） 【易错】乘公比后对齐项相减；相减时符号出错，项数判断不准，最后化简不彻底，常数项遗漏 29．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 30．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算时发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，①    则，② 得，则． 请你尝试用上面的方法计算． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算的应用，根据已知的步骤进行运算，即可求解；理解计算方法是解题的关键． 【详解】解：设，①     则，② 得， 则， 即原式． 31．（25-26七年级上·山东青岛·期中）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握错位相减法，是解题的关键： （1）利用错位相减法进行计算即可； （2）利用错位相减法进行计算即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② ②①得，则． （2）设，① 则，② ①②得，则． 32．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 题型9 数字规律（共4小题） 【易错】只看局部数值，忽略奇偶分类；周期找错，通项表达式写错，代入验证环节省略 33．（2023·河南南阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 34．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】1 【分析】此题考查有理数的乘方，找到个位数字的规律解决问题． 根据已知的式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解答即可． 【详解】解：，，，，，…， 由此发现，式子末尾数字以3、9、7、1这4个数作循环， ∵， ∴所以的个位数字是1． 故答案为：1． 35．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）观察下列算式： ，… 用你所发现的规律写出的个位数是 _____，的个位数字是 _____． 【答案】 6 4 【分析】本题考查数字类规律探究．根据给出的算式，得到的个位数字以为一组，进行循环，分别求出，，，，，得到和的个位数字以2，6，4，0为一组，进行循环，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴个位数字是以为一组进行循环， ∵， ∴的个位数是6； ∵，个位数字为2； ，个位数字为6； ，个位数字为4； ，个位数字为0； ，个位数字为2； … ∴和的个位数字以2，6，4，0为一组，进行循环， ∵， ∴末位数字为4． 故答案为：6；4． 36．（25-26七年级上·浙江温州·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是____． 【答案】4 【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键． 【详解】观察可得规律：的个位数字每4次一循环， ∵余2，， ∴的个位数字是4． 故答案为：4． 题型10 等式规律（共4小题） 【易错】归纳规律以特殊代替一般；分不清变化量与不变量，写通项时序号代换出错，缺少检验 37．（24-25七年级下·全国·期末）观察下列等式：，，，，……，按以上规律写出了，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据数字的变化规律得到；根据数字的变化规律得到，即可作答． 【详解】解：根据式子的变化规律得， ， 故选：D． 38．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以． 故选：B． 39．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）观察下列等式找出规律①；②；③；④；…则的值是（    ） A．14400 B． C．14300 D． 【答案】D 【分析】根据前面式子的特点，通过变形可以求得的结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、数字的变化类，解题的关键是找出题目中给出的算式的运算规律，明确有理数混合运算的计算方法． 40．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）观察下列等式（式子中的“”是一种数学运算符号）：，，．．．计算：__________． 【答案】2022 【分析】此题考查了有理数的乘法运算和除法运算，根据运算的定义，可以把和写成连乘积的形式，然后约分即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 题型11 表格规律（共4小题） 【易错】行列对应关系看错；只观察单行数据，忽略行列共同变化，周期与序号匹配出现偏差 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 42．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】 （1）三阶幻方补充如图2： （2）补全的三阶幻方如图3所示： （3）或111 【分析】本题考查了有理数的四则运算，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都为15，进而求解即可； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，进而求解即可； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，进而代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：， 第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：， 第二行第一列数字为：， （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：， 第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴， 解得， 又∵，且数字不重复， ∴或， 当时， ∴； 当时， ∴； 综上，的值为或111． 43．（24-25七年级上·新疆和田·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加减运算的应用，解题的关键是正确列式求解． 首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴1和x中间的数为 ∴ ∴， 故选：B． 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，理解题意是解题关键．先设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】解：根据图，设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为． 根据题意，得， 将上式变形，得． 故答案为：． 题型12 图形规律（共4小题） 【易错】数图形个数重复或漏数；不能把图形转化数字，奇偶情况不分类，通项公式推导出错 45．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… (1)根据以上规律，可得 ； ； (2)计算： 【答案】(1)15， (2) 【分析】本题主要考查图形规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题意易得图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，然后问题可求解； （2）根据（1）可代入进行求解． 【详解】（1）解：由图可知： 图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，图5有颗弹珠，……； ∴； 故答案为15，； （2）解：由（1）可得： 原式= = =． 46．（25-26七年级上·云南昆明·期末）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程． 解：设① 两边同乘以2得： ② 由②-①得： (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：； (3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果． 如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分． ①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？ ②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？ 【答案】(1) (2) (3) 解：答：小容将面积为的正方形平均分成两部分，部分Ⅰ的面积为 ；部分Ⅱ是部分Ⅰ面积的一半， ；部分Ⅲ是部分Ⅱ面积的一半， ，，以此类推，第次分出部分， ，剩余阴影部分的面积也是 ； 可以看做各个部分的面积和，即为 ． 【分析】本题考查数字类规律探索题和图形类规律探索题，审清题意观察出式子前后的变化和规律是解题的关键． （1）将代入中即可得解； （2）模仿题目中的算法计算即可； （3）根据图示可知每次剩余部分再取一半，由此可解； 分割出的部分面积和等于1减去剩余部分的和，据此可解． 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：， 故答案为：； （2）解：设 两边同乘得： 由得： ； （3）略 47．（25-26七年级上·江苏常州·期中）观察下列树枝分权的规律图，若第n个图树枝数用表示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图中规律可得:，相减可得结论． 【详解】解：由题意得： 第1个图：； 第2个图：； 第3个图：； 第4个图：； … 第9个图：； 第10个图：； 得 故选：C 【点睛】本颗考查了图形变化类的规律问题，根据图形可知每一个树枝上长着两个小树枝是本题的关键． 48．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字应标在（    ）    A．第9个正方形右下角 B．第9个正方形左下角 C．第8个正方形右下角 D．第8个正方形左下角 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 【详解】解：由已知图形知，第一个图形：所标数字是从0开始，逆时针排列：0，1，2，3， 观察其他图形，得到每4个数为一周期循环， 则， ∴数字应标在在第9个正方形的右下角， 故选：A 题型13 数阵规律（共4小题） 【易错】分不清每行首尾数字、每行个数；找错行列序号，正负交替规律遗漏，周期判断错误 49．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角数阵”，它是承载着丰富思想内涵的数学符号．数阵是由整数的倒数组成的，每行两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第5行第3个数（从左往右数）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类的变化规律，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律． 根据给出的数据可得：第n行的第一个数等于，第n行的第二个数等于，根据每个数是它下一行左右相邻两数的和，即可计算得出答案． 【详解】解：寻找规律： ∵第n行有n个数，且两端的数均为，，每个数是它下一行左右相邻两数的和， ∴第4，5行从左往右第1个数分别为，； 第4，5行从左往右第2个数分别为，； 第5行从左往右第3个数为． 故选择：A． 50．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化类，解题关键是观察数列，找出规律．观察数列可知：所有数的绝对值是从2开始的偶数，且第n行有个数，奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，且所有行都为正负数相间排列，按照此规律，求出前10行一共有多少个数，按照此规律，找出第11行从左向右第4个数的值即可． 【详解】解：观察所给数列可知： 所有数的绝对值是从2开始的偶数，且第n行有个数， ∴前10行一共有个数， 又∵从2开始的第100个偶数是200，即第10行最后一个数的绝对值是200， ∴第11行第一个数的绝对值是202， ∵奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，且所有行都为正负数相间排列， ∴第11行，从左向右第4个数为， 故答案为：． 51．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 【答案】(1) 解：如下图：（答案不唯一） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 (2) 解：正确，理由如下： 设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为， 正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍， 设正中间的数为x， 填表如下， 则，即； (3) 解：如下图：（答案不唯一） 【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是解答本题的关键． （1）方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数5，进而最大的数9，和最小的数1加上5，就组成一列，然后是8，5，2，接着是7，5，3，最后是6，5，4，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等． （2）设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填写表格后即可证． （3）根据题意填写即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 52．（25-26七年级上·河北保定·期末）将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为________； (2)十字框内五个数的最小和是________； (3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和； (4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由． 【答案】(1)80 (2)最小值为70 (3)5a (4) 解：根据题意得，5a=2030， 解得，a=406， ∴406是第204个偶数， 204÷6=34，所以2030在数阵的第34行第6列， ∴十字框不能框出这样的5个数它们的和等于2030． 【分析】（1）根据图示进行计算便可得结果； （2）用a表示出其余4个数，再求和便可，根据a的最小值求出五个数的最小和； （3）用a表示出其余4个数，再求和便可； （4）根据（2）中的代数式，结合题意列出a的方程，根据方程有无解进行解答便可． 【详解】（1）解：由题意得，这5个数的和为：4+14+16+18+28=80， 故答案为：80； （2）解：设正中间的数为a，则其余4个数分别为a-12，a-2，a+2，a+12， ∴十字框内5个数的和为： （a-12）+（a-2）+a+（a+2）+（a+12）=5a， 由图可知，a≥14， ∴5a≥70． 故答案为：70； （3）解：由（2）知十字框内5个数的和为5a； （4）略 【点睛】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 题型14 天干地支计算（共4小题） 【易错】天干 10 个、地支 12 个周期记混；余数对应序号容易偏移，起始基准选错导致结果全错 53．（25-26七年级上·北京海淀·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 【答案】乙卯 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据干支纪年法的计算规则，计算2035年对应的天干和地支余数，并对照表格得出农历年． 【详解】计算天干：，对应天干乙； 计算地支：，对应地支卯． ∴2035年为农历乙卯年， 故答案为：乙卯． 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是_______年． 【答案】己未 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 55．（25-26七年级上·广西玉林·期中）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数；若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年． 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律，推断年为农历（    ） A．乙巳年 B．戊申年 C．乙申年 D．丙午年 【答案】D 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据干支纪年法的计算方法分别确定出天干和地支，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴天干为丙， ∵， ∴地支为午， ∴年为丙午年， 故选：． 56．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为 A．农历乙巳年 B．农历己巳年 C．农历己酉年 D．农历乙亥年 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以分别计算出2025对应的天干和地支，然后写出农历年即可． 【详解】解：根据题意可得： 2049年天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历己巳年． 故选：B． 题型15 二进制计算（共4小题） 【易错】二进制进位规则混淆，逢二进一记错；二进制转十进制幂次搞错，加法进位容易漏记 57．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 58．（25-26七年级上·山东滨州·期中）我们平常生活中用的是进制进行计算，如，在进行计算时两数最右边对齐，，满后留在最右边，向左进一，从而结果为；在计算减法时，最右边一位对齐，向左借位，借一得十，结果为17．在古代，有个部落采用的是五进制，满五进一．即当数字为时，记做，那么类比十进制的加减法，在计算时，它的结果为____________（答案也记录为五进制）． 【答案】 【分析】本题考查进制运算，读懂题意，理解进制运算方法是解决问题的关键． 直接进行五进制减法运算，从右向左逐位相减，需要借位时借一当五，即可得到答案． 【详解】解：由阅读材料中的方法可知，， 故答案为：． 59．（24-25七年级上·福建厦门·期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：（规定当时，）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：．根据以上介绍，回答下列问题： ①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：__________； ②若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，含乘方的有理数混合运算； ①根据题干二进制数转换为十进制数的方法列式即可． ②根据二进制的基数是2，其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是求解即可． 【详解】解：①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：；， 故答案为：； ②∵二进制的基数是2，其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是，而， ∴若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，的最小值是． 故答案为：． 60．（25-26七年级上·福建福州·期中）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数 10010转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是____________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22 (2)2298 (3)90 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可； （3）满八进一，类似于八进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：二进制数“10110”转化为十进制数为 故答案为：22． （2）解：八进制数“4372”转化为十进制数为 答：八进制数“4372”转化为十进制数为2298． （3）解：由于满八进一，类似于八进制数，图示表示的八进制数为132，转化为十进制数为 答：孩子已经出生的天数为90天． 题型16 新定义运算（共4小题） 【易错】套用旧运算法则，不严格按题干定义；运算顺序搞错，代入数值符号出错，不验证结果 61．（26-27七年级上·江苏南京·期中）对于有理数、，定义运算：， (1)计算的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1) (2)，，这种新定义不满足交换律． 【分析】（1）根据所给定义列式计算； （2）根据所给定义列式计算出两个式子的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴这种新定义不满足交换律． 62．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）已知表示不超过x的最大整数，如：，．现定义：，如，则_________． 【答案】 【分析】根据新定义运算规则，分别计算两个项的值再求和即可． 【详解】解：由定义可知，不超过的最大整数为， ， 不超过的最大整数为， ， ． 63．（25-26七年级上·江苏扬州·期中） “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的加减计算含乘方的有理数混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据新定义用含x的式子表示出m、n，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 64．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3)11 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ． 故答案为：；； （3）解： ． 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练（共10小题） 65．（26-27七年级上·江苏南通·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）利用乘法分配律进行简便计算； （4）根据乘方的定义、绝对值的定义把算式化简，再根据法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 66．（26-27七年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 67．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______； ②______． (2)用合理的方法计算： ． (3)用简便方法计算： ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值的意义，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的方法解答即可； （2）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可； （3）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 68．（25-26七年级上·四川达州·期末）观察下列计算 ，，，…… 从计算结果中找规律，利用规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，发现变化规律并灵活运用是关键．根据前几个式子的变化规律得到第n个式子为，进而运用求解即可． 【详解】解：观察计算结果，得第n个式子为， ∴ ． 69．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） ． 70．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… (1)根据以上规律写出第⑩条算式：________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)5050 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律与有理数的混合运算； （1）根据已知等式得出，再将代入可得； （2）利用所得规律展开得原式，再利用高斯求和公式计算可得； （3）原式提取符号得出原式，再利用所得规律变形，最后利用高斯求和公式计算可得． 【详解】（1）由题意知第条算式为， 则第⑩个算式为， 故答案为：． （2）原式 ； （3）原式 ． 71．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中），，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的性质，有理数的混合运算，理解材料提示信息，掌握分数性质及变式是解题的关键． （1）根据材料提示可得，即可求解； （2）根据材料提示裂项，分数的加减混合运算即可求解； （3）根据材料提示可得，依次类推即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得，， ∴是第个数， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ． 72．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 73．（25-26七年级上·福建厦门·期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）①，，②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键． （1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可； （2）按照题干思路作答即可． 【详解】（1）①，， ②可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得， ∴．（列式即可） ∴； （2）令， 则， 因此，， ∴， 即． 74．（25-26七年级上·河北保定·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ________； _______． (2)根据规律计算： ． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得； （2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得． 【详解】（1）， ， 故答案为：，． （2） ． 【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键． 75．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 【答案】(1)壬戌，狗 (2)乙酉，D 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1922年为农历壬戌年，对应戌狗， 故答案为：壬戌，狗； （2）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1945年为农历乙酉年， 故答案为：乙酉； A、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1911年为农历辛亥年，正确，不符合题意； B、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1898年为农历戊戌年，正确，不符合题意； C、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1904年为农历甲辰年，而癸卯学制颁布的时候是1904.1.13是公历，但是古代是干支纪元，还属于光绪29年即癸卯年，故正确，不符合题意； D、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1645年为农历乙酉年，错误，符合题意； 故选：D． 76．（25-26七年级上·山东日照·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 【答案】（1）；（2）；（3）二进制明码表示的密码为181． 【分析】本题考查了数字规律，有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答； （2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答； （3）先将转换成十进制数，再根据题意求解即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； 故答案为：； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为9）， （最高位为0）， ∴． 故答案为：； （3）依题意， ， 由于365是奇数，代入公式得 ∴二进制明码表示的密码为181． 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练（共8小题） 77．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 78．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据式子规律即可求解； （2）按照（1）中规律拆成两个分数的差的形式，再相加即可； （3）与（2）同理； （4）每项拆成的形式，即可相加． 【详解】（1）解：由式子规律得：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解： ． 79．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）阅读探究：，，，… (1)根据上述规律，小亮发现，求出___________． (2)小聪继续又发现： ，求出___________． (3)若，请运用小聪的方法求和的值 【答案】(1)6 (2)7 (3)， 【分析】（1）根据阅读材料，发现规律即可求解； （2）根据阅读材料，发现规律即可； （3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ 故答案为：6 （2）解：∵， ， ∴， ∴. 故答案为：7 （3）解：∵， ∴ ∵， ∴，. 【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料． 80．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）阅读理解题． 我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ；           观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想出 （用表示）． (2)依规律，直接求的值为 ． (3)依规律，的值． (4)依规律，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据前面式子的特点找出规律即可. （2）根据（1）中的规律，把代入规律中进行计算即可. （3）将变形为，再把（1）的结果代入即可求出结果. （4）将写成，再根据（1）中的规律计算即可. 【详解】（1）， 故填：； （2） 故答案为：； （3） （4） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，数字类规律的探索，解题的关键是找出题目中所给算式的运算规律，明确有理数混合运算方法. 81．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 82．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $