专题13 期中真题压轴百练通关（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题13 期中真题压轴百练通关 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明 题型2 二次根式有关的新定义型问题 题型3 含绝对值的函数问题 提升·进阶突破 题型4 勾股定理与折叠 题型5 与实数运算相关的规律题 题型6 利用勾股定理或逆定理求解 拔高·压轴破难 题型7 坐标系中的动点问题 题型8 一次函数与几何综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明（共5小题） 【模型】借助图形面积割补，用两种方式表示同一图形面积，推导出勾股关系式。 【步骤】分割拼接图形，分别列式表示面积，建立等式化简得到三边关系。 【易错】面积等量关系要找准，图形边长不要看错，区分直角边与斜边。 1．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 3．（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 5．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 题型2 二次根式有关的新定义型问题（共5小题） 【模型】读懂二次根式新定义，按定义转化式子，结合根式性质运算求值 【步骤】阅读理解定义，代入对应数值，按二次根式规则化简计算作答。 【易错】严格遵从题目新定义，不可套用固有结论，留意二次根式有意义条件。 6．（25-26八年级下·北京·期中）已知，都是正整数，现定义新运算：． (1)计算：= ， ； (2)若 ，则的值为 ． 7．（25-26七年级下·广东珠海·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 9．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．如：，则 ． (1)根据上述运算填空：___________；___________；___________．观察与的结果之间的关系，再观察三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：___________． (2)如图1，正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求，图中阴影部分的面积． (3)如图2，四边形，四边形是长方形纸条，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是，直接写出和的值． 题型3 含绝对值的函数问题（共5小题） 【模型】以绝对值零点分段，去掉绝对值，转化为分段一次函数分析图象性质。 【步骤】找零点划分区间，分段去绝对值写解析式，再画图求解相关问题。 【易错】零点划分要完整，去绝对值注意符号，不要漏掉分界点取值。 11．（25-26八年级下·北京·期中）问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数； 下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 6 5 n 3 2 1 2 3 m … ①求m，n的值； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； (2)结合函数图象，直接写出y的最小值__________． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，下面我们根据学习一次函数的经验探究函数的图象与性质． (1)列表：首先，思考自变量x的取值范围： ；然后，列出函数与自变量的几组对应值： 其中 ； 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点； 连线：把描出的点依次连接起来，得到函数的图象； (2)观察图象，填写函数性质： 变化趋势：当时，随的增大而 ； 函数值：函数的取值范围是 ． 13．（25-26八年级下·四川泸州·期中）探究函数的图象与性质． 函数定义 (1)自变量取值范围 ． (2)补充表格：计算表中和的值． (3)如图，在平面直角坐标系中描出以表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象． (4)观察函数的图象可知，函数的图象是轴对称图形，且函数有最大值 (5)若 为该函数图象上不同的两点，求的值． 14．（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级（上）数学教材1.2.4绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级（下）数学教材第二十二章中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决： (1)任务1：对于函数，当时，化简函数的表达式：当时，______；当时，_____； (2)任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，回答下列问题： (3) (4)根 ①函数图象最低点坐标为：________； ②当自变量时，函数y的取值范围为：________； ③当时，y随x的增大而_______（填增大或减小）． (5)任务3：当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求m的值． 15．（25-26八年级下·北京西城·期中）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． (1)函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ． (2)绘制函数图像 ①列表：下表是与的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 6 3 2 1 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像． (3)探究函数性质 写出函数的两条性质： ， ． (4)运用函数图像及性质 ①观察你所画的函数图像，回答问题：若点，为该函数图像上不同的两点，则 ； ②根据函数图像，写出时自变量的取值范围 ． 提升·进阶突破 题型4 勾股定理与折叠（共5小题） 【模型】折叠前后边长相等，构造直角三角形，借助勾股定理列方程求线段 【步骤】利用折叠找等线段，设未知数，在 Rt△中根据勾股定理列方程求解。 【易错】找准折叠对应边，分清直角边斜边，设元时留意线段之间和差关系。 16．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 17．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 18．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 19．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 20．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 题型5 与实数运算相关的规律题（共5小题） 【模型】观察实数算式，寻找数字、符号循环规律，归纳通项求解第 n 项。 【步骤】多写几组算式对比，找出周期或通项，代入序号计算结果。 【易错】看清符号变化，区分项数序号，不要误把循环起点搞错。 21．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 22．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 23．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 24．（25-26八年级下·广西南宁·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… (1)请你直接写出_________，_________； (2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 25．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 题型6 利用勾股定理或逆定理求解（共5小题） 【模型】勾股定理求直角三角形边长；逆定理由三边平方关系判定直角三角形。 【步骤】分清条件选用定理，列式计算边长，验证平方关系判断是否为直角。 【易错】逆定理需先找最长边，不要混淆两个定理适用条件。 26．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 27．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点． ①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上； ②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，BC边上的中线，过B作交AD延长线于点E．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)点A到BC的距离为______． 29．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 (1)根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； (2)若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 拔高·压轴破难 题型7 坐标系中的动点问题（共5小题） 【模型】设动点坐标，结合运动速度表示线段，利用函数或几何性质列方程求解。 【步骤】用时间 t 表示动点坐标，转化线段长，结合图形等量关系列式计算。 【易错】注意动点分段运动，坐标转线段长要加绝对值，别漏多解情况 31．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 32．（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 33．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 设， ， ， 34．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 35．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 题型8 一次函数与几何综合（共5小题） 【模型】结合一次函数解析式求交点，搭配几何性质、勾股定理求解线段与面积 【步骤】求函数交点坐标，转化线段长，运用几何公式列式计算。 【易错】坐标转线段长勿忘绝对值，看清图形位置，注意多解情况。 36．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 37．（25-26八年级下·北京昌平·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 38．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 39．（25-26八年级下·广东中山·期中）综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 40．（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． $专题13 期中真题压轴百练通关 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明 题型2 二次根式有关的新定义型问题 题型3 含绝对值的函数问题 提升·进阶突破 题型4 勾股定理与折叠 题型5 与实数运算相关的规律题 题型6 利用勾股定理或逆定理求解 拔高·压轴破难 题型7 坐标系中的动点问题 题型8 一次函数与几何综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明（共5小题） 【模型】借助图形面积割补，用两种方式表示同一图形面积，推导出勾股关系式。 【步骤】分割拼接图形，分别列式表示面积，建立等式化简得到三边关系。 【易错】面积等量关系要找准，图形边长不要看错，区分直角边与斜边。 1．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2) 解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； （2）略 2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1) ， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 3．（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：连接，， ， 如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中， ∴ ， ∴， 整理可得：； (3) 【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可； ②利用等面积法得到，化简即可； （2）利用梯形的面积公式得到，再由得到，即可得到，整理式子即可． （3）由求出的值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②： ； （2）略； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：或（舍去）， ∴在中，． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 5．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 图2中图形的面积：， ， ， ； （3） 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键. （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解. 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即 故答案为：； （2） 略 （3）解：设的周长为， ， 根据（2）中的结论，在中，， ， 化简，得， 整理，得， ， 长方形的面积为：. 题型2 二次根式有关的新定义型问题（共5小题） 【模型】读懂二次根式新定义，按定义转化式子，结合根式性质运算求值 【步骤】阅读理解定义，代入对应数值，按二次根式规则化简计算作答。 【易错】严格遵从题目新定义，不可套用固有结论，留意二次根式有意义条件。 6．（25-26八年级下·北京·期中）已知，都是正整数，现定义新运算：． (1)计算：= ， ； (2)若 ，则的值为 ． 【答案】(1)； (2)64或4 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，则； ，则 ，则； （2）解：当时， 解得， 经检验，符合题意； 当时， 解得， 经检验，符合题意 综上：的值为64或4． 7．（25-26七年级下·广东珠海·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【答案】(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1)；；不存在； (2)；；或． 【分析】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 9．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)6 (2)或或（答案不唯一，符合题意即可） (3) (4)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （4）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．如：，则 ． (1)根据上述运算填空：___________；___________；___________．观察与的结果之间的关系，再观察三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：___________． (2)如图1，正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求，图中阴影部分的面积． (3)如图2，四边形，四边形是长方形纸条，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是，直接写出和的值． 【答案】(1)2；3；5； (2)496 (3) 【分析】（1）根据如果，那么，再由得； （2）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （3）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，可求出m，n的值，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （3）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，（负值舍去）． 题型3 含绝对值的函数问题（共5小题） 【模型】以绝对值零点分段，去掉绝对值，转化为分段一次函数分析图象性质。 【步骤】找零点划分区间，分段去绝对值写解析式，再画图求解相关问题。 【易错】零点划分要完整，去绝对值注意符号，不要漏掉分界点取值。 11．（25-26八年级下·北京·期中）问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数； 下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 6 5 n 3 2 1 2 3 m … ①求m，n的值； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； (2)结合函数图象，直接写出y的最小值__________． 【答案】(1)①4；4；②函数图象如图： (2)1 【分析】（1）①把分别代入函数解析式，求出y的值即可得到；②在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （2）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， ②略 （2）解：根据函数图象得时，有最小值． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，下面我们根据学习一次函数的经验探究函数的图象与性质． (1)列表：首先，思考自变量x的取值范围： ；然后，列出函数与自变量的几组对应值： 其中 ； 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点； 连线：把描出的点依次连接起来，得到函数的图象； (2)观察图象，填写函数性质： 变化趋势：当时，随的增大而 ； 函数值：函数的取值范围是 ． 【答案】(1)全体实数， (2)减小；． 【分析】（）通过表格可以求出自变量的取值范围；由表达式直接代入数据即可求出的值；根据表格数据描点画图即可； （）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：自变量的取值范围为全体实数， 当时，， 描点连线如图： 故答案为：全体实数，； （2）解：当时，随的增大而减小， 故答案为：减小； 根据图象可知函数的取值范围是， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·四川泸州·期中）探究函数的图象与性质． 函数定义 (1)自变量取值范围 ． (2)补充表格：计算表中和的值． (3)如图，在平面直角坐标系中描出以表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象． (4)观察函数的图象可知，函数的图象是轴对称图形，且函数有最大值 (5)若 为该函数图象上不同的两点，求的值． 【答案】(1)全体实数 (2)， (3)见解析 (4) (5) 【分析】（1）根据题意求自变量的取值范围； （2）将分别代入函数解析式，即可求解； （3）根据描点连线的方法画出函数图象，即可求解； （4）观察函数图象求得最大值，即可求解； （5）根据函数图象是轴对称图形，对称轴为轴，可得关于轴对称，即可求解． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是全体实数． （2）解：当时，， 当时，； （3）解：如图， （4）解：观察函数的图象可知，函数的图象是轴对称图形，且函数有最大值 （5）解：∵ 为该函数图象上不同的两点， ∴关于轴对称． ∴． 14．（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 七年级（上）数学教材1.2.4绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 八年级（下）数学教材第二十二章中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决： (1)任务1：对于函数，当时，化简函数的表达式：当时，______；当时，_____； (2)任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，回答下列问题： (3) (4)根 ①函数图象最低点坐标为：________； ②当自变量时，函数y的取值范围为：________； ③当时，y随x的增大而_______（填增大或减小）． (5)任务3：当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求m的值． 【答案】(1)； (2)；①；②；③减小 (3)或6 【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可； （2）利用描点法画出函数图象；再结合函数图象解答①②③即可； （3）分三种情况：①，②，③，利用函数的增减性、结合函数图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，则； 当时，，则． （2）解：对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在平面直角坐标系中，描点画出函数图象：略． ①由函数图象可知，函数图象最低点坐标为； ②由函数图象可知，当自变量时，； ③由函数图象可知，当时，随的增大而减小． （3）解：①如图，当时，画出函数大致图象如下： 由函数图象可知，当时，随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为， 解得，符合题设； ②如图，当时，画出函数大致图象如下： 由函数图象可知，在内，当时，的值最小，最小值为0，不符合题意，舍去； ③如图，当时，画出函数大致图象如下： 由函数图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 解得，符合题设； 综上，的值为或6． 15．（25-26八年级下·北京西城·期中）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． (1)函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ． (2)绘制函数图像 ①列表：下表是与的几组对应值，其中 ； … 0 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 6 3 2 1 … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像． (3)探究函数性质 写出函数的两条性质： ， ． (4)运用函数图像及性质 ①观察你所画的函数图像，回答问题：若点，为该函数图像上不同的两点，则 ； ②根据函数图像，写出时自变量的取值范围 ． 【答案】(1)全体实数； (2)①；②描点如图③作图如图 (3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (4)①0 ；②或 【分析】（1）根据绝对值的性质求解自变量的取值范围； （2）①将代入函数解析式求解即可； ②根据表格的点的坐标描点即可； ③根据描点连线作图即可． （3）根据图像得到函数的性质即可． （4）①将与代入函数解析式求解即可； ②令，求解出的值，结合函数图像求解范围即可． 【详解】（1）解：∵，则， ∴分母不会为零，故自变量的取值范围是全体实数， ∵， ∴，即， ∴的取值范围是． （2）解：①将代入中，即， 故； ②③略 （3）解：略． （4）解：①∵点，为该函数图像上不同的两点， ∴，， ∴； ②令，则， 可得，即，解得， 由图像可知，时自变量的取值范围是当或． 提升·进阶突破 题型4 勾股定理与折叠（共5小题） 【模型】折叠前后边长相等，构造直角三角形，借助勾股定理列方程求线段 【步骤】利用折叠找等线段，设未知数，在 Rt△中根据勾股定理列方程求解。 【易错】找准折叠对应边，分清直角边斜边，设元时留意线段之间和差关系。 16．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 17．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 18．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 19．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 20．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1) 证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型5 与实数运算相关的规律题（共5小题） 【模型】观察实数算式，寻找数字、符号循环规律，归纳通项求解第 n 项。 【步骤】多写几组算式对比，找出周期或通项，代入序号计算结果。 【易错】看清符号变化，区分项数序号，不要误把循环起点搞错。 21．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)89 【分析】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：； 理由：； （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 22．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1)， (2) (3)22 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可． （2）分析所给的等式可知第n个等式为：，利用规律进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由题意可得第n个等式为：， ∴． （3）解：∵（，均为正整数）符合上述规律， ∴，， 解得：，， ∴． 23．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】(1) (2)（的自然数）； 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 24．（25-26八年级下·广西南宁·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… (1)请你直接写出_________，_________； (2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】(1)7， (2)n， (3)88 【分析】（1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：，． （3）解：原式 ． 25．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6个等式，可得答案； （2）由（1）归纳可得答案； （3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （5）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； （6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； （5）解： ； （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . 题型6 利用勾股定理或逆定理求解（共5小题） 【模型】勾股定理求直角三角形边长；逆定理由三边平方关系判定直角三角形。 【步骤】分清条件选用定理，列式计算边长，验证平方关系判断是否为直角。 【易错】逆定理需先找最长边，不要混淆两个定理适用条件。 26．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点D作，交的延长线于M， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点M为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点B离为，， ∴车到点A离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用勾股定理求出所需边的长度． （1）连接，易得，由勾股定理求出的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到答案； （2）过点D作，交的延长线于M由（1）易得是等腰直角三角形，即，再由勾股定理求出，再根据车到点B离得出车到点A距离，对比车到点A距离和的长度即可得到结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）略 27．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点． ①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上； ②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1) 连接， ∵正方形，点E是的中点，， ∴设，则，，， ∴，，， ∴， ∴， (2)①根据翻折的性质，得到， ∴，，， 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、G、F三点在同一条直线上， ② 【分析】（1）设，根据正方形的性质，点E是的中点，，在，中应用勾股定理，得到，即可得证， （2）①根据翻折的性质，得到，通过，得到，即可得证，②由，，，，得到，根据翻折的性质得到，结合，求出，即可求解． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，翻折的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形与勾股定理． 【详解】（1）略 （2）解：① 略 ②由（1）（2）得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，BC边上的中线，过B作交AD延长线于点E．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)点A到BC的距离为______． 【答案】(1) 证明：， ， 是边的中线， ， 在和中， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）有已知条件，利用证明即可证明出； （2）利用勾股定理的逆定理证明，从而可求出的度数； （3）作于点F，利用，可求出的长，从而得到点A到的距离． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， 是直角三角形，， ； （3）解：作于点F，如图，    在中， 由勾股定理，得， ， 又由（2）， ， ， ， ， 即点A到的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 29．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 (1)根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； (2)若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 【答案】(1) (2) 证明：∵， 又∵，且， ∴， ∴， ∴是中的最大数， ， 是一组勾股数． 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入，，中， 得，，， 这组勾股数为； （2）略 拔高·压轴破难 题型7 坐标系中的动点问题（共5小题） 【模型】设动点坐标，结合运动速度表示线段，利用函数或几何性质列方程求解。 【步骤】用时间 t 表示动点坐标，转化线段长，结合图形等量关系列式计算。 【易错】注意动点分段运动，坐标转线段长要加绝对值，别漏多解情况 31．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 【答案】(1) (2)①证明：如图，作， 由平移的性质得：， ， ∴，． ∵， ∴． ②点的坐标为， 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可求得，的值，即可求出点，的坐标，再根据平移的性质即可求得点的坐标； （2）①作，则，可得 ，，根据即可求证；②设点的坐标为，，则，分两种情况讨论：当点在线段上时，，求出点的值，不符合题意，舍去；当点在线段的延长线上时，，求出点的值，即可得出点的坐标；过点作，则，可得，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解∵， ∴，． ，． ，． ∴． 由平移的性质得：，， ， ． （2）解：①略 ②∵， ∴． 设点的坐标为， 当点在线段上时，即， 则， 解得， ∵， ∴此种情况不成立． 如图，当点在线段的延长线上时，即， 则， 解得， ． 此时，． 如图，过点作， ∵， ， ∴，． ∵， ∴． 32．（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 33．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 34．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； 【分析】（1） 利用算术平方根和平方的非负性，由求出的值． （2） 点在第三象限，，以为底，为高，利用三角形面积公式表示的面积． （3）先求出的面积，再根据的面积是面积的倍列出方程，利用坐标面积公式求解点的坐标． 【详解】（1）解：， 又，， ，， 解得：，． （2）解：，， ， 点在第三象限， ， ． （3）解：， ， ， 设点的坐标为， ，， ， 由题意：， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 35．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 【答案】(1)，， (2)点的横坐标为 (3)①与面积相等，理由见解析；②坐标或 【分析】（1）利用被开方数为非负数求出的值，再代入求出，得到、坐标，最后根据和在轴负半轴的条件，求出点坐标； （2）先求关于轴的对称点，算出的面积，根据“平分面积”得的面积，再用三角形面积公式列方程，结合在线段上的取值范围，求出的横坐标； （3）①先表示出时和的长度，分别计算和，发现二者相等，再同时减去公共的四边形的面积，得到；②分、、和四种情况进行讨论，再根据的面积为，用割补法列出关于、分别列出方程，然后联立方程组求解，得到两个符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：点关于轴的对称点为点， 点的坐标为， ，， ，， ， 直线平分三角形的面积， ， 设点的坐标为， ，即， 解得， 点是线段上一点， ． （3）①解：当时，，， 则， ， 可得， 则， 故． ②解：设点的坐标为， 当，点与点重合，，故； 当，如图，点在第四象限， ， ，可得， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ，即， 由， 解得， 点为； 若，如图，，点不存在； 若，如图，点在第二象限， ， ，可得， 同上法可证，，， 可得， 解得， 点为， 综上，点为或． 题型8 一次函数与几何综合（共5小题） 【模型】结合一次函数解析式求交点，搭配几何性质、勾股定理求解线段与面积 【步骤】求函数交点坐标，转化线段长，运用几何公式列式计算。 【易错】坐标转线段长勿忘绝对值，看清图形位置，注意多解情况。 36．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)点M的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标； （2）由（1）得可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长，由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，设，则，利用勾股定理求出，然后求出，设点M的坐标为，建立方程求解即可； （3）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， ∴， 令得：，解得：， ∴， （2）由（1）得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 37．（25-26八年级下·北京昌平·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)①或②见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）①由得，把代入，求出的值即可； ②的图形是以为顶点的正方形，补全图形即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴，，， ∴与原点的“直角距离”等于的点是； （2）解：∵，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； ②补全图形如下： （3）解：∵，则点D在正方形边上，如图2， ∴，，， 又∵点D在直线，又直线过点， 由图2可知：当直线过点E，Ｎ时，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线， 把点代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 38．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②y的最小值为 【分析】（1）在中，求出时的函数值和时的自变量的值即可得到答案； （2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可； （3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，解得， 此时， ∴， ∴ （3）解：①当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 综上，或； ②当时，一次函数解析式为， 联立，得，， 解得， ∴直线，的交点为； 同理可求直线，的交点为；直线，的交点为； 如图： 当时，， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 当时，最大， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为； 当时， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 综上：的最小值为． 39．（25-26八年级下·广东中山·期中）综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)当时，y随x的增大而增大（不唯一） (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可； （2）①将代入求解即可；②根据列表进行描点、连线即可解答； （3）根据函数图像的增减性写出一条性质即可； （4）求出一次函数经过定点，据此结合函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，即． （2）解：①当时，； ②先描点、再连线，作图如下： （3）解：由（2）的函数图像可知：当时，y随x的增大而增大． （4）解：如图：由题意可得：当直线l：，若直线l的图像经过， ∴，即． ∴结合函数的图像可得，． 40．（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． $