精品解析：河南郑州市第七十三中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学 卷

73中2026—2027学年八上第一次月考卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 文化路中段 B. 黄河中下游 C. 南偏东 D. 北纬，东经 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：选项A：文化路中段仅表示路段范围，无具体点； 选项B黄河中下游为广阔区域，不精确； 选项C南偏东缺少参考点和距离，无法确定唯一位置； 选项D北纬，东经为经纬度坐标，能唯一对应地球上一个点； 故选：D． 2. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即可得到答案. 【详解】解：A、是有理数，故本项错误； B、是无理数，故本项正确； C、是有理数，故本项错误； D、是有理数，故本项错误； 故选择：B. 【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义. 3. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设被墨迹覆盖住的无理数为，由图可知被墨迹遮住的无理数在3和4之间，估算出无理数，，，的范围，进而解决此题． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为． 由图可知：． ∵，，，， ∴，，，， ∴被墨迹覆盖住的无理数可能是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握数轴上的点表示的数的意义是解决本题的关键． 5. 下列说法错误的是（    ） A. 0的平方根是0 B. 1的立方根是1 C. 2是4的算术平方根 D. 的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据平方根的定义，算术平方根的定义进行逐一求解、判断即可． 【详解】解：A.说法正确，故不符合题意； B.说法正确，故不符合题意； C.说法正确，故不符合题意； D.的平方根是，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A. 18 B. 19 C. 26 D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】连接对角线。因为和，所以和都是直角三角形，且它们共用斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到与四边形各边平方的关系，进而求出。 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有： ∴ 在中，，根据勾股定理有： ∴ ∴ ∴ 7. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，立方根，绝对值的性质等知识，解题的关键是正确判定符号和熟练运用各种性质进行计算． 根据实数，在数轴上对应的点的位置，得出，且，， ，再根据算术平方根，立方根，绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可得：，且， ， ， 故选：A． 8. 如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【详解】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 9. 如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 10. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（ ） A. 正方形的面积为 B. C. 是的中点 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在数学研究中，除了我们认识的无理数外，还有一个自然常数也是无理数，，试比较大小：______e．（请选择“”或者“”进行填空） 【答案】 【解析】 【分析】根据，，可得 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 12. 小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 13. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为_______尺． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：如图所示， 设木柱长为尺， ∵ 则 解得． 故答案为：6． 14. 在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为______  ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 先在中，求得，得到，，然后再分当时和时的情况，然后根据折叠和勾股定理的知识即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 以为折痕将折叠得到， ，， 如图，当时，过点作的延长线于点． ， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，不合题意，舍去， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 如图，，，当时，点与点重合． ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算下列各题 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． （1）直接写出图1中线段的长度； （2）在图1中画线段EF，使得的长为，请你判断以三条线段为边长能否构成直角三角形，并说明理由； （3）已知的三边长分别为5，，，请你根据上述方法，利用图2，求此三角形的面积． 【答案】（1）， （2）能，理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴以三条线段组成的三角形是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断； （3）用的过三个顶点的长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，在中，，，， ∴的面积是：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键． 18. 如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． （1）求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【小问1详解】 解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． 【小问2详解】 解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 19. 如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． （1）点表示的数为______；点表示的数为______． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ∵， ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为______，小数部分为______． （3）已知x是整数，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）正方形面积等于边长的平方，由面积求出边长；数轴原点左边为负数，右边为正数，直接写出 、 代表的数． （2）利用夹逼法估算无理数大小；无理数的小数部分等于这个无理数减去它的整数部分． （3）先用夹逼法估算范围，推出介于和之间；根据为整数、，分离出整数部分和小数部分；最后代入代数式化简求值． 【小问1详解】 解：大正方形面积，小正方形面积，一个顶点与原点重合． ∴大正方形边长=，小正方形边长= ∵点 A 在原点左侧，对应大正方形边长， ∴ A 表示； ∵点 B 在原点右侧，对应小正方形边长， ∴ B 表示． 故填：；． 【小问2详解】 解：先估算： 所以的整数部分是． ∵小数部分 = 原数 − 整数部分， ∴小数部分： 故填：；． 【小问3详解】 解：第一步，估算： ， ，不等式同乘，不等号反向： 两边加：，即， ，是整数， 整数部分 小数部分 代入求： 答：的值为． 20. 项目式学习 任务名称 利用勾股定理测量隧道高度 工具配备 皮尺、计算器、记录本 数据测量 在笔直的公路旁有一座山，为方便交通，现要从公路边上用盾构机开通一条隧道，已知隧道上端点到的距离为13米，到的距离为20米，长度为21米，且． 模型构建 任务解决 （1）求的长度； （2）若在点向公路垂直树立一根长10米的撑杆，请问是否可以做到？ 【答案】（1）的长度为米；（2）可以做到． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）设的长度为x米，用两种方法表示，进而联立求解即可； （2）求出的长，然后比较即可． 【详解】（1）设的长度为x米，则米， 由题意知，， ，， ， 解得：， 即的长度为米； （2）由勾股定理可知，（米）， ∵， ∴可以做到． 21. 课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图． （1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． （2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 22. 回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． （1）请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （2）如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． （3）如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【答案】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 【小问3详解】 解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 23. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 某兴趣小组从赵爽弦图中提炼出三角形全等的模型图（图1），由图中可以通过推理得到，我们可把这个数学模型称为“一线三垂直”模型． （1）如图2，，，若，，则的长为______； 【方法应用】 （2）如图3，在中，，，若，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积为______． 【答案】（1） （2） （3）10或4 【解析】 【分析】（1）根据“一线三等角”模型证明，利用全等三角形对应边相等求解； （2）过作于，根据“一线三等角”模型证明，进一步可得结论； （3）分两种情况讨论，作高利用等腰三角形性质求出，再利用“一线三等角”模型证明，，求出到的距离，进而求面积． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作于， ∵ ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：过点作于点， ， ， ， ， ， 当，时， 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， 则四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，时， 过点作交的延长线于点， 同理，， ∴， ∴． 综上，的面积为10或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 73中2026—2027学年八上第一次月考卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 文化路中段 B. 黄河中下游 C. 南偏东 D. 北纬，东经 2. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（    ） A. 0的平方根是0 B. 1的立方根是1 C. 2是4的算术平方根 D. 的平方根是 6. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A. 18 B. 19 C. 26 D. 34 7. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（ ） A. 正方形的面积为 B. C. 是的中点 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在数学研究中，除了我们认识的无理数外，还有一个自然常数也是无理数，，试比较大小：______e．（请选择“”或者“”进行填空） 12. 小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 13. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为_______尺． 14. 在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________． 15. 如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为______  ． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算下列各题 （1） （2） （3） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． （1）直接写出图1中线段的长度； （2）在图1中画线段EF，使得的长为，请你判断以三条线段为边长能否构成直角三角形，并说明理由； （3）已知的三边长分别为5，，，请你根据上述方法，利用图2，求此三角形的面积． 18. 如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． （1）求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 19. 如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． （1）点表示的数为______；点表示的数为______． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ∵， ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为______，小数部分为______． （3）已知x是整数，，且，求的值． 20. 项目式学习 任务名称 利用勾股定理测量隧道高度 工具配备 皮尺、计算器、记录本 数据测量 在笔直的公路旁有一座山，为方便交通，现要从公路边上用盾构机开通一条隧道，已知隧道上端点到的距离为13米，到的距离为20米，长度为21米，且． 模型构建 任务解决 （1）求的长度； （2）若在点向公路垂直树立一根长10米的撑杆，请问是否可以做到？ 21. 课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 22. 回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． （1）请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （2）如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． （3）如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 23. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 某兴趣小组从赵爽弦图中提炼出三角形全等的模型图（图1），由图中可以通过推理得到，我们可把这个数学模型称为“一线三垂直”模型． （1）如图2，，，若，，则的长为______； 【方法应用】 （2）如图3，在中，，，若，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $