专题13 期中真题易错百练通关（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13期中真题易错百练通关 题型图谱导航总览 题型1非实心几何体的三视图 题型2特殊平行四边形的性质与判定的区分 基础固本强基 题型3根据一元二次方程定义求参数 题型4一元二次方程根的判别式 题型5一元二次方程根与系数的关系 题型6根据特殊平行四边形的性质求解 提升进阶突破 题型7相似三角形的判定 题型8一元二次方程的应用 题型9特殊平行四边形的判定 题型10相似三角形的性质 拔高·压轴破难 题型11二次函数的图象与性质 题型12二次函数与一元二次方程 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1非实心几何体的三视图（共5小题） 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】依据投影规则画三视图，空心遮挡轮廓用虚线，可见轮廓画实线。 【步骤】分别从三个方向观察几何体，区分可见与遮挡棱，规范画出线条。 【易错】看不见的棱必须画虚线，不可省略，分清几何体镂空结构。 (26-27九年级上陕西期中)如图是一个空心圆柱体，其主视图是() B D 2.(26-27九年级上四川期中)如图所示，该几何体的左视图是（) 3 (25-26九年级上辽宁丹东阶段检测)如图，空心圆柱的左视图是() B ----- 4.(25-26九年级上·陕西汉中·期末)榫卯是通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起， 凸出部分叫“榫”，凹进部分叫“卯”，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是() 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 主视方向 5.(25-26九年级上陕西榆林·期中)某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图. 正面 题型2特殊平行四边形的性质与判定的区分（共5小题） 【模型】性质由图形得边角对角线结论：判定由条件证明是特殊平行四边形。 【步骤】审题分清已知与求证，选用对应定理，规范书写推理过程。 【易错】判定条件不能混用，避免跳过必要条件直接认定图形。 6 (25-26八年级下·湖南郴州期中)下列性质中矩形有而菱形没有的是() A.对角相等 B.对角线互相垂直 C.邻角互补 D.对角线相等 7.(25-26八年级下江苏泰州期中)正方形具有而矩形不一定具有的性质是() A.对角相等 B.对角线相等 C.邻边互相垂直 D.对角线互相垂直 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)下列命题正确的是() A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.平行四边形的对角线相等 D.矩形具有正方形的一切性质 9.(26-27九年级上广东·期中)如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 使平行四边形 ABCD是矩形， 10.(25-26九年级上·宁夏银川期中)有下列四个条件：①AB=BC,②∠ABC=90°，③AC=BD,④ AC⊥BD.从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）.现在文文选择了③④， 你认为文文选择的 (填“对”或“不对”) 题型3根据一元二次方程定义求参数（共5小题） 【模型】依据一元二次方程定义，二次项系数不为0且最高次数为2求参数。 【步骤】列次数等式与系数不等式，联立求解参数，回代检验。 【易错】勿忘二次项系数不等于0，容易遗漏这个限制条件。 1.（25-26八年级上上海黄浦期中)若(a+)x1-x+3=0 关于x的一元二次方程，则“的值是 () A.±1 B.-1 C.1 D.0 12.(25-26九年级上北京期中)若方程（a-)x-x+2=0 关于x的一元二次方程，则a的值为 4/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.-1 C.±1 D.不确定 1B.(2425九年级上湖南都阳期中)关于x的方程m-2列+-2=0是一元二次方程，则m= 14。(2425八年级下山东烟台期中)已知关于x的方程(m-列2+(m-5)x+2=0 (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ m2-9x2+(m-3)x+7=0 15.(25-26九年级上·云南怒江期中)已知关于x的方程 (1)当m=-5时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (2)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ 题型4一元二次方程根的判别式（共5小题) 【模型】利用△=b2-4ac符号，判断一元二次方程实数根的情况。 【步骤】确定a、b、c,计算判别式，根据△正负判断根的个数。 【易错】先保证二次项系数不为0，注意符号，不要代错系数。 16 (25-26八年级下·重庆期中)关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是 () Ak曾 B.k<25 5 4 C.k22 D.k> 4 17.(25-26九年级下河南驻马店期中)关于x的方程x2-6x+k=0有两个实数根. (I)求k的取值范围： (2)若k=8,求方程的根. k+1)x2+(k+3)x+2=0 18.(25-26八年级下·浙江杭州：期中)己知关于x的一元二次方程 (1)判断该一元二次方程根的情况； 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根： (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值 19.(24-25九年级上·吉林松原期中)已知关于x的一元二次方程x2-4x+4=0. (1)若k是最小的正整数，求此方程的解： (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 20.(25-26九年级上广东佛山期中)如果、5是一元二次方程 a2+bx+c=0(a≠0) 的两根，那么 b C x+x=一。，x书=二这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题. a a (I)关于x的一元二次方程2x+3x+k=0有两个实数根，写出k的取值范围为： (2)已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,不解方程求m2+n的值： 11 (3③)已知实数L,n满足2m2+3m-1=0,2n2+3n-1=0且m≠n,直接写出mn的值. 提升进阶突破 题型5一元二次方程根与系数的关系（共5小题） 【模型】韦达定理，在有实根前提下，两根和、积由方程系数直接表示。 【步骤】确定a、b、c,套用韦达公式，结合代数式变形求值。 【易错】使用前先检验△≥0，注意两根之和，别漏负号。 21。(2627九年级上湖南期中)）已知一元=次方程-3x-5=0的两根为西，测则 x+x2-xx2 的值为 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.-2 C.8 D.-8 22.(25-26八年级下·浙江杭州期中)已知a,b是方程x2+x-2026=0的两个实数根(a≠b),则 a2+2a+b 的值是一 2+2a=2(a-1) 23.(25-26八年级下重庆期中)已知关于的一元二次方程 有两个实数根，，且 满足+五=8，则-5x+8 ,则 的值为 24.(26-27九年级上全国·期中)方程x2-2x+m-5=0是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的 X1 x2 实数根分别为， (1)求的取值范围； (②若(：+广+xx+10=0 求m的值. 25.(25-26九年级上：广东汕头·期中)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-2=0 (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围： ②在(1)的条件下，设方程的两个实数根为、元，且+x=10 求m的值. 题型6根据特殊平行四边形的性质求解（共5小题） 【模型】借助菱形、矩形、正方形边角对角线性质，转化条件计算线段与角度。 【步骤】识别图形，提取对应性质，建立等量关系列式求解。 【易错】区分各类图形独有性质，不要混用性质定理造成错解。 26.(25-26九年级下·河南驻马店期中)如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上一点，BE=AD,连 接AE,若∠C=118°，则∠DAE的度数是() 7/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.41.5° B.43.5° C.45.5° D.47.5° 27.(25-26八年级下·山西大同期中)如图，某景区有一个矩形花坛ABCD,两条对角线AC、BD相交 于点O,已知∠0AB=60°，较短边AB=3m,园艺工人计划沿着对角线AC铺设一条穿过矩形花坛中心的 小路，则AC的长是()m. A.3 B.6 C.8 D.9 28.(24-25八年级下·江苏无锡期中)如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG,其中点E在 边AD上.若∠ECD=43°，∠AEF=28°，则∠B的度数为°. D 29.(25-26八年级下江苏南京期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AC=6, BD=8.求菱形ABCD的高AH的长. D 30.(25-26八年级下'广东广州：期中)如图，在矩形ABCD中，CE平分∠BCD,∠ACE=15°. 8/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠BAC的度数： (2)求证：BC=OD 题型7相似三角形的判定（共5小题） 【模型】利用两角、两边夹等、三边成比例，判定两个三角形相似。 【步骤】找对应角或边，匹配判定定理，书写时注意顶点对应顺序 【易错】注意边的对应关系，两边成比例必须夹角相等才可以判定。 31.(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，点E是菱形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长， 交BM的延长线于点只老怨-号D-6,则阳的长为() A.15 B.12 C.10 D.9 32.(26-27九年级上·宁夏期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使 △ADEAACB,则这个条件可以是 (写出一种情况即可) 9/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 33.(25-26九年级上江苏淮安·期末)如图，∠BAD=∠CAE,∠B=∠D (I)△ABC与△ADE相似吗？为什么？ (②)如果AC=2AE,DE=4,那么BC的长为多少？ 34.(24-25九年级上内蒙古包头期中)如图，在△ABC中，AB=AD,DC=BD,DE⊥BC,DE交AC于 点E,BE交AD于点F A 求证： (I)△BDFn△CBA: (2AF=DF. 35.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且 AE·AB=AD·AC,连接DE,BD, E B (I)求证：△ADE∽△ABC, 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长 题型8一元二次方程的应用（共5小题) 【模型】分析实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解并检验根。 【步骤】审题设未知数，列方程求解，结合实际取舍不符合题意的根。 【易错】解出的根要符合现实意义，不要忽略二次项系数不为0。 36.(26-27九年级上：广东·期中)如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在 长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若 设彩纸的宽度为cm,根据题意可列方程() A.(30+x(20+x)=600 B.(30+2x(20+2x)=600 c.(30-2x(20-2x)=1200 D.(30+2x)(20+2x)=1200 37.(25-26八年级下·浙江温州期中)以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日 正式开园迎客.园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为30元.当售价定为每件40元时，每 天可售出300件.经市场调研发现，该产品每件售价每上涨1元，每天销售量就会减少6件.若每天销售该 文创产品的总利润为4050元，设每件文创产品上涨了x元，根据题意，可列方程为 38.(25-26九年级上：广东江门期中)用长28m的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为 96m2,并且在平行于墙的一边开一个长2m的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园 垂直于墙的边长为m,则列方程为一 11/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 39.(25-26九年级上·贵州贵阳期中)如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为 12m,另外三边用26m长的建筑材料围成. (I)设鸡舍与墙垂直的一边AB长为m,则BC= 一m(用含x的式子表示). (2)当x为多少时，鸡舍面积为80m? 40.(25-26九年级上广东汕头期中)潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离， 流感在校内传播.己知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染x个人。 ()用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为_人，第二轮传染后患病人数为_人： (②)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数： (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 拔高压轴破难 题型9特殊平行四边形的判定（共5小题) 【模型】依托边、角、对角线条件，选用判定定理证明是特殊平行四边形。 【步骤】梳理已知条件，匹配判定定理，严谨推理完成证明。 【易错】分清判定前提，不可缺少平行四边形基础直接判定。 41. (25-26八年级下·山东淄博期中)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=CD, 且AB∥CD,若，四边形ABCD是菱形，从①AD=BC,②BD平分∠ADC,③AC=BD.这三个 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选项中选择一个作为条件，使结论成立. D 42.(25-26八年级下陕西商洛期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,BE平分∠ABC,AB=AE。 B E (I)求证：四边形ABCE是菱形： (②)若AB=5,△ABC的周长为18，求菱形ABCE的面积. 43.(25-26八年级下·吉林延边期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CEI‖BD,DEI‖AC. B O D E (I)求证：四边形OCED是矩形： (②连接BE,若4C=4,BD=4W2 、BE ,求的长 44.(25-26八年级下·宁夏固原期中)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点 A作AF‖BC,交BE的延长线于点F,连接CF. 13/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：四边形ADCF是平行四边形： (2)填空： ①当AB=AC时，四边形ADCF是 形 ②在①的条件下，当∠BAC=90°时，四边形ADCF是形，并说明理由。 45.(25-26九年级上·贵州毕节阶段检测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、 F在对角线BD上，且BE=DF,AC=EF,连接AE、CE、CF、AF. D (I)求证：四边形AECF是正方形： ②老4B=,0B=3,求4E的长 题型10相似三角形的性质（共5小题） 【模型】相似三角形对应角相等，对应线段比等于相似比，面积比为相似比平方。 【步骤】找准对应顶点，确定相似比，利用性质求线段长或面积。 【易错】面积比不要直接等于相似比，注意边和顶点的对应关系。 AB 3 31,(26-27九年级上~重庆期中)已知△ABCAABC',且AB=7,则AABC与△4'B'C的周长比是 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.3:10 B.3:7 C.7:3 D.9:49 32.(26-27九年级上·福建期中)如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正 确的是() D B AD AB A. BC=2DE B.AADE∽△ABC C.AE AC D.S.RC=3S.ADE 33.(26-27九年级上四川期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边 AB,BC上，AE=2cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点，则BG的长为 cm D G 34.(25-26九年级上安徽合肥期中)如图，AB∥DC,A0=2,BD=7,OB=2.5. D (1)求0C的长， (2)求△AOB与△DOC的面积比. 35.(26-27九年级上四川期中)如图，在矩形ABCD中，连接BD,过A作AE⊥BD于H.交DC于点 E,AD=4. 15/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H E (I)求证：△ADEn△DCB: (2)若CD=8,求EH的长； ®F为线段AG延长线上.连接Cr,柔F=CF=D,求DE的长。 题型11二次函数的图象与性质（共5小题） 【模型】二次函数图象为抛物线，由a、b、c决定开口、对称轴、顶点与增减性。 【步骤】确定a,b,c,求出对称轴顶点，结合开口方向分析函数变化。 【易错】注意对称轴公式符号，区分自变量取值范围，不要混淆增减区间。 y=-2x2+6x 51.(26-27九年级上·吉林期中)抛物线 的对称轴是() A.直线x=3 B.直线x=-3 3 3 C.直线x=2 D.直线x=2 52.(26-27九年级上·甘肃期中)二次函数 y=ax2+bx+ 的部分图象如图所示，其对称轴为直线=2 6,0) 且图象经过点 ,则下列结论正确的是() 16/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 6主 A.ac>0 B.4a+b=1 c.若+c=+c且*巧，则 +x2=4 D.若（2）()丙点都在被物线=++e上，测<y 53。(26-27九年级上青海期中)如图，已知抛物线'=+r+c(a≠0) 的对称轴为直线x=1,与x轴 (3,0) 的一个交点是 另一个交点的坐标是 3 54.(25-26九年级上全国期中)已知二次函数'=+r+2的图象经过点 1,5 ,对称轴为直线=2 (1)求该二次函数的解析式： (2)当-1≤x≤3时，求函数值y的取值范围. 55.(2526九年级上四川眉山期中)抛物线'=-+x+C过点 +-（-1,6)n(0,3) 和 (1)求bc的值： (2)求出抛物线的顶点坐标； (3)当-3≤x<0时，请直接写出y的取值范围。 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型12二次函数与一元二次方程（共5小题) 【模型】抛物线与x轴交点横坐标为对应方程根，判别式判断交点个数。 【步骤】写出对应方程，计算判别式，结合图象分析交点与根。 【易错】分清函数值为0才对应方程，不要混淆函数与方程含义。 56. （25:26九年级上广东江门期中)抛物线=-4r+ 与”轴交点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 y=ax+bx+ 57.(25-26九年级上湖北武汉期中)如图，抛物线 与直线少smx+n 交于A,B两点，它 们的横坐标分别为-2,4，则方程a2+bx+c=mx+n的解是 58。(2526九年级上山东德州阶段检测)如图，已知二次函数'=(x+2图象与x轴交于点4，与y轴 交于点B,在对称轴上存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐 标 0 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 50.(26-27九年级上甘肃期中)如图，抛物线'=+x+C与‘轴交于B两点，与'轴交于点C, y 连接4C,已知 (-1,0) D(2,-3) 且抛物线经过点 D (1)求抛物线的表达式： (②若E是抛物线上第四象限内的一点，且 S.ABE =2 E ,求点的坐标 y=-x2+2x+3 60.(25-26九年级上广东汕头·期中)抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C,顶点为D. (I)求点A、B、C、D的坐标： (2)求△ABC的面积： (3)若点P是对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标及PA+PC的最小值. 19/19专题13 期中真题易错百练通关 基础·固本强基 题型1 非实心几何体的三视图 题型2 特殊平行四边形的性质与判定的区分 题型3 根据一元二次方程定义求参数 题型4 一元二次方程根的判别式 提升·进阶突破 题型5 一元二次方程根与系数的关系 题型6 根据特殊平行四边形的性质求解 题型7 相似三角形的判定 题型8 一元二次方程的应用 拔高·压轴破难 题型9 特殊平行四边形的判定 题型10 相似三角形的性质 题型11 二次函数的图象与性质 题型12 二次函数与一元二次方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 非实心几何体的三视图（共5小题） 【模型】依据投影规则画三视图，空心遮挡轮廓用虚线，可见轮廓画实线。 【步骤】分别从三个方向观察几何体，区分可见与遮挡棱，规范画出线条。 【易错】看不见的棱必须画虚线，不可省略，分清几何体镂空结构。 1．（26-27九年级上·陕西·期中）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 2．（26-27九年级上·四川·期中）如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画几何体左视图，应从几何体的左面往右面看，得到的平面图形，看不见的棱，画虚线，看得见的棱画实线． 【详解】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为： ． 3．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，空心圆柱的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了几何体的三视图，熟练掌握基本几何体的三视图是解题的关键． 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：圆柱的左视图是矩形，里面有两条用虚线， 故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）榫卯是通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫“榫”，凹进部分叫“卯”，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解：从上面看到的图形如下： 故选：B． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】 该几何体的三视图如图所示． 【分析】本题考查了画几何体的三视图，根据主视图是从几何体的正面看到的图形，左视图是从几何体的左面看到的图形，俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行逐个作图，即可作答． 【详解】略 题型2 特殊平行四边形的性质与判定的区分（共5小题） 【模型】性质由图形得边角对角线结论；判定由条件证明是特殊平行四边形。 【步骤】审题分清已知与求证，选用对应定理，规范书写推理过程。 【易错】判定条件不能混用，避免跳过必要条件直接认定图形。 6．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）下列性质中矩形有而菱形没有的是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形和菱形的对角都相等，邻角都互补，矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直， 故矩形有而菱形没有的是对角线相等. 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线相等 D．矩形具有正方形的一切性质 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关定理逐项判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故A选项错误； B、根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B选项正确； C、平行四边形的性质是对角线互相平分，不一定相等，只有特殊平行四边形才满足对角线相等，故C选项错误； D、矩形不具备正方形的部分性质，例如矩形对角线不互相垂直，邻边不一定相等，因此矩形不具有正方形的一切性质，故D选项错误． 9．（26-27九年级上·广东·期中）如图，在平行四边形中，添加一个条件______使平行四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题已知四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理，添加合适条件，证明该平行四边形为矩形．可以添加对角线相等，或者有一个内角是直角这类条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形． 故添加一个条件使平行四边形是矩形（答案不唯一）． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 【答案】对 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③④，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 题型3 根据一元二次方程定义求参数（共5小题） 【模型】依据一元二次方程定义，二次项系数不为 0 且最高次数为 2 求参数。 【步骤】列次数等式与系数不等式，联立求解参数，回代检验。 【易错】勿忘二次项系数不等于 0，容易遗漏这个限制条件。 11．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 12．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 13．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 15．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． (1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． (2)当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】(1)一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7 (2)当时，此方程是一元一次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 题型4 一元二次方程根的判别式（共5小题） 【模型】利用 Δ=b²−4ac 符号，判断一元二次方程实数根的情况。 【步骤】确定 a、b、c，计算判别式，根据 Δ 正负判断根的个数。 【易错】先保证二次项系数不为 0，注意符号，不要代错系数。 16．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有两个实数根时，满足判别式，代入方程系数解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 解得， ∴的取值范围是． 17．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：已知关于的方程有两个实数根， 其中，，， 可得， 解得； （2）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 即或， 解得，． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】(1)当时，原方程有两个相等的实数根；当且时，原方程有两个不相等的实数根 (2)，方程的另一个根为 (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算可判断方程根的情况； （2）把代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 而 ， ∴当时，原方程有两个相等的实数根，当且时，原方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程有一个根为， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个根为． （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：或． 19．（24-25九年级上·吉林松原·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若k是最小的正整数，求此方程的解； (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查一元二次方程定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，以及解一元一次不等式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据k是最小的正整数，得到值，将其代入一元二次方程中求解，即可解题； （2）根据“该方程有两个不相等的实数根”以及一元二次方程定义建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知， 方程变形为， 解得． （2）解：方程有两个不相等的实数根， ，且， k的取值范围为且． 20．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如果、是一元二次方程的两根，那么这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题． (1)关于x的一元二次方程有两个实数根，写出k的取值范围为 ； (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，不解方程求的值； (3)已知实数m，n满足，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得到，求出k的解集即可； （2）先得到，化简，再代值计算即可． （3）先推导出实数根为m，n可看作一元二次方程的两个实数根，则，求出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得． 故答案为：． （2）∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴． （3）∵实数m，n满足，且， ∴实数为m，n可看作一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴，， ∴， 则． 提升·进阶突破 题型5 一元二次方程根与系数的关系（共5小题） 【模型】韦达定理，在有实根前提下，两根和、积由方程系数直接表示。 【步骤】确定 a、b、c，套用韦达公式，结合代数式变形求值。 【易错】使用前先检验 Δ≥0，注意两根之和，别漏负号。 21．（26-27九年级上·湖南·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 22．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 23．（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 24．（26-27九年级上·全国·期中）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式，求解一元一次不等式即可； （2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）解：根据题意，得，． ， ， ． 25．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． （2）解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 题型6 根据特殊平行四边形的性质求解（共5小题） 【模型】借助菱形、矩形、正方形边角对角线性质，转化条件计算线段与角度。 【步骤】识别图形，提取对应性质，建立等量关系列式求解。 【易错】区分各类图形独有性质，不要混用性质定理造成错解。 26．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，在菱形中，E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，某景区有一个矩形花坛，两条对角线、相交于点，已知，较短边，园艺工人计划沿着对角线铺设一条穿过矩形花坛中心的小路，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 28．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点在边上．若，，则的度数为___． 【答案】75 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键． 由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：． 29．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点O，，．求菱形的高的长． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，再根据菱形的面积的两种表示方法得，即可求的长． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、交于点O，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，掌握矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键； （1）由矩形的性质、平分可知的大小，由直角三角形的性质即可求出的度数； （2）由矩形的性质及可得是等边三角形，等量代换即可证得． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 平分， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ． 题型7 相似三角形的判定（共5小题） 【模型】利用两角、两边夹等、三边成比例，判定两个三角形相似。 【步骤】找对应角或边，匹配判定定理，书写时注意顶点对应顺序 【易错】注意边的对应关系，两边成比例必须夹角相等才可以判定。 31．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 32．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 33．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)如果，，那么的长为多少？ 【答案】(1) 解：与相似， 理由：， ， ， 在和中， ， ； (2)8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题的关键． （1）根据得出，进而得出； （2）由，得到比例式，代入数值即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵，， ， ． 34．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在中，，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：，， ． ． ， ， ； (2) ， ． ，， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解决问题的关键． （1）利用已知得出，即可得出答案； （2）利用，得出，进而求出即可． 【详解】（1）略 （2） 略 35．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 题型8 一元二次方程的应用（共5小题） 【模型】分析实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解并检验根。 【步骤】审题设未知数，列方程求解，结合实际取舍不符合题意的根。 【易错】解出的根要符合现实意义，不要忽略二次项系数不为 0。 36．（26-27九年级上·广东·期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设彩纸的宽度为，根据彩纸的面积恰好与原画面面积相等列方程即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即． 37．（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【详解】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 38．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 39．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． (1)设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． (2)当x为多少时，鸡舍面积为？ 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了列代数式，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设鸡舍与墙垂直的一边长为，根据鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成，可用含x的式子表示出； （2）根据鸡舍面积为，列出一元二次方程求解，再验根即可． 【详解】（1）解：设鸡舍与墙垂直的一边长为， 因为鸡舍的一边靠墙，另外三边用长的建筑材料围成， 所以平行于墙的一边的长为， 故答案为：； （2）解：根据鸡舍面积为， 可得， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，，符合题意， 答：当时，鸡舍面积为． 40．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． (1)用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； (2)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 【答案】(1)； (2)8个人 (3)729人 【分析】（1）根据每轮传染中平均一个人传染x个人，列出代数式即可； （2）根据经过两轮传染后，全校共有81人患了流感，列出方程进行求解即可； （3）根据（2）中结果，进行求解即可. 【详解】（1）解：第一轮传染后患病人数为人， 第二轮传染后患病人数为人． （2）解：依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 故． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （3）解：第三轮传染后患病总人数为（人）， 答：第三轮传染后全校患流感的总人数为729人． 拔高·压轴破难 题型9 特殊平行四边形的判定（共5小题） 【模型】依托边、角、对角线条件，选用判定定理证明是特殊平行四边形。 【步骤】梳理已知条件，匹配判定定理，严谨推理完成证明。 【易错】分清判定前提，不可缺少平行四边形基础直接判定。 41．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 42．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 43．（25-26八年级下·吉林延边·期末）如图，菱形的对角线相交于点O, (1)求证：四边形 是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1) ∴四边形是平行四边形 四边形是菱形 ，即 ∴四边形是矩形 (2)6 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，结合矩形的性质得，再由勾股定理得，即可求解． 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中，， 在矩形中， ，， 在中，． 44．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空： ①当时，四边形是______形． ②在①的条件下，当时，四边形是______形，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； (2)①矩； ②菱；理由： 当时， 又∵是边上的中线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出，进而得出，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案； （2）①当时，由等腰三角形的性质可得，根据矩形的判定定理即可得到结论；②当时，由直角三角形的性质可得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）（2）①当时， 又∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形； ②略 45．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ，，． ， ，即． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． (2) 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，所以，则是直角三角形． ． 又知四边形是正方形，，且、互相平分， ， 在中，由勾股定理，得． 题型10 相似三角形的性质（共5小题） 【模型】相似三角形对应角相等，对应线段比等于相似比，面积比为相似比平方。 【步骤】找准对应顶点，确定相似比，利用性质求线段长或面积。 【易错】面积比不要直接等于相似比，注意边和顶点的对应关系。 31．（26-27九年级上·重庆·期中）已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质确定相似比，再利用两个相似三角形的周长比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比， ∴与的周长比为． 32．（26-27九年级上·福建·期中）如图，在中，点D、E分别是、的中点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理得出是的中位线，再由中位线的性质得出，进而可得出结论： 【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是边、的中点， ∴，，故选项A正确，但不符合题意； ∴，故选项B正确，但不符合题意； ∴，即，故选项C正确，但不符合题意； ∴，故选项D错误，不符合题意． 33．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，进而可得，再证明，利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，用勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， （）， 是的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ， （）， （）． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 【答案】(1)3.6； (2) 【分析】先证出两三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解得结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ． （2）解：， ． 35．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)点为线段延长线上．连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，再由，可得，则，即可证明结论； （2）由四边形是矩形，，，可得，由，可得，再证明，即可求解； （3）过点作于点，证明，可得，，则，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 在中，， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）． 题型11 二次函数的图象与性质（共5小题） 【模型】二次函数图象为抛物线，由 a、b、c 决定开口、对称轴、顶点与增减性。 【步骤】确定 a,b,c，求出对称轴顶点，结合开口方向分析函数变化。 【易错】注意对称轴公式符号，区分自变量取值范围，不要混淆增减区间。 51．（26-27九年级上·吉林·期中）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴的公式计算即可. 【详解】解：∵ 抛物线为，其中 ，， ∴ 对称轴为直线：． 52．（26-27九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，，据此可得选项A错误；根据二次函数的对称轴即可得选项B错误；得出和关于对称轴直线对称，据此可得选项C正确；根据二次函数的增减性可得选项D错误． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则选项B错误； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且， ∴，则选项D错误． 53．（26-27九年级上·青海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点是，另一个交点的坐标是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：设另一个交点为， ∵已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点是， ∴， 解得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． 54．（25-26九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的区间最值，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法以及二次函数的增减性是解题的关键． （1）将点代入得出，根据对称轴得出，即可解答； （2）根据二次函数的增减性，分别求出该函数的最大值以及当和当时y的值，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴， 又∵对称轴为直线，即， ∴， 把代入得：， ， 该二次函数的解析式为 （2）解：，对称轴为直线，， 当时，y取最大值，最大值为 当时，y随x的增大而增大，当时，； 当时，y随x的增大而减小，当时， 当时，函数值y的取值范围为 55．（25-26九年级上·四川眉山·期中）抛物线过点和． (1)求的值； (2)求出抛物线的顶点坐标； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)顶点坐标 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）把点和代入得关于、的方程组，解方程组得到、的值； （2）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标即可； （3）利用函数的基本性质找出在中的最小值和最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：把，分别代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 将一般式化为顶点式得：， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：∵，且抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值7， ∵当时，， 当时，， ∴当时，． 题型12 二次函数与一元二次方程（共5小题） 【模型】抛物线与 x 轴交点横坐标为对应方程根，判别式判断交点个数。 【步骤】写出对应方程，计算判别式，结合图象分析交点与根。 【易错】分清函数值为 0 才对应方程，不要混淆函数与方程含义。 56．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 57．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，则方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，4， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 58．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 59．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上第四象限内的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入抛物线，求出解析式即可； （2）令抛物线，求出抛物线与轴的交点坐标，得到线段的长，利用面积公式可求出点的纵坐标，即可代入解析式求出横坐标． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得 ， ∴解析式为； （2）解：令，得， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ 即， 解得（舍去），， ∴． 60．（25-26九年级上·广东汕头·期中）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)求点A、B、C、D的坐标； (2)求的面积； (3)若点P是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标及的最小值． 【答案】(1)，， (2)6 (3)点P的坐标为；最小值为 【分析】（1）令，，解得的值，得到点A，B，C的坐标，再根据顶点式求出点D，即可得到答案． （2）根据，计算即可得到答案． （3）首先连接交抛物线对称轴于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：令，得， 即， 解得，， 点在点左侧， ，， 令，得， ， ， 顶点； （2）解：∵，，， ∴，， ∴． （3）解：抛物线的对称轴为直线，点与点关于它对称， 连结，如图 则， ． 当点落在线段上时取等号，此时最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 的最小值． $