第三章 圆锥曲线的方程 章末综合模拟测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆锥曲线核心知识，通过基础辨析（如椭圆离心率计算）、综合应用（如直线与双曲线位置关系）及创新情境题（如直角弯管椭圆截口问题），考查直观想象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线焦点、椭圆性质、双曲线渐近线|第7题结合圆柱截口展开，体现数学眼光观察现实| |多选|3/18|含参数曲线类型、椭圆焦点三角形|第11题双纽线定义应用，考查数学思维严谨性| |填空|3/15|椭圆短轴长、双曲线焦距、抛物线最值|第14题结合圆与抛物线，训练数学语言表达| |解答|5/77|双曲线方程、抛物线最值、椭圆综合|第19题动抛物线焦点轨迹探究，关联高考综合题型|

第三章　圆锥曲线的方程 (时间:120分钟　满分:150分) 班级： 姓名： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则实数a的值为(　　) A.8 B.-4 C.-8 D.-16 2.已知椭圆+y2=2,则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为2 B.焦距为2 C.短轴长为2 D.离心率为 3.若双曲线=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则a=(　　) A. B. C. D. 4.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为抛物线C上一点,若|MF|=6,则△MOF的面积为(　　) A.4 B.2 C.4 D.8 5.设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　) A. B. C. D. 6.已知过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作x轴的垂线与两条渐近线交于A,B,△OAB的面积为,则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D. 7.在实际生活中,常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下:如图2,用一个与圆柱底面所成角为45°的平面截圆柱,将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆,若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪开,并展开成平面图形,则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则(　　) A.T=2π,e= B.T=2π,e= C.T=4π,e= D.T=4π,e= 8.设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知方程=1表示曲线C,则下列四个结论中正确的有(　　) A.当1<t<4时,曲线C是椭圆 B.当t>4或t<1时,曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1<t< D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>4 10.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l交椭圆于P,Q两点,则下列说法正确的有(　　) A.△PF2Q的周长为4 B.当∠F1PF2=时,△PF1F2的面积为 C.若直线l经过点F1,则|PQ|的最小值是3 D.若线段PQ的中点为(1,1),则直线l的方程为3x+4y-7=0 11.如图,曲线C是一条“双纽线”,曲线C上的点满足:到点F1(-2,0)与到点F2(2,0)之间的距离之积为4,则下列结论正确的有(　　) A.点D(2,0)在曲线C上 B.点M(x,1)(x>0)在曲线C上,则|MF1|=2 C.点Q在椭圆=1上,若F1Q⊥F2Q,则Q∈C D.过F2作x轴的垂线交曲线C于A,B两点,则|AB|<2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知椭圆C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若AF1⊥AF2,则椭圆C的短轴长为　　　　　　.  13.设F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点,α,β分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角,已知点F到其中一条渐近线的距离为2,且满足α=β,则双曲线C的焦距为　　　　　. 14.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,Q为圆M:x2+(y-5)2=4上的动点,点A(0,4),则=　　　　　;若P为抛物线C上的动点,则|PF|+|PQ|+|QF|的最小值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知双曲线C:=1(a,b>0)经过点M(2,3),双曲线的左焦点为F1,且F1到其渐近线的距离是. (1)求C的方程; (2)过点M的直线l交C左支于一点N,且直线l的斜率是,求|MN|的长. 16.(15分)已知抛物线C:y2=2x,A(2,0). (1)Q是抛物线上一个动点,求|QA|的最小值; (2)过点A作直线与该抛物线交于M,N两点,求的值. 17.(15分)(北师大版教材习题)已知直线l:x-my-1=0与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,以弦AB为直径的圆恰好过原点O,求此时直线l的方程. 18.(17分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值. 19.(17分)已知过A(-1,0),B(1,0)两点的动抛物线的准线始终与圆x2+y2=9相切,该抛物线焦点P的轨迹是某圆锥曲线E的一部分. (1)求曲线E的标准方程. (2)已知点C(-3,0),D(2,0),过点D的动直线与曲线E交于M,N两点,设△CMN的外接圆的圆心为Q,O为坐标原点,直线OQ与直线MN的斜率之积是否为定值?如果是定值,求出该定值;如果不是定值,说明理由. 参考答案 1.D　因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F在直线y=2x-4上,所以=-4,即a=-16. 2.D　已知椭圆+y2=2,整理得=1,得a2=4,b2=2,所以a=2,b=,c=, 故椭圆的长轴长为2a=4,焦距为2c=2,短轴长为2b=2,离心率为e=. 故选D. 3.A　双曲线=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,即2x±ay=0. 因为双曲线=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以=1,解得a=. 4.C　由抛物线的方程可得F(2,0),设点M(x0,y0), 由抛物线的性质可得|MF|=x0+2=6,得x0=4, 则|y0|=4, 所以△MOF的面积S=|OF||y0|=×2×4=4.故选C. 5.A　由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=, ∴e1=. 在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=, ∴e2=. ∵e2=e1, ∴, 解得a=.故选A. 6.A　联立可得y=, ∴△OAB的面积为×c×2, ∴,则, 即, ∴e2=. 又e>1,∴e=.故选A. 7.B　由圆柱的底面直径为2, 得圆柱的底面周长为2π, 则该正弦型函数的最小正周期T=2π. 由已知可得截口椭圆的短轴长2b=2, 截口椭圆的长轴长2a==2, 即a=,b=1, 则c==1, 即截口椭圆的离心率e=.故选B. 8.B　由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点. 在椭圆C:=1中,a==3,b=,c=, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6(椭圆的定义), 即|PF2|=6-|PF1|. 在△PF1F2中,|F1F2|=2c=2,cos∠F1PF2=, 由余弦定理得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2, 解得|PF1|=3+, ∴|PF2|=6-|PF1|=3-. ∵), ∴||=|= = =. ∴|PO|=.故选B. 9.BCD　当曲线C:=1是椭圆时, 则 解得1<t<<t<4,故A错误; 当曲线C:=1是双曲线时, 则(4-t)(t-1)<0, 解得t<1或t>4,故B正确; 若曲线C:=1是焦点在x轴上的椭圆, 则 解得1<t<,故C正确; 若曲线C:=1是焦点在y轴上的双曲线, 则 解得t>4,故D正确.故选BCD. 10.BCD　对于A,假设直线l经过点F1,由题意可知椭圆的长轴长2a=4,左焦点F1(-1,0), 由椭圆的定义可知△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=|PF2|+|QF2|+|PF1|+|QF1|=4a=8,故A错误; 对于B,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆定义可得m+n=4, 在△PF1F2中,由余弦定理可得cos,把n=4-m代入上式并整理可得m2-4m+4=0,解得m=2=n,所以mnsin×2×2×,故B正确; 对于C,通径是过焦点的弦中最短的弦,|PQ|min==3,故C正确; 对于D,设P(x1,y1),Q(x2,y2),易知 可得=0,=-·kPQ, 若PQ的中点为(1,1),则x1+x2=y1+y2=2,可得kPQ=-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0,故D正确. 故选BCD. 11.ACD　对于A,|DF1||DF2|=(2+2)(2-2)=4,由定义知点D在曲线C上,故A正确; 对于B,由点M(x,1)(x>0)在曲线C上,得|MF1||MF2|==4, 化简得x4-6x2+9=0,得x=(负值舍去),|MF1|=≠2,故B错误; 对于C,椭圆=1的焦点坐标恰好为F1(-2,0)与F2(2,0),则|F1Q|+|F2Q|=2,由F1Q⊥F2Q,得=16, 则|F1Q||F2Q|==4,故点Q在曲线C上,故C正确; 对于D,设A(2,y),则|AB|=2|y|,而点A在曲线C上,则|AF1|=, 又=16+y2,则=16+y2,化简得y4+16y2-16=0,得y2=4-8(负值舍去),y2-1=4-9<0,因此|y|<1,|AB|<2,故D正确.故选ACD. 12.4　易知|AF1|=|AF2|=a=4,结合AF1⊥AF2,可知△AF1F2为等腰直角三角形, 所以|F1F2|==4=2c,故c=2. 所以b==2,所以椭圆C的短轴长为2b=4. 13.8　由题意可知双曲线的渐近线方程为y=±x, 则点F(-c,0)到其中一条渐近线的距离为d==b=2. 易知α,β满足α+β=π,又α=β, ∴α=,∴=tan α=,故a=2,∴c=4,∴双曲线C的焦距为2c=8. 14.　5　由题意可知,抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线为y=-1. 设Q(x,y),圆M:x2+(y-5)2=4,即x2+y2=10y-21, 则. 因为|QA|=|QF|,所以|PF|+|PQ|+|QF|=|PF|+|PQ|+|QA|≥|PF|+|AP|,当且仅当A,Q,P三点共线且点Q为线段AP与圆M的交点时,等号成立. 设点P到准线y=-1的距离为d,则|PF|+|AP|=d+|AP|≥5,当且仅当点P为坐标原点O时,等号成立. 综上所述,|PF|+|PQ|+|QF|≥5,当且仅当P为坐标原点O,Q为(0,3)时,等号成立. 所以|PF|+|PQ|+|QF|的最小值为5. 15.解(1)双曲线的左焦点为F1(-c,0),渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,则F1到渐近线的距离为=b=. 将M(2,3)代入双曲线方程,得=1, 所以a2=1,故双曲线方程为x2-=1. (2)由题意可得,直线l的方程为y-3=(x-2), 即y=x+2,联立 整理得11x2-8x-28=0, 解得x=2或x=-. 因为直线交双曲线C左支于一点, 所以N点横坐标为xN=-,所以|MN|=|xM-xN|=. 16.解(1)设Q(2t2,2t),|QA|=, 当t=±,即Q(1,±)时,|QA|取得最小值,最小值为. (2)易知直线MN的斜率不为0,故设直线MN的方程是x=ky+2,与抛物线方程联立,消去x得y2-2ky-4=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=2k,y1y2=-4,故x1x2==4,故=x1x2+y1y2=4-4=0. 17.解由 得(m2+4)y2+2my-3=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=, ① y1y2=. ② 因为以弦AB为直径的圆经过原点O, 则OA⊥OB, 所以=0, 即(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=0. 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上, 即x1=my1+1,x2=my2+1, 所以(my1+1)(my2+1)+y1y2=0, 即m2y1y2+m(y1+y2)+y1y2+1=0. 将①②代入,得+1=0. 解得m=±. 所以直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0. 18.解(1)联立 整理得y2-4py+2p=0, 则Δ=16p2-8p>0, 又p>0,∴p>. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=4p,y1y2=2p. |AB|=|y1-y2|==4, 解得p=-(舍)或p=2. ∴p=2. (2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0). 设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n, 由得y2-4my-4n=0, 则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n. =(x3-1)(x4-1)+y3y4 =(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4 =(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2 =-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0, ∴4m2=n2-6n+1≥0, 又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0, ∴n≠1, ∴n≥3+2,或n≤3-2. ∴S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1) =(my3+n+1)(my4+n+1) =[m2(-4n)+(mn+m)·4m+(n+1)2]=n2-2n+1=(n-1)2, ∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值. ∴△MNF面积的最小值为12-8. 19.解(1)由题意知抛物线的焦点P到两定点A,B的距离之和等于点A,B到抛物线的准线的距离之和,等于AB的中点O到准线的距离的2倍,即等于圆x2+y2=9的半径的2倍, ∴|PA|+|PB|=6>|AB|=2,∴点P在以A,B为焦点的椭圆E上. 设椭圆E的标准方程为=1(a>b>0),则2a=6,2c=2,∴a=3,c=1,∴b2=a2-c2=8,∴曲线E的标准方程为=1. (2)是.设直线MN:x=my+2(m≠0), 由得(8m2+9)y2+32my-40=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,CM的中点坐标为(),kCM=, CM的垂直平分线的斜率为-. ∴CM的垂直平分线的方程为y=-·(x-)+,即y=-x+. 由=1得=-y1,∴CM的垂直平分线的方程为y=-x-y1. 同理CN的垂直平分线的方程为y=-x-y2. 设点Q(x0,y0),则y1,y2是方程y0=-x0-y,即y2+(16mx0+16y0)y+80x0=0的两实数根, ∴两式相除得,∴=-5m. ∴kOQ·kMN=-5m·=-5,即直线OQ与MN的斜率之积为定值-5. 学科网（北京）股份有限公司 $