九年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（新教材北师大版）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~5章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．用配方法解一元二次方程时，可化为的形式，则的值是（     ） A．7 B．13 C．10 D．3 4．如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判定的是（ ） A．， B． C．，且 D．，且 6．关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 7．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 8．若、是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 12．若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为_________．（用“”符号连接） 13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的有_____． 16．如图，在直角梯形中，，，，，，P为边上一动点，连接．若与是相似三角形，则________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：． （2）如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，求的长． 18．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 19．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 20．如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在边、上，在边上． (1)求点到的距离； (2)求的长． 21．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 22．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 23．2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： (1)求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； (2)若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．如图，矩形的对角线与相交于点O；，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：； (3)当时，求四边形的面积． 25．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数），且自变量最高次数为2、是整式函数，以此作为判断依据．对每个选项的表达式先整理化简，如果是整式且自变量最高次数为2，同时二次项系数不为0，那么符合二次函数定义．逐一验证各选项是否满足上述条件，排除不符合的选项． 【详解】初中阶段二次函数的定义是：形如（是常数，且）的函数，核心要求是自变量的最高次数为2，且含自变量的代数式必须是整式． 选项A：是自变量最高次数为1的一次函数， 不符合二次函数要求． 选项B：没有限定，当时函数就变为一次函数或常数函数， 不一定是二次函数． 选项C：将式子展开得，符合二次函数的定义， 一定是二次函数． 选项D：中含有分式，不是整式函数， 不属于二次函数． 2．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据比例的性质，即可判断答案． 【详解】解：根据，所以只要满足，就可得到a、b、c、d四条线段成比例， A、因为，所以该组线段不成比例； B、因为，所以该组线段不成比例； C、因为，所以该组线段不成比例； D、因为，所以该组线段成比例． 3．用配方法解一元二次方程时，可化为的形式，则的值是（     ） A．7 B．13 C．10 D．3 【答案】B 【分析】将、均化为一般式，根据一次项系数、常数项相等列等式，即可作答． 【详解】解：化为一般式是：， 化为一般式是：， 根据题意：，， 解得：，， ∴． 4．如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：该几何体的俯视图是． 5．下列条件中，不能判定的是（ ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项：，，符合两角分别相等的判定规则，可以判定 ； 选项：，符合三边成比例的判定规则，可以判定； 选项：，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，可以判定； 选项：，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，不能判定． 6．关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【答案】C 【分析】把函数解析式化为顶点式，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴该函数的对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为，在轴下方，故A、B选项错误； ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最小值是，故C选项正确；故D选项错误； 7．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 8．若、是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 9．如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设E为的中点，当O，E及C共线时，最大，此时，证明为等边三角形，求出，求出，解直角三角形求出和即可． 【详解】解：设E为的中点（如图①），过C作轴于F，则（如图②）， ∵在中，E为的中点，， ∴， ∵在矩形中，，， ∴在中，由勾股定理得：， 由三角形三边关系得：，当O，E及C共线时，的值取到最大， 此时， 延长到点，使，连接，如图，则， ∵，， ∴垂直平分，得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 所以点C的坐标是． 10．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 【详解】解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 12．若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为_________．（用“”符号连接） 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：对于二次函数， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴点离抛物线的对称轴越近，对应的值越大， 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离：到对称轴的距离：，到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵ ， ∴ ． 13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 【答案】 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 【答案】且 【分析】首先根据一元二次方程要求，二次项系数不为0，得到，再由方程有实数根，得判别式，求出的取值范围，最后综合两个条件得到结果． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵有实数根， ∴， 解得， ∵， ∴且． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的有_____． 【答案】②⑤ 【分析】根据图象判断系数的符号，根据图象与轴的交点个数判断判别式的符号，图象法求出不等式的解集，对称性求出对称轴，结合特殊点判断式子的符号. 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线，，； ∴，②正确； ∴，dt ∴，，故④错误； ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①错误； 由图象可知，当时，抛物线在轴的下方，即，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上：正确的有②⑤． 16．如图，在直角梯形中，，，，，，P为边上一动点，连接．若与是相似三角形，则________． 【答案】或或 【分析】分两种情况：或，结合相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴分两种情况：或， 设，则， 当时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时； 当时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时或； 综上所述，或或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：． （2）如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查解一元二次方程，平行线分线段成比例，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：（1）， 移项，得：， 因式分解，得：， 得：或， 解得：，； （2）∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． 18．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)路灯的高度为 【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两线交于点，连接并延长交于点即可； （2）利用相似三角形的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图，由题意，，， ∴，， ∴， ∴； 故路灯的高度为. 19．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， 即， ， 把代入得 ∴二次函数表达式； （2）解：由题意知点平移后的坐标为． 把代入，得， 解得， ， ， 即m的值为4． 20．如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在边、上，在边上． (1)求点到的距离； (2)求的长． 【答案】(1)点到的距离为； (2) 【分析】（1）过点作于点，交于点，在中，由勾股定理算出的长，再利用等面积公式算出的长，即为点到的距离； （2）由四边形是正方形，且在边上，即可得，进而证得，利用相似三角形对应高之比为相似比，设，列出方程，解出，即为的长． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． （2）解：∵四边形是正方形，且在边上， ∴，，， ∵， ∴． ∵，， ∴且． ∵， ∴， 又∵， ∴  ． ∴， 设，则， 即， ∴． 21．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 【答案】(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）位似图形对应顶点连线交于位似中心，直线与交点即为位似中心； （2）按照位似放大倍数延长得到对应点； （3）先求对应边长得到位似比为，根据位似图形面积比等于位似比的平方，得到面积比值为． 【详解】（1）解：如图， 与交于点， 位似中心是点； （2）略 （3）解：，，，， ，， ， ． 22．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 23．2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： (1)求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； (2)若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元 (3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由题意得，每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为w元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设月销售量与销售单价的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴月销售量与销售单价的函数表达式为； （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套，则 ， 解得：， ∵要尽可能让利于顾客， ∴选择较低定价， 答：每套吉祥物套装应定价60元； （3）解：设每月销售利润为w元，根据题意得： ， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为6250， 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 24．如图，矩形的对角线与相交于点O；，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：； (3)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， 理由如下： ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． (2)证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形． （2）证明，可得，，结合即可得到结论． （3）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，进一步可得面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，为等边三角形， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线，且， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：. 25．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)与互为“伴随对称抛物线”，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将代入，得， ∴抛物线经过点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线经过点， ∴与互为“伴随对称抛物线”； (2)①，证明如下： ∵：，：，顶点分别为，， ∴，， 又∵与互为“伴随对称抛物线”， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （）①先求出，，根据“伴随对称抛物线”的定义得，，两式相加即可解答； ②由题意可得，则：，设与相交于点，根据正方形的性质得，过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，可证，得到，，设，则，，得到，，进而根据，点在上，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵：，， ∴，， ∴：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， ∴为的对称中心，，， ∴， 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，则，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点在上， ∴， 整理得， ∴． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~5章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．用配方法解一元二次方程时，可化为的形式，则的值是（     ） A．7 B．13 C．10 D．3 4．如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判定的是（ ） A．， B． C．，且 D．，且 6．关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 7．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 8．若、是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 12．若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为_________．（用“”符号连接） 13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的有_____． 16．如图，在直角梯形中，，，，，，P为边上一动点，连接．若与是相似三角形，则________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：． （2）如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，求的长． 18．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 19．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 20．如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在边、上，在边上． (1)求点到的距离； (2)求的长． 21．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 22．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 23．2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： (1)求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； (2)若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．如图，矩形的对角线与相交于点O；，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：； (3)当时，求四边形的面积． 25．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D 0 D D C D C ⊙ C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 8V5 12,<乃<片 13.30(5- 4.a≥-2且m3 15.②⑤ 12 16.5或3+V3或3-V5 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 【详解】解：（1)x(x+)=2(x+1) x(x+1)-2(x+1)=0 移项，得： 因式分解，得：(x+x-2)=0 得：x+1=0或x-2=0. 解得：-】为=2 ;3分 (2).DE∥BC. 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE AD EC DB' .AD-3 又：B=2,AE=6 63 .EC2’ 解得：EC=4.6分 18.(1)解：由题意，作图如下： 3分 BGD H (2)解：如(1)图，由题意，OM‖AB,AB=3,BG=2,BM-3, .△ABGP△OMG,MG=BG+BM=5, OM GM 5 六AB=BG2' 、.O4=≥B● 5=1.5 故路灯的高度为7.5m6分 19 【详解】(1)解：，对称轴为直线x= 2 即-2x12' .b=1, 把4-2,3》代入y=r+x+c得-2+(-2)+c=3 得 .c=1 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次函数表达式=r+x+1 ;3分 (2)解：由题意知点B,6)平移后的坐标为1-m,T) 把0-m7刀代入y=+,得0-m+0-网1=7 ,得 m1=4,m2=-1 解得 .m>0. .m=4, 即m的值为4..6分 20. 【详解】(1)解：过点C作CH⊥AB于点H,交DG于点P, D G P EH F .∠ACB=90°，AB=10,AC=6, BC=V102-6=8 Sm号BGH-4csc. …2x10cH=)x6x8 1 2 :CH=24 5 24 点C到B的距离为5.3分 (2)解：·，四边形DEFG是正方形，且EF在边AB上， :.DG∥AB,∠DEF=∠GFE=90°，DE=DG, .CH⊥AB, .CP⊥DG 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,PH⊥AB,DE⊥AB, .PHDE且PH=DE=DG」 :DG∥AB ∠CDG=∠A, 又，∠ACB=∠DCG .△DGC∽△ABC. CP DG CH AB' 设PH=DE=DG=m'则CP4 5-m 24 -m 5 m 即24=10， .DE=m= 120 37.6分 21. 【详解】(1)解：如图， B A B 与 交于点，2分 A C .AA BB 位似中心是点；3分 (2)如图， 4/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5分 C C(3,0) （3)解：A(-,0),B(0,1.4(-L2)B(L4) ∴AB=[0-(-]+1-02=2,4B=1-（]+(4-2}=22, :4g=2 AB S46=2=4 SABC ..8分 22 【详解】(1)解：在矩形ABCD中，∠B=90°， ..AB=6cm,BC=8cm, AC=4B2+BC=10cm 根据题意得：AP=2tcm,CQ=tcm, .CP=(10-2t)cm C≌-CP 当ACOPACAB时，CACB, t_10-2t .108 25 解得：1=7： CO CP 当ACOPACBA时，CBCA' 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t_10-2t .810” 解得：10 13: 2540 综上所述，当运动时间为7或13秒时，△C0P与aC4B相似；4分 (2)解：△C0P的面积能等于3.6cm2. 根据题意得：AP=2icm,CQ=tcm, .CP=(10-2t)cm 如图，过点P作PH⊥BC于点H,则∠PHC=∠B=90°， D .∠PCH=∠ACB .△PCH∽aACB, PC PH 10-2t_PH ·AC=AB，即10=6， 解得：PH=30-6 :△CQP的面积等于3.6cm2, m0=9;=6 4=2,2=3 解得： 即此时t的值为2或3.8分 23. 【详解】()解：设月销售量'与销售单价×的函数表达式为'=+b(k≠0) 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 50,400),(60,300) 把点 代入得： [50k+b=400 60k+b=300, k=-10 解得：b=900, 月销售量y与销售单价x的函数表达式为y=-10x+900;2分 （2)解：由题意得，每套利润为-40)元 元，月销售量为 10x+90)套，则 (x-40)-10x+900)=6000 x1=60,x2=70 解得： ,要尽可能让利于顾客， ∴选择较低定价， 答：每套吉祥物套装应定价60元；5分 (3)解：设每月销售利润为w元，根据题意得： w=(x-40)y =(x-40)(-10x+900) =-10x2+1300x-36000 =-10(x-65)2+6250 x-40≥0 根据题意得： -10x+900≥0， 解得：40≤x≤90， .-10<0 ∴，当x=65时，w取得最大值，最大值为6250， 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元.8分 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. (1)证明：四边形OCDE是菱形， 理由如下： ,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, .0C-OD-CRD 2 :直线CE是线段OD的垂直平分线， ∴CO=CD,EO=ED :.CO=CD=OD,即△COD是等边三角形， 六∠0cD=∠CD0=∠D0C=60,∠0CF=∠DCF-)∠0CD=30°， 21 .CD∥OE. .∠EOD=∠CD0=60°， ∴aEOD是等边三角形， .CO=CD=EO=ED ∴.四边形OCDE是菱形.4分 (2)证明：：CE是线段OD的垂直平分线， .DO⊥CE,CO=CD. .∠DFC=∠CDA=90°. 又.∠DCF=∠DCG, ∴.aDCF∽aGCD. CF CD :CD CG' .'.CD2=CF.CG, .C02=CG·FC.8分 (3)解：：CD=4,△OCD为等边三角形， ..OC=OD=CD=4, :直线CE是线段OD的垂直平分线，且∠DCF=30°， :DF-CD-2.CF-5DF=25 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)得四边形OCDE是菱形， BF=CF=2 CE-4 四达形006的面积为：4x45-83一2分 25 0⑩y=r-4+4与'=-+2 互为“伴随对称抛物线”，理由如下： y=x2-4x+4=(x-2} 六抛物线y=r-4x+4 的顶点坐标为2,0) 将=2代入y=-+2 ,得y=-22+2x2=0 抛物线’=女+2经过点 (2,0) y=-x+2x=-(x-1+1 抛物线y=-+2x的顶点坐标为，) 把x=l代入y=r-4x+ 4,得"=-4x1+4=1 抛物线=-4红+4经过点) :y=-4x+4与y=-+2 互为“伴随对称抛物线”；3分 (2)04+4=0 ,证明如下： G:y=4c-A广+长，G.y=ax-h+6,顶点分别为4,4， :4(,k).4(,6) 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：C与9互为“件随对称揽物线”， .k=a(h-h)+kk=a()th 两式相加，得（a+a么-)'=0。 :名*么 h-h2≠0 9+g=0 ;7分 .C y=x2 a+a=0 ②，： 4=142=-4=-1 :C9:y=-(x-h'+k :4(0,0）.4(,k)飞=居 如图，设44与B相交于点P, B B2 A AB4B2 ,四边形 为正方形， :P为C的对称中心， AA2⊥BB2BP=AP 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点P作直线山》轴，垂足为M,过点8作月 ,B,B,N⊥ ,垂足为N,则人 ,∠B,NP=∠AMP ∠BPN=∠MA,P=90°-∠MPA BP=4P :△PB,N≌aAPM(AAS) PN=AM BN=PM 设B(6则务=久， _k2-h2 光= 2 .4=公 56,公，y-么+险 2 2 :点8在9上， 5-2h-h=2 整理得 :(6-2-04+1)=(h-2)(6-)=公-2-历+2=2+2=4 12分 11/11