专题03 实数、平方根与立方根（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题03 实数、平方根与立方根 考点01无理数的辨别 考点02实数的分类 考点03实数相关性质 考点04实数与数轴的结合问题 考点05程序问题与实数运算 考点06平方根、算术平方根、立方根的计算 考点07利用算术平方根的非负性解题 考点08估算算术平方根的整数与小数部分 考点09平方根、立方根综合考点 考点10算术平方根相关规律探索 考点11立方根相关规律探索 考点01无理数的辨别 1．下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 2．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 4．圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的正无理数______． 考点02实数的分类 5．实数，4.3，，，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，分数的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在中，非负整数有___________，正分数有_____________________________． 7．把下列各数填在相应的集合里： ，0.25，，0，，2，3.14， (1)整数集合 (2)负数集合 (3)分数集合 (4)非负整数集合 8．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④…（每相邻两个之间的个数逐渐多），⑤，⑥ 有理数集合：{_________________…}；无理数集合：{_________________…}； 正实数集合：{_________________…}；整数集合：{___________________…}． 9．现有以下一组数据：，，，，，0，，（每相邻两个3之间依次多1个0）． (1)把上面的数据分别填入下面的两个圈中； (2)两个圈的重叠部分表示_____________的集合； (3)请任意写出一个所有圈以外的实数：____________． 考点03实数相关性质 10．实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 11．下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 12．计算：________． 13．（1）的相反数是______；（2）比较大小：______3（填“”，“”或“”）． 考点04实数与数轴的结合问题 14．已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 15．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 16．如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为__________． 17．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 18．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 19．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图1，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是_____； (2)在图2中作出实数所在的位置；（保留必要的作图痕迹） (3)的相反数是_____． 考点05程序问题与实数运算 20．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，最后输出的结果是5，则“?”表示的判断条件可能是（　　） A． B． C． D． 21．根据图中的程序，当输入为2时，输出的值是（   ） A． B． C．-2 D． 22．如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 23．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，正确的是（　　） A．如果输入的x为，输出的结果为3 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是2024，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果不可能为0 考点06平方根、算术平方根、立方根的计算 24．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 25．下列说法正确的是（     ） A．0.09的平方根是0.3 B． C．立方根等于本身的数是0和1 D．任何一个无理数的绝对值都是正数 26．估算的计算结果应在（     ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 27．若实数m等于它的平方根，实数n等于它的立方根，则的值为________． 28．已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 29．已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 30．解方程： (1)； (2)． 考点07利用算术平方根的非负性解题 31．若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 32．已知，则的算术平方根为_________． 33．已知，则的算术平方根是___________． 34．已知为的三边长，若满足，则是（     ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 35．已知____________． 36．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 考点08估算算术平方根的整数与小数部分 37．若，则所有满足条件的整数之和为________． 38．若为正整数，且满足，则________． 39．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 40．已知的平方根是，的立方根是，是的小数部分，求的值． 41．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 42．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根． 考点09平方根、立方根综合考点 43．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 44．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 45．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 46．已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 47．已知a为的算术平方根，，，求的值． 考点10算术平方根相关规律探索 48．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 49．在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 50．若，，则______． 51．按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 52．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 53．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 考点11立方根相关规律探索 54．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 55．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 56．有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 57．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 58．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式：______________________； 【归纳】 (2)对于任意两个不相等的有理数a，b，若_____________，则，反之也成立； 【应用】 (3)根据（2）的结论：若与的值互为相反数，求x的立方根． 59．小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数、平方根与立方根 考点01无理数的辨别 考点02实数的分类 考点03实数相关性质 考点04实数与数轴的结合问题 考点05程序问题与实数运算 考点06平方根、算术平方根、立方根的计算 考点07利用算术平方根的非负性解题 考点08估算算术平方根的整数与小数部分 考点09平方根、立方根综合考点 考点10算术平方根相关规律探索 考点11立方根相关规律探索 考点01无理数的辨别 1．下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 【答案】D 【详解】解：A. 无限小数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； B. 带根号的数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； C. 无理数的平方不一定是有理数，例如，该选项说法错误； D. 无理数一定是无限不循环小数，该选项说法正确． 2．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 3．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 4．圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的正无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴符合题意的正无理数可以为． 考点02实数的分类 5．实数，4.3，，，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，分数的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：，4.3， 2.010101…（相邻两个1之间有1个0）是分数， ，是无理数，不是分数， 分数的个数有3个． 6．在中，非负整数有___________，正分数有_____________________________． 【答案】 ， ，， 【详解】解：非负整数有和， 正分数有，，． 7．把下列各数填在相应的集合里： ，0.25，，0，，2，3.14， (1)整数集合 (2)负数集合 (3)分数集合 (4)非负整数集合 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）整数集合； （2）负数集合； （3）分数集合； （4）非负整数集合． 8．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④…（每相邻两个之间的个数逐渐多），⑤，⑥ 有理数集合：{_________________…}；无理数集合：{_________________…}； 正实数集合：{_________________…}；整数集合：{___________________…}． 【答案】有理数集合：{②③⑤⑥…}；无理数集合：{①④…}； 正实数集合：{①②④⑥…}；整数集合：{⑤⑥…} 【详解】解：是无理数，是正实数， 是有理数，是正实数， 是有理数， …（每相邻两个之间的个数逐渐多），是无理数，是正实数， 是有理数，是整数， ，是有理数，是正实数，是整数， ∴有理数集合：{②③⑤⑥…}；无理数集合：{①④…}； 正实数集合：{①②④⑥…}；整数集合：{⑤⑥…}． 9．现有以下一组数据：，，，，，0，，（每相邻两个3之间依次多1个0）． (1)把上面的数据分别填入下面的两个圈中； (2)两个圈的重叠部分表示_____________的集合； (3)请任意写出一个所有圈以外的实数：____________． 【答案】(1) (2)负无理数 (3)2026（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：，0是有理数，不属于这两个圈的任何区域； ，是负实数；既是负实数又是无理数；，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0）是无理数； 作图略 （2）解：两个圈的重叠部分表示负无理数的集合； （3）解：所有圈以外的实数有2026（答案不唯一）． 考点03实数相关性质 10．实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 11．下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 12．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 13．（1）的相反数是______；（2）比较大小：______3（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：（1）的相反数是； （2）． 考点04实数与数轴的结合问题 14．已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，点P表示的数在2和3之间， ∵， ∴， 又∵， ∴点P表示的数可能是． 15．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 【答案】/ 【详解】解：由题意得：， ∴， 则点M表示的数为． 16．如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为__________． 【答案】 【详解】解：在中， ，， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为． 17．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 18．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)正方形的边长为，的长在2和3之间 (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， ， ， 的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，， 则点在数轴上表示的数为：． 19．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图1，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是_____； (2)在图2中作出实数所在的位置；（保留必要的作图痕迹） (3)的相反数是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点D表示的实数是； （2）略； （3）解：的相反数为． 考点05程序问题与实数运算 20．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，最后输出的结果是5，则“?”表示的判断条件可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如输入1，则， 输入，则，输出； 故判断条件为大于且小于5的数， 选项中满足， 故选：C． 21．根据图中的程序，当输入为2时，输出的值是（   ） A． B． C．-2 D． 【答案】B 【详解】解：输入，且， ． 22．如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2) 小康的说法正确，理由如下： 输出 ， ∴小康的说法正确． 【分析】 【详解】（1）解：由流程图可得， ； （2）略 23．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，正确的是（　　） A．如果输入的x为，输出的结果为3 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是2024，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果不可能为0 【答案】B 【详解】解：当时，，下一步，不是大于0，则最后一步输出，故A选项错误，D选项错误； 当时，，输出结果为2024； 当时，，下一步，不是大于0，则最后一步输出，故C选项错误； 当时，，下一步，不是大于0，则最后一步输出，即如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数，故B选项正确； 故选：B． 考点06平方根、算术平方根、立方根的计算 24．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：算术平方根的结果为非负数，故，，A、C错误； 表示25的平方根，结果为，B错误； ，D正确． 25．下列说法正确的是（     ） A．0.09的平方根是0.3 B． C．立方根等于本身的数是0和1 D．任何一个无理数的绝对值都是正数 【答案】D 【详解】解：A、由得0.09的平方根为，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、立方根等于本身的数是0、1和，故本选项错误，不符合题意； D、任何一个无理数的绝对值都是正数，故本选项正确，符合题意． 26．估算的计算结果应在（     ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，即． 27．若实数m等于它的平方根，实数n等于它的立方根，则的值为________． 【答案】0或 【详解】解：∵实数m等于它的平方根，实数n等于它的立方根， ∴，或， ∴当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为0或． 28．已知的算术平方根是的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是4， ， ， 的立方根是2， ， 将代入，得， ， 的平方根为． 29．已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， ∵， ∴的整数部分为，即； （2）解：将，，代入，得 ， ∵， ∴的平方根是，即的平方根是． 30．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 ； (2)． 【分析】 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 考点07利用算术平方根的非负性解题 31．若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 32．已知，则的算术平方根为_________． 【答案】 【详解】解：根据算术平方根的非负性可知且， ∴且， ∴， 将代入，得， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 33．已知，则的算术平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， 即 ，， 解得 ，， 可得 ， ∵ ，且算术平方根为非负数， ∴ 结果为． 34．已知为的三边长，若满足，则是（     ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 35．已知____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∴． 36．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动3个单位长度 ∴； （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 考点08估算算术平方根的整数与小数部分 37．若，则所有满足条件的整数之和为________． 【答案】 【详解】解：， ， ． ， ． ， 满足条件的整数为：． 则． 38．若为正整数，且满足，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， ∵ 为正整数，且满足， ∴ ． 39．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵c是的整数部分， ∴； ∴， ∴的算术平方根为． 40．已知的平方根是，的立方根是，是的小数部分，求的值． 【答案】 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得， ∵的立方根是， ∴，即，解得， ∵， ∴，即， ∴的整数部分是，小数部分， ∴ ． 41．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵的整数部分为， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴的小数部分为， ∴． 42．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为 (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ∴， 的整数部分为，的小数部分为． （2）解：，， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根为． 考点09平方根、立方根综合考点 43．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 44．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 45．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】 解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 【分析】 【详解】略 46．已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意可得， ， ， ， 的平方根为． 47．已知a为的算术平方根，，，求的值． 【答案】26 【详解】∵a为的算术平方根， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握求算术平方根，立方根的方法，灵活计算是解题的关键． 考点10算术平方根相关规律探索 48．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】C 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2026行从左向右数第2026个数是2026， ∴第2026行从左向右数第2025个数是． 49．在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 【答案】 【详解】解：， ， ， 观察可得规律：. ∴. ， . 50．若，，则______． 【答案】 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 51．按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 【答案】 【详解】解：观察已知单项式可得规律： ①符号规律：第奇数个单项式的符号为正，第偶数个单项式的符号为负，即； ②根号内的数的规律：第个单项式根号内的数为； ③分母规律：所有单项式的分母均为； ④的指数规律：第个单项式的指数为． 第个单项式为 ∴第7个单项式为． 52．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 【答案】(1)规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 (2)①；② 【分析】 【详解】（1）解：规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 （2）根据（1）中的发现的规律， 53．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 考点11立方根相关规律探索 54．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 55．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 【答案】 【详解】解：观察各式可知，被开方数扩大（缩小）倍，立方根扩大（缩小）倍， ∵，， ∴，． 56．有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵且为正整数，，， ∴前1000个数中是有理数的有，，，，，共6个，其余的数都是无理数． 57．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【详解】解：∵， ∴． 58．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式：______________________； 【归纳】 (2)对于任意两个不相等的有理数a，b，若_____________，则，反之也成立； 【应用】 (3)根据（2）的结论：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)0 (3)0 【分析】 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ④． ∴写出一个类似的等式为：（答案不唯一）； （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； （3）解：与的值互为相反数， ， 解得：， 的立方根是0． 59．小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $