专题02 勾股定理模型（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题02 勾股定理模型 考点01 折叠模型 考点02 赵爽弦图模型 考点03 锐角平分线模型 考点04 风吹树折模型 考点05 出水芙蓉模型 考点06 378和578模型 考点07 垂美四边形模型 考点01 折叠模型 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 3．如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 4．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落到斜边上，与点重合，为折痕，则的长为_________． 5．如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． (1)若是的中点，则的长为__________． (2)若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 考点02 赵爽弦图模型 6．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 9．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 10．如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 考点03 锐角平分线模型 11．如图，在直角中，平分交于点于点，已知，，则的周长为______． 12．如图，在中，，平分交于点E，于点D，若，，则_______． 13．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AD平分∠CAB，点P，点Q分别是AD，AC的动点，则PC+PQ的最小值为_________． 14．如图，在中，，平分，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 15．如图，在中，，，，AD平分交CB于点D，求CD的长． 16．如图，在中，，，，若动点P从点C出发，按照的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为． (1)当点P出发时，求的长． (2)当t为何值时，平分？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 考点04 风吹树折模型 17．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 18．如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前高为（     ） A．12米 B．16米 C．18米 D．20米 19．如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 20．如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 考点05 出水芙蓉模型 21．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 22．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 23．图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为．已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（   ） A． B． C． D． 24．一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 25．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 26．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 考点06 378和578模型 27．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 28．在中，，，，则的长为______． 29．已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，求x的值． 考点07 垂美四边形模型 30．如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则_____． 31．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 32．如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 34．定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)如图1，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长； (2)如图2，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为． 35．综合与实践课上，老师给出定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．同学们以此开展了探究活动： 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，判断四边形________“垂美四边形”（填“是”或“否”）； 【问题应用】 （2）如图2，四边形的对角线交于点O，．若，，，，则四边形的面积是________． 【性质探究】 （3）小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂美四边形中，两组对边与这四条边具有一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并给出证明． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理模型 考点01 折叠模型 考点02 赵爽弦图模型 考点03 锐角平分线模型 考点04 风吹树折模型 考点05 出水芙蓉模型 考点06 378和578模型 考点07 垂美四边形模型 考点01 折叠模型 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知． 设，则， ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 【答案】 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 由折叠可知， 设， 则， 在中，， ， 解得：， ， 的面积为． 3．如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 4．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落到斜边上，与点重合，为折痕，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得． ， 在中，． 5．如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． (1)若是的中点，则的长为__________． (2)若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：是的中点， ， 设，则， 根据折叠可得，， 在中，， ∴， 解得， ； （2）解：根据折叠可得，， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1， 此时， 设，则， 在中， ∴ 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大，如图2， 此时， 综上所述，的取值范围为． 考点02 赵爽弦图模型 6．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 根据题意得，，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即每个直角三角形的两直角边之和为5． 7．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为， ∵小正方形面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得大正方形的边长的平方为19，即大正方形的边长为． 8．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 9．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【答案】B 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 10．如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ， 将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 考点03 锐角平分线模型 11．如图，在直角中，平分交于点于点，已知，，则的周长为______． 【答案】4 【详解】解：∵在直角中，，， ∴， 平分， ，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：4． 12．如图，在中，，平分交于点E，于点D，若，，则_______． 【答案】 / 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分交于点E，于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AD平分∠CAB，点P，点Q分别是AD，AC的动点，则PC+PQ的最小值为_________． 【答案】4.8 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点P， ∵AD平分∠BAC， ∴此时PC+PQ=CE取最小值，即CE， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=， ∴CE==4.8， 则PC+PQ的最小值为4.8， 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路径问题、勾股定理的应用，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置． 14．如图，在中，，平分，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴．    ∵， ∴． 又∵， ∴．    在和中， ∵，   ∴（）． (2)8 【分析】 【详解】（1）略 （2）在中， 由勾股定理得，， ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴，     的周长． 15．如图，在中，，，，AD平分交CB于点D，求CD的长． 【答案】 【详解】解：设， 过点D作，垂足为点E， ∵AD平分，且， ∴，且，， ∴≌（AAS）， ∴， 则． ∵，，， ∴在中， ， ∴，则， ∴在中， ， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键． 16．如图，在中，，，，若动点P从点C出发，按照的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为． (1)当点P出发时，求的长． (2)当t为何值时，平分？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1) (2)当秒时，平分 (3)或或或时为等腰三角形 【分析】 【详解】（1）解：如图1所示，当时，， 在中， ； （2）解：如图2所示，过点P作于点D， 根据勾股定理得：， ∵平分， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴， 设，则 在中，， 即， 解得：， ∴当秒时，平分； （3）如图3， 若P在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； 若P在边上时，有3种情况： ①如图4， 若使，此时，P运动的路程为， 所以用的时间为，故时为等腰三角形； ②如图5， 若，过C作斜边的高， 则， 根据勾股定理求得， ∵，， ∴， 所以P运动的路程为， ∴t的时间为，为等腰三角形； ③如图6， 若时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴P的路程为，所以时间为时，为等腰三角形． ∴或或或时为等腰三角形． 【点睛】本题考查了几何变换和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 考点04 风吹树折模型 17．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 【答案】 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺． 根据勾股定理，得． 18．如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前高为（     ） A．12米 B．16米 C．18米 D．20米 【答案】B 【详解】解：由勾股定理可得折断部分的长度为米， ∴树折断之前高为米． 19．如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【答案】树原来的高度19米． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 20．如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 考点05 出水芙蓉模型 21．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 22．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 23．图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为．已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，表示杯子的下底面直径，表示吸管，点C表示上碗口的圆心，点D表示杯子的下底面圆心， 由题意得，， ∵， ∴当A、C、E三点共线时，有最小值，即此时， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴杯子的下底面直径为， 故选：C． 24．一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵圆柱形杯子底面半径， ∴底面直径， 杯子内最短长度：吸管垂直放入杯内时，长度等于杯子的高，即； 杯子内最长长度：吸管斜放至杯底边缘时，长度为， ∴吸管总长度a需满足：最小值：， 最大值：， 吸管长的取值范围是：． 25．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 26．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 考点06 378和578模型 27．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵，AD⊥BC ∴∠BAD=30゜ ∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜ ∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB ∴∠BAC>∠ABD>∠C 故最大角与最小角的和为120゜ 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件． 28．在中，，，，则的长为______． 【答案】5或3 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，过点A作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    如图所示，当是钝角三角形时，过点A作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或3， 故答案为：5或3．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 29．已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，求x的值． 【答案】 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴两三角形的周长相等． ， 解得：． 考点07 垂美四边形模型 30．如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则_____． 【答案】2 【分析】 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理得：，， ∴将两式相加得：， 在中，由勾股定理得：， 将两式相加得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：2． 31．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 32．如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 由勾股定理得， ， 所以，所以． 因为，， 所以， 故选：B． 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 【答案】34 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 34．定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)如图1，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长； (2)如图2，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为． 【答案】(1)； (2)①是，证明如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ②． 【分析】 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， ， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴， 化简得， 解得或（舍）． ∴； （2）①略 ②解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 35．综合与实践课上，老师给出定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．同学们以此开展了探究活动： 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，判断四边形________“垂美四边形”（填“是”或“否”）； 【问题应用】 （2）如图2，四边形的对角线交于点O，．若，，，，则四边形的面积是________． 【性质探究】 （3）小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂美四边形中，两组对边与这四条边具有一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）是； （2）； （3）解：，理由如下， 证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“垂美四边形”， 故答案为：是； （2）解：∵四边形的面积， ， 故答案为：； （3）略 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $