专题05 圆全章30大题型复习（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题05 圆 题型1 圆的基本概念辨析（常考点） 题型16 垂径定理的实际应用（重点） 题型2 求圆中弦的条数（常考点） 题型17 利用弧、弦、圆心角的关系求解（重点） 题型3 过圆内一点最长的弦（常考点） 题型18 利用弧、弦、圆心角的关系求证（重点） 题型4 判断点与圆的位置关系（常考点） 题型19 圆周角定理的计算（常考点） 题型5利用点和圆的位置关系求半径（常考点） 题型20 与圆周角定理的推论有关的计算（重点） 题型6点与圆上一点的最值问题 （常考点） 题型21 圆周角的证明（重点） 题型7 三角形外接圆的概念辨析（常考点） 题型22圆内角四边形的计算（常考点） 题型8 求三角形外心的坐标（重点） 题型23圆内角四边形的证明（重点） 题型9 求特殊三角形外接圆的半径（重点） 题型24与弧长有关的计算（常考点） 题型10 判断三角形外接圆的圆心位置（重点） 题型25 求某点的弧形运动的路径长度（难点） 题型11 判定圆的条件（重点） 题型26与扇形面积有关的计算（重点） 题型12 反证法重点） 题型27求图形旋转后扫过的面积（难点） 题型13 利用垂径定理求值（重点） 题型28求阴影部分的面积（难点） 题型14 利用垂径定理求平行弦问题（难点） 题型29与圆锥有关的计算（重点） 题型15 垂径定理的推论（重点） 题型30圆的性质的综合题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 圆的基本概念辨析（共3小题） 1．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，C正确； 选项D、经过圆内一定点可以作无数条弦，D正确． 2．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）下列命题中，正确的有（    ） ①直径是弦，但弦不一定是直径；     ②半圆是弧，但弧不一定是半圆； ③半径相等的两个圆是等圆；         ④一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧； ⑤长度相等的两条弧是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据弦和直径的定义可得判断①；根据弧的定义可以判断②；根据等圆的定义可以判断③；根据优弧、劣弧的定义可以判断④；根据等弧定义从而得到答案⑤． 【详解】解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径，故①说法正确，符合题意； 圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆，故②说法正确，符合题意； 半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，故③说法正确，符合题意； 弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，当一条弦是直径时,直径把圆分成两个半圆，既不是优弧也不是劣弧，故④说法不正确，不符合题意； 长度相等的两条弧只有弧所在的半径也相同或相等时才是等弧,故⑤说法错误,不符合题意; 综上所述，正确的选项有①②③,正确的个数共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，判断命题的真假，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 题型2 求圆中弦的条数（共3小题） 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 5．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 6．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 题型3 过圆内一点最长的弦（共3小题） 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦， ∵的半径是3， ∴两点间的最长距离是6． 故选：B ． 8．（23-24九年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知的半径为，点P是圆内一点，且，则过点P的弦长不可能是（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 过点作弦，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，判断即可． 【详解】解：过点作弦，连接， 由勾股定理得，， 则， 过点的最短的弦长为16， 的半径为10， 的直径为20，即过点的最长的弦长为20， 点的弦长， ∴过点P的弦长不可能是14． 故选：A． 题型4 判断点与圆的位置关系（共3小题） 10．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 【答案】A 【分析】当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 11．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，点O为原点，若的半径为8，则点与的位置关系是（　  ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，点的坐标，熟知点与圆的位置关系可由点与圆心距离与圆半径的大小关系决定是解题的关键． 根据点到圆心的距离与圆半径之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为点为原点，且点坐标为， 所以． 又因为的半径为8，且， 所以点在圆内． 故选：A． 12．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【分析】先根据的直径求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：的直径为， 的半径， 点到圆心的距离， ， 点在外． 题型5 利用点和圆的位置关系求半径（共3小题） 13．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆内，由此得到，即可求出的取值范围． 【详解】解：点B到圆心O的距离， ∵点B在内， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14．（2026·云南·一模）若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径求解即可． 【详解】解：∵的半径为8，，且点在外， ∴的取值范围为． 15．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 题型6　点与圆上一点的最值问题（共3小题） 16．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 17．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点是的中点，连接，，，由题意得出，结合得出最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解：设点是的中点，连接，，， 在矩形中，，， ∴，，， 由题意可得：， ∵， ∴最大值时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值， 故答案为：． 18．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________ 【答案】6 【分析】本题主要考查最短距离问题，连接，由勾股定理求出，由折叠得，当三点共线时，值最小，从而可求出的最小值为6， 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 在中，， 根据折叠得，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，值最小， ∴的最小值为， 故答案为：6 题型7 三角形外接圆的概念辨析（共3小题） 19．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 20．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可． 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列命题中，真命题有（   ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理、三角形外心的性质，逐一判断命题真假，统计真命题的个数． 【详解】解：①∵不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴“三点确定一个圆”是假命题． ②∵等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合，∴“长度相等的两条弧是等弧”是假命题． ③∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴“相等的圆心角所对的弧相等”是假命题． ④∵平分弦（弦不是直径）的直径才垂直于弦且平分弦所对的弧，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直，∴该命题是假命题． ⑤∵三角形的外心是三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，∴三角形外心到三个顶点距离相等，该命题是真命题． 综上，真命题只有1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理、三角形外心的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型8 求三角形外心的坐标（共3小题） 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 23．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 24．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆 即外接圆圆心的坐标为． 故选：A． 题型9 求特殊三角形外接圆的半径（共3小题） 25．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 26．在中，，则的外接圆的半径长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 27．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. 题型10 判断三角形外接圆的圆心位置（共3小题） 28．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 29．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 30．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． 题型11 判定圆的条件（共3小题） 31．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 32．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 33．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 题型12 反证法（共3小题） 34．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）下列说法中，不正确的是（   ） A．三角形三个内角的角平分线一定交于同一点 B．“直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题是真命题 C．用反证法证明“”时，应假设“” D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据三角形的角平分线，直角三角形的两个锐角互余，平行四边形的判定，判断一个命题的逆命题真假及反证法等知识逐项判断即可． 【详解】解：∵ 三角形三个内角的角平分线必交于同一点，∴ A正确； ∵ “直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题为“两个锐角的和等于的三角形是直角三角形”，是真命题，∴ B正确； ∵ 反证法证明时，应假设，而非，∴ C错误； ∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴ D正确． 35．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题：在一个四边形中，至少有一个内角大于或等于，应先假设（     ） A．四边形中有一个内角小于 B．四边形中每个内角都小于 C．四边形中有一个内角大于 D．四边形中每个内角都大于 【答案】B 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立，解题关键是正确得到原结论的否定形式. 【详解】解：∵用反证法证明命题时，要先假设结论不成立，原命题结论为“四边形中至少有一个内角大于或等于”， “至少有一个内角大于或等于”的否定是“四边形中每个内角都小于”， ∴应先假设四边形中每个内角都小于. 36．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（     ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．命题“若，则”的逆命题为“若，则” D．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】根据反证法证明的步骤判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据逆命题需将原命题的条件与结论互换判断C；根据角平分线的性质定理判断D． 【详解】解：A、∵反证法证明时需假设结论的否定成立，原结论为，其否定为，∴本选项错误； B、∵有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，仅含一个角的三角形不一定是等边三角形，∴本选项错误； C、∵逆命题需将原命题的条件与结论互换，原命题条件为，结论为，互换后为“若，则”，符合逆命题定义，∴本选项正确； D、∵三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，∴本选项错误． 题型13 利用垂径定理求值（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据线段的和差即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 38．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明，得，证明，得，，求出，，由勾股定理求出和即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半径为的的直径， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 39．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 5 【分析】连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则 ，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得 ， 解得， ∴， ∴． 题型14 利用垂径定理求平行弦问题（共3小题） 40．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 41．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 42．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 题型15 垂径定理的推论（共3小题） 43．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①直径是过圆心的弦，正确； ②当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ③④等弧的定义、优弧与劣弧的大小比较均需以同圆或等圆为前提，仅长度相等的弧不一定是等弧，优弧也不一定大于劣弧，均错误； ⑤圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确. 综上，正确的说法共2个. 44．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理可得：，，，，无法得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的直径，为弦，于点E， ，，， ∴，， B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，不符合题意， ∵无法判断， D选项结论不成立，不符合题意， 故选：B． 45．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）下列说法正确的有（   ） ①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③弦相等，所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弦长为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理及其推论，解直角三角形，圆心角、弧、弦的关系．先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据垂径定理，解直角三角形对④进行判断． 【详解】解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②说法错误； ③同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③说法错误； ④如图，过点O作于C， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故在半径为4的圆中，的圆心角所对的弦长为，所以④说法正确， 说法正确的只有1个， 故选：A． 题型16 垂径定理的实际应用（共3小题） 46．（2026·广东广州·二模）花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 47．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 48．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为 (2)此时水面的宽度为 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． （2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 题型17 利用弧、弦、圆心角的关系求解（共3小题） 49．（期末真题必刷基础60题（60个考点专练）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版））如图，是圆的直径，、是上的两点，连接、相交于点，若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．连接，利用直径所对的圆周角是直角，可得，易得，利用圆周角定理可得结果． 【详解】解：连接， 是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 50．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 51．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）在同一个圆中，若，则与的大小关系 是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】作的中点，连接、，将弧的倍数关系转化为等弧，利用等弧对等弦得到相等线段，再结合三角形三边关系比较大小． 【详解】解：如图，作的中点，连接、． ， ． ． 在中，， ，即． 题型18 利用弧、弦、圆心角的关系求证（共3小题） 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【分析】证明即可. 【详解】略 53．如图，AB、DE是⊙O的直径，C是圆上一点，且，求证：BE=CE 【答案】见解析 【分析】根据同圆中，弧，弦，圆心角的关系进行求解即可． 【详解】解：∵AB、DE是⊙O的直径，∠BOE=∠AOD， ∴， ∵， ∴， ∴BE=CE． 【点睛】本题主要考查了同圆中弧，弦，圆心角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握弧，弦，圆心角的关系． 54．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ， ． ， ，． ． ； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）略 （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 题型19 圆周角定理的计算（共3小题） 55．（2026·西藏·中考真题）如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 56．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 57．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，弦所对的圆心角的度数为，则弦所对的圆周角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，弦所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，但需考虑顶点在优弧或劣弧上两种情况． 【详解】解：∵弦所对的圆心角为， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 当圆周角顶点在优弧上时，圆周角所对的弧为劣弧， ∴圆周角； 当圆周角顶点在劣弧上时，圆周角所对的弧为优弧， ∴圆周角． 因此，弦所对的圆周角的度数为或． 故选A． 题型20 与圆周角定理的推论有关的计算（共3小题） 58．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 59．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 60．如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    【答案】 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再根据直径所对圆周角为直角，进而求出，即有，灵活运用勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，如图，    ∵在中，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 题型21 圆周角的证明（共3小题） 61．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． 62．（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 63．（2026·安徽六安·二模）如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：为的直径， ， 即， ， ， ∴平分弧， ； (2)的半径长为 【分析】（1）由是直径推出，结合已知，推出，垂直于弦 ，所以，最后根据 “等弧对等弦”即可求证； （2）由 ，得， 设半径，则， 在中利用勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 即的半径长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧弦关系，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解决本题的关键． 题型22圆内角四边形的计算（共3小题） 64．（26-27九年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 65．（2024·甘肃白银·二模）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解： 是等边三角形， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 66．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】(1)利用圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角即可得到答案； (2)利用垂径定理、勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ； （2）解：连结， 是直径，， ， 直径， ， 在直角中，由勾股定理可得： ， ， ． 题型23圆内角四边形的证明（共3小题） 67．如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．    【答案】证明见解析 【分析】先利用垂径定理证得，进而证得是等边三角形，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到即可证得结论． 【详解】证明：连接，如图，    ∵直径垂直于弦于点， ∴， ∴， ∵过圆心的， ∴ ∴， ∴． 则是等边三角形，又， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点为的中点． 【点睛】本题考查垂径定理、等弧所对的弦相等、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理和等边三角形的判定与性质是解答的关键． 68．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理构造方程求解即可； （2）如图：连接AC，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：∵是的直径，弦于点E，， ∴， 如图：连接，设圆的半径为r，则， ∴，即，解得：， ∴的半径为5． （2）证明：如图：连接， ，是的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 69．如图，以的边为直径作交于且，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证； （2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∴，， 由（1），， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， 则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 题型24与弧长有关的计算（共3小题） 70．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 71．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ∴， ， 弧的长度为：． 72．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD内接于，的半径为3，，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴的长=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 题型25 求某点的弧形运动的路径长度（共3小题） 73．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式．证明是等边三角形是本题的关键．利用含30度的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，得到，即旋转角为，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，即旋转角为， ∴， ∴点走过的路径长为． 故选：A． 74．（2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 75．（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 题型26与扇形面积有关的计算（共3小题） 76．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 77．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 78．（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【答案】 【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积． 【详解】解：，， ∴山水画所在纸面的面积为． 题型27求图形旋转后扫过的面积（共3小题） 79．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 80．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，扇形面积公式，含的直角三角形的相关计算，求旋转图形扫过的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再由旋转性质得，求出旋转角，根据扇形面积计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 由旋转性质可知，，即，， ∴， ∴边扫过的阴影面积为， 故选B． 81．如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 【答案】 【分析】先画出线段经旋转运动所形成的平面图形，然后根据直角三角形的性质求出，，结合，可得，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在上的点H处， 则， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】用割和补求不规则图形的面积是常用的解题方法． 题型28求阴影部分的面积（（共3小题） 82．（2026·河南平顶山·三模）如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直径所对圆周角为直角得，结合角平分线算出圆周角为，再利用圆周角定理得到圆心角、均为，求出圆半径，分别计算直角三角形与扇形的面积，二者相加即为阴影面积． 【详解】解析  ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理可知， ， ∵， ∴， ， ∴． 83．如图，已知半圆的直径cm，点、是这个半圆的三等分点，则弦、和围成的阴影部分面积为______cm2． 【答案】 【分析】连接，证明，得到计算即可． 【详解】如图，连接， ∵C、D是半圆的三等分点，半圆的直径， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴. 84．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 题型29与圆锥有关的计算（共3小题） 85．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的全面积=侧面积+底面面积”计算即可． 【详解】解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为， 圆锥底面圆的半径为． ∴圆锥的底面积为． ∴圆锥的全面积是． 故选：C． 86．（2026·河南南阳·一模）小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开，若不考虑接缝，它是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形半径，据此列方程即可求出底面半径 【详解】解：根据弧长公式，计算展开扇形的弧长， ， ， 设圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为， 圆锥底面周长等于展开扇形的弧长， ， 解得， 即底面半径为． 87．（2025·广东惠州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等； (2) (3) 解：够长，如图所示，过点作于点， ，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ， ，是中点， ， 在中，，，    在中，       的彩带够长． 【分析】本题考查了圆锥和圆锥侧面展开图的关系，圆锥侧面展开图圆心角的度数，解直角三角形以及勾股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出和之间的关系，进而即可求解； （2）根据，即可求解； （3）过点作于点，构造和，解两个直角三角形，求出和11比较大小即可． 【详解】（1）解：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长相等， 解得， 故答案为：相等，9； （2）解：底面周长，扇形的弧长， ， ； （3）略 题型30圆的性质的综合题（共3小题） 88．如图，四边形内接于，是的直径，，延长到点E，使得． (1)若平分，求证：； (2)试探究线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】 （1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质推出，根据角平分线定义得到，根据三角形外角性质推出，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）根据等腰三角形的性质推出，进而得到，根据角的和差求出，证明，得到，根据勾股定理得到，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 89．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E，则，根据勾股定理，得计算即可． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，，得，因为为直径，所以，利用计算． （3）连接，，过点C作于点G，确定，，从而得到所以，计算，，． 【详解】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E， 则， 因为， 所以， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆的半径r为1． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，， 根据题意，得，， 所以， 所以； 因为为直径， 所以， 所以． （3）如图，连接，，过点C作于点G， 根据（2）得到， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以，， 所以，， 所以． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键． 90．已知为的外接圆，． (1)如图1，延长至点B，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； (2)如图2，若，E为上的一点，且点D，E位于AC两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据已知条件结合等边等角，三角形内角和定理可得，即可证明△ABC为直角三角形；；②连接，利用垂径定理得到且，设，则，利用勾股定理列出方程求得的值，再利用三角形的中位线定理得到； （2）延长交于点F，连接，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，得到，由于与关于对称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用勾股定理可得：；利用得到，等量代换可得结论． 【详解】（1）①证明：∵， ∴． ∴ 即 ∴为直角三角形； ②解：连接，如图， ∵， ∴， ∴且， ∵的半径为4， ∴． 设，则， ∵，， ∴． 解得：． ∴． 由①知：， ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：，证明如下： 延长交于点F，连接，如图， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 即． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键． $专题05 圆 题型1 圆的基本概念辨析（常考点） 题型16 垂径定理的实际应用（重点） 题型2 求圆中弦的条数（常考点） 题型17 利用弧、弦、圆心角的关系求解（重点） 题型3 过圆内一点最长的弦（常考点） 题型18 利用弧、弦、圆心角的关系求证（重点） 题型4 判断点与圆的位置关系（常考点） 题型19 圆周角定理的计算（常考点） 题型5利用点和圆的位置关系求半径（常考点） 题型20 与圆周角定理的推论有关的计算（重点） 题型6点与圆上一点的最值问题 （常考点） 题型21 圆周角的证明（重点） 题型7 三角形外接圆的概念辨析（常考点） 题型22圆内角四边形的计算（常考点） 题型8 求三角形外心的坐标（重点） 题型23圆内角四边形的证明（重点） 题型9 求特殊三角形外接圆的半径（重点） 题型24与弧长有关的计算（常考点） 题型10 判断三角形外接圆的圆心位置（重点） 题型25 求某点的弧形运动的路径长度（难点） 题型11 判定圆的条件（重点） 题型26与扇形面积有关的计算（重点） 题型12 反证法重点） 题型27求图形旋转后扫过的面积（难点） 题型13 利用垂径定理求值（重点） 题型28求阴影部分的面积（难点） 题型14 利用垂径定理求平行弦问题（难点） 题型29与圆锥有关的计算（重点） 题型15 垂径定理的推论（重点） 题型30圆的性质的综合题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 圆的基本概念辨析（共3小题） 1．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 2．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）下列命题中，正确的有（    ） ①直径是弦，但弦不一定是直径；     ②半圆是弧，但弧不一定是半圆； ③半径相等的两个圆是等圆；         ④一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧； ⑤长度相等的两条弧是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 求圆中弦的条数（共3小题） 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 5．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 题型3 过圆内一点最长的弦（共3小题） 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 8．（23-24九年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知的半径为，点P是圆内一点，且，则过点P的弦长不可能是（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 题型4 判断点与圆的位置关系（共3小题） 10．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 11．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，点O为原点，若的半径为8，则点与的位置关系是（　  ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 12．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 题型5 利用点和圆的位置关系求半径（共3小题） 13．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是______． 14．（2026·云南·一模）若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 15．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 题型6　点与圆上一点的最值问题（共3小题） 16．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 17．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为_________． 18．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________ 题型7 三角形外接圆的概念辨析（共3小题） 19．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 20．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列命题中，真命题有（   ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 题型8 求三角形外心的坐标（共3小题） 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 23．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 题型9 求特殊三角形外接圆的半径（共3小题） 25．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 26．在中，，则的外接圆的半径长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 27．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 题型10 判断三角形外接圆的圆心位置（共3小题） 28．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 30．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型11 判定圆的条件（共3小题） 31．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 32．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 33．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 题型12 反证法（共3小题） 34．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）下列说法中，不正确的是（   ） A．三角形三个内角的角平分线一定交于同一点 B．“直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题是真命题 C．用反证法证明“”时，应假设“” D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 35．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题：在一个四边形中，至少有一个内角大于或等于，应先假设（     ） A．四边形中有一个内角小于 B．四边形中每个内角都小于 C．四边形中有一个内角大于 D．四边形中每个内角都大于 36．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（     ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．命题“若，则”的逆命题为“若，则” D．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 题型13 利用垂径定理求值（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 38．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 39．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 题型14 利用垂径定理求平行弦问题（共3小题） 40．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 41．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 42．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 题型15 垂径定理的推论（共3小题） 43．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）下列说法正确的有（   ） ①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③弦相等，所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弦长为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型16 垂径定理的实际应用（共3小题） 46．（2026·广东广州·二模）花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 47．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 48．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 题型17 利用弧、弦、圆心角的关系求解（共3小题） 49．（期末真题必刷基础60题（60个考点专练）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版））如图，是圆的直径，、是上的两点，连接、相交于点，若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 50．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 51．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）在同一个圆中，若，则与的大小关系 是（     ） A． B． C． D．不能确定 题型18 利用弧、弦、圆心角的关系求证（共3小题） 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，是的外接圆，，．求证：． 53．如图，AB、DE是⊙O的直径，C是圆上一点，且，求证：BE=CE 54．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 题型19 圆周角定理的计算（共3小题） 55．（2026·西藏·中考真题）如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 56．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 57．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，弦所对的圆心角的度数为，则弦所对的圆周角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 题型20 与圆周角定理的推论有关的计算（共3小题） 58．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 59．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 60．如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    题型21 圆周角的证明（共3小题） 61．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 62．（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 63．（2026·安徽六安·二模）如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型22圆内角四边形的计算（共3小题） 64．（26-27九年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 65．（2024·甘肃白银·二模）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 66．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 题型23圆内角四边形的证明（共3小题） 67．如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．    68．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 69．如图，以的边为直径作交于且，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型24与弧长有关的计算（共3小题） 70．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 71．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 72．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD内接于，的半径为3，，则的长为_____． 题型25 求某点的弧形运动的路径长度（共3小题） 73．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 74．（2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 75．（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 题型26与扇形面积有关的计算（共3小题） 76．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 77．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 78．（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 题型27求图形旋转后扫过的面积（共3小题） 79．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 80．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 81．如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 题型28求阴影部分的面积（（共3小题） 82．（2026·河南平顶山·三模）如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 83．如图，已知半圆的直径cm，点、是这个半圆的三等分点，则弦、和围成的阴影部分面积为______cm2． 84．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 题型29与圆锥有关的计算（共3小题） 85．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（    ） A． B． C． D． 86．（2026·河南南阳·一模）小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开，若不考虑接缝，它是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为（   ） A． B． C． D． 87．（2025·广东惠州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 题型30圆的性质的综合题（共3小题） 88．如图，四边形内接于，是的直径，，延长到点E，使得． (1)若平分，求证：； (2)试探究线段与之间的数量关系． 89．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 90．已知为的外接圆，． (1)如图1，延长至点B，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； (2)如图2，若，E为上的一点，且点D，E位于AC两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明． $