第三章 圆锥曲线的方程（举一反三单元自测·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高二数学第三章圆锥曲线方程单元复习培优卷，19题覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|双曲线定义、抛物线准线、椭圆方程|结合各地期末真题，基础概念辨析| |多选|3/18|曲线分类、双曲线离心率与渐近线|多选项分层考查逻辑严谨性| |填空|3/15|双曲线标准方程、抛物线拱桥应用|联系生活实际，体现数学建模| |解答|5/77|方程求解、直线与圆锥曲线位置关系、面积最值|综合题（如第18题）融合斜率证明与面积计算，培养综合思维|

第三章 圆锥曲线的方程（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C. 2．（5分）（25-26高二上·四川泸州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴正半轴上，从而可求得准线方程. 【解答过程】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 3．（5分）（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆长轴长、短轴长的定义，结合椭圆焦点的位置进行求解即可. 【解答过程】因为椭圆的焦点在x轴上，中心在原点， 所以设该椭圆的标准方程为， 因为该椭圆长轴长为10，短轴长为8， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：D. 4．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】讨论直线与双曲线的右支只有一个交点的临界情况，即直线与双曲线右支相切或直线与双曲线的渐近线平行求对应参数值，数形结合确定参数范围. 【解答过程】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选：. 5．（5分）（25-26高二上·云南曲靖·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可. 【解答过程】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以，则， 由，则， 离心率. 故选：C. 6．（5分）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】画出图分析，由解得点的横坐标代入抛物线解得的坐标，从而得到直线的方程，联立抛物线的方程得到点的坐标，然后由两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】过点的直线与抛物线交于两点， 如图，不妨设在第一象限， 因为，所以，，因为，所以点的横坐标为， 代入抛物线得：，所以，所以直线的斜率为：，过点， 故直线的方程为：， 联立方程组得：，解得或， 故，所以. 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【解答过程】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 8．（5分）（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值. 【解答过程】设椭圆的方程为，直线的方程为， ， 联立整理得： ， 由椭圆的离心率，得， 带入上式并整理得： ， 则， 由与的面积之比为，则， 则， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【解题思路】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 10．（6分）（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【解题思路】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可. 【解答过程】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 11．（6分）（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对于选项A，B，求出焦点，求出过焦点且倾斜角为的直线方程，此直线与抛物线联立方程组，得到关于的一元二次方程，设，根据根与系数的关系求出，将代入，得到，求出，利用数量积公式求出.对于选项C，将代入，得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求出，利用公式求出，对于选项D，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，则代入数值得解. 【解答过程】 对于选项A，B，抛物线的焦点的坐标为， 倾斜角为的直线的斜率为， 过焦点且倾斜角为的直线方程为， 整理为， 代入得到， 即， 设，则，A正确； 在上， ，， ，错误. 对于选项C，将代入，得到 ， 整理为，则， ，， ， ，C错误； 对于选项D，点到直线的距离为， ，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·天津·阶段检测）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的标准方程是__________. 【答案】 【解题思路】讨论焦点位置，设双曲线方程，由渐近线方程得到关系，代入点坐标，求得，即可求得双曲线标准方程. 【解答过程】当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 双曲线渐近线方程为，即， ∴，即，（舍去）， 当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 双曲线渐近线方程为，即， ∴，即，，∴ 即双曲线方程为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【解题思路】建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程，据题意求解即可. 【解答过程】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 14．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【解答过程】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件列出方程求出双曲线的标准方程； （2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论． 【解答过程】（1）设双曲线标准方程为：， ，， ∴双曲线标准方程为． （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 代入点的坐标，有，可得． 即双曲线的方程为，化为标准方程为． 16．（15分）（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，，代入可得答案； （2）根据题意，联立方程，设，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可求解. 【解答过程】（1）因为椭圆的左焦点和上顶点 所以，， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 17．（15分）（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）结合抛物线定义建立关于的方程并求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式和面积建立关于的方程并求解. 【解答过程】（1）对于抛物线，准线方程为，根据抛物线的定义： 点到焦点的距离为，则， 故抛物线的方程为：. （2）求直线的方程 设直线的方程为，设, 联立直线与抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理得：， 的面积：，其中， 因此：， 由弦长公式：， 的面积为，因此：， 整理得直线的方程为：或. 18．（17分）（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据及已知列方程求参数，即可得抛物线方程； （2）设直线方程为，，，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐标运算，即可证； （3）设直线的方程为，的方程为，，，，， 联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得. 【解答过程】（1）∵， ∴，则； （2）证明：设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 则 ， 即； （3）设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 19．（17分）（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据椭圆的离心率及点在椭圆上，利用待定系数法可得椭圆方程； （2）①由已知可得直线方程，联立直线与椭圆，根据弦长公式可得，再根据点到直线距离可得面积；②设，与椭圆联立可得点坐标，同理可设，得点坐标，再根据，，三点共线，可得，即可得最值. 【解答过程】（1）由已知椭圆的离心率为，即，化简可得， 则椭圆方程为， 又椭圆过点，则， 解得， 则椭圆方程为； （2） 设，， ①由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； ②设，即 联立直线与椭圆， 消去可得， 则， 解得， 且，， 又，则， 所以， 同理可设，即可得， 又，，三点共线，则， 即，化简可得，即 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以当且仅当时等号成立， 综上所述的最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 2．（5分）（25-26高二上·四川泸州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·云南曲靖·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 6．（5分）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 10．（6分）（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 11．（6分）（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·天津·阶段检测）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的标准方程是__________. 13．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 14．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 16．（15分）（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 17．（15分）（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 18．（17分）（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 19．（17分）（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $